数学模型的建构意识
核心素养视角下的小学数学认知模型建构
核心素养视角下的小学数学认知模型建构作者：鲜永太来源：《数学教学通讯·小学版》2020年第01期摘; 要：今天的教学已经面临着核心素养培育的要求，在核心素养的视角之下，小学数学认知模型的建构，也面临着新的挑战。
数学教师首先要认识到在核心素养的视角下模型建构的意义，同时还要能够探究有效的认知模型建构的方法。
一个能够适应小学生数学学习需要的认知模型，应当具有这样的两个特征与意义：一是其符合小学生的认知特点;二是对小学生的数学学习具有一定的引导作用。
关键词：小学数学;核心素养;认知模型;模型建构对于小学生的数学学习而言，建构一个认知模型非常重要，这是因为学生的学习过程是一个建构过程，而每一个数学知识的建构，都可以理解为认知模型的产物，如果这个认知模型得到优化，那么学生的数学学习效率也就会更高。
传统的数学教学过程中，教师追求的是学生对数学知识的理解，以及这些数学知识在习题检查过程中的应用，这样的教学思路对奠定“双基”起到过非常重要的作用。
今天的教学已经面临着核心素养培育的要求，在核心素养的视角之下，小学数学认知模型的建构，也面临着新的挑战。
面对这样一个挑战，数学教师首先要认识到在核心素养的视角下认知模型建构的意义，同时还要能够探究有效的认知模型建构的方法。
我们就以小学数学教学中的问题解决为切入口，谈谈笔者的一些构建思考。
一、核心素养视角下认知模型建构的意义在核心素养的视角之下，认识小学数学教学中认知模型构建的意义，无论是对于教师而言，还是对于学生而言，都有着非常重要的思考价值。
如果说传统的小学数学教学重视知识的掌握与运用，那么在经历了课程改革之后，再进入核心素养时代，教师应当建立起来的认识，应当是小学数学教学是一个利用数学知识去教育学生的过程，即小学数学教学不再只是“教数学知识”，而应当是“用数学知识来教”。
用数学知识来教的一个前提，就是教师必须建构起能够适合学生学习需要的认知模型。
一个能够适应小学生数学学习需要的认知模型，应当具有这样的两个特征与意义：一是其符合小学生的认知特点。
谈模型意识在小学数学教学中的运用
㊀㊀㊀１５５㊀㊀谈模型意识在小学数学教学中的运用谈模型意识在小学数学教学中的运用Һ张守杰㊀（江苏省常州市虹景小学，江苏㊀常州㊀２１３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“明确指出，模型思想是数学的一种基本思想，模型意识是小学数学学科核心素养的重要组成部分，需要教师予以关注．在小学数学教学中，教师对模型思想进行渗透可引导小学生在刚接触数学时树立模型意识，形成模型思维方式，进而掌握数学模型的运用方法，帮助小学生渡过数学学习的难关，提升其数学学习水平．文章主要就模型思想在小学数学教学中运用的意义与措施展开分析，旨在发挥模型思想的价值，助力小学生数学核心素养的生成．ʌ关键词ɔ模型思想；小学数学；运用措施数学建模主要是指教师在课堂中以模型为基准设计的数学教学活动，通过数学符号建立关系式或代数式，帮助学生解决实际问题．小学生对于模型思想的了解较少，加之思维发展处于启蒙阶段，抽象思维能力较弱，因此，在小学数学教学中培养学生的模型意识具有一定的难度．这就需要教师在授课阶段从构建模型的角度出发，采取科学的教学措施和方法，让学生潜移默化地感知数学模型，并设计更符合学生身心发展的教学方案，让学生可以在模型思想的引导下感知数学，构建数学认知结构，掌握数学模型思想．