重庆市2014年专升本数学练习题

1. 关于计算下列极问题(1)35lim 22-+→x x x (2)13lim 223+-→x x x ; (3)112lim 221-+-→x x x x (4)xx x x x x 2324lim 2230++-→; (5)hx h x h 220)(lim -+→ (6))112(lim 2xx x +-∞→; (7)121lim 22---∞→x x x x ; (8)13lim 242--+∞→x x x x x ; (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; (10))12)(11(lim 2xx x -+∞→ (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→; (12)2)1( 321lim n n n -+⋅⋅⋅+++∞→; (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→; (14))1311(lim 31xx x ---→; (3)xx x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x x x 3. 求下列极限:(1)52lim 20+-→x x x ; (2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→;(4)xx x 11lim 0-+→; (5)145lim 1---→x x x x ; (6)ax a x a x --→sin sin lim ; (7))(lim 22x x x x x --++∞→ 4. 求下列极限:(1)x x e 1lim ∞→;(2)xx x sin ln lim 0→; (3)2)11(lim xx x+∞→; (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→; (5)21)63(lim -∞→++x x xx ; (6)xx x x x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim . 8. 求下列极限:(1)221)1(1lim -+-→x x x x ; (2))1(lim 2x x x x -++∞→; (3)1)1232(lim +∞→++x x x x ; (4)30sin tan lim x x x x -→; (5)x x x x x c b a 10)3(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2)(sin lim π→.习题3-21. 用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→;(2)xe e x x x sin lim 0-→-; (3)ax a x a x --→sin sin lim ; (4)xx x 5tan 3sin lim π→; (5)22)2(sin ln lim x xx -→ππ;(6)n n m m a x ax a x--→lim ; (7)xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→; (8)x x x 3tan tan lim 2π→;(9)xarc x x cot )11ln(lim ++∞→; (10)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→; (11)x x x 2cot lim 0→; (12)2120lim x x e x →;(13))1112(lim 21---→x x x ; (14)x x xa )1(lim +∞→; (15)x x x sin 0lim +→; (16)x x xtan 0)1(lim +→.2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2; (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);(3)xy 1cos 2=, x =0;(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 31 1x x x x y , x =1.1. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →..2 求下列函数的导数(1)y =x 4; (2)32x y =;(3)y =x 1. 6;(4)xy 1=; (5)21xy =; (6)53x x y =;(7)5322x x x y =; 2. 求下列函数的导数:(1)1227445+-+=xx x y ; (2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1;(4) y =sin x ⋅cos x ;(5) y =x 2ln x ;(6) y =3e x cos x ;(7)xx y ln =; (8)3ln 2+=xe y x ; (9) y =x 2ln x cos x ;(10)tt s cos 1sin 1++=; 4. 用对数求导法求下列函数的导数:(1) x xx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ; (3)54)1()3(2+-+=x x x y ; (4)x e x x y -=1sin .3. 求下列函数在给定点处的导数:(1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=d d . (3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) . 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dxdy : (1) ⎩⎨⎧==22bt y at x ; (2) ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x . 1. 求函数的二阶导数:(1) y =2x 2+ln x ;(2) y =e 2x -1;(3) y =x cos x ;(4) y =e -t sin t ;(5)22x a y -=;(6) y =ln(1-x 2)(7) y =tan x ;(8)113+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)xe y x =; (11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=.1. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dx dy : (1) y 2-2x y +9=0;(2) x 3+y 3-3axy =0;(3) xy =e x +y ;(4) y =1-xe y .2. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程.3. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22dxy d : (1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2;(3) y =tan(x +y );(4) y =1+xe y .6. 已知⎩⎨⎧==.cos ,sin t e y t e x t t 求当3π=t 时dx dy 的值.7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1) ⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin , 在4π=t 处;(2) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2221313taty t atx , 在t =2处.3. 求下列函数的微分:(1)x xy 21+=; (2) y =x sin 2x ;(3)12+=x xy ;(4) y =ln 2(1-x );(5) y =x 2e 2x ;(6) y =e -x cos(3-x );(7)21arcsin x y -=;(8) y =tan 2(1+2x 2);(9)2211arctan xx y +-=;(10) s =A sin(ωt +ϕ) (A , ω, ϕ是常数) .4. 