艺术生高考数学知识点
2019年艺术生高考数学复习数学文化课快速提分专题六数列
艺考之路·文化课快速提分知识梳理1.等差、等比数列的通项公式:等差数列的通项公式:.等比数列的通项公式:.推广:a n=a m+d;a n=a m·.2.等差、等比中项:若a,b,c成等差数列,则称b为a,c的等差中项,且b=;若a,b,c成等比数列,则称b为a,c的等比中项,且b=.3.等差、等比数列的性质:在等差数列{a n}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有;在等比数列{a n}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有.4.S n与a n的关系:S n=a1+a2+a3+…+a n,a n=.激活思维1.在等差数列{a n}中,若a1=-1,d=2,则a8=.2.已知数列{a n}为正项等比数列,a2=9,a4=4,那么数列{a n}的通项公式a n=.3.在等差数列{a n}中,若a1+a2+a3+a4=30,则a2+a3=.4.在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6=.5. (2018·南通、泰州一调)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+6a4,则a3的值为.6.在等差数列{a n}中,已知a1=7,公差为d,前n项和为S n,若当且仅当n=8时S n取最大值,则公差d的取值范围是.要点解析等差、等比数列的基本运算例1(1) 设{a n}是等差数列,若a4+a5+a6=21,则S9=.(2) 在等比数列{a n}中,若a1=1,a3a5=4(a4-1),则a7=.(3) 设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n.若S3=,且S1,S2,S4成等比数列,则a10=.练习(1) (2018·苏锡常镇调研(一))设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a2+a4=2,S2+S4=1,则a10=.(2) 已知等比数列{a n}满足a2+2a1=4,=a5,那么该数列的前5项和为.(3) (2018·南京、盐城、连云港二模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S15=30,a7=1,则S9的值为.等差、等比数列的证明例2设{a n}是公比不为1的等比数列,其前n项和为S n,且a5,a3,a4成等差数列.(1) 求数列{a n}的公比;(2) 求证:对任意的k∈N*,S k+2,S k,S k+1成等差数列.【规范解答】【方法梳理】练习设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1+2a2+3a3+…+na n=(n-1)S n+2n(n∈N*).(1) 求a2,a3的值;(2) 求证:数列{S n+2}是等比数列.【规范解答】等差、等比数列的通项公式例3已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,数列{b n}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=21,S4+b4=30.(1) 求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2) 记c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.【规范解答】【方法梳理】练习已知等比数列的前n项和为S n,a1=,且S2+a2=1.(1) 求数列的通项公式;(2) 记b n=log3,求数列的前n项和T n.【规范解答】【方法梳理】课堂评价1. (2018·镇江期末)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-2,S6=9S3,则a5的值为.2.设S n是等差数列{a n}的前n项和,且a2=3,S4=16,则S9的值为.3. (2018·苏州期末)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若=-,a4-a2=-,则a3的值为.4.已知{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1=.5.已知数列{a n}为等比数列,若a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=.1.在等差数列{a n}中,若a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为.2.在等差数列{a n}中,若a4=7,a8=15,则数列{a n}的前n项和S n=.3.在等差数列{a n}中,若a4+a8=16,则a2+a10=.4.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=-,则{a n}的前10项和等于.5.已知{a n}是公差不为零的等差数列,S n是其前n项和.若a2a3=a4a5,S9=27,则a1的值是.6. (2018·苏北四市期末)已知等差数列{a n}满足a1+a3+a5+a7+a9=10,-=36,那么a11的值为.7.已知数列{a n}是等差数列,a5=15,a10=-10,记数列{a n}的第n项到第n+5项的和为T n,则|T n|取得最小值时n的值为.8. (2018·南京、盐城一模)已知S n为等差数列{a n}的前n项和,若{a n}的前2 017项中的奇数项的和为2 018,则S2 017的值为.9.