数学典中点九年级上册华师大版
华师大版九年级数学上典中点第二十一章阶段强化专训一
阶段强化专训一：利用二次根式的性质解相关问题 名师点金：对于二次根式a ，有两个“非负”：第一是a≥0，第二是a ≥0，这两个“非负”在解二次根式的有关题目中经常用到．二次根式的被开方数和值均为非负数，是常见的隐含条件．利用被开方数a≥0解决有关问题1．(2015·南京)若式子x ＋1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．2．若3x －4－4－3x ＝⎝⎛⎭⎫x －13y 2，则3x －12y 的值为________． 3．(2014·黔南州)实数a 在数轴上的位置如图，化简（a －1）2＋a ＝________.(第3题)利用a ≥0求代数式的值或平方根4．如果代数式－m ＋m ＋n mn有意义，那么P(m ，n)在坐标系中的位置为( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．已知x ，y 为实数，且x －5＋5－x ＝(x ＋y)2，求x －y 的值．6．已知2|2a －4|＋a 2＋b －1＝0，求a ＋b －ab 的值．利用a ≥0求最值7．若x －3与y ＋2互为相反数，求6x ＋y 的平方根．8．当x 取何值时，9x ＋1＋3的值最小，最小值是多少？利用被开方数非负性解决代数式化简求值问题9．设等式a （x －a ）＋a （y －a ）＝x －a －a －y ＝0成立，且x ，y ，a 互不相等，求3x 2＋xy －y 2x 2－xy ＋y 2的值．利用被开方数非负性解与三角形有关问题10．已知实数x ，y ，a 满足：x ＋y －8＋8－x －y ＝3x －y －a ＋x －2y ＋a ＋3，试问长度分别为x ，y ，a 的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的周长；如果不能，请说明理由．阶段强化专训一1．x≥－12．2 点拨：由题意知3x －4＝0，x －13y ＝0，所以x ＝43，y ＝4，代入求值即可． 3．1 4.C5．解：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，5－x≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≥5，x≤5. ∴x 的值为5.∴(x ＋y)2＝0，即(5＋y)2＝0，∴y ＝－5.∴x －y ＝5－(－5)＝10.6．解：由绝对值、二次根式的非负性，得|2a －4|≥0，a 2＋b －1≥0.又因为2|2a －4|＋a 2＋b －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －4＝0，a 2＋b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，则a ＋b －ab ＝2－3－2×(－3)＝5. 7．解：由题意，得x －3＋y ＋2＝0，∴x －3＝0，y ＋2＝0，解得x ＝3，y ＝－2，则6x ＋y ＝16，∴6x ＋y 的平方根为±4.8．解：∵9x ＋1≥0，∴当9x ＋1＝0，即x ＝－19时，式子9x ＋1＋3的值最小，最小值为3.方法点拨：涉及二次根式的最小(大)值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方法．一般情况下利用二次根式的非负性求解．9．解：因为a （x －a ）＋a （y －a ）＝0，所以a(x －a)＝0且a(y －a)＝0.又因为x ，y ，a 互不相等，所以a ＝0. 代入有x －－y ＝0，所以x ＝－y ，所以x ＝－y ，所以3x 2＋xy －y 2x 2－xy ＋y 2＝3x 2－x 2－x 2x 2＋x 2＋x 2＝x 23x 2＝13. 10．解：根据二次根式的意义，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≥0，8－x －y≥0，解得x ＋y ＝8，∴3x －y －a ＋x －2y ＋a ＋3＝0.根据非负数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，3x －y －a ＝0，x －2y ＋a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，a ＝4.∴可以组成三角形，它的周长为3＋5＋4＝12.。
华师大版九年级数学上典中点第二十四章整合提升专训五
解码专训五：解直角三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．直角三角形的性质1．(2014·宁波)如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，点H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )A ．2.5B .5C .322 D ．2(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为________．锐角三角函数的定义3．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值是________．(第3题)(第4题)4．如图，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠EFC 的值为________．5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于D 点，垂足为E ，求sin ∠CAD 的值．(第5题)特殊角的三角函数值及其计算6．在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，那么sin A 等于( ) A .12 B .22 C .32D ．1 7．若等腰三角形底边与底边上的高的比是23，则顶角为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150° 8．计算：(cos 60°)－1÷(－1)2 016＋|2－8|－22＋1×(tan 30°－1)0.解直角三角形(第9题)9．如图是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm(第10题)10．