在运用模型思想开展数学教学活动的过程中，教师应使学生学会建立数学模型，提高学习效率，培养核心思想，让学生积累数学学习经验，形成良好的思维习惯，把模型思想应用到现实情境之中，发挥模型思想的现实价值．一㊁模型思想在小学数学教学中的运用意义在数学学习中，树立模型思想并掌握建构数学模型的方法是至关重要的．数学模型思想会陪伴学生整个数学学习过程，在解答几何图形等问题中有广泛的运用．模型思想就是学生在学习数学知识的过程中能够由具体过渡到抽象，积累学习经验，养成使用模型解决数学问题的思维习惯．其主要体现在以下几个方面．（一）发展抽象思维将模型思想应用在小学数学教学中对于数学课堂教学方式的改革与创新大有裨益，原因在于数学这门课程的本质特征便是抽象化，主要的研究内容为几何图形和数量关系，学生学习起来较为困难，而模型思想的应用会使得原本抽象的数学知识变得具象化．教师选择数学模型实例引导学生的学习思路，可使学生更近距离地接触数学知识，深刻感悟数学思想，提升数学抽象能力．（二）激发学习兴趣数学知识源于生活，同时应用于生活．模型思想的使用能够提高学生解决问题以及运用知识的能力，使学生清晰地感知数学和生活之间存在的关系，让学生从数学学习中体会快乐，感悟数学的价值，帮助学生树立学习的自信心，引导学生解答实际问题，实现有意义的学习．（三）培养举一反三能力在以往的数学教学中，部分教师都是先给学生讲解数学知识，再进行机械的习题训练．在这样千篇一律的教学方式下，学生容易形成固化思维，死记硬背解题方法，一旦遇到变式问题就会无从下手．而模型思想的运用可以很好地弥补传统教学的不足．它能引导学生从原本的知识结构中提炼㊁抽象出数学结构，以结构来表现数学知识点间的关联性，让学生充分掌握数学模型的主干，之后参与变式习题的训练，培养学生举一反三的能力，让学生能够快速地看破㊁弄懂数学问题，抓住数学问题的本质，促使学生在解答各类数学问题时做到应对自如．二㊁模型思想在小学数学教学中的运用措施（一）实践操作建立数学模型数学实验以及数学操作均带有较强的实践性，因此，教师想要激发学生参与数学学习活动的兴趣，就要做好各项指导以及组织工作，给学生布置数学实验等任务，让学生在数学实践操作中经历信息梳理㊁推理演绎等过程，在实践操作中形成对数学模型的认㊀㊀㊀㊀㊀１５６㊀知，为学生建立模型思想奠定基础．在小学数学教学中，教师应指导学生掌握实践操作的基本步骤与方法，并优化操作过程，为学生营造更为轻松活跃的学习环境，让学生能够自主探索数学公式与定理，形成数学模型意识．如在 周长是多少 一课的教学中，教师可以组织 量一量 活动，让学生动手测量身边的物体．例如，一名学生选择的测量物是讲台，经过测量得出讲台四周边长的数据分别是１．４米㊁０．９米㊁１．４米㊁０．９米．之后，教师要求学生将物体的四个边长相加得出周长．学生很容易就能够列出算式并计算得出结果：１．４＋０．９＋１．４＋０．９＝４．６（米）．教师继续提问： 是否有更加便捷的计算方法呢？ 由此让学生调动已有的知识经验，尝试运用乘法将算式整合，得出：１．４ˑ２＋０．９ˑ２＝４．６（米）或（１．４＋０．９）ˑ２＝４．６（米）．此时，教师引领学生将数字转化为数学语言，发现１．４米是长，０．９米是宽，４．６米是周长，进而得出长方形周长的公式，即周长＝（长＋宽）ˑ２，由此建立长方形周长计算的数学模型．在数学教学中，教师还应指导学生观察生活，在生活中选择一些不同形状的物品测量其周长，并归纳总结周长的测量方法，探索操作方法，让学生在具体操作的过程中能够利用周长计算公式，在问题解决中快速地抓住数学模型思想的应用要点，加深对数学知识的理解．