圆锥曲线综合.板块四.中点问题.学生版
(完整版)圆锥曲线经典中点弦问题
中点弦问题专题练习•选择题（共8小题）1已知椭圆盏+专二1，以及椭圆内一点 P （4, 2）,则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（ A • _12A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）C • 2x+y+4=0D . 2x+y - 4=0x 轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e 为椭圆的离心率,2 25•若椭圆 盏亡二L 的弦中点（4, 2），则此弦所在直线的斜率是（二•填空题（共9小题）2 ?9•过椭圆专+才二1内一点M （2, 0）引椭圆的动弦 AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 __2 210 •已知点（1, 1）是椭圆.某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：—_ _2 211.椭圆4x +9y =144内有一点P （3, 2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为_一直线方程为 ___________________ •2 •已知A (1, 2)为椭圆 A • x+2y+4=03 • AB 是椭圆2 2a b2 2孚+$二1内一点，则以4 LbB • x+2y - 4=0（a > b > 0）的任意一条与 AB 的中点，贝U K AB ?K OM 的值为（ ） A • e -1 B • 1-e 4•椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P （3, 2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ A • 3x+2y - 12=0 B • 2x+3y - 12=0C • e 2- 1D • 1 - e 24x+9y - 144=0)D • 9x+4y - 144=02B •.:C •.:;D •：■22 25A • 6. 2 2已知椭圆七+勺二1的一条弦所在直线方程是a bx - y+3=0，弦的中点坐标是（-2, 1）,则椭圆的离心率是（7 •直线y=x+1被椭圆 A • x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（B •(―丄))丄)(-8. M （1, 1）为中点的弦所在的直线方程为（4x - 3y - 3=0B • x - 4y+3=0C • 4x+y - 5=0 x+4y - 5=0以椭圆12 .椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P (3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点, =1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为k AB ?k OM 为定值.),直线l 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当I 的倾斜角变化时, 弦中点的轨迹方程.26.已知椭圆 卡+¥製二1 .(1) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(2) 过A (2, 1)的直线I 与椭圆相交，求I 被截得的弦的中点轨迹方程; (3) 过点P ()且被P 点平分的弦所在的直线方程.2 2那么这弦所在直线的方程为13.过椭圆 14•设AB 是椭圆 —.的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点, O 为坐标原点，贝U k AB ?k OM =P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为18. 19. 20. 21 . 直线y=x+2解答题(共被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是13小题)求以坐标轴为对称轴，一焦点为(0, 5迈)且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为 -的椭圆方程.2 2已知M (4, 2)是直线I 被椭圆x +4y =36所截的弦AB 的中点，其直线I 的方程. 2 2已知一直线与椭圆 4x +9y =36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为 M(1, 1),求直线AB 的方程.已知椭圆 2⑹厂1,求以点P ( 2，-门为中点的弦AB 所在的直线方程.已知椭圆与双曲线 2x 2 - 2y 2=1共焦点，且过(.：•') 22.(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.2 223.直线I : x - 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为 设椭圆的中心为 0,求厶AOB 的面积.P (2, - 1). (1 )求 m 的值；(2)24. AB 是椭圆2 2--''中不平行于对称轴的一条弦,b 2M 是AB 的中点，O 是椭圆的中心，求证:M (1, 1)为中点的弦所在直线方程为17. 25.已知椭圆C :2 229. (2010?永春县一模)过椭圆 *」-内一点M ( 1, 1)的弦AB .16 4(1) 若点M 恰为弦AB 的中点，求直线 AB 的方程； (2) 求过点M 的弦的中点的轨迹方程.30. 已知椭圆C 方程为 -丁 ―直线一-二与椭圆C 交于A 、B 两点， 点 P I--(1) 求弦AB 中点M 的轨迹方程；(2) 设直线PA 、PB 斜率分别为k 1、k 2,求证：k 1+k 2为定值.27.已知椭圆. (1)求过点P ［丄，丄)且被点P 平分的弦所在直线的方程；2 2 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；过点A (2，1)引直线与椭圆交于 B 、C 两点，求截得的弦 (2)(3) BC 中点的轨迹方程. 28.已知某椭圆的焦点是 F 1( - 4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为 椭圆上不同的两点 A (x i , y i )、C ( x 2, y )满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列. (I )求该椭圆的方程；(n )求弦AC 中点的横坐标. B,且|F 1B|+|F 2B|=10 ,参考答案与试题解析•选择题(共8小题)A • _12考点： 椭圆的简单性质•专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程• 分析： 利用中点坐标公式、斜率计算公式、点差法”即可得出•解答： 解：设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),斜率为k .代入得 寻碍二Q ，解得k = - * 故选A •考点：直线的一般式方程. 专题：计算题•分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案• 解答：解：设直线的方程为 y - 2=k (x - 1),联立直线与椭圆的方程代入可得： (4+k 2) x 2+2k ( 2 - k ) x+k 2- 4k - 12=0因为A 为椭圆的弦的中点，2k (k- 2)所以.•二解得k= - 2,4十所以直线的方程为 2x+y - 4=0 • 故选D •点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题•2014 年 1 月 pa 叩an71104的高中数学组卷-七) (牛+辽)ty j36g2 2二；「两式相减得2 21•已知椭圆「以及椭圆内一点 P (4, 2),则以P 为中点的弦所在直线的斜率为(点评:熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、 点差法堤解题的关键.2•已知A (1, 2)为椭圆2 2^~-1内一点，则以4 16A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为(A • x+2y+4=0B • x+2y - 4=0C • 2x+y+4=0D • 2x+y - 4=0又 X 1+x 2=8, y 1+y 2=4,，二1 (a > b >0)的任意一条与x 轴不垂直的弦，0是椭圆的中心，e 为椭圆的离心率， M 为所以：X 1+X 2=-3. AB 是椭圆AB 的中点，贝U K AB ?K OM 的值为( A . e -C . e 2- 1D . 1 - e 2考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的简单性质. 综合题.设出弦AB 所在的直线方程，与椭圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 X 1+X 2，的表达式，根据直线方程求得y 1+y 2的表达式，进而根据点 M 为AB 的中点，表示出 M 的横坐标和纵坐标，求得直线 0M 的斜率,进而代入k AB ?k OM 中求得结果.解：设直线为：y=kx+c联立椭圆和直线b 2x 2+a 2 (kx+c )i22斗j l 国b2- a 2b 2=0，即 (b 2+k 2a 2)消去y 得x 2+2a 2kcx+a 2 (c 2 - b 2) =0点评:所以，M 点的横坐标为:M r (x1+x2)=所以:b. 2b 2)=一 2a本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.2 24.椭圆4x +9y =144内有一点P (3, 2)过点P 的弦恰好以 A . 3x+2y - 12=0B . 2x+3y - 12=0C . P 为中点，那么这弦所在直线的方程为()4x+9y - 144=0D . 9x+4y - 144=0 考点： 专题： 分析： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程.利用平方差法：设弦的端点为A (X 1, y 1)，B ( X 2,y 2),代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及又：y 仁kx i +c所以：Kom=A 2k AB ?k OM =k x (-=e 2- 1斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程. 解答： 解：设弦的端点为 A (X 1 , y i ) , B ( X 2, y 2), 则 X 1+x 2=6， y 1+y 2=4，把A 、B 坐标代入椭圆方程得，仆］乂+9比2二⑷，旳％¥『二⑷， 2-y 2 ) =0，即 4 (X 1+X 2) (X i - x 2) +9 ( y l +y 2) (y i - y 2) =0 ,所以这弦所在直线方程为： y - 2= -2( x - 3),即2x+3y - 12=0.3故选B .点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握.2 ?字+三厂二1的弦中点(4, 2)，则此弦所在直线的斜率是(36 9考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率. 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： 设此弦所在直线与椭圆相交于点 A (x i , y i ), B ( x 2 , y 2).利用中点坐标公式和点差法”即可得出.解答： 解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A (x i , y i ) ,B (x 2, y 2).2 26.已知椭圆 &七二1的一条弦所在直线方程是 x -y+3=0，弦的中点坐标是(-2, 1),则椭圆的离心率是()a b1B..:C ..:;D.：■22 2 5考点：椭圆的简单性质. 专题：计算题.分析：设出以M 为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a , b的关系式，从而求得椭圆的离心率.解答：解：显然M (- 2, 1 )在椭圆内，设直线与椭圆的交点A (x i , y i ) ,B (x 2, y 2),两式相减得，4+9r=，即 kAB =-=5.若椭圆 A . 2B . - 2C .3D . _丄2点评:代入上式可得 9 4 k hie ；备甘e 解得故选D .本题考查了椭圆的标准方程及其性质、L(厂+巾)*36 1 ' gk AB =中点坐标公式和点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题.则 ，两式相减得，：厂=0.b 2 (xi + K 7 )整理得：k= ---- ------------------------ =1,s 2(yC又弦的中点坐标是(-2, 1),故选B .点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题.本题解 题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法, 研究弦中点问题时经常采用此方法7.直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是( )A .弓哼B .(-訂C 飞弋考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 将直线y=x+1代入椭圆x 2+2y 2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论. 解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x 2+2y 2=4中，得x 2+2 (x+1 ) 2=42/• 3x +4x - 2=0弦的中点横坐标是x=gx ( -纟)=-*、,£R-T 1代入直线方程中，得 丫=丄3、2 1•弦的中点是(-1,二 故选B .点评： 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题.8以椭圆'咅"点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程为(16A . 4x - 3y - 3=0B . x - 4y+3=0C . 4x+y - 5=0D . x+4y - 5=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的关系. 计算题. 设直线方程为 y -仁k ( x - 1),代入椭圆匚+亠二1化简，根据16 4x i +x 2=- g 冷 - /) 4k 2+l=2，求出斜则椭圆的离心率是=1 ,率k 的值，即得所求的直线方程.解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y -仁k ( x - 1),代入椭圆 疋牛£二1化简可得£斗(kx-k+1)匕，16 4 116 4丄2 2 2 2 (4k +1) x+8 ( k - k ) x+4k - 8k - 12.亠亦亠r/白_S (k — k?)•••由题意可得 X 1+X 2=■=2, ••• k=-二，4k 2+l ，4，故 直线方程为 y -仁-2 ( x - 1),即x+4y - 5=0,4故选D .点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率， 是解题的关键.二.填空题(共9小题)2 29.过椭圆 —亠内一点M( 2,0)引椭圆的动弦 AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是.'+—打=：考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.专题：综合题.分析：设出N , A , B 的坐标，将A , B 的坐标代入椭圆方程，结合弦AB 过点M (2, 0),弦AB 的中点N ,求出AB 的斜率，从而可得方程，化简即可. 解答： 解：设 N (x , y ) , A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),贝①-②，可得:故答案为:N 为AB 的中点，求出 AB 的斜率，再利用动5一4KK1 ■动弦 AB 过点M 当M 、N 不重合时，有ky9y当M 、N 重合时，即M 是A 、B 中点，M (2, 0)适合方程(只一 1)①，(2, 0),弦AB 的中点2=',（m 唱）（「I ） 22二 1 ,则N 的轨迹方程为 (£一1〕女23点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法.考点：直线与圆锥曲线的关系. 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：设以A (1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (x i , y i ) ,F (X 2, y 2), A (1, 1)为EF 中点，x i +x 2=2, y i +y 2=2, 利用点差法能够求出以 A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程.解答：解：设以A ( 1, 1 )为中点椭圆的弦与椭圆交于E ( X 1, y 1 ),F (x 2, y 2),••• A (1, 1 )为 EF 中点， ••• x 1+x 2=2 , y 1+y 2=2 ,2 2把E (x1 , y 1), F (x 2 , y 2)分别代入椭圆■二1 ,4 2两式相减,可得(X 1+x 2) (x 1 - x 2) +2 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0 , • 2 (x 1-x 2) +4 (y 1 - y 2) =0 ,•••以A (1, 1)为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y - 1=-丄(x - 1),乙整理，得 x+2y - 3=0. 故答案为：x+2y - 3=0.点评：本题考查以A (1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问 题的能力，属于中档题.2 2311.椭圆4x +9y =144内有一点P (3 , 2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为_,直线方程为 2x+3y -12=0.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程. 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：平方差法：设弦端点为 A (X 1 , y 1) , B (x 2 , y 2),代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可 得斜率；根据点斜式可得直线方程.解答： 解：设弦端点为 A ( X 1 , y 1) , B ( x 2 , y 2),贝X 1+x 2=6, y 1+y 2=4,4巧 2+gyJ 二L 嗣①，分2 2-^9y 22=144②，①—②得，疋］'-只 2’ ) +9(旳‘-咒‘)=0 ,即 4 (x 1+x 2) (x 1 - x 2) +9 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0 ,「1、二4〔巧 + Mg ) 4X6 __ 2Z1 "_ 9(旳+匕)-9心.3)所以,即10.已知点(1，1)是椭圆「某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为:x+2y — 3=0所以弦所在直线方程为：y - 2= -2 (x - 3),即2x+3y - 12=0.3故答案为：-二；2x+3y - 12=0 .3点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握.12 .椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P( 3,2)过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y 二12=0考点： 直线与圆锥曲线的关系.专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析： 设以P( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E( X 1,y 1), F (x 2, y 2) , p ( 3, 2)为EF 中点，x 1+x 2=6, y 1+y 2=4,利用点差法能够求出这弦所在直线的方程.