(2014·大庆)如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，且∠ACG ＝∠AGC ，∠GAF ＝∠F ＝20°，则AB ＝________．11．(2014·临沂)如图，在▱ABCD 中，BC ＝10，sin B ＝910，AC ＝BC ，则▱ABCD 的面积是________．(第11题)解直角三角形的实际应用12．(2015·南京)如图，轮船甲位于码头O 的正西方向A 处，轮船乙位于码头O 的正北方向C 处，测得∠CAO ＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km /h 和36 km /h ，经过0.1 h ，轮船甲行驶至B 处，轮船乙行驶至D 处，测得∠DBO ＝58°，此时B 处距离码头O 多远？(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)(第12题)三角函数与学科内的综合13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，P 是射线BC 上的一个动点，过点P 作PE ⊥AP ，交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP ＝a.(1)当点P 在线段BC 上时(点P 与点B ，C 都不重合)，试用含a 的代数式表示CE 的长； (2)当a ＝3时，连接DF ，试判断四边形APFD 的形状，并说明理由； (3)当tan ∠PAE ＝12时，求a 的值．(第13题)解直角三角形中思想方法的应用a ．转化思想14．如图所示，已知四边形ABCD ，∠ABC ＝120°，AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，AB ＝303，BC ＝503，求四边形ABCD 的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第14题)b ．方程思想15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin B ＝35，点D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，求BE ，CE 的长．(第15题)16．(中考·泰州)如图，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)(第16题)解码专训五1．B 点拨：连接AC ，CF ，根据正方形性质分别求出AC ，CF 的长，由∠ACD ＝∠GCF ＝45°，得∠ACF ＝90°，然后利用勾股定理求出AF 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．2.433 3.22 4.435．解：设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝x －3， 在Rt △ACD 中，(x －3)2＋(15)2＝x 2，解得x ＝4， ∴CD ＝4－3＝1 ∴sin ∠CAD ＝CD AD ＝14.6．B 7.C 8．解：原式＝⎝⎛⎫12－1÷1＋22－2－22＋1×1 ＝2＋22－2－(22－2) ＝2.9. C 10.6 11.181912．解：设B 处距离码头Ox km ，在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°，∵tan ∠CAO ＝COAO ，∴CO ＝AO·tan ∠CAO ＝(45×0.1＋x)·tan 45°＝(4.5＋x) km ， 在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°，∵DC ＝DO －CO ， ∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)， ∴x ＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5.因此，B 处距离码头O 大约13.5 km .13．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.∵BP ＝a ，CE ＝y ，∴PC ＝5－a ，DE ＝4－y ，∵AP ⊥PE ，∴∠APE ＝90°，∠APB ＋∠CPE ＝90°，∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠CPE ＝∠BAP ，∴△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝ABPC ，∴y ＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.(2)四边形APFD 是菱形，理由如下：当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝32，即CE ＝32，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BF ，∴△AED ∽△FEC ，∴AD CF ＝DECE ，∴CF ＝3，∴PF ＝PC ＋CF ＝5.∴PF ＝AD ，∴四边形APFD 是平行四边形，在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B ＝90°，∴AP ＝5＝PF ，∴四边形APFD 是菱形． (3)根据tan ∠PAE ＝12可得APPE＝2，易得△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，得a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或7.14．解法1：如图①所示，过点B 作BE ∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于点F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D ＝180°－120°＝60°.在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100，EC ＝BC·tan ∠CBE ＝503×tan 30°＝503×33＝50.