八年级数学下册 第18章 平形四边形 18.2.3 正方形习题课件 (新版)新人教版
人教版八年级下册第十八章：18.2.3正方形
第十八章平行四边形§18.2.3 正方形（一）教学目标：1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重、难点：重点：理解正方形的定义和性质．难点：正方形的性质及其应用．教学工具：直尺，三角板，PPT课件，几何画板，A4纸等教学过程：一、正方形的定义师：同学们，上节课我们学习了特殊的平行四边形矩形和菱形，在现实生活中有没有其它的特殊的平行四边形呢？生：有，正方形。
师：对，小学我们已经学习了正方形。
什么是正方形呢？学生回答正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形.二、情境引入，实践探究探究一：矩形与正方形的关系师：在现实生活中存在很多正方形，也有很多正方形的实际应用。
比如折纸，大家还记得小时候折的青蛙、飞机吗？折它们的第一步常常是把矩形纸折成什么图形？生：折成正方形。
师：你能将我们的A4纸折成正方形吗？生：能。
（学生折纸，并叫一个学生示范）学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．师：为什么这样折出的是正方形？你能说出理由吗？生：因为折了一个等腰直角三角形，它们的两条直角（邻边）边相等。
教师用几何画板动态演示矩形变成正方形学生探究并得出结论：结论1：正方形是一组邻边相等的矩形. 即正方形是特殊的矩形.设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程．探究二：菱形与正方形的关系师：同学们，生活中除了矩形可以变成正方形外，还可由其它图形能变成正方形吗？你能举出生活中的实例吗？生：菱形，如菱形衣架、伸缩门等。
最新人教版八年级数学下册《第十八章 平行四边形 正方形》精品教学课件
1
1
01 探究
现在，你对正方形有哪些新的认识？ 正方形的四条边都相等，四个角都是直角， 它既是矩形又是菱形，正方形
菱形
01 知识回顾
怎样判定一个平行四边形是正方形？ 怎样判定一个矩形是正方形？ 怎样判定一个菱形是正方形？
矩形
平行四边形
菱形
正方形
01 知识回顾
正方形是特殊的平行四边形， 也是特殊的矩形、菱形.所以它具有这些图形的所有性质.
四条边相等. 四个角是直角. 对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形，有四条对称轴.
01 知识回顾
例题：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分
成四个全等的等腰直角三角形．
A
D
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD， AC⊥BD， AO=CO=BO=DO， ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形， 并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
O
B
C
02
练一练
LEARNING OBJECTIVES
02 练一练
1．如图，正方形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（ C ）
A 、4个 C、8个
B、6个 D、10个
02 练一练
2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，
连接BE，则∠AEB的度数为__1__5_°.
02 练一练
3.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E， DF⊥AC于F． 求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E， DF⊥AC于F
∴四边形CEDF有三个直角， 它是矩形
2021年人教版八年级数学下册第十八章《正方形》精品课件
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
下面大家自己完成证明
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。
下面的证明请大家完成
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
证明：
例4．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连 结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
分别是AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四
边形EFGH是正方形吗?为什么?
Ｈ
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｃ
Ｆ
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形。
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/2/42021/2/42021/2/42/4/2021 9:15:29 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/2/42021/2/42021/2/4Feb-214-Feb-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/2/42021/2/42021/2/4Thursday, February 04, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/2/42021/2/42021/2/42021/2/42/4/2021
18.2.3正方形 正方形的判定(教学课件)-人教版数学八年级下册
探究点
正方形的判定
归纳总结：
（1）四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 从四边形出发
（2）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边 从平行四边形 形是正方形 出发 （2）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 从矩形出发 对角线互相垂直的矩形是正方形 从菱形出发 对角线相等的菱形是正方形
A
D
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠C,∠B=∠D.
又∠A=90°,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
∴易得∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形
探究点
正方形的判定
在上面的证明过程中,是分别从矩形、菱形出 发,添加边或角的条件后得到正方形,那么还有没 有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他 判定正方形的方法呢? 大家想一想．
课堂总结
知识结构
四边形
平行四边形
正 矩形 方 菱形
形
课堂总结
知识结构
课堂总结
1. 教材P62习题18.2第13题.
课后作业
1. 如图，E,F,M,N 分别是正方形ABCD四条边上的
点，且AE=BF=CM=DN,试判断四边形EFMN是什么
图形，并证明你的结论. 【选自教材P62，习题18.2第13题】
把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图),
能否得到正方形?