解答： 解：设以P ( 3, 2)为中点椭圆的弦与椭圆交于E (X 1, y 1) ,F (x 2 , y 2),••• P (3 , 2)为 EF 中点，X 1 +x 2=6, y 1+y 2=4,2 2把 E (X 1, y 1), F (x 2, y 2)分别代入椭圆 4x +9y =144 ,2+9yi Z =L44良2，4x 2J +9y 2 =1444 (x 1+x 2) ( x 1 - x 2) +9 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) =0, ••• 24 (x 1 - x 2) +36 (y 1- y 2) =0,•••以P (3, 2 )为中点椭圆的弦所在的直线方程为： y - 2=-弓(x -3),整理，得 2x+3y - 12=0 . 故答案为：2x+3y - 12=0 .点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理 运用.2 213.过椭圆勺亍1内一定点(1, 0)作弦，则弦中点的轨迹方程为考点： 椭圆的应用；轨迹方程. 专题： 计算题.分析：设弦两端点坐标为(X 1 ,y 1), (x 2. y 2),诸弦中点坐标为(x ,y ).弦所在直线斜率为k ,把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程.解答：解：设弦两端点坐标为(X 1 ,y 1)(x 2. y 2),诸弦中点坐标为(X ,y ).弦所在直线斜率为k2 2 竺+31 g 4丄两式相减得； —(X 1+x 2) (x 1 - X 2) + 云(y 1+y 2) ( y 1 - y 2) =02 :,2 24x +9y - 4x=0=0,即仝一一本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用.2 2—r I — 亠内的点 M (i , i )为中点的弦所在直线方程为 _x+4y — 5=0lb 4考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程.专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 设点M ( i , i )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A (x i , y i ),B (x 2, y 2).利用 点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出.解答： 解：设点M (i , i )为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A ( x i , y i ),B (x 2, y 2).2 2(纠 + yJ G i 一叩1(2+y 2)( x 2 -164相减得22x/9+2y A 2/4 (x — i ) =0 7 一 '2 24x +9y — 4x=0整理得诸弦中点的轨迹方程： 故答案为4x 2+9y 2 — 4x=0点评： 本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题•考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握.二1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ?k OM = -丄_ 2~考点： 专题： 分析：椭圆的应用. 计算题. 设 M (a ,b ), A (x i , y i ), B (x 2, y 2),易知 k OM=—，再由点差法可知k AB =a」，由此可求出 k AB ?k OM =2b解答:—JJ解：设 M (a , b ), A (x i , y i ), B (x 2, y 2), •/ M 为 AB 的中点，• x i +x 2=2a , y i +y 2=2b .把A 、B 代入椭圆①—②得(X 1+X 2)( X 1 - X 2)x 12+2y 12=2 ①x 32+2y 23=2 ② +2 (y i +y 2) (y i — y 2) =0,••• 2a (x i — x 2) +4b (y i — y i )=0, S ■?.答案:_b1 2• k AB ?k OM =-—:点评:15.以椭圆,代入上式得又•/14.设AB 是椭圆-- ------ =二，由此能求出以点 P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程.2解答:整理，得 故答案为： 本题主要考查椭圆标准方程， 简单几何性质，直线与椭圆的位置关系. 考查运算求解能力，推理论证能力.解 题时要认真审题，注意点差法的合理运用.2，2—^=0故所求的直线方程为 ，解得 k AB =-「-—：,化为 x+4y - 5=0 •故答案为x+4y - 5=0 •点评：本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和 点差法”等基础知识与基本方法，属于中档题.P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线方程为 x - 2y+4=0考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的综合问题. 计算题. 设以点P (- 2, 1)为中点的弦所在的直线与椭圆(X2, y 2),由点 P (- 2,1)是线段AB 的中点，知，把 A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)代入椭圆2 2x +4y =16，由点差法得到k= 解：设以点P (- 2, 1 )为中点的弦所在的直线与椭圆+ - 16 4=1 交于 A (X 1, y 1), B (x 2, y 2),•••点P (- 2, 1)是线段AB 的中点,山5二22 2把 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2)代入椭圆 x +4y =16,巧2十4卩/二16 ① 七铃4卩2‘=1&②①—② 得(x 1+x 2) (x 1 - x 2) +4 (y 1+y 2) (y 1 - y 2) • - 4 (x 1 - x 2) +8 (y 1 - y 2) =0,=0,k=•••以点P (-2, 1)为中点的弦所在的直线方程为 点评:x - 2y+4=0 • x - 2y+4=0 •16 •在椭圆 =1 交于 A (X I ，y 1)，B17•直线y=x+2被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是（-皀，2）.—3 3 —考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系. 专题：计算题.分析：直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标. 解答： 解：将直线y=x+2代入椭圆x 2+2y 2=4，消元可得3X 2+8X +4=0/• x= - 2 或 x=-—3 -2 --•••中点横坐标是 ---------- =-一，代入直线方程可得中点纵坐标为-+2=,2 3 33•直线y=x+2被椭圆x 2+2y 2=4截得的线段的中点坐标是 （-彳，—）33故答案为：:二二3 3点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标.三.解答题（共13小题）18.求以坐标轴为对称轴，一焦点为 5逅）且截直线y=3x - 2所得弦的中点的横坐标为g 的椭圆方程.本题给出焦点在 y 轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着 重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题.2 219. 已知M （4, 2）是直线I 被椭圆x +4y =36所截的弦AB 的中点，其直线I 的方程.考点： 专题： 分析：椭圆的标准方程.计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题. 由题意，设椭圆方程为2 2厘一+」二1，与直线y=3x - 2消去y 得关于x 的 a 2 b £元二次方程.利用根与系数的关解答:系结合中点坐标公式， 得X 1+x 2=12泌a 21-9b 2=1,再由椭圆的c=H :,得a 2- b 2=50,两式联解得a 2=75, b 2=25 ,从而得到所求椭圆的方程.解：T 椭圆一个焦点为•椭圆是焦点在y 轴的椭圆，设方程为将椭圆方程与直线 y=3x - 2消去y ,得 设直线y=3x - 2与椭圆交点为 A （X 1,2 2, I (a >b > 0)a b(a 2+9b 2) x 2- 12b 2x+4b 2- a 2b 2=0 y 1), B (x 2, y 2)• X 1+X 2=12以a 2'r ：•打)2=50…②一 2 — . 2=1…①又■/ a 2 - b 2=( •①②联解，得a 2=75 , b 2=25因此，所求椭圆的方程为:2 275+25 = 1点评:1.16 Q考点： 直线与圆相交的性质. 专题： 计算题. 分析：设直线l 的方程为y -2=k (x - 4)，代入椭圆的方程化简，由X 1+X 2=E" 一止*=8解得k 值，即得直线1l+4k 2的方程.解答： 解：由题意得，斜率存在，设为k ,则直线l 的方程为y - 2=k (x - 4),即kx - y+2 - 4k=0, 代入椭圆的方程化简得：(1+4k 2) x 2+ (16k - 32k 2) x+64k 2 - 64k - 20=0,32k 2-L6kR 曰1--x1+x2==8，解得：k=l+4k 22则直线l 的方程为x+2y - 8=0 .点评： 本题考查了直线与圆相交的性质，一兀二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到(1+4k 2) x 2+ (16k-32k 2) x+64k 2- 64k - 20=0，是解题的关键.20. 已知一直线与椭圆 4x 2+9y 2=36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为 M (1, 1),求直线AB 的方程.考点：直线与圆锥曲线的综合问题. 专题：综合题.分析：设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB 的中点坐标为 M (1 , 1),求出斜率，即可求得直线AB 的方程.解答：解：设通过点 M (1,1)的直线方程为y=k (x - 1) +1，代入椭圆方程，整理得(9k 2+4) x 2+18k (1 - k ) x+9 (1 - k ) 2 - 36=0 设A 、B 的横坐标分别为X 1、x 2，则I'，22 (9以+4) 解之得k=q故AB 方程为：二二:■:| -,即所求的方程为 4x+9y - 13=0.点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解.，求以点P (2,- 1)为中点的弦AB 所在的直线方程.考点： 直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 计算题.分析： 先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出X 1+X 2，进而求得弦所在的直线的斜率，进而利用点斜式求得该直线的方程.解答：解：设弦AB 所在的直线方程为 y - (- 1) =k (x - 2),即y=kx - 2k - 1.、 2,消去 y 得 x +4 ( kx - 2k - 1)整理得(1+4k 2) x 2- 8k (2k+1) x+4 (2k+1) 2 - 16=0 (1)21.已知椭圆 22- 16=0 ,443因为P (2,- 1为弦AB 中点,代入方程(1)，验证△> 0，合题意.所以弦AB 所在直线的方程为吒K-么即x-2y-4=0.点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系.在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程, 利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的.22. 已知椭圆与双曲线 2x 2- 2y 2=l 共焦点，且过( 「・')(1) 求椭圆的标准方程.(2) 求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程.椭圆的标准方程；轨迹方程. 计算题.(1) 求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点( .：，0)代入椭圆方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程. (2)设斜率为2的弦所在直线的方程为 y=2x+b ，弦的中点坐标为(x , y ),把y=2x+b 代入椭圆的方程， y= - — x ，求出直线y=2x+b 和椭圆相切时的b 值，即4得轨迹方程中自变量 x 的范围.I-- --------------- 2••• W —F — I"艮卩汇=2, •••椭圆方程为-^"4- y'=1 . / / 一 1 乙的弦所在直线的方程为 y=2x+b ，弦的中点坐标为(x , y ),则1x .4令厶=0, 64b 2- 36 (2b 2- 2) =0,即b=出，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为 y=2x 出所以平行弦得中点轨迹方程为：y= -- x (-倉本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中 自变量x 的范围，是解题的易错点.8b2bd •2 29x +8xb+2b - 2=0 , • x i +x 2= 2)，所以有g+辺业倔+1)l+4k 2所以屮贰即强⑵+；) 1£ 1+41〃汕解得哙考点： 专题： 分析：利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为 解答:解：(1 )依题意得，将双曲线方程标准化为•/椭圆与双曲线共焦点，•设椭圆方程为/ 2y=2x+b 且=1 得， 即x= -两式消掉9 9即当 x= ±时斜率为2的直线与椭圆相切. (2)依题意，设斜率为 2点评:所以：x i +x 2=-2 223. 直线I : x - 2y - 4=0与椭圆x +my =16相交于A 、B 两点，弦AB 的中点为P (2, - 1). (1 )求m 的值；(2) 设椭圆的中心为 0,求厶AOB 的面积.椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式. 计算题；压轴题. (1)先把直线方程与椭圆方程联立消去 y ,根据韦达定理求得 x i +x 2的表达式，进而根据其中点的坐标求 得m . (2)把(1)中求得椭圆方程与直线方程联立消去 y ,进而根据韦达定理求得X 1x 2的值，进而求得出|AB| 的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案.2mx 1+x 2= =4，贝y m=4• I X 1X 2=0坐标原点0到直线x - 2y - 4=0的距离为•三角形ABC 的面积为-^|AB| X d=4本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推 理的能力.k AB ?k OM 为定值.考点： 专题： 分析：解答:解：(1):-x - 2y - 4=0工^16消去 y ,整理得(卫+1) x 2- 2mx+4m - 16=04(2)由(1)知.K - 2y~ 4=0x，消去点评:24. AB 是椭圆2 2■ - ''中不平行于对称轴的一条弦,,I/M 是AB 的中点，0是椭圆的中心,求证:考点： 专题： 分析： 解答:椭圆的应用. 证明题.设出直线方程，与椭圆方程联立消去y ，根据韦达定理求得 X 1+X 2，的表达式，根据直线方程求得表达式，进而根据点M 为AB 的中点，表示出M 的横坐标和纵坐标，求得直线OM 的斜率，进而代入 中求得结果为定值，原式得证.证明：设直线为：y=kx+c2 2 x 丄F n 飞百1 la b2- a 2b 2=0，即(b 2+k 2a 2) x 2+2a 2kcx+a 2 (c 2 - b 2) =0联立椭圆和直线2 2 2b x +a (kx+c )消去y 得 y i +y 2 的k AB ?k OM ••• |AB■： I I ■=2'=0 .2盖(疋 —乂)(y 2 - y i ) (X - 1) = (X 2- X 1) (y - 2).再由点差法知 ---------------- T 一—1U2 29x +16y - 9x - 32y=0 .解答： 解：设弦中点为 M (x , y ),父点为A(X 1, y 1), B (x 2, y 2).当M 与P 不重合时，A 、B 、M 、P 四点共线.16所以，M 点的横坐标为：M x =— ( X 1+X 2)=-又：y i = kx i +cy 2=kx 2+c点评：本题主要考查了椭圆的应用•涉及弦长问题，禾U 用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题, 利用差分法较为简便.),直线I 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当I 的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程.b 2 b.. ?\ = a 2kk AB ?k OM =k >所以 y i +y 2=k (X 1+X 2)+2c=(y"y2)=所以:25.已知椭圆C :，由此可得:(y 2-y 1) (X - 1) = (X 2-X 1) (y -2),①又 X 1+X 2=2X , y 1+y 2=2y ,由①② 可得：9x 2+16y 2- 9x - 32y=0,③考点：轨迹方程.专题：综合题.分析：设弦中点为M ( x, y),父点为A (X1, y1) , B ( x2, y2).当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线.故=0 .2 当点M 与点P 重合时，点M 坐标为(1, 2)适合方程③， •••弦中点的轨迹方程为：9x 2+16y 2- 9x - 32y=0 .点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用.26•已知椭圆专心.(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A (2, 1)的直线I 与椭圆相交，求I 被截得的弦的中点轨迹方程;⑶过点且被P 点平分的弦所在的直线方程•(门设弦的两端点分别为M(X 1, y i ), N (X 2, y 2),中点为R (x , y )，则K /十J 二2，K,十『二2，9- 代入式①，得所求的轨迹方程为 x+4y=0 (椭圆内部分).(2)可设直线方程为 y -仁k (x - 2) (k 用，否则与椭圆相切)， 设两交点分别为(X 3, y 3), (x 4, y 4),考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题. 专题： 综合题. 解答:2的平行弦的中点轨迹方程.(2)设直线方程为y -( x - 2),设两交点分别为(X 3, y 3), (X 4, y 4),则一 /】交于 E (X 5 , y 5) , F (X 6 , y 6),由 P■w知 X 5+X 6=1 , y 5+y 6=1 ,把 E (X 5, y 5) , F ( X 6 , y 6)代入与:| -丄.二)且被P 点平分的弦所在的直线方程.解：(1 )设弦的两端点分别为 M (X 1 , y 1 ) , N (X 2 , y 2)的中点为R(X, y ),a®一)是EF 的中点,-,由此能求出过分析:者由此能求出斜率为两式相减得=0,由此能求出I 被截(3)设过点P (寺寺的直线与两式相减并整理可得2将显然X 3孜4 （两点不重合），（%+%）5 - ％；1 二口£ I |* 3令中点坐标为（x ，y ），•过点P （£, g ）且被P 点平分的弦所在的直线方程： y 一 £二—£ （蓋_ +）,即 2x+4y - 3=0 .点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题•解题时要认真审题，注意点差法的合理运用.27. 已知椭圆-y+y 2=l .（1）求过点Pg ）且被点P 平分的弦所在直线的方程；（2） 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3） 过点A （2, 1 ）弓|直线与椭圆交于 B 、C 两点，求截得的弦 BC 中点的轨迹方程.