将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立:(1) d ( )=2dx ;(2) d ( )=3xdx ;(3) d ( )=cos tdt ;(4) d ( )=sin ωxdx ;(5) d ( )dx x 11+=; (6) d ( )=e -2x dx ;(7) d ( )dx x1=; (8) d ( )=sec 23xdx .5. 求下列函数f (x )的f -'(0)及f +'(0),又f '(0)是否存在?(1)⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0 sin )(x x x x x f ; (2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 00 1)(1x x e x x f x .6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000 1sin )(x x x x x f 在x =0处的连续性与可导性.7. 求下列函数的导数:(1) y =arcsin(sin x );(2)xx y -+=11arctan ; (3)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; (4))1ln(2x x e e y ++=;(5)x x y =(x >0)8. 求下列函数的二阶导数:(1)y =cos 2x ⋅ln x ;(2)21x x y -=.10. 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求y ''(0).11. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数22dx y d : (1)⎩⎨⎧==θθ33sin cos a y a x ;(2)⎩⎨⎧=+=t y t x arctan 1ln 2.12. 求曲线⎩⎨⎧==-t t e y e x 2在t =0相的点处的切线方程及法线方程.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.3验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.12. 证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.习题3-51. 求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7;(2) y =x -ln(1+x ) ;(3) y =-x 4+2x 2 ;(4)x x y -+=1;(5)25431x x y ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e x cos x ;(8)x x y 1=;(9)31)1(23+-=x y ;(10) y =x +tan x .4. 求下列函数的最大值、最小值:(1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4;(2) y =x 4-8x 2+2, -1≤x ≤3 ;(3)x x y -+=1, -5≤x ≤1.5. 问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.6. 问函数xx y 542-=(x <0)在何处取得最小值？1. 填空:设常数k >0, 函数k e x x x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为_______.关于不定积分问题及计算习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;(2)⎰dx x x ;(3)⎰dx x 1;(4)⎰dx x x 32;(5)⎰dx x x 21 ;(6)dx x m n ⎰;(7)⎰dx x 35;(8)⎰+-dx x x )23(2(9)⎰gh dh2(g 是常数);(10)⎰-dx x 2)2(;(11)⎰+dx x 22)1(;(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;(13)⎰-dx x x 2)1(;(14)⎰+++dx x x x 1133224; (15)⎰+dx x x 221;(16)⎰+dx xe x )32(;(17)⎰--+dx x x )1213(22;(18)dx x e e x x ⎰--)1(;(19)⎰dx e x x 3;(20)⎰⋅-⋅dx x x x 32532; 、(21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;(22)⎰dx x 2cos 2;(23)⎰+dx x 2cos 11;(24)⎰-dx x x x sin cos 2cos ;(25)⎰dx x x x 22sin cos 2cos ;(26)⎰-dx x x x )11(2;填上下列相等的积分(1) dx = d (ax );(2) dx = d (7x -3);(3) xdx = d (x 2);(4) x d x = d (5x 2);(5))1( 2x d xdx -=;(6)x 3dx = d (3x 4-2);(7)e 2x dx = d (e 2x );(8))1( 22x x e d dx e --+=;(9))23(cos 23sin x d xdx =;(10)|)|ln 5( x d x dx =;(11)|)|ln 53( x d x dx -=;(12))3(arctan 912x d x dx =+;(13))arctan 1( 12x d x dx -=-;(14))1( 122x d x xdx-=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数):(1)⎰dt e t 5;(2)⎰-dx x 3)23(;(3)⎰-dx x211;(4)⎰-332x dx ;dx (5)⎰-dx e ax b x )(sin (6)⎰dt t t sin ;(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;(8)⎰x x x dx ln ln ln ; .(9)⎰+⋅+dx x x x 2211tan ; (10)⎰x x dx cos sin dx (11)⎰-+dx e e x x 1;(12)⎰-dx xe x 2;(13)⎰⋅dx x x )cos(2(14)⎰-dx x x 232 (15)⎰-dx x x 4313;(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; .(17)⎰dx xx 3cos sin (18)⎰-+dx x x x x 3cos sin cos sin ;(19)⎰--dx x x2491(20)⎰+dx x x 239; (21)⎰-dx x 1212; (22)⎰-+dx x x )2)(1(1 (23)⎰xdx 3cos(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω;(25)⎰xdx x 3cos 2sin ;(26)⎰dx x x 2cos cos(27)⎰xdx x 7sin 5sin ;(28)⎰xdx x sec tan 3(29)⎰-dx x x 2arccos 2110;(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;(31)⎰-221)(arcsin x x dx ; (32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1;(33)⎰dx x x x sin cos tan ln ;(34)⎰-dx x a x 222(a >0).