探究点
正方形的判定
2. 有一个角是直角的菱形是正方形
正方形
可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一 个角,就能得到正方形．
下面我们进行证明:
探究点
18.2.3平行四边形习题课
综合运用 发展能力
练习如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E， DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
例2 如图，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得 到四边形EFGH．求证：四边形EFGH也是正方形． A
H
D
E
G
B
F
C
应用新知 解决问题
习题课
回顾：平行四边形,矩形与菱形有哪些性质?
边: 对边平行且相等
平行四边形 角: 对角相等,邻角互补 对角线: 对角线互相平分组卷网 具有平行四边形所有性质
矩形
边： 对边平行且相等
角: 四个角是直角 对角线: 对角线相等且互相平分
菱形的性质
具有平行四边形一切性质 菱形的性质
边: 四条边相等
对角相等,邻角互补 角： 对角线: 互相垂直平分 分别平分两组对角
A O B
F
E
D
C
10、已知：如图,□ ABCD的对角线AC的 垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F． 求证：四边形AFCE是菱形 A E 证明：
D
O ∵EF垂直平分AC B C F ∴AO=CO, ∠AOE=90° ∴OE=OF ∴∠FOC=∠AOE=90° ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵AO=CO ∴四边形AFCE是平 ∴ AD∥BC ∴AE∥FC 行四边形 ∴∠AEO=∠CFO 又∵EF⊥AC ∴△AEO≌△CFO ∴四边形AFCE是菱形
变式 如图，E，F，G，H分别是各边上的点，且 AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正方形吗？为什么？
A
H
D G
E
B F C
边 正方形对边平行 四边相等 角 正方形的四个角都是直角
A
人教版八年级数学 下册 第十八章 18.2.3 正方形 课时练(包含答案)
第十八章平行四边形18.2.3 正方形一、选择题1、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3、下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )A.3：4B.5：8C.9：16D.1：25、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF∠AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C. D.二、填空题6、如图，ABCD是正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________．第6题图第7题图7、如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．8、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．9、正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为.10、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，DE垂直平分AC，DF△BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）三、解答题11、如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数。
12、如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）13、已知：如图，△ABC中，△ABC=90°，BD是△ABC的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．14、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．15、如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.16、如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（8，8），将正方形ABCO绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连CH 、CG ．（1）求证：∠CBG∠∠CDG ；（2）求∠HCG 的度数；判断线段HG 、OH 、BG 的数量关系，并说明理由； （3）连结BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由．参考答案：一、1、C 2、D 3、B 4、B 5、C 二、6、7、10、 8、1ab 49、2a10、考点： 正方形的判定． 专题： 计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF 是正方形推出．解答：解：设AC=BC ，即△ABC 为等腰直角三角形，△△C=90°，DE 垂直平分AC ，DF △BC ， △△C=△CED=△EDF=△DFC=90°， DF=AC=CE ，DE=BC=CF ，11A1A 图3-21△DF=CE=DE=CF，△四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．三、11、∵△ADE中，AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°（等边对等角）∴∠EAD＝180°－75°×2＝30°又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝120°∴∠AEB＝°°°12、（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）13、考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE△AB，DF△BC，△ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是△ABC 的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：△DE△AB，DF△BC，△△DEB=△DFB=90°，又△△ABC=90°，△四边形BEDF为矩形，△BD是△ABC的平分线，且DE△AB，DF△BC，△DE=DF，△矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．14、（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．15、提示：AA1 = BB1 = CC1 = DD1 =13（或=23）.16、（1）∠正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∠CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．在Rt∠CDG和Rt∠CBG中，，∠∠CDG∠∠CBG（HL）1 (180 2120-)30=（2）解：∠∠CDG∠∠CBG，∠∠DCG=∠BCG，DG=BG．在Rt∠CHO和Rt∠CHD中，∠ ，∠∠CHO∠∠CHD（HL），∠∠OCH=∠DCH，OH=DH，∠∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，∠HG=HD+DG=HO+BG（3）解：四边形AEBD可为矩形．如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB 中点的时候．∠DG=BG，∠DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，∠当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．∠四边形DAEB为矩形，∠AG=EG=BG=DG．∠AB=6，∠AG=BG=3．设H点的坐标为（x，0），则HO=x∠OH=DH，BG=DG，∠HD=x，DG=3．在Rt∠HGA中，∠HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，∠（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．∠H点的坐标为（2，0）．。
正方形及其性质八年级人教版数学下册习题课件
线CG于点G，连接GF，求证： 解：设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2，
的面积． 把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
解：设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2， ∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN. ∵BE＝DN，∴MN＝EM＝BM＋BE＝BM＋DN＝5. ∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2. 即52＝(x－3)2＋(x－2)2，解得x＝6或－1(舍去)， ∴正方形ABCD的边长为6.