在Rt △DEF 中，DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30. ∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130. ∴S四边形ABCD ＝S梯形ABED ＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB ＋12BC·EC ＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.(第14题)解法2：如图②所示，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，∠E ＝90°－∠ABE ＝30°.在Rt △ABE 中，AE ＝AB·tan 60°＝303×3＝90， BE ＝AB cos 60°＝30312＝60 3.∴CE ＝BE ＋BC ＝603＋503＝110 3. 在Rt △DCE 中，DC ＝CE·tan 30°＝1103×33＝110. ∴S 四边形ABCD ＝S △DCE －S △ABE＝12DC·CE －12AB·AE ＝12×110×1103－12×303×90＝4 700 3.点拨：求不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；还可通过补图，把不规则四边形转化为直角三角形求解．15．解：∵sin B ＝35，∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ，∴sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝35.设DE ＝CD ＝3k(k ＞0)，则DB ＝5k. ∴CB ＝8k ，AC ＝6k ，AB ＝10k. ∵AC ＋CD ＝9，∴6k ＋3k ＝9.解得k ＝1. ∴DE ＝3，DB ＝5，∴BE ＝DB 2－DE 2＝52－32＝4. 过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则CF ∥DE ， ∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，∴CF ＝245，BF ＝325， ∴EF ＝BF －BE ＝125.在Rt △CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255.16．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第16题)设塔高AE ＝x m ，由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m )，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m . 在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ， 则CF ＝AF tan 36°52′≈x ＋290.75＝43x ＋1163(m )，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ， 则BD ＝AB ＝(x ＋56)m ， ∵CF ＝BD ，∴x ＋56≈43x ＋1163，解得x≈52.答：该铁塔的高AE 约为52 m .。
华师大版九年级数学上典中点第二十二章整合提升专训一
解码专训一：根与系数的关系的四种应用类型名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x 2－7x －3＝0的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值．(1)(x 1－3)(x 2－3)；(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1；(3)x 1－x 2.利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和是294，求m 的值．巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解码专训一1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34. (1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3. (2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝ ⎝⎛⎭⎫742－2×⎝⎛⎭⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132. (3)∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫742－4×⎝⎛⎭⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497. 2．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35. 设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2，令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2. ∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝⎛⎭⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，q ＝y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－1x 1⎝⎛⎭⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0. 3．解：设方程两根为x 1，x 2，由已知得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m 2，x 1x 2＝－2m ＋12. ∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294， 即⎝⎛⎭⎫m 22－2×－2m ＋12＝294， ∴m 2＋8m －33＝0.解得m 1＝－11，m 2＝3.