(35)⎰-12x x dxdx(36)⎰+32)1(x dx dx;(37)⎰-dx x x 92;(38)⎰+x dx 21dx (39)⎰-+211x dxdx(40)⎰-+21x x dxdx习题4-3求下列不定积分:1. ⎰xdx x sin ;2. ⎰xdx ln ;3. ⎰xdx arcsin ;4. ⎰-dx xe x ;5. ⎰xdx x ln 2;6. ⎰-xdx e x cos ;7. ⎰-dx x e x 2sin 2;2 9. ⎰xdx x arctan 2;10. ⎰xdx x 2tan11. ⎰xdx x cos 212. ⎰-dt te t 2;13. ⎰xdx 2ln ;14. ⎰xdx x x cos sin15. ⎰dx x x 2cos 22;16. ⎰-dx x x )1ln(;17. ⎰-xdx x 2sin )1(218. ⎰dx xx23ln 19. ⎰dx e x 3;20. ⎰xdx ln cos ;21. ⎰dx x 2)(arcsin ;22. ⎰xdx e x 2sin .习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;2. ⎰-++dx x x x 103322;-xx4. ⎰+dx x 133; 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx ;6. ⎰-++dx x x x )1()1(1227. dx x x )1(12+⎰8. ⎰++))(1(22x x x dx ;9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx ;10. ⎰+dx x 114;11. ⎰++--dx x x x 222)1(2;12. ⎰+x dx 2sin 3;13. ⎰+dx xcos 3114. ⎰+dx xsin 21;15. ⎰++xx dx cos sin 1;16. ⎰+-5cos sin 2x x dx ;17. ⎰++dx x 3111;. 18. ⎰++dx x x 11)(319. ⎰++-+dx x x 1111 20. ⎰+4x x dx ;21. ⎰+-xdx x x 11;22. ⎰-+342)1()1(x x dx .总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数): 1. ⎰--x x ee dx ;2. dx x x ⎰-3)1(;3. ⎰-dx x a x 662(a >0);4. ⎰++dx xx x sin cos 1;5. ⎰dx xx ln ln ; 6. ⎰+dx xx x 4sin 1cos sin 7. ⎰xdx 4tan ;8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ;9. ⎰+)4(6x x dx ;10. )0(>-+⎰a dx x a x a ;11. ⎰+)1(x x dx ;12. ⎰xdx x 2cos ;13. ⎰bxdx e ax cos ;14. ⎰+x e dx1;15. ⎰-122x x dx ;16. ⎰-2/522)(x a dx ;17. ⎰+241x x dx ;18.⎰dx x x sin ;19. ⎰+dx x )1ln(2;20. ⎰dx x x32cos sin ;21. ⎰dx x arctan ;23. ⎰+dx x x 283)1(24. ⎰++dx x x x 234811;25. ⎰-416x dx ;26. dx xx ⎰+sin 1sin 27. dx xx x ⎰++cos 1sin ;28. ⎰-dx x x x x ex 23sin cos sin cos ; 29. ⎰+dx x x x x )(33;30. ⎰+2)1(x e dx; 31. ⎰+-+dx e e e e x x x x 1243;32. ⎰+dx e xe x x 2)1(;33. ⎰++dx x x )1(ln 22;34. ⎰+dx x x 2/32)1(ln ;35. ⎰-xdx x arcsin 12;36. ⎰-dx x x x 231arccos ;37. ⎰+dx x x sin 1cot=ln|sin x |-ln|1+sin x |+C =-ln|csc x +1|+C .38. ⎰x x dxcos sin 3;39. ⎰+x x dxsin )cos 2(;40. ⎰+dx x x xx cos sin cos sin ;.定积分: . 习题5-31. 计算下列定积分: (1)⎰+πππ2)3sin(dx x(2)⎰-+123)511(x dx;(3)⎰203cos sin πϕϕϕd ;(4)⎰-πθθ03)sin 1(d ;(5)⎰262cos ππudu ;(6)dx x ⎰-2022;(7)dy y ⎰--22228;(8)⎰-121221dx x x ;(9)⎰-a dx x a x 0222;(10)⎰+31221x x dx;(11)⎰--1145x xdx ;(12) ⎰+411x dx ;(13)⎰--14311x dx ;(14)⎰-a x a xdx 20223;(15)dt tet ⎰-1022 (16)⎰+21ln 1e xx dx ; (17)⎰-++02222x x dx ;(18)⎰-222cos cos ππxdx x ;(19)⎰--223cos cos ππdx x x ;(20)⎰+π02cos 1dx x .7. 计算下列积分:(1)⎰++20cos 1sin πdx x x x ;(2)⎰+40)tan 1ln(πdx x ;(3)⎰-+a x a x dx 022;(4)⎰-202sin 1πdx x ;(5)⎰+202cos 1πxdx .习题6-21. 求图6-21 中各画斜线部分的面积:(1) (2)(4)2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:(2)x y 1=与直线y =x 及x =2;(3) y =e x , y =e -x 与直线x =1;(4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积.y '=-2 x +4.4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积.空间解析几何与向量习题7-21. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.2. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .3. 已知M 1(1, -1, 2)、M 2(3, 3, 1)和M 3(3, 1, 3). 求与→21M M 、→32M M 同时垂直的单位向量.习题7-31. 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程.2. 建立以点(1, 3, -2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程.习题7-51. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程2.求过点M0(2, 9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程.3.求过(1, 1,-1)、(-2,-2, 2)、(1,-1, 2)三点的平面方程.5.求平面2x-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦.6.一平面过点(1, 0,-1)且平行于向量a=(2, 1, 1)和b=(1,-1, 0),试求这平面方程.7.求三平面x+3y+z=1, 2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点.8.分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx面且经过点(2,-5, 3);9.求点(1, 2, 1)到平面x+2y+2z-10=0的距离.习题7-61. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程.2. 求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程.3. 用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x .4. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.5. 求直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x 的夹角的余弦.6. 