高考数学概率与统计知识点

高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识:

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(IcardAcard＝nm; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n; 设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m;

依公式()mPAn求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);

特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝knkknppC)1(.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步，判断事件的运算和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.

第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kknknnmPAnPABPAPBPABPAPBPkCpp等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．

[解答过程]0.3提示:1335C33.54C102P 例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．

[解答过程]1.20提示:51.10020P 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01） [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力. [解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为

33244555550.800.200.800.200.800.94CCC

.

故填0.94. 离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地，设离散型随机变量可能取的值为1x，2x，……，ix，……，取每一个值ix（i1，2，……）的概率P（ix）=iP，则称下表.

为随机变量的概率分布，简称的分布列. 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0iP，i1，2，…;（2）21PP…=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布

n次独立重复试验中，事件A发生的次数是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…

n，并且knkknkqpCkPP)(，其中nk0，pq1，随机变量的分布列如下：  0 1 … k …

n

P nnqpC00 111nnqpC … knkknqpC 0qpCnnn

称这样随机变量服从二项分布，记作),(~pnB，其中n、p为参数，并记：

),;(pnkbqpCknkkn .

 1x

2x

… ix …

P P1 P2 … iP … （2） 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型

随机变量，“k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量的概率分布为：  1 2 3 … k …

P p qp 2qp … 1kqp …

例1． 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率； （Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都

进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的

分布列及期望E,并求出该商家拒收这批产品的概率. [解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A

用对立事件A来算，有4110.20.9984PAPA （Ⅱ）可能的取值为0,1,2． 217220

1360190CPC

，

11317220

511190CCPC

，

23220

32190CPC

136513301219019019010E

．

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率

136271119095PPB

．

所以商家拒收这批产品的概率为2795． 例12．

 0 1 2

P 136190 51190 3

190 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望. （注：本小题结果可用分数表示）

[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(123)iAi，，，则

14()5PA，23()5PA，32()5PA

，

该选手被淘汰的概率

112223112123()()()()()()()PPAAAAAAPAPAPAPAPAPA 142433101555555125

．

（Ⅱ）的可能值为123，，，11(1)()5PPA， 1212428(2)()()()5525PPAAPAPA

，

12124312(3)()()()5525PPAAPAPA

．



的分布列为

 1 2 3

P 15 825 12

25 1812571235252525E

．

解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(123)iAi，，，则14()5PA，23()5PA，32()5PA

．

该选手被淘汰的概率1231231()1()()()PPAAAPAPAPA4321011555125．

（Ⅱ）同解法一．

（3）离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差

(1)离散型随机变量的数学期望：2211pxpxE…；期望反映随机变量取值的平均水 平. ⑵离散型随机变量的方差：222121)()(pExpExD…nnpEx2)(…； 方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

⑶基本性质：baEbaE)(；DabaD2)(. (4)若～B(n，p)，则 npE ; D =npq（这里q=1-p） ;

如果随机变量服从几何分布，),()(pkgkP，则pE1，D =2pq其中q=1-p. 例1．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下： ε 0 1 2 η 0 1 2 P 610 110 103 P 510 103 2

10

则比较两名工人的技术水平的高低为 . 思路：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小. 解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：

7.0103210111060E，

891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222D；

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：

7.0102210311050E，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222D

由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术比较稳定. 小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 例2.

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为  1 2 3 4 5

P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()PA； （Ⅱ）求的分布列及期望E．