当m ＝－11时，方程为2x 2＋11x ＋23＝0，Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根，∴m ＝－11不合题意，舍去；当m ＝3时，方程为2x 2－3x －5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．∴m 的值为3.4．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根，∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k ＋1)＝－16k≥0，∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k. ∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k. 又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32， ∴－k ＋94k ＝－32，∴k ＝95. 又∵k<0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立． 方法总结：对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．。
华师大版九年级数学上典中点第二十三章整合提升专训三
解码专训三：利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)证明两线段的位置关系类型1.证明两线段平行2．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.(第2题)类型2.证明两线垂直3．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC 2＝AB·AD ，BC 2＝BA·BD ，求证：CD ⊥AB.(第3题)4．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.(第4题)解码专训三1．证明：∵DE ∥BC ，∴∠NEO ＝∠MBO ，∠ENO ＝∠BMO.∴△NEO ∽△MBO.∴NE MB＝ON OM. 同理可得DN MC ＝ON OM .∴DN MC ＝NE BM .∴DN NE ＝MC BM. ∵DE ∥BC ，∴∠ANE ＝∠AMC ，∠AEN ＝∠ACM.∴△ANE ∽△AMC.∴AN AM ＝NE MC. 同理可得AN AM ＝DN BM ，∴DN BM ＝NE MC .∴DN NE ＝BM MC. ∴MC BM ＝BM MC.∴MC 2＝BM 2.∴BM ＝MC. 2．证明：过点C 作CO ⊥AB 于点O ，∵DE ＝CD ，DE ⊥CD ，∴∠ECD ＝∠CED ＝45°.∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠B ＝45°.∴∠CAB ＝∠CED.又∵∠AOC ＝∠EDC ＝90°，∴△ACO ∽△ECD.∴AC CO ＝EC CD. 又∵∠ACE ＋∠ECO ＝∠OCD ＋∠ECO ＝45°，∴∠ACE ＝∠OCD.∴△ACE ∽△OCD.∴∠CAE ＝∠COD ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠ACB ＝180°.∴AE ∥BC.3．证明：∵AC 2＝AB·AD ，∴AC AD ＝AB AC.又∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.∴∠ADC ＝∠ACB.又∵BC 2＝BA·BD ，∴BC BD ＝BA BC.又∵∠B ＝∠B ， ∴△BCD ∽△BAC.∴∠BDC ＝∠BCA.∴∠ADC＝∠BDC.∵∠BDC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∴CD⊥AB.4．证明：设AE＝EF＝FB＝AD＝k，则AB＝CD＝3k.∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG.∴△AFG∽△CDG，∴FGDG＝AFCD＝2 3.设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝5k.∴5m＝5k.∴m＝55k.∴FG＝255k.∴AFFG＝2k255k＝5，DFEF＝5kk＝ 5.∴AFFG＝DFEF.又∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE. ∴∠EGF＝∠DAF＝90°.∴EG⊥DF.。
华师大版九年级数学上典中点第二十四章阶段强化专训二
阶段强化专训二： 同角或互余两角的三角函数关系的应用 名师点金：1.同角三角函数关系：sin 2 α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α； 2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos (90°－α)，cos α＝sin (90°－α)，tan α·tan (90°－α)＝1.)同角间的三角函数的应用1．已知sin Acos A ＝4，求sin A －3cos A4sin A ＋cos A 的值．2．若α为锐角，sin α－cos α＝22，求sin α＋cos α的值．余角间的三角函数的应用3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是() A ．sin (45°－α)＝sin (45°＋α)B ．sin 2(45°－α)＋cos 2(45°＋α)＝1C ．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝1D ．cos 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝14．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5．已知sin α·cos α＝1225(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.6．已知α为锐角且sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根，求1－2sin αcos α的值．阶段强化专训二1．分析：本题可利用sin A cos A求解，在原式的分子、分母上同时除以cos A ，把原式化为关于sin A cos A 的代数式，再整体代入其值求解即可．