（二）经历建模过程数学知识的学习是再创造㊁再发现的过程，故教师要给学生创建合作交流的时间及空间，使学生能够在数学学习中经历感受㊁观察㊁抽象㊁修改等过程，从而由现实情境推导出数学模型，并在解决数学问题的过程中解释㊁应用数学模型．首先，要依据实际情境确定适宜的建模点．比如，教师在讲解 解决问题的策略 租船问题 一课时，应通过对该节知识的讲解，让学生顺利地解决租船费用问题，掌握先假设再结合假设调整方案的方法，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．通过租船费用的探究过程，学生体会了数据变化对结果的影响，培养了参与数学学习活动的兴趣，并在不断假设㊁修改方案中建立数学模型．为了帮助学生建立数学模型，教师可以提出这样的问题： 同学们，假设我们现在一共有６４人，小船的租金为每条４８元，大船的租金为每条６０元，小船限乘人数为８人，大船限乘人数为１２人，那么我们应当怎样租船才最省钱呢？ 学生就该问题提炼出关键点，以如何租船最省钱为主梳理数学信息，分析数量关系，列出多种租船方案，从而建立解决租船问题的数学模型．其次，要让学生感受由 境 至 模 的抽象变化过程．由 境 至 模 的抽象变化过程是模型思想渗透以及发展的关键点．在租船问题当中，在学生罗列出多种租船方案后，教师要让学生针对每一种方案进行对比，找出解决租船问题的一般方式，再确定最优的方案．对此，教师可以通过以下三步进行教学指导：第一，计算出哪种船的人均租金较便宜；第二，假设这６４人全部乘坐人均租金较便宜的船，而且刚好坐满，没有空座，这种方式就是最省钱的；第三，若没有坐满，则需要调整方案，在保障人均租金最便宜的情况下让座位坐满．学生可采取对比交流等多种形式计算出最省钱的方案，掌握如何租船最省钱，体会建模过程．最后，要通过实践的方式验证模型．模型的构建只是解决问题的一种手段，而更为重要的应是验证模型的可行性以及逻辑性，即对所建模型进行检测．比如，在构建租船问题解题模型之后，教师可以让学生自己假设一个人数去验证这一方案能否满足其所设定的数量关系．（三）生活对接数学模型在数学教学中运用模型思想，教师需要做好教学对接工作，结合学生已有的生活经验，引领学生建立与生活密切相关的数学模型，使学生能够顺利进入生活化情境之中，以增加学生对数学模型的敏感度与熟悉度，为学生在生活中运用数学模型做好铺垫．一方面，要整合教学资源，合理规划建模的路线．如在 千克和克 一课的教学中，教师应为学生构建具体的生活情境，使得学生能够正确感受并认知质量单位 克 和 千克 ，初步构建 １千克 以及 １克 的概念，知道１千克等于１０００克，掌握基本的物质质量称量方法，并可以进行简单计算．可以采取称一称㊁掂一掂的方法帮助学生构建 １０００克 和 １千克 的表象，以构建质量观念为基准，培养学生估量物体质量的意识，感受数学和日常生活存在的密切联系．学生在具体称量计算时需要深刻理解换算关系，故教师可以应用多媒体设备为学生展示几种生活中常见物品的图片，要求学生为对应的物品添加质量单位，使学生能够更清晰地理解数学建模思想．另一方面，借助生活实物引发学生思考，在对比分析中强化其模型意识，以避免混淆数学概念等现象㊀㊀㊀１５７㊀㊀的发生．比如，在讲解 认识小数 一课时，教师要结合学生生活实际展开教学，使得学生能够了解小数在生活中的意义，思考小数各个部分的名称与整数有何不同，并且做到会读小数㊁能正确书写小数，掌握整数与小数之间存在的关系．在课堂教学中，教师可以给学生展示超市中拍摄的物品价格图片，让学生在观察价格签之后回答问题： 这些图片中商品的单价分别是多少？你能准确地读出来吗？ 这里是利用提出问题的方式引导学生对熟悉的小数问题进行思考，从而进入最佳的学习状态．