考点：圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题.则2，两式相减得=0, 故 x+2y?k=x+2y 」_=0,即所求轨迹方程为 x 2+2y 2- 2x - 2y=0 （夹在椭圆内的部分）（3）设过点p （g 2 ••• P （&•丄）是EF 的中点,2- 二）的直线与—— .：■].交于 E （X 5，y 5），F （X 6, y 6），• •• x 5+x 6=1 , y 5+y 6=1 ,把 E (X 5, y 5) , F (x 6, y 6)代入与72x5 +2y 5 =2 o 2'z6 +肘呂=2(x 5+x 6) (x 5- x 6) +2 (y 5+y 6) (y 5 - y 6) =0 ,(X5 - x 6) +2 (y 5 - y 6) =0,则 x+2y?4又（x , y ）在直线上，所以显然综合题. (1) 设出两个交点坐标，禾U 用两点在椭圆上，代入椭圆方程，禾U 用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式 方程即可.(2) 同(1)类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，禾U 用点差法，求斜率，再让斜 率等于2，化简，即可得斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程.点的轨迹方程.解：(1 )设过点P (丄・丄)且被点P 平分的弦与椭圆交与 A (x i , y 1), B (x 2, y 2)点,2 2,y 2_yl-x2 _ x 12亿+卩］)(2)设斜率为2的平行弦的中点坐标为(x , y ),1)引的直线斜率不存在时，方程为 x=2，与椭圆无交点2 2x - 2x+2y - 2y=0 .则根据中点弦的斜率公式，有-亠2(3)当过点A (2, 1)弓I 的直线斜率存在时，设方程为 y -仁k (x - 2),得(2+k 2) /+2 (1 -代入椭圆方程，消22k ) kx+4k - 4k=0Zk (2k- 1)-2H1,y 1+y 2=■.y ,设弦BC 中点坐标为(x ,专题： 分析：(3)设出直线BC 方程，用参数k 表示K ] 4]辺y 】+珂2 ，2，再利用中点坐标公式，消去k ，即可得弦BC 中解答:2-4 Cy 2)J ②即，弦AB 的斜率为「1•方程为y -二=「( x -V - 1. s ：__2 (y-1)J x-2-①，整理得 x 2- 2x+2y 2- 2y=0又•/ k= 当过点A (2,•••所求弦BC 中点的轨迹方程为点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题.28.已知某椭圆的焦点是 □( - 4,0)、F 2(4,0),过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F 1B|+|F 2B|=1O ,椭圆上不同的两点 A (X 1, y i )、c ( x 2, y 2)满足条件：|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列. (I )求该椭圆的方程； (n )求弦AC 中点的横坐标.考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系. 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析：(1)根据椭圆定义结合已知条件，得 |F i B|+|F 2B|=10=2a 可得a=5.由c=4算出b=3，即可得出该椭圆的方 程；(2)由点B (4, y B )在椭圆上，禾U 用椭圆方程算出 y B —.再根据圆锥曲线统一定义，算出|F 2A|、|F 2C|15|关于它们的横坐标 X I 、X 2的式子，由|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列建立关系式算出X 1+X 2=8，最后利用中点坐标公式，即可算出弦AC 中点的横坐标. 解答： 解：(1)由椭圆定义及条件，可得 2a=|F i B|+|F 2B|=10，得 a=5.又••• c=4, • b=|,-=3.因此可得该椭圆方程为2 2fe +V =1。
【2023届新高考必刷】 圆锥曲线大题综合 学生版
【2023届新高考必刷】圆锥曲线大题综合1.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)已知AB为抛物线G:y2=2px(p>0)的弦，点C在抛物线的准线l上.当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3.(1)求抛物线G的方程；(2)若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点.2.(2023·江苏泰州·统考一模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P,Q两点.当PQ⊥x轴时，PA=10，△PAQ的面积为3.(1)求C的方程；(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.3.(2023秋·浙江绍兴·高三期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,0),B (2,0)，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-14，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ，N 两点，直线MA ，NB 与y 轴分别交于E ，F 两点，若EO=3OF ，求证：直线l 过定点．4.(2023秋·浙江·高三期末)已知点A 463,233 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，B 与A 关于原点对称，F 是右焦点，∠AFB =π2．(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y 轴上的圆C 经过点P (-4,0)，与双曲线的右支交于点M ，N ，且直线MN 经过F ，求圆C 的方程．5.(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2px p>0的焦点为F，点F关于直线y=12x+34的对称点恰好在y轴上．(1)求抛物线E的标准方程；(2)直线l:y=k x-2k≥6与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若D6,0，求ABCD的最大值．6.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=10<a10,b的右顶点为A，左焦点F-c,0到其渐近线bx+ay=0的距离为2，斜率为13的直线l1交双曲线C于A，B两点，且AB=8103．(1)求双曲线C的方程；(2)过点T6,0的直线l2与双曲线C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与直线x=6相交于M，N 两点，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．7.(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x2a2+y2b2=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的相似椭圆.(1)如图，已知F1-3,0,F23,0,M为⊙O:x2+y2=4上的动点，延长F1M至点N，使得MN= MF1,F1N的垂直平分线与F2N交于点P，记点P的轨迹为曲线C，求C的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆Cλ是椭圆C的相似椭圆，M1,N1是椭圆Cλ的左､右顶点.点Q是Cλ上异于四个顶点的任意一点，当λ=e2(e为曲线C的离心率)时，设直线QM1与椭圆C交于点A,B，直线QN1与椭圆C交于点D,E，求AB+DE的值.8.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点O 作圆C :(x +2)2+y 2=3的两条切线，设切点为P ,Q ，直线PQ 恰为抛物E :y 2=2px ,(p >0)的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A ,B ,M ,N 满足：TA =2TM ,TB =2TN ，设AB 中点为D .(i )求直线TD 的斜率；(ii )设△TAB 面积为S ，求S 的最大值.9.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知F 为抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点，O 为坐标原点，M 为C 的准线l 上的一点，直线MF 的斜率为-1,△OFM 的面积为1．(1)求C 的方程；(2)过点F 作一条直线l ，交C 于A ,B 两点，试问在l 上是否存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10.(2023·山东菏泽·统考一模)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1-3,0,F 23,0 ,A 为椭圆C 上一点，△F 1AF 2的面积最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若B ､D 分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P ､Q (P 在上方，Q 在下方，且均不与B ,D 点重合)两点，直线PB ,QD 的斜率分别为k 1,k 2，且k 2=-3k 1，求△PBQ 面积的最大值.11.(2023·福建泉州·统考三模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆O :x 2+y 2=4交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若|MN |=455，求l 的斜率；(2)记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k 1k 2为定值．12.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 三个点在椭圆x 22+y 2=1，椭圆外一点P 满足OP =2AO ，BP =2CP，(O 为坐标原点).(1)求x 1x 2+2y 1y 2的值；(2)证明：直线AC 与OB 斜率之积为定值.13.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，过焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且AB =AF ⋅BF .(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 4,4 ，直线PA ，PB 分别交准线l 于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，且经过点P-3,12．(1)求椭圆E的标准方程：(2)过椭圆E的左焦点F1作直线l与椭圆E相交于A，B两点(点A在x轴上方)，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求ABMF1的最大值．15.(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知点P2,-1在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的长轴长为42，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求QA|2+QB|2的值.16.(2023春·江苏苏州·高三统考开学考试)已知抛物线y2=a2x的焦点也是离心率为32的椭圆x2a2+y2 b2=1a>b>0的一个焦点F．(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过F的直线l交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A在C左侧．设a=AC，b=μCD，c=DB．①当μ=2时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l，使得a，b，c成等差数列，求μ的范围．17.(2023秋·江苏无锡·高三统考期末)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点F和抛物线C2:y2=2px p>0的焦点重合，且C1和C2的一个公共点是23,263．(1)求C1和C2的方程；(2)过点F作直线l分别交椭圆于A，B，交抛物线C2于P，Q，是否存在常数λ，使1AB-λPQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．18.(2023秋·江苏·高三统考期末)如图，已知椭圆x24+y2=1的左､右顶点分别为A,B，点C是椭圆上异于A,B的动点，过原点O平行于AC的直线与椭圆交于点M,N,AC的中点为点D，直线OD与椭圆交于点P,Q，点P,C,M在x轴的上方.(1)当AC=5时，求cos∠POM；(2)求PQ⋅MN的最大值.19.(2023·浙江·校联考模拟预测)设双曲线C:x2a2-y2b2=1的右焦点为F3,0，F到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点(其中A在第一象限)，交直线x=53于点M，(i)求|AF|⋅|BM||AM|⋅|BF|的值；(ii)过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：MP=PQ.20.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1,B 1,0 .(1)设P 是椭圆C 上的一个动点，求PO ⋅PB的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，试问：是否存在满足条件的直线l ，使得△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21.(2023春·浙江·高三开学考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且经过点M(-2,0)，F 1,F 2为椭圆C 的左右焦点，Q x 0,y 0 为平面内一个动点，其中y 0>0，记直线QF 1与椭圆C 在x 轴上方的交点为A x 1,y 1 ，直线QF 2与椭圆C 在x 轴上方的交点为B x 2,y 2 ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)①若AF 2∥BF 1，证明：1y 1+1y 2=1y 0；②若QF 1 +QF 2 =3，探究y 0,y 1,y 2之间关系．22.(2023春·浙江温州·高三统考开学考试)如图，椭圆x 24+y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点P x 0,y 0 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P ，F 1，F 2的圆与y 轴正半轴交于点A 0,y 1 ，经过点B (3,0)且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q ．(1)求证：y 0y 1=1．(2)试问：x 轴上是否存在不同于点B 的定点M ，满足当直线MP ，MQ 的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M ，求出点M 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．23.(2023春·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点为A 2,0 ，直线l 过点P 4,0 ，当直线l 与双曲线E 有且仅有一个公共点时，点A 到直线l 的距离为255.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若直线l 与双曲线E 交于M ,N 两点，且x 轴上存在一点Q t ,0 ，使得∠MQP =∠NQP 恒成立，求t .24.(2023·广东梅州·统考一模)已知动圆M经过定点F1-3,0，且与圆F2：x-32+y2=16内切.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B，点P为轨迹C上异于A,B的动点，设PB交直线x=4于点T，连结AT交轨迹C于点Q.直线AP､AQ的斜率分别为k AP､k AQ.(i)求证：k AP⋅k AQ为定值；(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.25.(2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习)已知双曲线E：x24-y2=1与直线l：y=kx-3相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．26.(2023·山东·日照一中校考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，斜率为-3的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，点M (4,-22)在双曲线C 上，且MF 1 ⋅MF 2 =24.(1)求△MF 1F 2的面积；(2)若OB +OB=0(O 为坐标原点)，点N 3,1 ，记直线NA ,NB 的斜率分别为k 1,k 2，问：k 1⋅k 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.27.(2023秋·山东泰安·高三统考期末)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过A 1,62 ，B 3,22两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)已知Q 4,0 ，过P 1,0 的直线l 与E 交于M ，N 两点，求证：MP NP=MQ NQ．28.(2023·浙江·模拟预测)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10，且经过点M(8,33)．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线x=2上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D(不同于A，B)．(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．29.(2023·湖南·模拟预测)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为B，O为坐标原点，P-a2,0为椭圆C的长轴上的一点，若∠BPO=45°，且△OPB的面积为12．(1)求椭圆C的标准方程；(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k AM，k AN，且k AM⋅k AN=-112，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标，求出△AMN面积的最大值．30.(2023春·湖北·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12.且经过点1,32 ，P ，Q 是椭圆C 上的两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线OP 与OQ 的斜率之积为-34(O 为坐标原点)，点D 为射线OP 上一点，且OP =PD ，若线段DQ 与椭圆C 交于点E ，设QE =λED(λ>0).(i )求λ值；(ii )求四边形OPEQ 的面积.。
第9节圆锥曲线的综合问题
(2)由题意得 F(1,0)．设 P(x3，y3)，则 (x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)． 由(1)及题设得 x3＝3－(x1＋x2)＝1， y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0. 又点 P 在 C 上，所以 m＝34，从而 P1，－32，|F→P|＝32， 于是|F→A|＝ x1－12＋y21＝ x1－12＋31－x421＝2－x21.