也可直接由sin A cos A＝4，得到sin A 与cos A 之间的数量关系，代入式子中求值．解：(方法1)原式＝（sin A －3cos A ）÷cos A （4sin A ＋cos A ）÷cos A ＝sin A cos A －34sin A cos A＋1. ∵sin A cos A ＝4，∴原式＝4－34×4＋1＝117. (方法2)∵sin A cos A＝4，∴sin A ＝4cos A. ∴原式＝4cos A －3cos A 4×4cos A ＋cos A ＝cos A 17cos A ＝117. 2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．解：∵sin α－cos α＝22，∴(sin α－cos α)2＝12. 即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝12. ∴1－2sin αcos α＝12，即2sin αcos α＝12. ∵(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋12＝32， 又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝62. 3．C 点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝cos 2(45°＋α)＋sin 2(45°＋α)＝1.4．分析：因为tan 1°·tan 89°＝1，tan 2°·tan 88°＝1，…，tan 44°·tan 46°＝1，所以运用乘法的交换律后，本题易求．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.5．解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α·cos α＝1225， ∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2×1225＝4925. ∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝75. 又∵sin α·cos α＝1225， ∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x 2－75x ＋1225＝0. 点拨：此题运用到两个方面的知识：(1)公式sin 2α＋cos 2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x 1＋x 2＝p ，x 1x 2＝q ，则以x 1，x 2为两根的一元二次方程为x 2－px ＋q ＝0.6．解：∵sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根，∴由求根公式，得sin α＝－（－7）±（－7）2－4×2×32×2＝7±54. ∴sin α＝12或sin α＝3(不符合题意，舍去)． ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34. 又∵cos α＞0，∴cos α＝32. ∴1－2sin αcos α＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝（sin α－cos α）2＝|sin α－cosα|＝⎪⎪⎪⎪12－32＝3－12.。
华师大版九年级数学上典中点第二十三章阶段强化专训二
阶段强化专训二：证明相似三角形的方法名师点金：要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”利用边或角的关系判定两直角三角形相似1．下面关于直角三角形相似叙述错误的是()A．有一锐角对应相等的两直角三角形相似B．两直角边对应成比例的两直角三角形相似C．有一条直角边相等的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似2．如图，BC⊥AD，垂足为C，AD＝6.4，CD＝1.6，BC＝7.5，CE＝2.5，求证：△ABC∽△DEC.(第2题)利用角判定两三角形相似3．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．(第3题)利用边角判定两三角形相似4．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP.(第4题)利用三边判定两三角形相似5．如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.(第5题)阶段强化专训二1．C2．证明：∵AD ＝6.4，CD ＝1.6，∴AC ＝AD －CD ＝6.4－1.6＝4.8.∴AC CD ＝4.81.6＝3. 又∵BC EC ＝7.52.5＝3，∴AC CD ＝BC EC. 又∵BC ⊥AD ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴△ABC ∽△DEC.(第3题)3．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°.∴∠ACF ＝120°.∵CE 是外角平分线，∴∠ACE ＝12∠ACF ＝12×120°＝60°. ∴∠A ＝∠ACE.又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED.(2)解：如图，作BM ⊥AC 于点M ，则AM ＝CM ＝3，BM ＝3 3.∵AD ＝2CD ，∴CD ＝2，AD ＝4.则MD ＝1.在Rt △BDM 中，BD ＝BM 2＋MD 2＝27.由△ABD ∽△CED 得BD ED ＝AD CD ，即27ED＝2， ∴ED ＝7.∴BE ＝BD ＋ED ＝37.4．证明：在正方形ABCD 中，∵Q 是CD 的中点，∴AD QC＝2. ∵BP ＝3PC ，∴BC PC＝4. 又∵BC ＝2DQ ，∴DQ PC ＝2.在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQ CP，∠C ＝∠D ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.5．证明：∵AD 是△ABC 的高，∴AD ⊥BD.又∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点．∴在Rt △ABD 中，DE 为斜边AB 上的中线．∴DE ＝12AB ，即DE AB ＝12.同理DF AC ＝12. ∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝12BC ，即EF BC ＝12. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC .∴△DEF ∽△ABC.。