教师要与学生共同梳理这部分商品的单价，并从小数角度对学生进行引导： 同学们，大家在判断商品价格时都要关注哪些元素呢？我们平时买东西都需要看哪些内容呢？与整数相比，小数有哪些特殊之处？ 教师依据商品价格签上的整数数字㊁小数数字进行深度解读，给学生提供了对比分析的机会，可促使学生在小数与整数的特点以及异同点对比中建立数学模型，提高对数学概念的辨析能力．（四）培养学生的建模意识在实际教学时，教师要以学生的实际学习情况为出发点，分析学生的年龄特征以及学段要求，逐步渗透模型思想，以此促使学生树立建模意识，养成良好的数学建模习惯．以小学低年级数学教学为例，教师面向的受教人群是６至８岁的儿童，这一部分学生处于以形象思维为主的发展时期，在学习数学概念以及数量关系时要依靠具体实例进行验证．因此，在该学段的数学教学中，教师需要用学生较为熟悉的实例进行引导，这样学生才可以在具体感知的刺激下树立建模意识，并且在数学学习以及生活问题思考中主动建构数学模型，发现并提出问题，并尝试在该情境之中解决问题，用数学符号表示简单的生活现象．比如，在 ５以内的加法 一课的教学中，教师要通过对该节知识的讲解，让学生联系具体的情境，尝试写出加法算式，并正确认识加法的含义，会读㊁会写相应的加法算式．教师还要鼓励学生主动探索交流，掌握５以内加法的计算方法，并能够正确计算．教师可先进行游戏导入，让学生温习以往学习的相关知识，再使用多媒体播放情境： 校园中２个小朋友在浇花，不一会儿，又来了２个小朋友帮着浇花． 设计问题： 同学们，现在一共有几个小朋友在浇花呢？你们知不知道需要列一道什么样的算式呢？ 教师选用更为具体且形象的实例，利用问题引发学生思考，可促进学生内化数学知识，培养发散思维，进而形成模型思想．另外，对于小学中高年级的学生，教师要结合具体问题展开教学．中高年级的学生不管是理解能力还是思维能力都有所发展，处于具象思维向抽象思维过渡的成长阶段．在对该阶段学生进行教学时，教师可以设计一些更为具体的问题，引发学生思考分析．比如，在教学 认识面积 一课中，教师应通过该节知识的讲授使得学生知道面积的具体含义．教师可以让学生初步比较物体表面积以及平面图形的大小，发展学生的数学思考能力．为了帮助学生进一步掌握模型思想，教师还可以结合数学知识点继续提出问题，如： 同学们，黑板和教材的封面哪个面积更大一点呢？桌面和椅子面呢？ 之后让学生说明理由，以此检测学生对于面积概念的理解情况，及时纠正学生错误的理解，从多层次㊁多角度完善面积的具体含义．教师可以让学生通过观察分析在脑海当中构建图形面积的计算公式，并使用字母表示运算定律以及数量关系，结合题目要求建立数学模型，从而促进学生数学思维的发展．结㊀语综上所述，培养学生的模型思想已经成为教育事业发展的必然．教师要从多方位㊁多角度渗透该思想，将其渗透至数学法则㊁公式㊁概念等多项教学模块之中，同时将其和符号意识㊁数感等融合在一起，实行多措并举的教学方式，让学生构建正确的模型思想以及数学知识运用习惯，全面且深入地解读数学知识．教师应实行专项练习活动以及小组合作探讨等多种教学形式，使得模型思想可以更好地渗透至教学的各项环节，给数学课堂注入生机和活力，提高学生的解题能力，强化学生的自主学习意识，实现数学教学目标．ʌ参考文献ɔ［１］张绮婧．基于模型思想的小学数学单元教学设计［Ｊ］．现代基础教育研究，２０２２，４７（３）：２１６－２２２．［２］王玉红．数学模型思想融入小学数学教学中的几点思考［Ｊ］．家长，２０２２（３０）：７２－７４．［３］崔玉霞．小学数学教学中渗透数学思想方法的策略［Ｊ］．数学学习与研究，２０２２（３３）：１０４－１０６．［４］彭四辈．模型思想在小学数学课堂教学中的渗透：以 数学广角 植树问题 为例［Ｊ］．理科爱好者，２０２２（６）：１７０－１７２．［５］徐小军．数学模型思想融入小学数学教学的策略探究［Ｊ］．数学学习与研究，２０２２（２６）：１３１－１３３．［６］马志云．磨㊃模㊃魔：小学数学低段教学中渗透模型思想的思考［Ｊ］．新课程，２０２１（５１）：１４４．。