∴y1－m＝－y1λ1，由题意知 λ1≠0，∴λ1＝ym1－1，
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同理由P→N＝λ2N→Q知，λ2＝ym2－1， ∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0(*)， 联立xx＝2＋t3y2y＝－3m， ， 得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0， ∴需 Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0(**)， 且有 y1＋y2＝t22＋mt32 ，y1y2＝t2tm2＋2－33(***)， 将(***)代入(*)得 t2m2－3＋m·2mt2＝0，∴(mt)2＝1， ∵直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q，P， ∴mt<0，∴mt＝－1(满足(**))， 故 l 的方程为 x＝ty＋1，过定点(1,0)，即(1,0)为定点．
同理|F→B|＝2－x22.
所以|F→A|＋|F→B|＝4－12(x1＋x2)＝3.
故 2|F→P|＝|F→A|＋|F→B|，即|F→A|，|F→P|，|F→B|成等差数列．
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考点二 定值问题 互动讲练型
考向·分层突破
(2019·安徽省考试试题)如图，已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点 A(1,1)． (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 P(3，－1)的直线与抛物线 C 交于 M，N 两个不同的点(均与点 A 不重合)，设直线 AM，AN 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1·k2 为定值．
专题9.7---圆锥曲线综合问题--学生版
专题9.7圆锥曲线综合问题1．（2021·河南高三开学考试（文））已知过3,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与抛物线()230y x x =>交于A ，B 两点，M 为弦AB 的中点，O 为坐标原点，直线OM 与抛物线的另一个交点为N ，则两点N 、M 纵坐标的比值范围是（）A ．()2,+∞B ．()3,+∞C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞2．（2021·全国高三专题练习）已知直线2y x m =+与椭圆22:15xC y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点.当AOB 的面积取得最大值时，AB =（）A ．21B ．21C ．7D ．73．（2021·全国高三专题练习）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“OA OB →→⋅＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件4.（2021·全国高三专题练习）已知A 、B 是抛物线22(0)y Px P =>的两点，O 为坐标原点，若||||OA OB =且ABO 的内心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（）A ．2Px =B ．34P x =C ．1)2Px =D ．52P x =5．（2022·江苏高三专题练习）设抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点()4,P m 是抛物线C 上一点，且5PF =．设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若OA OB ⊥（O 为坐标原点）．则直线l 过定点（）．A ．(1,0)B ．(2,0)C ．(4,0)D ．(3,0)6．（2022·北京石景山区·）过椭圆221259x y +=的右焦点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，椭圆上不同的两点1122(,),(,)A x y C x y ，满足条件：222||,||,||F A F B F C 成等差数列，则弦AC 的中垂线在y 轴上的截距的范围是（）A ．160,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．160,25⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1616,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1616,2525⎛⎫-⎪⎝⎭7．【多选题】（2021·重庆实验外国语学校高三开学考试）如图，P 为椭圆1C ：22186x y +=上的动点，过P 作椭圆1C 的切线交圆2C ：2224x y +=于M ，N ，过M ，N 作2C 切线交于Q ，则（）A ．OPQ SB ．OPQ SC ．Q 的轨迹方程是2213648x y+=D ．Q 的轨迹方程是2217296x y +=8．【多选题】（2021·江苏南京市第二十九中学高三开学考试）已知F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，下列结论正确的是（）A ．抛物线2y ax =的的焦点到其准线的距离为12a．B ．已知抛物线C 与直线l ：4320x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，若||||AF FB λ=，则4λ=．C ．过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则四边形ADBE 面积的最小值为28p ．D ．若过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点，过点M ，N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，切线1l 与2l 相交于点P ，则点P 在定直线上．9．（2021·全国高三专题练习）设椭圆22:14x C y +=的左焦点为F ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则AFB △周长的取值范围是_________10．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________．1．（2021·全国高二课时练习）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点(),0F c 的弦中最短弦长是（）A ．22b a B ．22a bC ．22c a D ．22c b2．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A．①B．②C．①②D．①②③3．（2020·四川武侯·成都七中高二月考（理））已知点P 是椭圆221(0)1612x y xy +=≠上的动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且10F M MP ⋅= ，则||OM的取值范围是（）A ．(0,2)B ．C ．(0,4)D ．(2,4．【多选题】（2021·济宁市育才中学）已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 右支上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若圆()2221x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则（）A ．双曲线C 的离心率e =B ．当点P 异于顶点时，12PF F △的内切圆的圆心总在直线2x =C ．PA PB ⋅为定值D ．AB 的最小值为325．【多选题】（2021·全国高二期中）椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF 的周长为8B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF =C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为36．（2021·山东）已知圆()221:31C x y ++=，()222:381C x y -+=，动圆C 与圆1C ､2C 都相切，则动圆C 的圆心轨迹E 的方程为___________；直线l 与曲线E 仅有三个公共点，依次为P ､Q ､R ，则PR 的最大值为___________.7．（2021·深圳实验学校高中部高二期末）如图，已知抛物线21:2C y x =直线2y kx =+交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点.（1）证明：OA OB ⊥；（2）设抛物线C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，证明：1l 与2l 的交点M 在一定直线上.8.（2021·浙江温州·高二期末）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线:2l y kx =+交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，点P 为直线1l ，2l 的交点.（i ）求证：点P 在一条定直线上；（ii ）求PAB △面积的取值范围.9.（2021·四川南充·（文））设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率k ()0k >的直线l 与C 交于A ，D 两点，8AD =.（1）求k ；（2）若()02B x ，在C 上，过点B 作C 的弦BP ，BQ ，若BP BQ ⊥，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标.10．（山东高考真题（理））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.1．（2021·全国高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.2.（2020·山东高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点O ，椭圆2214x y +=的顶点分别为1A ，2A ，1B ，2B ，其中点2A 为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点1A 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且()12//OM ON B A +，求直线l 的方程.3．（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．4．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．5.（2021·全国高考真题（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．6.（2019·全国高考真题（理））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i）证明：PQG 是直角三角形；（ii）求PQG 面积的最大值.。
(完整版)圆锥曲线专题
圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．1.设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0. 由Ax+0(,)0{By c f x y +==，消元。
如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2.“点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为kP 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2| |P 1P 2|(2)当斜率k (利用轴上两点间距离公式)．4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k＝p y 0. 题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】 已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →.(1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ；(2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．[思维启迪](1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值． 解析：(1)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)解 由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16，∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4，＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ2＋4⎝⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.[探究提高]圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．变式训练1 (2012·四川)如图，动点M 与两定点 A (－1,0)、B (1,0)构成△MAB ，且直线MA 、MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程．(2)设直线y ＝x ＋m (m >0)与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |<|PR |.求|PR ||PQ |的取值范围．解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；此时，MA 的斜率为yx ＋1，MB 的斜率为yx －1.由题意，有y x ＋1·yx －1＝4.化简可得，4x 2－y 2－4＝0. 故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2－y 2－4＝0(x ≠1且x ≠－1)．(2)由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，4x 2－y 2－4＝0消去y ，可得3x 2－2mx －m 2－4＝0.(*)对于方程(*)，其判别式Δ＝(－2m )2－4×3(－m 2－4)＝16m 2＋48>0， 而当1或－1为方程(*)的根时，m 的值为－1或1. 结合题设(m >0)可知，m >0且m ≠1. 设Q 、R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )， 则x Q ，x R 为方程(*)的两根．因为|PQ |<|PR |，所以|x Q |<|x R |，x Q ＝m －2m 2＋33，x R ＝m ＋2m 2＋33.所以|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ＝21＋3m 2＋121＋3m 2－1＝1＋221＋3m 2－1. 此时1＋3m2>1，且1＋3m 2≠2，所以1<1＋221＋3m 2－1<3，且1＋221＋3m2－1≠53， 所以1<|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q <3，且|PR ||PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x R x Q ≠53.综上所述，|PR ||PQ |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3.题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题【例2】 已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．[思维启迪]可设直线AE 的斜率来计算直线EF 的斜率，通过推理计算消参． 解析(1)解 由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1.得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以x E ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32－k 2－123＋4k 2y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得x F ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k ，所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k x E ＋x F ＋2k x F －x E ＝12， 即直线EF 的斜率为定值，其值为12.[探究提高]求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．变式训练2 椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32且离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c2＝1.又椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，将其代入求得c 2＝1，故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－163＋4k 2m 2－3>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k2.①又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k 2.∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，由①，得3＋4k 2－m 2>0，当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾． 当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.题型三 圆锥曲线中的探索性问题【例3】 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[思维启迪]可先假设l 存在，然后根据与C 有公共点和与OA 距离等于4两个条件探求． 解析解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)． 从而有⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且有⎩⎨⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一． [探究提高]解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确．变式训练3 (2012·江西)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2. (1)求曲线C 的方程；(2)动点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点P (0，t )(t <0)，使得l 与PA ，PB 都相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，|MA →＋MB →|＝－2x2＋2－2y2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得－2x2＋2－2y2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程：x 2＝4y . (2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件， 则直线PA 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，它与y 轴的交点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－x 204.由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1.①当－1<t <0时，－1<t －12<－12，存在x 0∈(－2,2)，使得x 02＝t －12，即l 与直线PA 平行，故当－1<t <0时不符合题意． ②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 02，所以l 与直线PA ，PB 一定相交．分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x24，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 02x －x 24，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t2x 0＋1－t，x E ＝x 20＋4t2x 0＋t －1，则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4tx 20－t －12.又|FP |＝－x 204－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t8·x 20＋4t 2t －12－x 20，又S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·x 20－4[x 20－t －12]x 20＋4t2＝41－t ·x 40－[4＋t －12]x 20＋4t －12x 40＋8tx 20＋16t2.对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QAB S △PDE为常数，即只需t 满足⎩⎨⎧－4－t －12＝8t ，4t －12＝16t 2. 解得t ＝－1.此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2. 该直线恒过一个定点A (12，0)．19.圆锥曲线中的函数思想 思想与方法典例：(12分)已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标． 审 题 视 角(1)引入参数PQ 中点的纵坐标，先求k PQ ，利用直线PQ 的方程求解． (2)建立|PB |关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值．规 范 解 答(1)证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎨⎧x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n， ∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)，∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A (12，0)．