2022秋华师版九年级数学上册 典中点 第21章综合素质评价
第21章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．【2022·琼海期末】若2x＋1有意义，则()A．x≥－12B．x≤－12C．x≠12D．x≥122．下列二次根式中，能与23合并的是()A．8 B．18 C．24 D．27 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是()A． 2 B．12 C．12D．94．关于8的叙述正确的是()A．在数轴上不存在表示8的点B．8＝2＋ 6C．8＝±2 2 D．与8最接近的整数是3 5．【2022·新郑市期末】下列计算正确的是()A．8－2＝ 2 B．（－2）2＝－2 C．6÷3＝ 3 D．2×3＝ 5 6．若75n是整数，则正整数n的最小值是()A．2 B．3 C．4 D．57．【教材P4习题T3变式】已知x＜2，化简x2－10x＋25的结果是() A．x－5 B．x＋5 C．－x－5 D．5－x8．已知一等腰三角形的周长为125，其中一边长为25，则这个等腰三角形的腰长为()A．2 5 B．5 5 C．25或5 5 D．无法确定9．已知a＝3＋22，b＝3－22，则a2b－ab2的值为()A．1 B．17 C．4 2 D．－4 2 10．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为()A． 2 B．2C．2 2 D．6二、填空题(每题3分，共24分)11．比较大小：35________27(填“＞”“＜”或“＝”)．12．【2021·山西】计算：12＋27＝________．13．若y＝2x－3＋3－2x＋1，则x－y＝________．14．计算(5－2)2 022(5＋2)2 023的结果是__________．15．在△ABC中，a，b，c为三角形的三边长，化简（a－b＋c）2－2|c－a －b|＝____________．16．【教材P16复习题T8变式】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a2－b2＋（a－b）2的结果是________．17．若xy＞0，则式子x－yx2化简的结果为__________．18．已知a，b是正整数，若有序数对(a，b)使得2(1a＋1b)的值也是整数，则称(a，b)是2(1a＋1b)的一个“理想数对”，如(1，4)使得2(1a＋1b)＝3，所以(1，4)是2(1a＋1b)的一个“理想数对”．请写出2(1a＋1b)其他所有的“理想数对”：_____________________________________________________________．三、解答题(19题16分，其余每题10分，共66分) 19．【教材P 15复习题T 1变式】计算：(1)(6＋8)×3÷32； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1－12＋(1－2)0－|3－2|；(3)(6－412＋38)÷22； (4)(25＋52)(25－52)－(5－2)2．20．如果最简二次根式2m ＋n ＋3与m －n －1m ＋10是可以合并的，求正整数m ，n 的值．21．已知等式|a －2 023|＋a －2 024＝a 成立，求a －2 0232的值．22．先阅读材料，再回答问题：已知x＝3－1，求x2＋2x－1的值．计算此题时，若将x＝3－1直接代入，则运算非常麻烦．仔细观察代数式，发现由x＝3－1得x＋1＝3，所以(x＋1)2＝3．整理，得x2＋2x＝2．再代入求值会非常简便．解答过程如下：解：由x＝3－1，得x＋1＝3，∴(x＋1)2＝3．整理，得x2＋2x＝2，∴x2＋2x－1＝2－1＝1．请仿照上述方法解答下面的题目：已知x＝5＋2，求6－2x2＋8x的值．23．拦河坝的横断面是梯形，如图，其上底是8 m，下底是32 m，高是3 m．(1)求横断面的面积；(2)若用300 m3的土，可修多长的拦河坝？24．观察下列各式：①2－25＝85＝225；②3－310＝2710＝3310；③4－417＝6417＝4417；…(1)根据你发现的规律填空：5－526＝__________＝__________；(2)猜想n－nn2＋1(n≥2，n为自然数)等于什么，并通过计算验证你的猜想．答案一、1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．B 9．C 10．B 二、11．＞ 12．53 13．23 14．5＋2 15．－a －3b ＋3c 16．－2a 17．－－y18．(1，1)，(4，1)，(4，4)，(16，16)，(9，36)，(36，9) 三、19．解：(1)原式＝(32＋26)÷32＝1＋233；(2)原式＝－2－23＋1－(2－3)＝－2－23＋1－2＋3＝－3－3； (3)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫6－412＋38×24＝32－1＋3＝32＋2； (4)原式＝(25)2－(52)2－(5－210＋2)＝20－50－(7－210)＝－37＋210．20．解：根据题意，得⎩⎨⎧m －n －1＝2，2m ＋n ＋3＝m ＋10，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝2. 即m ，n 的值分别为5，2．21．解：由题意得a －2 024≥0，∴a ≥2 024．原等式变形为a －2 023＋a －2 024＝a ． 整理，得a －2 024＝2 023． 两边平方，得a －2 024＝2 0232， ∴a －2 0232＝2 024．22．解：由x ＝5＋2，得x －2＝5，∴(x －2)2＝5．整理，得x 2－4x ＝1，∴6－2x 2＋8x ＝6－2(x 2－4x )＝6－2×1＝4．23．解：(1)S ＝12(8＋32)×3＝12(22＋42)×3＝12×62×3＝36(m 2)．答：横断面的面积为3 6 m 2． (2)3003 6＝1006＝100 66×6＝100 66＝50 63(m)． 答：可修5063 m 长的拦河坝．24．解：(1)12526；5526(2)猜想：n －nn 2＋1＝n nn 2＋1． 验证：当n ≥2，n 为自然数时，n －n n 2＋1＝n 3＋n n 2＋1－nn 2＋1＝n 3n 2＋1＝n nn 2＋1．。