证明：∵把△ ADN 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ ABE，∴△ADN≌△ABE， ∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE，AN＝AE.
由题易知 E 在 CB 的延长线上． ∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°. ∴∠MAE＝∠MAN. 又∵MA＝MA，AN＝AE， ∴△AEM≌△ANM.
3．【中考·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两 点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则 点C的坐标是( D ) A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)
4．【中考·北京】把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角 三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②、图③所示的 正方形，则图①中菱形的面积为___1_2____．
∵正方形 ABCD 的边长为 4， ∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°. ∵点 E 在 AB 上且 BE＝1，∴AE＝3. ∴DE＝ AD2＋AE2＝ 42＋32＝5. ∴DE＋BE＝5＋1＝6，即△ BFE 周长的最小值为 6. 【答案】B
最新人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形-数学活：平行四边形中的翻折变换》优质教学课件
∴∠ABC=90°.
∴∠3=90°-60°=30°，
∴∠1=∠2=∠3=30°
在图中，你能找出所有30°的角吗？60°的角呢？还有其他度数的角吗？
G
还有120 ° 和150 °的角
利用折纸得到60°、30°、15°的角
【综合与实践】在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
八年级 下册
第18章 平行四边形
——数学活动：平行四边形中的翻折变换
学习目标： 1．能折出60°，30°，15°的角，学会应用。 2．通过折叠活动，加深对轴对称、全等三角形、特 殊的三角形、四边形等知识的认识； 3．经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动 过程，积累数学活动经验．学习重点： 折纸做60°，30°，15°的角，学会应用．
D
6.矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=10，CD=6，则BE=____。
人教初中数学八下 18.2.3 正方形课件2 【经典初中数学课件汇编】
ab3 (3
b )(3 2a
2a)
解：
15 2 2 (a0,b0)
（1）原式= 13 7145 3 2 15 2（2）原式=
13 ab3 b 2a
3
2a
1 7155 2 14 2
ab3 2a2a b
1 15 5 222
ab22a•2a
5 3 4
2ab a
a 0,b 0
2ab 0
原式 2ab a
例1 计算：
(1) 100 00.1(2) 3 2 23
解：原式 1000 0 1 100 10
原式 3 2 23
1 1
18
（默2）
二次根式乘除运算的一般步骤： 1.运用法则,化归为根号内的实数运算; 2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算; 3.化简二次根式.
19
例根1号计外算的：系数与系数相乘，积为结果的系数
对折两次，能完全重合
四边相等
对角线垂直且平分
菱形
四、归纳总结
一个角是直角
一组邻边相等
对角线互相垂直相等
一组邻边相等
一个角是直角
五、巩固新知
判断对错：
（1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它 一定是正方形. 对
（2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那 么它一定是正方形. 对
（3）两条对角线互相垂直平分且相等的四边 形，一定是正方形. 对
204339
20(233)2
2 018 360
21
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
manbmn a（ba≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
22
计算： 24 32 （默3）
八年级数学下册18.2.3正方形练习1(新版)新人教版【含答案】