当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A (12，0)．综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A (12，0)．(2)解 由于点B 与点A 关于原点O 对称， 故点B (－12，0)．∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]， |PB |2＝(x 1＋12)2＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝32.温 馨 提 醒(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题．求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值．(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ 的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ 的中点．第二个易错点是，易忽视P 点坐标的取值范围．实质上是忽视了椭圆的范围.思想方法·感悟提高 方 法 与 技 巧1．解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，可将直线方程y ＝kx＋c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1整理出关于x (或y )的一元二次方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，Δ＝B 2－4AC >0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为1＋k 2Δ|A |)．2．圆锥曲线综合问题要四重视： (1)重视定义在解题中的作用；(2)重视平面几何知识在解题中的作用； (3)重视根与系数的关系在解题中的作用；(4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．失 误 与 防 范 1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况． 2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．练出高分A 组 专项基础训练1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为 ( ) A ．1 B ．1或3 C ．0 D ．1或0解 析由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，若Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1.2．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△FAB 的最大面积为( ) A ．b 2 B ．ab C ．acD ．bc解 析设A 、B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)， 则S △FAB ＝12|OF ||2y 1|＝c |y 1|≤bc .3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2解 析记抛物线y 2＝2px 的准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，BC ⊥AA 1，垂足分别是A 1、B 1、C ，则有cos 60°＝|AC ||AB |＝|AA 1|－|BB 1||AF |＋|BF |＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝3，选C.4．(2011·山东)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解 析∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.5．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.解 析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知x 1＋x 2＝2，且x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减整理得，y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝12，所以直线AB 的方程为x －2y ＋7＝0.将x ＝2y －7代入 x 2＝4y 整理得4y 2－32y ＋49＝0，所以y 1＋y 2＝8，又由抛物线定义得|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋2＝10.6．已知椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝______.将x ＝－3代入椭圆方程得y p ＝12，由|PF 1|＋|PF 2|＝4⇒|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.7．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于不同两点A 、B ，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是________．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎨⎧Δ＝[－4k ＋2]2－4×k 2×4>0，x 1＋x 2＝4k ＋2k 2＝2×2，∴⎩⎨⎧k >－1，k ＝－1或k ＝2， 即k ＝2.8．(10分)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为原点)．(1)求证：1a 2＋1b2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 由⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0，∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ>0， 即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)>0 ⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0， ∵a >b >0，∴a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两实根． ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 21－b 2a 2＋b 2.由OP ⊥OQ 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2，得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0. 式②代入式③化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2. ④∴1a 2＋1b2＝2. (2)解 利用(1)的结论，将a 表示为e 的函数由e ＝c a⇒b 2＝a 2－a 2e 2，代入式④，得2－e 2－2a 2(1－e 2)＝0. ∴a 2＝2－e 221－e 2＝12＋121－e 2.∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32. ∵a >0，∴52≤a ≤62.∴长轴长的取值范围为[5，6]．9．(12分)给出双曲线x 2－y 22＝1.(1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程； (3)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4.故求得直线方程为4x －y －7＝0.(2)设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 按照(1)的解法可得y 1－y 2x 1－x 2＝2xy， ①由于P 1，P 2，P ，A 四点共线，得y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，②由①②可得2x y ＝y －1x －2，整理得2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，检验当x 1＝x 2时，x ＝2，y ＝0也满足方程，故P 1P 2的中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x ＋y ＝0.(3)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎨⎧y ＝2x －1，x 2－y22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．练出高分B 组 专项能力提升1．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为 ( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解 析∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则x 2a 2－x －32b 2＝1.整理，得 (b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6a 2a 2－b2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2.又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5，∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.2．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 ( ) A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解 析设直线AB 的方程为y ＝x ＋b .由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋3y ＝x ＋b⇒x 2＋x ＋b －3＝0⇒x 1＋x 2＝－1， 得AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b .又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b 在直线x ＋y ＝0上，可求出b ＝1，∴x 2＋x －2＝0，则|AB |＝1＋12·－12－4×－2＝3 2.3．如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 解 析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p >0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.4．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是______________．∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m ≤1，m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >1，b >0)的焦距为2c ，离心率为e ，若点(－1,0)与(1,0)到直线x a －yb＝1的距离之和s ≥45c ，则e 的取值范围是__________．解 析由题意知s ＝|－b －ab |a 2＋b 2＋|b －ab |a 2＋b 2＝2ab c ≥45c ， ∴2c 2≤5ab ，∴2c 2a 2≤5b a.又b a ＝c 2－a 2a2＝e 2－1，∴2e 2≤5e 2－1，∴4e 4≤25(e 2－1)，∴4e 4－25e 2＋25≤0， ∴54≤e 2≤5，∴52≤e ≤ 5. 6．若过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为____________．如图，过A 、B 分别作AD 、BE 垂直于准线，垂足分别为D 、E .由|BC |＝2|BF |，即|BC |＝2|BE |，则∠BCE ＝30°，又|AF |＝3，即|AD |＝3，|AC |＝6， ∴F 为AC 的中点，KF 为△ACD 的中位线， ∴p ＝|FK |＝12|AD |＝32，所求抛物线方程为y 2＝3x .7．(13分)(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．(1)解 双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明 设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b .因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明 当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |>22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎨⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2， 所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．。
圆锥曲线综合压轴,点轨迹、共线、四点共圆问题,含详细参考答案
圆锥曲线综合(一)1.交轨法2.三点共线3.四点共圆4.定值问题典型例题例1双曲线12222=-by a x 的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.例2抛物线)0(22>=p px y ，O 为坐标原点，A 、B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，过O 作OP ⊥AB 交AB 于P ，求P 点轨迹方程.例3已知抛物线：x y 42=焦点为F ，过点K(-1，0)的直线l 与C 交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，证明点F 在直线BD 上.例4已知椭圆在焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y x 42=的焦点，离心率为52，过椭圆右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点M(m ，0)是线段OF 上的一个动点，且→→→⊥+AB MB MA )(，求m 的取值范围.(3)设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由.例5已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：1222=+y x 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足→→→→=++0OP OB OA (1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.例6设A 、B 是双曲线1222=-y x 上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的中垂线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？例7已知椭圆1422=+y x 的左右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心离为5的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直接AP 与椭圆相交于另一点T.(1)求曲线C 的方程；(2)设P 、T 两点的横坐标分别为x 1、x 2,证明：x 1x 2=1例8已知椭圆E:)0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点为F 1(3-,0),而且过点H(213，)(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的上下顶点分别为A 1、A 2,P 是椭圆上异于A 1、A 2的任一点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于N 、M ，若直线OT 与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T ，证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值.练习1已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y a x 的右焦点，点M(m ,0)、N(0,n )分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0NF MN =⋅→→，若点P 满足→→→+=POON 2OM (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x=-a 分别交于点S 、T(O 为坐标原点)，试判断→→⋅FT FS 是否为定值？若是求出这个定值；若不是，说明理由.参考答案例1设点P(00,y x ),Q(x,y ),易知A 1(-a ,0)、A 2(a ,0),由已知可得10000-=+-⋅+-a x y a x y ①10000-=--⋅--ax y a x y ②，由①②可得ya x y x x 2200,-=-=，而P(00,y x )在双曲线上，代入可得42222a y b x a =-(a x ±≠)例2设P(x,y ),A(11,y x ),B(22,y x ),设直线AB 的解析式为x=my+b ,与抛物线联立得0222=--pb mpy y 得pb y y mp y y 2,22121-==+，222221214b py y x x ==，而OA ⊥OB 得02121=+y y x x 可得b =2p ，OP ⊥AB 得1100-=⋅--m x y 得x y m -=,P 在直线AB 上，代入可得p y xy x 2+⋅-=即222)(p y p x =+-；另法：由b=2p 知直线AB 过定点M(2p,0),△OMP 为直角三角形，OM=2p ，故点P 在以OM 为直径的圆上，故P 点的轨迹方程为222)(p y p x =+-例3设A(11,y x )、B(22,y x )设直线AB 的方程为)1(+=x k y ，与抛物线联立得0)42(222=+-+k x k x k 得1,2421221=-=+x x k x x ，易知D(11,y x -),,4414121211111--=--=--=y y y y x y k DF 441411412111111221--=-=-=-=y y x y x x y x y k BF BF DF k k =，故F 在BD 上例4(1)1522=+y x ；(2)设直线AB 解析式为)2(-=x k y 与椭圆联立得052020)51(222=-+-+k x k x k 得2221222151520,5120k k x x k k x x +-=+=+，))4(,2(),2(MB MA 21212121-+-+=+-+=+→→x x k m x x y y m x x ，))(,(),(AB 12121212x x k x x y y x x --=--=→，故0)]4(2)[())(4())(2()(2122112122121221=-++-+-=--++--+=⋅+→→→x x k m x x x x x x x x k x x m x x AB MB MA 得0582>-=m m k 得580<<m (3)易知C(11,y x -),直线BC 的方程为)(112211x x x x y y y y --+=+，令y=0，则254)2)(()4()]2()[()(211121211121211121=-+--+=-+--+=+-+=x x x x x x x x k x k x x x y y y x x x x ，故点N(25,0)例5(1)设A(11,y x ),B(22,y x )直线AB 方程为12+-=x y 与椭圆联立得012242=--x x ，1,222121=+=+y y x x 得P(122--),代入验证可知点P 在椭圆上；(2)易知点Q(122，),AB 的中垂线为4122+=x y ，PQ 的中垂线为+-=x y 22，两直线的交点为M(8182，-),而易验证MA=MQ,故A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上例6(1)设A(11,y x ),B(22,y x ),则有12,1222222121=-=-y x y x 两式相减得1221212121=++⋅=--y y x x x x y y 故直线AB 的方程为1+=x y (2)易知A(-1,0),B(3,4),AB 的中垂线为3+-=x y ，与双曲线联立得01162=-+x x ,CD 的中点为M(-3,6),CD=410,MA=MB=210,故A 、B 、C 、D 四点共圆例7(1)1422=-y x (2)P(11,y x ),T(22,y x ),设直线PT 方程为)1(+=x k y 与双曲线联立得0)4(2)4(222=+---k kx x k 得22144k k x -+=，同理与椭圆联立得042)4(2222=-+-+k x k x k 得22144kk x +-=，故121=x x 例8(1)1422=+y x (2)设P(00,y x ),A 1P 方程为1100+-=x x y y 可得N(100--y x ,0),同理A 2P 方程为1100-+=x x y y ，M(0100，+y x )由切割线定理得OT 2=OM ·ON=411120200000=-=+--y x y x y x ，故OT=2练习1(1)设点P(y x ,),易知,0),)(,(=--n a n m 即有02=+ma n ，同时m =),(),0(2y x n --+即有y n x m =-=2,代入得axy 42=(2)设A(11,y x ),B(22,y x ),直线AB 的解析式为a my x +=联立得04422=--a amy y ，221214,4a y y am y y -==+，可知OA 方程为1114y ax x x y y ==得S(124,y a a --)；同理OB 方程为2224y ax x x y y ==,T(224,y a a --),044164)4,2)(4,2(FT FS 2221222212=-=+=----=⋅→→a a y y a a y a a y a a。
专题27 圆锥曲线与四心问题 微点2 圆锥曲线与外心问题(学生版)