华师大版九年级数学上典中点第二十三章阶段强化专训一
阶段强化专训一：平行线分线段成比例常见应用技巧证比例式技巧1.中间比代换法证比例式1．如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，求CF ∶CB 的值．(第1题)技巧2.等积代换法证比例式2．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P ，连接BF ，求证：PE PF ＝PA PB.(第2题)技巧3.等比代换法证比例中项3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD.求证：AD 是AB 和AF 的比例中项．(第3题)证线段相等技巧4.等比例法证线段相等(等比过渡法)4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥AB 交DE 的延长线于点F.求证：DE ＝EF.(第4题)证比例和为1技巧5.同分母的中间比代换法5．如图，已知AC ∥EF ∥BD ，求证：AE AD ＋BE BC＝1.(第5题)阶段强化专训一1．解：∵AD ∶DB ＝3∶5，∴BD ∶AB ＝5∶8.∵DE ∥BC ，∴CE ∶AC ＝BD ∶AB ＝5∶8.∵EF ∥AB ，∴CF ∶CB ＝CE ∶AC ＝5∶8.2．证明：∵DE ∥BC ，∴PD PB ＝PE PC.∴PD·PC ＝PE·PB. ∵DF ∥AC ，∴PF PC ＝PD PA.∴PD·PC ＝PF·PA. ∴PE·PB ＝PF·PA.∴PE PF ＝PA PB. 3．证明：∵EF ∥CD ，∴AF AD ＝AE AC .∵DE ∥BC.∴AD AB ＝AE AC. ∴AF AD ＝AD AB，∴AD 是AB 和AF 的比例中项． 4．证明：∵DE ∥BC ，∴AD DB ＝AE EC .∵点D 为AB 的中点，∴AD ＝DB ，即AD DB ＝1.∴AE EC＝1.∵CF ∥AB ，∴DE EF ＝AE EC＝1.∴DE ＝EF. 5．证明：∵AC ∥EF ，∴BE BC ＝BF BA①. 又∵EF ∥BD ，∴AE AD ＝AF AB ②.①＋②，得BE BC ＋AE AD ＝BF BA ＋AF AB ＝AB AB ＝1，即AE AD ＋BE BC ＝1.。
华师大版九年级数学上典中点第二十五章整合提升专训三
解码专训三：几种常见热门考点名师点金：概率是近年来中考的必考内容，主要考点是概率的意义，用频率估计概率，用列表法或树状图法计算概率及概率的应用，其考查形式既有单一考查，又有与平面直角坐标系、几何与统计知识等综合考查．判断事件类型1．下列事件中，是必然事件的为( )A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上B ．成都平原7月份某一天的最低气温是－2 ℃C ．在标准大气压下，通常加热到100 ℃时，水沸腾D ．打开电视，正在播放节目《中国好声音》2．下列事件，是随机事件的是( )A ．四边形的内角和为180°B ．袋中有2个黄球，3个绿球共5个球，随机摸出一个球是红球C ．2016年巴西举办奥运会D ．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限求事件的概率3．(2015·河北)将一枚质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是( )A .12B .13C .15D .164．有七张正面分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的卡片，它们除数不同外其余全部相同．现将它们背面朝上洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数为a ，则使关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a(a －3)＝0有两个不相等的实数根的概率是________．5．(2015·宜昌)901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团(每个学生必须参加且只参加一个)．为了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成如图所示不完整的扇形统计图．已知参加“读书社”的学生有15人．请解答下列问题：(1)该班的学生共有________名；(2)若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，请你计算“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；(3)901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀成员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．(第5题)用频率估计概率6．一个不透明的盒子里有红色、黄色、白色小球共80个，它们除颜色不同外其余均相同．小文将这些小球摇匀后从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次试验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为30%和40%.由此可知盒中大约有白球________个．游戏的公平性问题7．四张质地相同的卡片如图①所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；(2)童童和乐乐想用这四张卡片做游戏，游戏规则见图②.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变公平．(第7题)。
华师大版九年级数学上典中点第二十五章整合提升专训二