“数学广角”为例谈利用思维导图促进学生数学模型的建构能力
“数学广角”为例谈利用思维导图促进学生数学模型的建构能力摘要：本文以人教版数学四年级上册“数学广角”的四节课为例，结合本人的教学实践，探讨教学中学生出现的一系列问题，介绍了如何利用思维导图促进学生数学模型建构的尝试与感悟。
四上“数学广角”知识的教学主要包含“烙饼问题”、“沏茶问题”“等候时间问题”“田忌赛马”四课时，优化统筹思想贯穿于教学的始终，学生能否熟练灵活地运用相关知识解决实际问题，较大程度上取决于数学思维的能力，因此，培养学生的数学模型建构非常重要。
如何针对这一单元有效的利用思维导图帮助学生数学模型的建构是本人一直想深入的进行研究。
关键词：思维导图，数学模型，模型建构一、对于四上数学广角教学中教与学的现状分析（一）学生的学情现状透析在学生学习四上数学广角的时候，表现出了对这一单元十分的感兴趣，特别是比较聪明的学生的情绪高涨，而对于智力中下的学生因为这块内容跟生活联系较紧密，虽然有一定的兴趣，但思维难度大，要让他深入的进行思考和叙述有一定的难度。
为了想要了解他们是否真正对于这四课时的内容达到理解和掌握，我特意对学生进行的调查，对于教学中老师出现过的例题学生还是大部分能够做对的，而教学中没有出现过的例题有77%的学生出现了错误。
学生为什么会出现的错误率这么高呢？对于出现这样的结果，我进行深入访谈学生，发现学生在每课时学习的这些环节出现了问题。
1.烙饼问题教学后，对于3张饼的特殊烙法，学生不仅能够知道最少只要烙3次，而且能够动手摆给我看，是怎么具体操作的过程。
问其方法学生知道这是最省时间的烙法，而深问其原因就回答不出时间具体节省在哪里。
2.沏茶问题学习之后，学生的能够对于简单的单线性生活问题进行解决，而单线中的超过时间有一定的困惑，对于要有双线性交叉进行的问题难度较大。
3.等候时间问题后，一部分学生能够脱离表格进行计算等候时间，小部分学生能够在填写表格后进行计算，有小部分学生更不知道如何进行填表和计算，而是利用老师给出的模式进行套公式计算。
通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型建构等,形成数学的结论和方法。
通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型建构等,形成数学的结论和方法。
数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，它通过符号运算、形式推理和模型建构等方法，形成了一系列科学的结论和方法。
这些结论和方法在科学、工程、经济、金融等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数学中的符号运算、形式推理和模型建构等方法，并阐述它们在形成数学结论和方法中的作用。
一、符号运算符号运算是指利用符号来描述和解决数学问题的方法。
在数学中，符号是用来表示数量、结构、变化和空间等概念的文字或图形。
通过符号运算，我们可以将实际问题转化为数学问题，并利用数学语言来描述和解决这些问题。