专题27 圆锥曲线与四心问题 微点2 圆锥曲线与外心问题专题27 圆锥曲线与四心问题 微点2 圆锥曲线与外心问题 【微点综述】与三角形的内心、外心、重心、垂心有关的数学问题在前几年经常被选人各级各类竞赛试题中，随着当今高考试题变知识立意为能力立意，这类题目便出现在全国各省市高考模拟试题中，特别是近几年各地高考试题都以大题的形式出现，充当“把关题”的重要角色．这类问题涉及知识面广，极富思考性和挑战性，学生求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜！下面，笔者从全国部分省市高考模拟试卷中精选出一些与外心有关的典型例题并予以分类导析，旨在探索解题规律，总结解题方法． 一、三角形外心的定义三角形的外心：三角形外接圆的圆心，称为外心，三角形三条边的垂直平分线的交点，就是三角形的外心． 二、三角形外心重要结论（1）O 是ABC 的外心OA OB OC ⇔==（或222OA OB OC ==）；（2）若点O 是ABC 的外心，则()()()OA OB AB OB OC BC OA OC AC +⋅=+⋅=+⋅=0． （3）若O 是ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；（4）斜三角形外心坐标：sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2,sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2A B C A B C x A x B x C y A y B y C O A B C A B C ++++⎛⎫⎪++++⎝⎭； （5）多心组合：ABC 的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即OG ∥OH ； （6）焦点三角形外心轨迹方程：∥动点P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上异于椭圆顶点()0,a ±的一点，12,F F 为椭圆的左、右焦点，设焦点三角形12PF F 的外心为E ，则外心E 的轨迹方程为0x =（222b c y b -≥或222c b y b-≤）．∥动点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上异于双曲线顶点()0,a ±的一点，12,F F 为双曲线的左、右焦点，设焦点三角形12PF F 的外心为E ，则外心E 的轨迹方程为0x =．证明：只证双曲线情形．如图1，设点P 坐标为()00,P x y ，则有00y ≠，∥点E 在12F F 的垂直平分线上，∥可设()10,E y ．2PF 的垂直平分线的方程为000022y x c x c y x y -+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，而点E 在其上，因此22001022x c y y y -=+．P 在双曲线上，2222000122201,22x y c y b y a b b y ∴-=∴=-，由于()()01,00,,y y ∈-∞+∞∴∈R ，因此点E 的轨迹方程为0x =．同理可证椭圆情形．图1三、典型例题精析1．已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1x C y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．3C D ．52．设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．2D 3．已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F 的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F 的面积为8时，a 的最小值为( )A ．4B ．C ．D ．24．已知椭圆22116x y m +=和双曲线221412x y m-=-，其中012m ＜＜，若两者图像在第二象限的交点为A ，椭圆的左右焦点分别为B 、C ，T 为∥ABC 的外心，则•AT BC 的值为_____.5．已知点12F F ，分别为双曲线()222210,0x yC a b a b-=>>：的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点2F 恰好为1F AB 的外心，若11()0BF BA AF +⋅=，则C 的离心率为__________. 6．已知椭圆221164x y +=的下顶点为A ，若直线4x ty =+与椭圆交于不同的两点M 、N ，则当t =_____时，AMN ∆外心的横坐标最大．7．1F ,2F 分别为双曲线22221(,0)x ya b a b-=>的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆31-，则该双曲线的离心率为_______.8．已知点P 2()222210,0x y a b a b-=>>上，12F F 、为双曲线的两个焦点，且210PF PF ⋅=，则12PF F ∆的内切圆半径r 与外接圆半径R 之比为______.9．已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,AB 重合）．设ABQ △的外心为G ，则2AB GF 的值为____________． 10．设(),0F c 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右焦点，以F 为圆心，b 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，线段FP 的中点为D ，∆POF 的外心为I ，且满足()0OD OI λλ=≠，则双曲线E 的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 511．已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1xC y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B ．3C 5D ．512．已知斜率为1的直线与抛物线24y x =交于,A B 两点，若OAB ∆的外心为(M O 为坐标原点）,则当AB MO最大时，AB =____.【强化训练】13．已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F △的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F △的面积为8时，a 的最小值为__________．14．已知点(2,0)A ，,B C 在y 轴上，且4BC =，则ABC 外心的轨迹S 的方程_______________；15．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的方程为2212x y +=，设经过点()2,0P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，点(),0Q m ．设点F 为椭圆C 的左焦点，若点Q 为FAB 的外心，则实数m 的值_______．16．设点M 、N 分别是不等边ABC 的重心与外心，已知(0,1)A 、(0,1)B -，且MN AB λ=．则动点C 的轨迹E ______；17．在直角坐标系xOy 中直线4y x =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点．若D 为直线4y x =+外一点，且ABD △的外心M 在C 上，则M 的坐标为 _________．18．如图，椭圆221:14x C y +=，抛物线22:2(0)C x py p =>，设1C 、2C 相交于A 、B 两点，O为坐标原点．若ABO 的外心在椭圆上，则实数p 的值_______；19．设椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点．设过点A 作x轴的垂线交C 于另一点P ，若M 是PAB △的外心，则AB MF的值为__________．20．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在圆O ：225x y +=上，直线2x =与圆O 交于E ，F 两点（E 点在x 轴上方），点()1,02P m n m ⎛⎫<< ⎪⎝⎭是抛物线22y x =上的动点，点Q 为PEF 的外心，则线段OQ 长度的最大值为___，当线段OQ 长度最大时，则PEF 外接圆的标准方程为_____________．21．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点，12,F F 分别为C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为A 2B ．2C 23D ．2或322．已知椭圆22116x y m +=和双曲线221412x y m-=-，其中012m ＜＜，若两者图像在第二象限的交点为A ，椭圆的左右焦点分别为B 、C ，T 为∥ABC 的外心，则•AT BC 的值为_____.23．P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上的一点，12,F F 分别为左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的3倍，则双曲线C 的离心率为 A ．32B ．43C ．32或32D ．434324．已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F △的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F △的面积为8时，a 的最小值为__________．25．F 1，F 2分别为双曲线22221x y a b-=（a ，b >0）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足12PF PF ⋅=0，若∥PF 1F 2的内切圆半径与外接圆半径之比为13，则该双曲线的离心率为_____.26．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知ABC 的顶点()2,0A ，()0,4B ，若其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标_____________.27．已知1F 、2F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，G 、I 分别为12F PF △的重心、内心．若GI x 轴，则12F PF △的外接圆半径R =______．28．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）．设ABQ △的外心为G ，则2||AB GF 的值为__________。
专题03 圆锥曲线中的中点弦问题(解析版)
专题03 圆锥曲线中的中点弦问题一、单选题1．已知椭圆22134x y +=的弦被点(1,1)平分，那么这条弦所在的直线方程为（ ）A ．4370x y +-=B ．4370x y --=C ．3410x y +-=D ．3410x y --=【答案】A 【分析】设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解. 【详解】设这条弦与椭圆22134x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y ，由(1,1)在椭圆内，由中点坐标公式知122x x +=，122y y +=，把()11,P x y ，()22,Q x y 代入22134x y +=，可得221122221,341,34x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ， ①-①可得()()1212860x x y y -+-=，121243y y k x x -∴==--，∴这条弦所在的直线方程为()4113y x -=--， 即为4370x y +-=.则所求直线方程为4370x y +-=. 故选：A2．已知椭圆22:143x y C +=，过点()11P ，的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若点P 恰为弦AB 中点，则直线l 斜率是（ ） A ．3- B ．13-C ．34-D ．43-【答案】C 【分析】设出,A B 的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，则2211143x y +=，2222143x y +=， 两式相减得2222121243x x y y =---， 所以1212121233234424y y x x x x y y -+=-⨯=-⨯=--+，即直线l 斜率是34-. 故选：C 【点睛】方法点睛：一般涉及到弦的中点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.3．直线1y kx =+与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，若AB 中点的横坐标为1，则k =（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．1【答案】C 【分析】代入消元得关于x 一元二次方程，再用韦达定理即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y把1y kx =+代入2214x y +=得()221480k x kx ++=，122814kx x k +=-+，因为AB 中点的横坐标为1， 所以24114k k -=+，解得12k =-. 故选:C 【点睛】用韦达定理解决直线与圆锥曲线交点问题是常用的方法，需要注意直线与圆锥曲线是否有交点，可用∆判断.4．已知抛物线2:4C y x =，以()1,1为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．230x y ++=【答案】A 【分析】设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，可得出121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，利用点差法可求得直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程. 【详解】设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点. 若直线AB 垂直于x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意. 所以，直线AB 的斜率存在，由于点()1,1为线段AB 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，可得21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得()()()22121212124y y y y y y x x -=+⋅-=-，所以，直线AB 的斜率为12121242AB y y k x x y y -===-+，因此，直线AB 的方程为()121y x -=-，即210x y --=.【点睛】本题考查抛物线的中点弦问题，考查点差法的应用，同时也可以利用直线与抛物线方程联立，结合韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.5．已知椭圆G ：22221x y a b+=(0a b >>)的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点.若AB的中点坐标为()1,1-，则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D 【分析】先设()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程，两式作差整理，得到2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，根据弦中点坐标，将式子化简整理，得到222a b =，根据222a b c =+且3c =，即可求出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，又过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点坐标为()1,1-，所以121222x x y y +=⎧⎨+=-⎩，()12120131AB y y k x x ---==--，即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-，由于222a b c =+且3c =，由此可解得218a =，29b =，故椭圆E 的方程为221189x y +=.【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.6．在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线26y x =的焦点，A 、B 是抛物线上两个不同的点．若AF BF +5=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【分析】本题先设11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，并判断线段AB 的中点到y 轴的距离为122x x +，再求12x x +，最后求解. 【详解】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为：122x x +， 根据抛物线的定义：12AF BF x x p +=++， 整理得：12532x x AF BF p +=+-=-=， 故线段AB 的中点到y 轴的距离为：1212x x +=， 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义，是基础题.7．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M的坐标为95,77⎛⎫-⎪⎝⎭，则C 的方程为（ ） A ．22195x y +=B ．2215x y +=C ．22162x y +=D ．221106x y +=【答案】A 【分析】设,A B 以及AB 中点M 坐标，利用“点差法”得到,AB MO k k 之间的关系，从而得到22,a b 之间的关系，结合()2,0F 即可求解出椭圆的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-， 又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+， 而12121AB y y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯， 所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==， 椭圆方程为：22195x y +=.故选：A. 【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.8．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为（1，-1），则G 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设出,A B 两点的坐标，利用点差法求得,a b 的关系式，结合222a b c =+求得22,a b ，进而求得椭圆E 的方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-， 即()22222201111213122b b a b a a ----=⨯=-⇒=⇒=-,由于222a b c =+且3c =，由此可解得2218,9a b ==，故椭圆E 的方程为221189x y +=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.9．直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A 【分析】利用点差法，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-，即()()()1212124y y y y x x +-=-， 当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k = 故选：A 【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为FF 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．12【答案】C 【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率. 【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩， 两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=， 所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b bx x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.11．已知椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>，过M 的右焦点(3,0)F 作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点坐标为(2,1)，则椭圆M 的方程为（ ）A ．22196x y +=B ．2214x y +=C ．221123x y +=D ．221189x y +=【答案】D 【分析】设,A B 以及AB 中点P 坐标，利用“点差法”得到,AB PO k k 之间的关系，从而得到22,a b 之间的关系，结合()3,0F 即可求解出椭圆的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()2,1P，所以01132ABPF kk -===--， 又2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+， 而12121AB y y k x x -==--，1212211222y y x x +⨯==+⨯，所以2212b a =，又3c =， ①22189a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆方程为：221189x y +=.故选：D. 【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.12．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（ ）A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=-即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++-=，①22123648(75)02b b b x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，而121x x =+，故2b =-， ①:32AB y x =-，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =-， 故选：C 【点睛】本题考查了求椭圆的弦中点坐标，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.13．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BC ．13D【答案】B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-， 所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--， 所以22212b a =， 即2a b =，所以c e a ===， 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．