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行.7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程.8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线12354z y x =+=-的平面方程.9. 求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x -y -z +1=0的夹角.10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系:(1)37423z y x =-+=-+和4x -2y -2z =3;(2)723z y x =-=和3x -2y +7z =8; (3)431232--=+=-z y x 和x +y +z =3.11. 求过点(1, 2, 1)而与两直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 和⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 平行的平面的方程.12. 求点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影.13. 求点P (3, -1, 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离.多元函数与微积分5. 求下列各函数的定义域:(1)z =ln(y 2-2x +1);(2)y x y x z -++=11;(3)y x z -=;(4)221)ln(y x x x y z --+-=;(5)222222221r z y x z y x R u -+++---=(R >r >0);(6)22arccosyx z u +=.6. 求下列各极限: (1)22)1,0(),(1limy x xy y x +-→; (3)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→; (2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; (4)11lim )0,0(),(-+→xy xy y x ; (5)y xy y x )sin(lim)0,2(),(→; (6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→.习题8-21. 求下列函数的偏导数:(1) z =x 3y -y 3x ;(2)uvv u s 22+=; (3))ln(xy z =(4) z =sin(xy )+cos 2(xy );(5)yx z tan ln =;(6) z =(1+xy )y ;(7)zyx u =;(8) u =arctan(x -y )z ;4. 设yx y x y x f arcsin )1(),(-+=, 求)1 ,(x f x .5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2;(2)xy z arctan =;(3) z =y x .7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, -1, 0)及f zzx (2, 0, 1).8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂.习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;(2)x y e z =;(4)u =x yz .(3) 22yx y z +=;习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dt dz .4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu . 习题8-51. 设sin y +e x -xy 2=0, 求dxdy .2. 设x y y x arctan ln 22=+, 求dx dy .3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.4. 设yz z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,6. 求下列函数的一阶和二阶偏导数:(1)z =ln(x +y 2);(2)z =x y .二重积分:1. 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1};(2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:(3)⎰⎰++Dd y y x x σ)3(223, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};(4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域..2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线x y =, 2x y =所围成的闭区域;2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域;(3)⎰⎰+Dy x d e σ, 其中D ={(x , y )| |x |+|y |≤1};(4)⎰⎰-+Dd x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.15. 选用适当的坐标计算下列各题: (1)dxdy y x D 22⎰⎰，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域.14. 利用极坐标计算下列各题:(1)⎰⎰+D y xd e σ22，其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;微分方程的通解:(1)xy '-y ln y =0;(2)3x 2+5x -5y '=0;(3)2211y y x -='-;(4)y '-xy '=a (y 2+y ');(5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0;(6)y x dxdy +=10;(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0;(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0;(9)0)1(32=++x dxdy y ;(10)ydx +(x 2-4x )dy =0.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y '=e 2x -y , y |x =0=0;(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π==x y ;(3)y 'sin x =y ln y , e y x ==2π;(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0, 4|0π==x y ;(5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1.1. 求下列齐次方程的通解: (1)022=---'x y y y x ;(2)xy y dx dy x ln =;(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0;(4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0;(8)y ln ydx +(x -ln y )dy =0;(7)x xy dxdy 42=+;(6)23=+ρθρd d ;(5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0;(4)y '+y tan x =sin 2x ;(2) y '+y cos x =e -sin x ;习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy -=+;(2)xy '+y =x 2+3x +2;(9)3)2(2)2(-+=-x y dx dy x ;(10)02)6(2=+-y dxdy x y .