数学分析下模拟试题

《数学分析》（下）模拟试题

一 选择与填空 （任选6题，每小题5分，共30分）

1. 设函数(,)z f x y =在}1|),{(22≤+=y x y x D 上连续，且满足),(),(y x f y x f -=-，

}0,0,1|),{(22≥≥≤+=+y x y x y x D ，则（ ）

(A)

??

??

+

=D D

dxdy y x f dxdy y x f ),(2),(; (B)

0),(=??

D

dxdy y x f ;

(C)

??

??

+

=D D

dxdy y x f dxdy y x f ),(4),(; (D) 不能确定

2. 函数(,)f x y 在无界零边界区域D 上可积是其绝对值函数|(,)|f x y 在D 上可积的

（ ）; (,)f x y 在有界零边界闭区域D 上连续是其在D 上可积的（ ）. (A) 必要条件; (B)充分条件; (C) 充分必要条件; (D) 既非充分也非必要条件. 3．

??

2

1

sin x x ydy e dx =（ ） (A)

??

y

x ydx e dy 0

1

sin ; (B)

??

1

1

sin y

x ydx e dy ;

(C)

??

1

1

sin ydx e dy x

; (D)

??2

10

sin y x ydx e dy

4 函数 01

() 2 10

x x f x x <

5

设函数

(,)f x y 在}|),{(222a y x y x D ≤+=上连续，且满足

??-+=D

dxdy y x f y x y x f ),(),(22, 则??D

dxdy y x f ),(=____________________.

6 设n 是任意正整数，则2

210

n x x e dx +∞

+-?

=_____________________________.

7 设∑为球面 2221x y z ++=，则222(23)x y z dS ∑

++??=_________________.

二 解答题（任选6题，每小题9分，共54分）

1. 计算曲线积分L

ydx zdy xdz ++?， 其中 2222

:0

x y z a L x y z ?++=?++=?，从x 轴正向看去，L

的方向为逆时针方向。

2．设∑为椭球面 2

2

2

2371x y z ++=，方向取外侧，计算曲面积分

32222

()

xdydz ydzdx zdxdy x y z ∑

++++??

.

3. 确定函数2

()x I e dx αα+∞

-=?的定义域及其在定义域上的连续性。

4. 判断反常重积分

???≤++++1

222222)(z y x p z y x dxdydz

)(R ∈p 的敛散性。 5 设)(x f y =是由0)1ln(0

2

=-++?-x

xyt dt e y y 所确定的隐函数，计算 )0(f '.

6 求]),0[( )(π∈=x x x f 的Fourier 余弦级数，并用Parseval 等式求级数

∑∞

=-14

)

12(1

n n 的和. 7 设函数(,,)f x y z 在点0000(,,)P x y z 附近连续，∑是以0P 点为球心, ρ为半径的球面， 求2

1lim

(,,)4f x y z dS ρπρ

→∑

??.

三 证明(每题8分，共16分)

1. 设0(,)y O y ρ?∈，函数(,)f x y 关于x 在[,]a b 上连续, 当0y y →时(,)f x y 关于x 在[,]a b 上一致趋向()x ?，则()x ?在[,]a b 上连续, 并且

lim (,)()b b

y y a

a

f x y dx x dx ?→=??

2 设函数(,,)f x y z 在R 2中上存在二阶连续偏导数，则f 是调和函数（即满

足0f ?=）， 当且仅当沿R 2中任何闭曲线C , 有0C

f

ds n ?=??, 其中n 为C 的单位外法向量。