例如，在代数中，符号运算通常涉及到加法、减法、乘法、除法等运算，以及方程、不等式、函数等概念。
通过符号运算，我们可以建立数学模型，并利用这些模型来分析和解决实际问题。
二、形式推理形式推理是指根据一定的规则和步骤，通过逻辑推理来得出结论的方法。
在数学中，形式推理涉及到公理体系、定理证明、推论生成等方面。
通过形式推理，我们可以验证数学结论的正确性，并发现新的数学概念和方法。
例如，在几何学中，形式推理涉及到点、线、面、角度等基本概念，以及平行线、相交线、三角形、四边形等基本图形。
通过这些概念和图形的推理和分析，我们可以得出一些基本的几何定理和推论。
三、模型建构模型建构是指通过建立数学模型来描述和解决实际问题的方法。
在数学中，模型建构涉及到各种数学工具和软件的应用，如线性回归、概率统计、模糊数学等。
通过模型建构，我们可以将实际问题转化为数学问题，并利用数学语言来描述和解决这些问题。
例如，在经济分析中，我们可以利用数学模型来分析市场趋势和投资风险，从而制定更加科学的投资决策。
在医学研究中，我们可以利用统计模型来分析病人的数据，从而发现疾病的规律和治疗方法。
总之，符号运算、形式推理和模型建构等方法在形成数学的结论和方法中发挥着重要的作用。
通过这些方法的应用，我们可以更好地理解和解决实际问题，并为各个领域的发展提供科学的依据和工具。
浅谈重视建构数学模型 优化数学课堂结构
学模型作 为一节课 中的一个重要 步骤 ， 舍得花费时间让学生在教师的引导下进 行探究。例如 ， 在讲一次 函数 时 我用学
生 身边 的 问题 进 行新 课 的情 境 引 入 ： 小 亮 去 购 苹 果 ， 已知 １ 克 苹 果 售 千
设 了数学 活动 课 。
他们学 习数学 的兴趣和特长 ，培养他们 自学 的能力 与习惯 、勇于追求新知 和独
立 思 考 的精 神 ，以 及 把 所 学 的 知 识 运 用 于 实 际 的 能力 。
但 笔 者 发 现 ，现 阶 段 的数 学 活 动 课 的实 施 存 在 误 区 。数 学 活动 课 要 么 成 为 提 优 或 补 差 课 ； 么 就 是 “ 业 训 练课 ” 要 专 ， 重 点 就 是 对 学 生 进 行 数 学 知 识 特 别 是
改革 ， 积极探索 教育教学规律 ， 充分运用 学校现有 的教育教学 资源 ，大胆改革课
堂教 学 ， 进行 了“ 、 、 、 、 数学 学 探 议 讲 练” 课堂教学结构 的应用 和研究 ，取得 了明 显 的效果。具体表现在 ：
（ ） 堂 教 学 结 构 发 生 了根 本 变 化 ， １课
例 １ 某 辆 汽 车 油 箱 中原 有 汽 油
ＩＯ ， 车 每 行 驶 ５ ｋ 耗 油 ９ 。汽 车 ＯＬ汽 ０ｍ Ｌ 行 驶 的路 程 ｘ ｋ 与 邮 箱 剩余 油量 ｙ Ｌ （ｍ） （） 的关 系如 下 表 ：
汽 车 行 驶 的 Ｏ 路 程 （ｍ） ｋ １ｏ ｏ ２ｏ ｏ ３０ ０
践活动 。活动是形式 ， 是数学 内容的载体
和 实 现 目标 的 手 段 。 它 与 课 堂 教 学 的 目 的是 一 致 的 ：都 是 全 面 培 养 和 发 展 学 生
学生是怎样建构数学模型的
学生是怎样建构数学模型的作者：费岭峰胡慧良来源：《云南教育·小学教师》2012年第11期在一次调研中，听了一位教师执教人教版三年级“认识东南西北”一课。
本节课的教学内容主要由两个例题组成。
例1呈现的是学生在操场上辨认东、南、西、北四个方向的活动情境，旨在引导学生在已有生活和知识经验的基础上，根据学生自身的方位来形成辨认东、南、西、北这四个方向，并感受数学与现实生活的密切联系。