正方形一、选择题1. 如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE ，AC ，BE 订交于点 F ，则∠ BFC 的度数为（）A.45°B.55°C.60°D.75°2. （西安师大附中联考）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 订交于点 O ，则图中的等腰三角形有（）A.4 个B.6 个C.8 个D.10 个3．如图，将一边长为 12 的正方形纸片的极点 A 折叠至边上的点 ，使 ＝ 5，折痕为ABCDDCEDEPQ ，则 PQ 的长为 ( )A.12B.13C.14D.15二、填空题4．正方形的定义：有一组邻边 ______并且有一个角是 ______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特其他有一组邻边相等的______， 又是一个特其他有一个角是直角的______．5．正方形的判断：(1)_ ___________________________________ 的平行四边形是正方形；(2)____________________________________ 的矩形是正方形；(3)____________________________________ 的菱形是正方形；16．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形 ACEF与正方形 ABCD的面积之比等于______．7．在正方形ABCD中，E为 BC上一点， EF⊥ AC，EG⊥ BD，垂足分别为F、G，若是AB52cm ，那么 EF＋ EG的长为______．8.（易错题）如图，在正方形 ABCD中，点 F 为 CD上一点， BF 与 AC交于点 E，若∠ CBF=20°，则∠ AED等于 __________°.9. 如图，正方形ABCD的对角线长为8 2 ， E 为 AB 上一点，若EF⊥AC于点 F， EG⊥ BD于点 G，则EF+EG=_________.10.（山东实验中学期中）如图，正方形ABCD的边长为 2，点 E 为边 BC的中点，点 P 在对角线BD上搬动，则PE+PC的最小值是 __________.三、解答题11. 以下列图，把正方形ABCD绕着点 A 按顺时针方向旋转获取正方形AEFG，边 FG与 BC交于点H. 试问线段HG与线段 HB相等吗？请先观察猜想，尔后再证明你的猜想.12.如图所示，已知点 A′， B′， C′， D′分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形.213.（西安中学二模）以下列图，在平行四边形ABCD中，对角线 AC，BD交于点 O，E 是 BD延长线上的点，且ACE是等边三角形 .（1）求证：四边形 ABCD是菱形；（2）若∠ AED=2∠EAD，求证：四边形 ABCD是正方形 .14．已知：如图， E 是正方形 ABCD对角线 AC上一点，且A E＝ AB， EF⊥ AC，交 BC于 F．求证：BF＝EC．15．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥ AB于 E，PF⊥ BC于 F，判断 DP与 EF的关系，并证明．3参照答案1. C剖析由已知得AB=AE，∠ BAE=150°，∴∠ ABF=15°，∴∠ BFC=∠ ABF+∠BAF=15°+45°=60°.2. C 剖析：在正方形ABCD中， AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD，因此等腰三角形有△ABC，△ADC，△ ABD，△ CBD， OAB，OBC，△ OCD，△ ODA.3． B．4．相等、直角、矩形、菱形．5． (1) 有一组邻边相等，并且有一个角是直角；(2)有一组邻边相等．(3)有一个角是直角．6． 2 a，2∶1．7． 5cm．8.65 剖析在正方形 ABCD中，∠ DCE=∠BCE=45°， CB=CD．在△ CDE和△ CBE中，CD CB ,DCE BCE ,CE CE,∴△ CDE≌△ CBE.∴∠ CDE=∠CBF=20°.∵∠ AED是△ DCE的外角，∴ ∠ AED=∠CDE+∠DCE=65°.9. 4 2剖析设AC与BD订交于点O，由正方形的性质得△BEG是等腰直角三角形，故EG=BG．又∵ EF⊥ AC， EG⊥ BD， AC⊥ BD，∴四边形EGOF为矩形，∴ EF=OG，1 1∴ EF+EG=BG+OG=BO=BD=× 8 2 = 4 22 210. 5 剖析∵ BD是正方形 ABCD的对角线，作点 C 关于 DB的对称点 C′，则点 C′和点 A 重合，连接 AE交 DB于 P′，连接 CP′，则此时 P′E+P′C的值最小，∴ P′E+P′C=AE.在 Rt △ ABE中， AB=2， BE=1，由勾股定理得AE AB2BE 2 5 .11.解：HG=HB.证明：以下列图，连接AH.4∵四边形ABCD， AEFG都是正方形，∴∠ B=∠G=90°， AG=AB.又∵ AH=AH，∴Rt AGH≌ Rt ABH(HL)，∴ HG=HB.12.证明：如图 .∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD=DA=AB，∠ A=∠ B=∠C=∠D=90°.又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，∴D′A=A′B=B′C=C′D.∴AA′D′≌△ BB′A′≌△ CC′B′≌△ DD′C′(SAS).∴D′A′=A′B′=B′C′=C′D′，∠2=∠ 3.∴四边形A′B′C′D′为菱形.∵∠ 1+∠2=90°，∴∠ 1+∠3=90°.∴∠ D′A′B′=180° -( ∠1+∠3)=90°.∴四边形A′B′C′D′为正方形.13.证明：（ 1）因为四边形 ABCD是平行四边形，因此 AO=CO,因为△ ACE是等边三角形，因此AE=CE.因此 AC⊥EO，即 AC⊥ BD，因此平行四边形ABCD是菱形 .5（2）因为△ ACE是等边三角形，因此∠ AEC=∠ EAC=60°,1因为 OA=OC，因此∠ AED=∠AEC=30°,因为∠ AED=2∠ EAD，因此∠ EAD=15°，因此∠DAC=∠ ADB=∠ EAD+∠AED=45°,由（ 1）知四边形ABCD是菱形，因此∠ BAC=∠DAC=45°，因此∠ BAD=90°，因此四边形ABCD是正方形 .14．提示：连接AF．15．DP=EF,提示：连接BP．6。