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)x x y dxdy sec tan =-, y |x =0=0;(2)xx x y dx dy sin =+, y |x =π=1;(3)x e x y dx dy cos 5cot =+, 4|2-==πx y ;(4)83=+y dxdy , y |x =0=2;习题12-61. 求下列各微分方程的通解:(1)y ''=x +sin x ;(2)y '''=xe x ;(3)211xy +='';(4)y ''=1+y '2;(5)y ''=y '+x ;习题12-81. 求下列微分方程的通解:(1)y ''+y '-2y =0;(2)y ''-4y '=0;(3)y ''+y =0;(4)y ''+6y '+13y =0;(5)02520422=+-x dt dx dtx d ;(6)y ''-4y '+5y =0;(7)y (4)-y =0;(8)y (4)+2y ''+y =0;(9)y (4)-2y '''+y ''=0;(10)y (4)+5y ''-36=0.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1) y ''-4y '+3y =0, y |x =0=6, y '|x =0=10;(2)4y ''+4y '+y =0, y |x =0=2, y '|x =0=0;(3)y ''-3y '-4y =0, y |x =0=0, y '|x =0=-5;(4)y ''+4y '+29y =0, y |x =0=0, y '|x =0=15;(5)y ''+25y =0, y |x =0=2, y '|x =0=5;(6)y ''-4y '+13y =0, y |x =0=0, y '|x =0=3.级数问题习题11-21. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性: (1) )12(1 51311⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++n ;习题11-21. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性: (1) )12(1 51311⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++n ;(2) 11 313121211222⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++++n n ;(3) )4)(1(1 631521⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n(4) 2sin 2sin 2sin 2sin 32⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ππππ(5)∑∞=>+1)0(11n n a a.2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n n ;(2)∑∞=123n n n;(3)∑∞=⋅1!2n n n n n(3)∑∞=+112tan n n n π.2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n n ; (2)∑∞=123n n n; (3)∑∞=⋅1!2n n n n n (3)∑∞=+112tan n n n π.4. 判定下列级数的收敛性:(1) )43( )43(3)43(24332⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n (2) ! !33!22!114444⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n (3)∑∞=++1)2(1n n n n ; (4)∑∞=13sin 2n n n π;(5) 1 232⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++nn ; (6))0 ,0( 1 211>>⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++b a bna b a b a 5. 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的, 是绝对收敛还是 条件收敛？(1) 4131211⋅⋅⋅+-+- (2)∑∞=---1113)1(n n n n ; (3) 2131213121312131432⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅ (4) 5ln 14ln 13ln 12ln 1⋅⋅⋅+-+- (5)∑∞=+-11!2)1(2n n n n .习题11-31. 求下列幂级数的收敛域:(1)x +2x 2+3x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +nx n + ⋅ ⋅ ⋅;(2) )1( 21222⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-nx x x n n ; (3) )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n ; (4) 33332313322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n n x x x x (5) 12 102522223322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n x n x x x (6)∑∞=++-11212)1(n n n n x ; (7)∑∞=--122212n n n x n; (8)∑∞=-1)5(n n n x . 7. 求下列幂级数的收敛域:(1)∑∞=+153n n n n x n ;(2)∑∞=+12)11(n n n x n;(3)∑∞=+1)1(n n x n ; (4)∑∞=122n nnx n .线性代数例2-2 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-54322101例1-14 求阶行列式的值11111110101d c b a D ------=例1-16 计算四阶行列式3351110243152113------的值． 例1-18 计算行列式 1201300101121201--例1-19矩阵的乘法⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯-+⨯⨯+-⨯-+⨯⨯+⨯+⨯⨯+-⨯+⨯=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2642104)1(1200)2()1(2213401103)2(021104212012301例2-13 判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c ba A ，0≠-bc ad例2-21 用初等行变换将=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------41241201412118221100化为简化阶梯形.例2-22 设=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----101111011，求1-A例2-23 设=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛431212321，求1-A .例3-11 求矩阵的秩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=8114324114321A例3-13 求矩阵的秩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=102221141031A。