解码专训二：概率应用的四种类型名师点金：概率的应用很广泛，主要体现在与其他知识的综合，如：在方程和不等式中的应用、在函数中的应用、在几何中的应用、在物理学中的应用等．概率在方程和不等式(组)中的应用1．(2015·成都)有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 有解的概率为________．2．甲、乙两名同学投掷一枚均匀的正六面体骰子(6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，用字母p ，q 分别表示两人各投掷一次骰子所得到的点数．(1)满足关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有实数解的概率是________． (2)(1)中方程有两个相等实数解的概率是________．概率在函数中的应用题型1：放回事件3．在四个完全相同的球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋中任取一个球记下数字后作为点P 的横坐标x ，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P 的纵坐标y ，求点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率．题型2：不放回事件4．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记数字为y.(1)计算由x，y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率；(2)小明和小红约定做游戏，其规则为：若x，y满足xy>6，则小明胜；若x，y满足xy<6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．概率在几何中的应用5．如图为4张背面完全相同的纸牌(分别用①、②、③、④表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判定四边形ABCD是平行四边形的概率．(第5题)概率在物理学中的应用6．如图所示，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关．(1)请你画出树状图表示所有等可能的情况；(2)请你求出使电路形成通路的概率．(第6题)解码专训二1.49 点拨：若不等式组有解，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x≥3（x ＋1），2x －x －12＜a 的解集为3≤x ＜2a －13，且必须满足条件2a －13＞3，解得a ＞5，∴满足条件的a 的值为6，7，8，9，∴使不等式组有解的概率为49.2．(1)1936 (2)1183．解：画树状图如图所示：(第3题)∴点P 的坐标有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共有16种等可能的结果，其中在直线y ＝－x ＋5上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．∴点P(x ，y)落在直线y ＝－x ＋5上的概率为416＝14.4．解：(1)方法一：列表如下：(3，2)，(4，1)，共4种结果，∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13.方法二：画树状图如图所示：(第4题)∵共有12种等可能的结果，在函数y ＝－x ＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果∴P(点(x ，y)在函数y ＝－x ＋5的图象上)＝412＝13；(2)不公平．理由如下：∵x ，y 满足xy ＞6的有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种情况，x ，y 满足xy ＜6的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种情况，∴P(小明胜)＝412＝13，P(小红胜)＝612＝12.∵13≠12，∴游戏不公平． 公平的游戏规则可改为：若x ，y 满足xy≥6，则小明胜，若x ，y 满足xy ＜6，则小红胜．(答案不唯一)5．解：(1)画树状图如图：(第5题)(2)由(1)知共有12种等可能的结果．其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③，共8种情况，∴能判定四边形ABCD 是平行四边形的概率为812＝23.6．解：(1)画出树状图如图：(第6题)(2)由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中使电路形成通路的有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，da ，db ，ea ，eb ，共12种情况，所以P(使电路形成通路)＝1220＝35.。
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数学典中点九年级上册华师大版
《数学典》是一本收录了数学基础知识的精美绝伦的图书，由国内著名数学家华斯特编著，由华师译刊出版社出版发行。
其中上册内容包括了初中期间9年级数学习题和习题解析，主要围绕数学概念、公式与计算、几何图形、立体图形、空间几何、概率与统计等内容展开，为学生提供了详细的学习指导。
《数学典》的精美绝伦，体现在图书内容的丰富性上，凡是《数学典》内的书及图形，都是精心构思出的，其选取的例题，涵盖了初中期间9年级数学的各个知识点，并配以形象生动的插图以及详细的解题步骤，以便学生们更好的理解，更好的掌握这些学习内容。
另外，《数学典》采用了非常有创意的教学方式，为学生们提供了一次性的解析和综合测试，加深学生对所学内容的理解，通过测试学生可以了解自己在学习过程中所掌握的知识点有多少，还可以做出学习计划，进行全方位的检测。
最后，《数学典》的编排，让学生更容易掌握学习数学的方法，以及培养学生独立思考解题的能力。
从《数学典》出版之日起，就赢得了众多家长、学生的好评，是目前中学生学习数学的必备图书。
总而言之，《数学典》以华师大版为例，收录了九年级上册数学的各个知识点，丰富的习题及其解析，精心设计的图形，以及有创意的教学方式，不仅帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还可以培养学生独立思考解题的能力，因而颇受学生及家长的喜爱。
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