例2呈现的是学生完成校园示意图的活动情境，旨在引导学生“在图上表示各建筑物的位置关系”，并通过交流“知道地图通常是按上北下南，左西右东绘制”的常识。
教师教学例1前，作了三个层次的铺垫：层次一：请学生根据太阳升起的方位来唤起生活中对“东南西北”四个方位。
层次二：在确认黑板的位置为“东”，并贴了“东”这个方位后，请学生说说其他三个方位分别在哪里？并根据学生的回答，黑板上直接呈现右图。
层次三：请学生起立，根据教师说的方位转动身体面朝相关方向，加深认识。
在上述基础上呈现例1，展开教学。
这样的教学设计在充分利用学生熟悉的生活场景作为教学资源，唤起学生直接经验方面是合理的、有效的，但在从生活场景转换成书面表达的过程中，教师没有给学生留下足够的探索空间，基本是以告知的方式呈现结论，强调了对知识结论的机械记忆，降低了学习过程的思维含量，这对学生经历“东、南、西、北”从生活场景到数学表达的数学化过程是不利的，由此引发如下思考。
一、从生活场景到平面表达，其实是一个建构数学模型的过程对于三年级的学生来说，在一个具体的生活场景中，根据已经积累的感性经验，只要找到某一个参照物，如“太阳从东方升起”，“树的年轮密的方向是北面”等等，学生就能够辨认“东、南、西、北”四个方向。
然而，当需要把一个生动的立体的场景绘制在一个平面上，要求学生用数学的眼光来认识“东、南、西、北”四个方向时，就会存在一定的困难。
因为在这个过程中，需要学生经历两个层次的策略转化：一是从生活场景中的“前、后、左、右”的相对性，转化到书面表达时纸上的“上、下、左、右”的相对性；二是从生活场景中“东、南、西、北”的顺时针旋转方式辨认，转化到书面表达“东、南、西、北”时顺时针旋转确定方向时方法的应用。
建构数学模型 深化解题策略——以“一线三等角全等”模型为例
技法点拨互成60°角的大小相等的两个水平恒力F 作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，总位移为s 。
W 合=3Fs =12mv 2v 1=v2W 分=Fs cos30°=14mv 2≠12mv 12=16mv 2可见本题中对力所在的方向使用动能定理是错误的，能量依旧不能分解。
这是不是说明例题1的做法只是个例、巧合，完全没有可取之处呢？也不尽然，经典统计力学的“能量均分定理”告诉我们分子在每个自由度上都具有相同的平均动能。
由此可见，能量在某些情况下是可以分解的。
对比例题1、例题2以及能量均分定理可以发现，例题1和能量均分定理中都是在直角坐标系中进行分解，而例题2可以看做是在一个斜坐标系中分解。
似乎动能能否分方向使用是由分解坐标系的选取决定的，以下我们就直接证明直角坐标系和斜坐标系中是否能够使用。
1.直角坐标W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs sin 2θ=12mv y 2=12mv 02sin 2θ由于v 02cos 2θ+v 02sin 2θ=v 02，可以得到W 合=W x +W y ，同理空间直角坐标系中也可以得到同样的结论，所以在直角坐标系中动能定理是可以分方向使用的。
2.斜坐标系W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs cos 2α=12mv y 2=12mv 02cos 2α此时v 02cos 2θ+v 02cos 2α≠v 02，W 合≠W x +W y ，同理在空间斜坐标系可以得到一样的结论。