13B ．32C ．12D ．1【答案】C【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-①得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．二、多选题15．已知椭圆C ：22148x y +=内一点M (1，2)，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的焦点坐标为(2，0)、(-2，0）B ．椭圆C的长轴长为C ．直线l 的方程为30x y +-=D．3AB = 【答案】CD【分析】 由椭圆方程22148x y +=可得焦点在y轴上，且2,2a b c ===，即可判断AB ；利用点差法可求出直线斜率，即可得出方程，判断C ；联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长即可判断D.【详解】由椭圆方程22148x y +=可得焦点在y轴上，且2,2a b c ===， ∴椭圆的焦点坐标为()()0,2,0,2--，故A 错误；椭圆C的长轴长为2a =，故B 错误；可知直线l 的斜率存在，设斜率为k ，()()1122,,,A x y B x y ， 则22112222148148x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212048x x x x y y y y -+-++=， ()()121224048x x y y --∴+=，解得12121y y k x x -==--， 则直线l 的方程为()21y x -=--，即30x y +-=，故C 正确； 联立直线与椭圆2230148x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得23610x x -+=， 121212,3x x x x ∴+==，3AB ∴==,故D 正确. 故选：CD.【点睛】易错点睛：已知椭圆方程，在求解当中，一定要注意焦点的位置，本题的焦点在y 轴上，在做题时容易忽略焦点位置，判断错误.三、填空题16．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩从而12012012412x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨+⎪==-⎪⎩，即1(,1)4M --， 又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212120022112BC y y k x x y y y y -=====--+ 故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x -+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝0【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与弦有关的问题常用点差法：先设出弦的端点坐标，再代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点坐标和弦的斜率的关系. 17．设A ､B 是椭圆22336x y +=上的两点，点(1,3)N 是线段AB 的中点，直线AB 的的方程为__________.【答案】40x y +-=【分析】设出A ，B 点坐标，根据两点在椭圆上，代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，即可化简，求出直线AB 的斜率，再根据斜率和直线上的定点坐标，写出点斜式方程．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22111212121222223363()()()()0336x y x x x x y y y y x y ⎧+=⎪∴-++-+=⎨+=⎪⎩，依题意，1212123(),AB x x x x k y y +≠∴=-+． (1,3)N 是AB 的中点， 122x x ∴+=，126y y +=，从而1AB k =-.所以直线AB 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-=．故答案为：40x y +-=【点睛】方法点睛：圆锥曲线里与中心弦有关的问题，常用点差法：首先设弦的端点坐标1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，再把点的坐标代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点和直线的斜率的关系式.18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点（4，0）的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 中点坐标为（2，﹣1），则椭圆E 的离心率为_______【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，两式作差，利用离心率公式即可求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， 则2211221x y a b+=，① 2222221x y a b+=，① ①-①可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=， 因为AB 中点坐标为（2，﹣1），则124x x +=，122y y +=-，所以()2122120121422y y b x x a ---===--， 所以224a b =，因为222b a c =-，所以2234a c =，所以2c e a ==.19．已知双曲线方程是2212y x -=，过定点(2,1)P 作直线交双曲线于12,P P 两点，并使P 为12PP 的中点，则此直线方程是__________________．【答案】47y x =-【分析】设111222(,),(,),P x y P x y 得221122222222x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相减化简得直线的斜率，即得直线的方程. 【详解】由题得2222x y -=，设111222(,),(,),P x y P x y所以221122222222x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 两式相减得121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=，由题得12124,2x x y y +=+=，所以12128()2()0x x y y ---=，因为12x x ≠，所以12124y y k x x -==-， 所以直线的方程为14(2),y x -=-即47y x =-.故答案为：47y x =-【点睛】方法点睛：点差法：圆锥曲线里遇到与弦的中点有关的问题，常用点差法.先设弦的端点111222(,),(,),P x y P x y 再代点的坐标到圆锥曲线的方程，再两式相减得到直线的斜率和弦的中点的关系式. 再化简解题.20．已知椭圆E ：221189x y +=过椭圆内部点()1,1C -的直线交椭圆于M ，N 两点，且MC CN =则直线MN 的方程为_____________.【答案】230x y --=【分析】由已知条件得到C 为MN 的中点，利用中点坐标公式得到122x x +=，设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理得到21224412k k x x k++=+即可得出结果. 【详解】由MC CN =，可知C 为MN 的中点，又()1,1C -,不妨设直线MN 的方程为：()11y k x +=-，设点()()1122,,,M x y N x y ，则122x x +=，①将直线MN 的方程代入椭圆的方程消y 得：()22211180x k x +---=⎡⎤⎣⎦， 化简整理得：()()2222124424160k x k k x k k +-+++-=， 由韦达定理得：21224412k k x x k++=+，① 由①①得：12k =， 所以直线MN 的方程为：()1112y x +=-， 即直线MN 的方程为：230x y --=. 故答案为：230x y --=.【点睛】关键点睛：确定C 为MN 的中点以及直线与椭圆的方程联立利用韦达定理求解是解决本题的关键.21．已知双曲线2214x y -=和点()3,1P -，直线l 经过点P 且与双曲线相交于A 、B 两点，当P 恰好为线段AB 的中点时，l 的方程为______．【答案】3450x y +-=【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可求得直线l 的方程，进而可得出直线l 的方程.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线l x ⊥轴，则A 、B 两点关于x 轴对称，则点P 在x 轴上，不合乎题意.由于()3,1P -为线段AB 的中点，则12123212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，可得121262x x y y +=⎧⎨+=-⎩， 将点A 、B 的坐标代入双曲线的方程可得221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 上述两式相减得222212124x x y y -=-，可得2212221214y y x x -=-，即1212121214y y y y x x x x -+⋅=-+， 所以，12121134y y x x -⎛⎫⋅-= ⎪-⎝⎭，所以，直线l 的斜率为121234y y x x -=--， 因此，直线l 的方程为()3134y x +=--，即3450x y +-=. 故答案为：3450x y +-=.【点睛】 利用弦的中点求直线的方程，一般利用以下两种方法求解：（1）点差法：设弦的两个端点坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，代点作差求得直线的斜率，进而利用点斜式可求得直线的方程；（2）设直线的点斜式方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理求得直线的斜率，进而可求得直线的方程.22．已知抛物线2:4,C x y =AB 为过焦点F 的弦，过,A B 分别作抛物线的切线，两切线交于点P ，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则下列结论正确的有________．①若直线AB 的斜率为-1，则弦8AB =；①若直线AB 的斜率为-1，则02x =；①点P 恒在平行于x 轴的直线1y =-上；①若点(,)M M M x y 是弦AB 的中点，则0M x x =．【答案】①①①【分析】设P A ①方程()1124x x y k x -=-与抛物线方程24x y =联立，利用判别式求出12x k =，可得P A ①方程，同理可得PB ①方程,联立PA 与PB 的方程求出点P 的坐标，可知①正确；①直线AB 的方程为1y tx =+，与抛物线方程24x y =联立，当1t =-时，利用韦达定理求出0x 与0y 可知①错误，①正确；当1t =-时，利用抛物线的定义和韦达定理可得弦长||8AB =，可知①正确．【详解】 设P A 方程()1124x x y k x -=-与抛物线方程24x y =联立得2211440x kx kx x -+-=① 由2211Δ161640k kx x =-+=得12x k =， PA ∴方程为2111()42x x y x x -=-，同理得PB 方程2222()42x x y x x -=-， 联立21112222()42()42x x y x x x x y x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以交点P 1212,24x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1202M x x x x +==，所以①正确； 根据题意直线AB 的斜率必存在①①直线AB 的方程为1y tx =+，联立21040y tx x y --=⎧⎨-=⎩，消去y 并整理得2440x tx --=，由韦达定理得121244x x t x x +=⎧⎨⋅=-⎩①12014x x y ∴==-，所以①正确； 当t =-1时，12022x x x +==-，所以①错误， 当t =-1时，根据抛物线的定义可得1212||(2()2)p AB y y y y p p =+---=-++ ()12121124448x x x x =-+-++=-++=+=，所以①正确．故答案为：①①①【点睛】关键点点睛：设出切线方程，利用判别式等于0，求出切线方程，联立切线方程求出交点P 的坐标是解题关键.23．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c，且=c ，若椭圆E 经过,A B 两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为_________.【答案】240x y -+=【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB 的中点M ，求出直线斜率，即可得到直线方程.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y , 代入椭圆方程可得：2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=①， ①-①得：2212122121()()y y b x x x x a y y -+=--+，由=c 可得22223a b c b -==，即2214b a =， 又AB 的中点M (2,1)-，所以2212122121()11(2)()42ABy y b x x k x x a y y -+==-=-⨯-=-+ 所以直线AB 的方程为11(2)2y x -=+， 即240x y -+=. 故答案为：240x y -+= 【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.24．椭圆221164x y +=的弦AB 中点为(1,1)M ，则直线AB 的方程___________【答案】450x y +-= 【分析】设出,A B 的坐标，利用点差法求解出直线AB 的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线AB 的方程，最后转化为一般式方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222416416x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以1212121214x x y y y y x x +--⋅=+-， 又因为1212122122x x y y +=⨯=⎧⎨+=⨯=⎩，所以12121242AB y y k x x --⋅==-，所以1=4AB k -， 所以()1:114AB l y x -=--，即450x y +-=， 故答案为：450x y +-=. 【点睛】思路点睛：已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程的思路：（1）可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差； （2）得到中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.25．已知点P (1，2)是直线l 被椭圆22148x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是_____.【答案】30x y +-=【分析】设出直线与椭圆的交点，采用点差法进行分析，由此可求得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程则直线l 的方程可求. 【详解】设直线l 与椭圆交于,A B 两点，()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222148148x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以222212124488x x y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以121212122x x y y y y x x +--⋅=+-，且121222,24P P x x x y y y +==+==，所以12122214l y y k x x -==-⋅=--，所以():21l y x -=--即30x y +-=，故答案为：30x y +-=. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中点弦所在直线方程的求法，难度一般.已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.四、解答题26．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点．（1）点P 的坐标为1(1,)3，若MP PN =，求直线l 的方程；（2）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23(MA NB MA k k k -、NB k 分别为直线MA 、NB 的斜率）的取值范围． 【答案】（1）931412y x =-+；（2）[3,0).4-【分析】（1）利用点差法，求直线的斜率，再求直线方程；（2）直线的斜率不存在时，求点,M N 的坐标，得到NBMAk k 的值，以及当斜率存在时，直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系求NBMAk k 的值，并将23MA NB k k -表示为MA k 的二次函数，并求取值范围. 【详解】解：（1）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由题意可得P 为线段MN 的中点，由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=，而1(1,)3P ，即有122x x +=，1223y y +=， 则12122()2()049x x y y --+=，可得121294y y x x -=--， 故直线l 的方程为19(1)34y x -=--， 即931412y x =-+； （2）由题意可得(2,0)A -，(2,0)B ，(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2M ，3(1,)2N -，12MA k =，332M NB A k k ==．当直线l 的斜率存在时，则l 的斜率不为0，设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，与椭圆方程223412x y +=联立， 可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k-=+，所以2121121212112121212(1)(2)2()23·2(1)(2)()2NB MA k y x k x x x x x x x k x y k x x x x x x x +-+++--===----++- 22211222222112224128121822333434343412846()2343434k k k x x k k k k k k x x k k k---+⋅---+++===----+--+++， 所以3NB MA k k =，因为M在第一象限，所以MA k ∈， 所以2221333333()[244MA NB MA MA MA k k k k k -=-=--∈-，0)． 【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题. 27．已知动圆M 过点(2,0)F ，且与直线2x =-相切． （①）求圆心M 的轨迹E 的方程；（①）斜率为1的直线l 经过点F ，且直线l 与轨迹E 交于点,A B ，求线段AB 的垂直平分线方程．【答案】（①）28y x =；（①）100x y +-=.【分析】（①）由题意得圆心M 到点(2,0)F 等于圆心到直线2x =-的距离，利用两点间距离公式，列出方程，即可求得答案.（①）求得直线l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的值，即可求得AB 中点00(,)P x y 的坐标，根据直线l 与直线AB 垂直平分线垂直，可求得直线AB 垂直平分线的斜率，利用点斜式即可求得方程. 【详解】（①）设动点(,)M x y|2|x =+， 化简得轨迹E 的方程：28y x =；（①）由题意得：直线l 的方程为：2y x =-，由28y x⎨=⎩，得21240x x -+=，2124140∆=-⨯⨯>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)P x y 则121212,4x x x x +==， 所以12062x x x +==，0024y x =-=， 又AB 垂直平分线的斜率为-1，所以AB 垂直平分线方程为100x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，抛物线的几何性质，解题的关键是直线与曲线联立，利用韦达定理得到1212,x x x x +的表达式或值，再根据题意进行化简和整理，考查计算求值的能力，属基础题.28．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求m 的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）5±. 【分析】（1）根据条件解关于,a c 的方程组即可得结果；（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理，可求得中点坐标，代入圆方程解得m 的值. 【详解】（1）由题意，得2221c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，线段EF 的中点为()00,M x y ．联立2212x y ⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，2234220x mx m ++-= 120223x x m x +==-，003m y x m =+=，即2,33m m M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()22443220m m m ∆=-⨯⨯->⇒<又因为点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5m =±，满足题意． 【点睛】关键点睛：本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程，解题的关键是熟悉中点坐标公式，本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，求出中点坐标，再将其代入圆中求解，考查了学生的基本分析转化求解能力，属中档题.30．