所以，在斜坐标系中动能定理不能分方向使用。
根据上面的证明，我们会发现只有在直角坐标系中动能定理分方向使用才成立，而且这只是在直角坐标系中数学计算恰好和动能定理计算相同，不能证明能量可以分解。
建构Aa连续自交的数学模型
建构Aa连续自交的数学模型内容链接『热点关注』遗传规律的新型热门考查形式与解题技巧Aa连续自交模型的建构思路（1）观察研究对象，提出问题（2）结合问题，提出模型假设（3）根据实验数据，建构模型（4）进一步观察，修正模型模型构建思路详析（1）基因型为 Aa 的个体连续自交 n 代，那么第 n 代中各类个体所占的比例分别是多少呢？（2）连续自交是指Aa自交所得后代的各种基因型的个体再分别继续自交。
连续自交的组合有：AA×AA、Aa×Aa、aa×aa（3）根据实验数据，建构模型根据以上分析，建构模型如下表：根据公式，建构正常情况下子代基因型频率的数学模型：（4）若让基因型为Aa的个体连续自交n代，且逐代淘汰 aa，那么第n代中各类个体所占的比例分别是多少呢？分析过程如下：根据以上分析，建构逐代淘汰aa后子代基因型频率的数学模型：用基因型为 Aa 的小麦分别进行连续自交、随机交配、 连续自交并逐代淘汰隐性个体、 随机交配并逐代淘汰隐性个体，根据各代Aa 基因型频率绘制曲线如图。
下列分析错误的是（） A. 曲线Ⅱ的F 3中Aa 基因型频率为0.4B. 曲线Ⅲ的F 2中Aa 基因型频率为0.4C. 曲线Ⅳ的F n 中纯合体的比例比上一代增加（1/2）n+1D. 曲线Ⅰ和Ⅳ的各子代间A 和a 的基因频率始终相等 C（1）已知果蝇的灰身和黑身是一对相对性状，基因位于常染色体上，将纯种的灰身和黑身蝇杂交得F1，F1全为灰身。
让F1自由交配得到F2，将F2中灰身蝇取出，让其自由交配得F3，F3中灰、黑身蝇的比例为（）A 1：1B 3：1C 5：1D 8：1（2）豌豆种子的黄粒和绿粒是一对相对性状，基因位于常染色体上，将纯种的黄粒和绿粒豌豆杂交得F1全为黄粒。
让F1自交得到F2，将F2 中黄粒种子取出，种植所得的植株自交得F3，问F3中黄粒、绿粒的比例为（）A 1：1B 3：1C 5：1D 8：1。
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数学模型的建构意识
数学模型是建立在数学一般的基础知识与应用数学知识之间的一座重要的桥梁，建立数
学模型的过程，就是指从数学的角度发现问题、展开思考，通过新旧知识间的转化过程，归
结为一类已经解决或较易解决的问题中去，再综合运用已有的数学知识与技能解决这一类问
题。如：我在教学《替换的策略》一课时，认识到这节课的的替换策略，包括倍数关系的等
量替换和相差关系的等量替换。在教学中通过先让学生画一画的方式，理解三个小杯可以替
换为一个大杯，再通过多媒体的演示观察主题图，进一步让学生体会只要抓住把两种量替换
成一种量就可以了，学生把直观图形抽象成几何图形的过程，其实就是把生活中的原型上升
为数学模式的过程。在这一过程中，学生初步感知了数学中的建模思想。最后提出的问题更
让学生进一步思考：是不是解决替换这类问题，都可以采用这种画图的模式来解决。
小学一年级的学生在学习《立体图形的认识》一课时，由于以往我多是展示实物，因此，
学生对课本中的透视图认知起来存在困难，怎么把原来的现实物体转移到数学本质上来？我
在重新设计这节课时，利用多媒体课件先后向学生展示了带色彩的实物图和线条组成的透视
图，既解决了学生认知上的障碍又发展了学生的空间想象能力。