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点． （1）若l 的方程为21y x =-，求AB ； （2）若弦AB 的中点为()6,1-，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +-=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 【详解】设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x ⎧=⎨=-⎩得24910,0x x -+=∆>，因此121291,44x x x x +==，故||4AB ===． （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，得()2221215y y x x -=-，因为12122y y +=-⨯=-，所以212112552AB y y k x x y y -===--+，因此l 的方程为5(1)(6)2y x --=--，即52280x y +-=． 【点睛】方法点睛：解决中点弦问题常用点差法求解，即将两交点设点代入曲线方程，两式相减利用平方差公式化简，将中点坐标代入即可得出弦所在直线斜率.31．坐标平面内的动圆M 与圆1C 22:(4)1x y ++=外切，与圆222:(4)81C x y -+=内切，设动圆M 的圆心M 的轨迹是曲线E ，直线0l :45400x y -+=. （1）求曲线E 的方程；（2）当点M 在曲线E 上运动时，它到直线0l 的距离最小？最小值距离是多少？（3）一组平行于直线0l 的直线，当它们与曲线E 相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？【答案】（1）221259x y +=；（2）点9(4,)5M -到直线0l的距离最小，；（3）在同一直线，直线为：9200x y +=. 【分析】（1）利用两个圆外切与内切的性质可得12||||10MC MC +=，再利用椭圆的定义即可求得曲线的方程；（2）设与0l 平行的直线l 的方程为450x y m -+=，代入221259x y +=，整理可得222582250x mx m ++-=，当222500360m ∆=-=，直线l 与曲线E 相切，此时点9(4,)5M -到直线0l 的距离最小，利用点到线距离公式求得最小值.（3）设两个交点为1122(,),(,)A x y B x y ，利用点差法化简得12121212925y y x x x x y y -+=-⋅-+，即49525xy=-⋅，整理得9200x y +=. 【详解】解：（1）设动圆M 的半径为r ，由题意可知12||1,||9MC r MC r =+=-，则1212||||10||8MC MC C C +=>=，根据椭圆的定义可知曲线E 是以12,C C 为焦点，长轴长为10的椭圆，其中210,28a c ==，即5,4,3a c b ====所以曲线E 的方程为：221259x y +=.（2）设与0l 平行的直线l 的方程为450x y m -+=，即455m y x =+，代入221259x y +=，可得224925()22555m x x ++=，整理得222582250x mx m ++-=， 22264100(225)2250036m m m ∆=--=-，当0∆=时，此时25m =±直线l 与曲线E 相切，根据图形可知当25m =时，点9(4,)5M -到直线0l的距离最小，min9|4(4)540|41d⨯--⨯+==. （3）这些直线被椭圆所截得的线段的中点在同一条直线上设与0l 平行的直线与曲线E 的两交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，中点(,)N x y ，2211222212591259x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得222212120259x x y y --+=，整理可得：12121212925y y x x x x y y -+=-⋅-+，即49525x y =-⋅，整理得9200x y +=，即所有弦的中点均在直线9200x y +=上.【点睛】思路点睛：本题考查求椭圆的标准方程，椭圆上点到直线的最近距离，点差法的应用，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．32．已知椭圆22122:1(0x y C a b a b +=>>）的长轴长为8，一条准线方程为x =与椭圆1C 共焦点的双曲线2,C 其离心率是椭圆1C 的离心率的2倍. （1）分别求椭圆1C 和双曲线2C 的标准方程；（2）过点M (4，1)的直线l 与双曲线2,C 交于P ，Q 两点，且M 为线段PQ 的中点，求直线l 的方程.【答案】（1）221169x y +=；22143x y -=；（2）3110x y --= 【分析】（1）根据椭圆的长轴长以及准线方程求出4a =，c =进而求出3b ==，即求椭圆的方程，求出椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，结合与椭圆共焦点即可求出双曲线的标准方程. （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，利用点差法求出直线的斜率即可求解. 【详解】（1）椭圆22122:1(0x y C a b a b+=>>）的长轴长为28a =，则4a =，一条准线方程为x =，则27a c =，解得c =所以3b ==，所以椭圆1C 的标准方程为221169x y +=，离心率14c e a ==设双曲线的标准方程为()2211221110,0x y a b a b -=>>，则222117c a b ==+，1=，解得12a =，所以1b ===所以双曲线2C 的标准方程为22143x y -=. （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，22112222143143x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式作差可得()()()()1212121211043x x x x y y y y +--+-=， ()()12121182043x x y y ⨯⨯--⨯⨯-=， 即12123y y x x -=-， 所以直线l 的斜率为3，所以直线l 的方程为()134y x -=-， 即3110x y --=. 【点睛】关键点点睛：根据中点弦求直线方程，关键是利用“点差法”求出直线的斜率，考查了计算求解能力.33．椭圆C：(222212x y m m m+=>，直线l 过点()1,1P ，交椭圆于A ､B 两点，且P 为AB 的中点. （1）求直线l 的方程；（2）若AB OP =，求m 的值. 【答案】（1）230x y +-=；（2）m 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法求直线的斜率；（2）根据（1）的结果，联立方程，利用弦长公式AB =m 的值.【详解】（1）222113122m m m +=<，(m >，∴点P 在椭圆里面， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则2211222222221212x y m m x y m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得222212122202x x y y m m --+=， 变形为()()()()121212122202x x x x y y y y m m +-+-+=，① 点()1,1P 是线段AB 的中点，12122,2x x y y ∴+=+=，并且有椭圆对称性可知120x x -≠，由①式两边同时除以12x x -，可得，1222122202y y m m x x -+⋅=-， 设直线AB 的斜率为k ，120k ∴+=， 解得：12k =-， 所以直线l 的方程()1112302y x x y -=--⇒+-=； （2）OP ==222212230x y m m x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，22612920y y m -+-=， 可得122y y +=，212926m y y -=，AB ===，且m >解得：m【点睛】方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.34．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x -=；（2【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为则a =c =而222321b c a =-=-=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x -=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+， ∴12122y y x x --=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x y x =-⎧⎨-=⎩，即22410x x --=，可得1212x x =-，则MN ===【点睛】本题考查了双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.35．已知双曲线2212y x -=. （1）倾斜角45°且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于M ，N 两点，求MN .（2）过点(2,1)A 的直线l 与此双曲线交于1P ，2P 两点，求线段12PP 中点P 的轨迹方程；（3）过点(1,1)B 能否作直线m ，使m 与此双曲线交于1Q ，2Q 两点，且点B 是线段12Q Q 的中点?这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.【答案】（1）8（2）22240x y x y --+=（3）不存在，理由见解析【分析】（1）直线斜率为1，写出直线方程与双曲线联立，由韦达定理即弦长公式求解；（2）设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，(,)P x y ，则221122x y -=，222222x y -=，两式相减，利用P 是中点及斜率相等可求P 得轨迹方程，从而得到其轨迹；（3）假设直线l 存在．由已知条件利用点差法求出直线l 的方程为210x y --=，联立方程组2222210x y x y ⎧-=⎨--=⎩，得22430x x -+=，由80∆=-<，推导出直线m 不存在． 【详解】（1）由双曲线2212y x -=知，右焦点为，由直线倾斜角45°可知直线斜率为1，所以直线方程为：y x =联立2212y x y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可得250x +-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则0∆>且12x x +=-125x x ⋅=-，所以12||||8MN x x =-==（2）设11(P x ，1)y ，22(Px ，2)y ，(,)P x y ， 则122x x x +=，122y y y +=，221122x y -=，222222x y -=， 12124()2()0x x x y y y ∴---=，∴直线12PP 的斜率12122y y x k x x y-==-， 12AP y k x -=-，A ，P ，1P ，2P 共线， ∴122y x x y -=-， 22240x y x y ∴--+=，即线段12PP 的中点P 的轨迹方程是22240x y x y --+=． （3）假设直线m 存在．设(1,1)B 是弦12Q Q 的中点，且11(Q x ，1)y ，22(Q x ，2)y ，则122x x +=，122y y +=．1Q ，2Q 在双曲线上，∴221122222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩， 121212122()()()()0x x x x y y y y ∴+---+=，12124()2()x x y y ∴-=-，12122y x y k x -∴==-， ∴直线m 的方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，联立方程组2222210x y x y ⎧-=⎨--=⎩，得22430x x -+= ①1643280∆=-⨯⨯=-<，∴直线m 与双曲线无交点，直线m不存在．【点睛】关键点点睛：在直线与双曲线相交问题中，涉及弦及弦中点的问题，可以采用“点差法”，可以简化运算，降低运算难度.。
齐次化妙解圆锥曲线(学生版)
齐次化妙解圆锥曲线题型1定点在原点的斜率问题题型2定点在原点转化成斜率问题题型3定点不在原点之齐次化基础运用题型4定点不在原点的斜率问题题型5定点不在原点转化为斜率问题题型6定点不在原点之二级结论第三定义的使用题型7齐次化妙解之等角问题题型8点乘双根法的基础运用题型9点乘双根法在解答题中的运用题型1定点在原点的斜率问题圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线y=kx+b，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将x1+x2和x1⋅x2代入，得到关于k、b的式子．解法不难，计算量较为复杂．如果采用齐次化解决，直接得到关于k的方程，会使题目计算量大大减少．“齐次”即次数相等的意思，例如f x =ax2+bxy+cy2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x 中每一项都是关于x、y的二次项．如果公共点在原点，不需要平移．1直线mx+ny=1与抛物线y2=4x交于A x1 , y1，求k OA+k OB , k OA⋅k OB．(用m , n表 , B x2 , y2示)1直线mx+ny=1与椭圆x24+y23=1交于A x1 , y1 , B x2 , y2，求k OA⋅k OB(用m , n表示)．2抛物线y2=4x，直线l交抛物线于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．3不过原点的动直线交椭圆x24+y23=1于A、B两点，直线OA、AB、OB的斜率成等比数列，求证：直线l的斜率为定值．4已知直线y=kx+4交椭圆x24+y2=1于A，B两点，O为坐标原点，若k OA+k OB=2，求该直线方程．5设Q1，Q2为椭圆x22b2+y2b2=1上两个动点，且OQ1⊥OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，求D的轨迹方程．题型2定点在原点转化成斜率问题圆锥曲线齐次化原理是：过程中为了式子整齐好记，所以将它齐次化。
中等 圆锥曲线综合大题 学生版
1.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为F ，离心率22=e ，椭圆C 上的点到F 的距离的最大值为12+，直线l 过点F 与椭圆C 交于不同的两点,.A B（1） 求椭圆C 的方程；（2） 若223||=AB ，求直线l 的方程.2.(山东省济南市2011年2月高三教学质量调研文科) （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率为2，其中左焦点F (-2,0).（1） 求椭圆C 的方程；（2） 若直线y =x +m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求m 的值.3． (本小题满分14分)已知圆1C ：22(1)8x y ++=，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .(Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程；(Ⅱ)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ON OC =uuu r uuu r uuu r ，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；(Ⅲ)过点(0S ，1)3-且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.解：4.（山东省淄博市2011年3月高三下学期模拟考试理科）（本题满分12分）已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：（Ⅰ）求12的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥ ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．5.(山东省烟台市2011年1月“十一五”课题调研卷文科)（本小题满分14分）已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线0x y -+的距离为3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的取值范围.6：。
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【例1】 已知抛物线23yx上存在关于直线0xy对称的相异两点A、B，则AB等
于（ ）
A．3 B．4 C．32 D．42
【例2】
设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为(10)F，，直线l与抛物线C相交于
A，B两点．若AB
的中点为(22)，，则直线l的方程为_____________．
【例3】 设11()Axy，，22()Bxy，两点在抛物线22yx上，l是AB的垂直平分线．当直线
l
的斜率为2时，l在y轴上截距的取值范围为_________．
【例4】 已知定点(10)A，，(20)F，，定直线12lx∶，不在x轴上的动点P与点F的距
离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两
点，直线AB、AC分别交l于点M、N
⑴求E的方程；
⑵试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．
【例5】
已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为63，椭圆C上任意一点到椭圆两
个焦点的距离之和为6．
⑴ 求椭圆C的方程；
⑵ 设直线:2lykx与椭圆C交与,AB两点，点0,1P，且||||PAPB，求直
线l的方程．
典例分析
板块四.中点问题
【例6】 已知椭圆C：22143xy，试确定m的取值范围，使得对于直线l：4yxm，
椭圆C上有不同的两点关于这条直线对称．
【例7】
已知ABC△的三边长CB，AB，CA成等差数列，若点AB，的坐标分别为
10，，
10，
．
⑴求顶点C的轨迹W的方程；
⑵若线段CA的延长线交轨迹W于点D，记线段CD的垂直平分线l与x轴交点的
横坐标为0x，试将0x表示成直线AC的斜率k的表达式．
⑶当522CB≤时，求0x的取值范围．
【例8】 已知定点(10)C，及椭圆2235xy，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
①若线段AB中点的横坐标是12，求直线AB的方程；
②在x轴上是否存在点M，使MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不
存在，请说明理由．
【例9】 已知椭圆的方程为22221(0)xyabab，点P的坐标为ab，．
⑴ 若直角坐标平面上的点M、0Ab，，0Ba，满足12PMPAPB，求
点M的坐标；
⑵ 设直线11:lykxp交椭圆于C、D两点，交直线22:lykx于点E．若
2
12
2
b
kka
，证明：E为CD的中点；
⑶ 对于椭圆上的点cossin(0π)Qab， ，如果椭圆上存在不同的两
个交点1P、2P满足12PPPPPQ，写出求作点1P、2P的步骤，并求出使1P、2P存
在的的取值范围．
【例10】
已知椭圆22221(0xyabab）的离心率32e，连接椭圆的四个顶点得到的菱
形的面积为4．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(0)a，，点
0
(0)Qy，
在线段AB的垂直平分线上，且4QAQB，求0y的值
【例11】
已知椭圆E经过点23A，，对称轴为坐标轴，焦点1F，2F在x轴上，离心率
1
2
e
．
⑴求椭圆E的方程；
⑵求12FAF的角平分线所在直线l的方程；
⑶在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在．请找出；若不存在，
说明理由．
【例12】 过双曲线221916xy的右焦点F作倾斜角为π4的直线交双曲线于A、B两点，求
线段AB的中点C到焦点F的距离．
【例13】 已知双曲线的方程为2212yx，试问：是否存在被点(11)B，平分的弦？如果存在，
求出弦所在的直线方程；如果不存在，说明理由．
【例14】 已知：双曲线2212yx，过点(11)B，能否作直线m，使m与已知双曲线交于
12
QQ，
点，且点B是线段12QQ的中点，如果存在，写出它的方程，如果不存在，
说明理由．
【例15】 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是130F，，一条渐近线的方程是
520xy
．
⑴ 求双曲线C的方程；
⑵ 若以0kk为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段
MN
的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k的取值范围．
【例16】
已知斜率为1的直线l与双曲线22221(00)xyCabab∶，相交于B、D两点，
且BD的中点为(13)M，．
⑴求C的离心率；
⑵设C的右顶点为A，右焦点为F，17DFBF，证明：过A、B、D三点的
圆与x轴相切．
【例17】 已知点1122(28)()()ABxyCxy，，，，，在抛物线22ypx上，ABC的重心与此抛物
线的焦点F重合（如图）．
⑴写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
⑵求线段BC中点M的坐标；
⑶求BC所在直线的方程．
【例18】 如图，A、B为函数23(11)yxx≤≤图象上两点，且ABx∥轴，点
(1)(3)Mmm，
是ABC边AC的中点．
⑴设点B的横坐标为t，ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式()Sft；
⑵求函数()Sft的最大值，并求出相应的点C的坐标．
-11
O
M
C
B
A
y
x
【例19】 若直线2ykx与抛物线28yx交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求
此直线方程．
【例20】 若曲线2yx上总存在两个对称于直线1yaxa的不同的点，求a取值的范围．
【例21】 求常数m的范围，使曲线2yx的所有弦都不能被直线(3)ymx垂直平分．
【例22】
已知0p，动点M到定点F,02p的距离比M到定直线:lxp的距离小
2
p
．
⑴求动点M的轨迹C的方程；
⑵设,AB是轨迹C上异于原点O的两个不同点，0OAOB，求AOB面积的最
小值；
⑶在轨迹C上是否存在两点,PQ关于直线:02pmykxk对称？若存在，
求出直线m 的方程，若不存在，说明理由．
【例23】 已知抛物24(0)yaxa的焦点为A，以(40)Ba，为圆心，||AB长为半径画圆，
在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，若P为MN的中点．
⑴求a的取值范围；
⑵求||||AMAN的值；
⑶问是否存在这样的a值，使||AM、||AP、||AN成等差数列？
【例24】
已知曲线2:Cyx与直线:20lxy交于两点AAAxy，和BBBxy，，且
AB
xx
．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含
边界）为D．设点Pst，是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．
（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．
（2）若曲线22251:24025Gxaxyya与D有公共点，试求a的最小值．