已知数列{a n}是公差为正数的等差数列,其前n项和为S n,且a2·a3=15,S4=16.(1) 求数列{a n}的通项公式;(2) 设数列{b n}满足b1=a1,b n+1-b n=,求数列{b n}的通项公式.10. (2018·南京学情调研)已知数列{a n}的各项均为正数,记数列{a n}的前n项和为S n,数列{}的前n项和为T n,且3T n=+2S n,n∈N*.(1) 求a1的值;(2) 求数列{a n}的通项公式.11.在数列{a n}中,已知a1=,a n+1=a n-,n∈N*,设S n为{a n}的前n项和.(1) 求证:数列{3n a n}是等差数列.(2) 求S n.(3) 是否存在正整数p,q,r(p<q<r),使得S p,S q,S r成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,请说明理由.专题六数列知识梳理1.a n=a1+(n-1)d a n=a1·q n-1(n-m)q n-m2.±3.a m+a n=a p+a q a m·a n=a p·a q4.--激活思维1. 132. 9·-【解析】设等比数列{a n}的公比为q,则q2==,又q>0,所以q=,所以a n=9·n-2.3. 154. 4【解析】设等比数列{a n}的公比为q,则由a8=a6+2a4,得q6=q4+2q2,即q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4.5.【解析】设等比数列{a n}的公比为q,则由a8=a6+6a4,得a2q6=a2q4+6a2q2,即q4-q2-6=0,解得q2=3(舍去负值).又q>0,所以q=,所以a3=a2q=.6.--【解析】由题意得a8>0,a9<0,即7+7d>0,7+8d<0,解得-1<d<-.要点解析例1【答案】(1) 63(2) 4(3) 19【解析】(1) 因为{a n}是等差数列,且a4+a5+a6=21,所以3a5=21,即a5=7,故S9==9a5=63.(2) 设等比数列{a n}的公比为q, 由a3a5=4(a4-1)得=4(a4-1),即-4a4+4=0,所以a4=2,因为a1=1,所以q3=2,所以a7=q6=4.(3) 设等差数列{a n}的公差为d(d≠0 因为S1,S2,S4成等比数列,所以=S1S4,从而(2a1+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d-d2=0,又d≠0 所以d=2a1.因为S3=,所以3a1+3d=(a1+d)2,将d=2a1代入上式得3a1+6a1=(a1+2a1)2,即9a1=9,解得a1=1(a1=0舍去),从而d=2,所以a10=1+9×2=19.练习【答案】(1) 8(2) 31(3) -9【解析】(1) 设数列{a n}的公差为d,则解得-所以a10=a1+9d=8.(2) 设等比数列{a n}的公比为q.因为=a5=a1a5,所以a1=1,又2a1+a2=4,则a2=2,从而公比q=2,所以前5项的和为S5=--=31.(3) 方法一:设数列{a n}的公差为d,由题意得,解得-所以S9=9a1+d=-45+36=-9.方法二:设数列{a n}的公差为d,因为S15=30,所以=30,所以a1+a15=4,即2a8=4,所以a8=2.又因为a7=1,所以公差d=1,a5=a7-2d=-1,所以S9==9a5=-9.例2【解答】(1) 设数列{a n}的公比为q(q≠0 q≠1 因为a5,a3,a4成等差数列, 所以2a3=a5+a4,解得q=-2.(2) 对任意的k∈N*,S k+2+S k+1-2S k=a k+1+a k+2+a k+1=2a k+1+a k+1·(-2)=0,所以对任意的k∈N*,S k+2,S k,S k+1成等差数列.练习【解答】(1) 因为a1+2a2+3a3+…+na n=(n-1)S n+2n(n∈N*),所以当n=1时,a1=2×1=2;当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,所以a2=4;当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,所以a3=8.综上,a2=4,a3=8.(2) a1+2a2+3a3+…+na n=(n-1)S n+2n(n∈N*),①所以当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+ n-1)a n-1=(n-2)S n-1+2(n-1).②①-②得na n=(n-1)S n-(n-2)S n-1+2=n(S n-S n-1)-S n+2S n-1+2=na n-S n+2S n-1+2.所以-S n+2S n-1+2=0,即S n=2S n-1+2,所以S n+2=2(S n-1+2).因为S1+2=4≠0 所以S n-1+2≠0所以-=2,故{S n+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.例3【解答】(1) 设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.因为a4+b4=21,S4+b4=30,得解得所以a n=n+1,b n=2n,n∈N*.(2) 由题意知c n=(n+1)×2n.记数列{c n}的前n项和为T n=c1+c2+c3+…+c n,则T n=2×2+3×22+4×23+…+n×2n-1+(n+1)×2n,①2T n=2×22+3×23+…+ n-1)×2n-1+n×2n+(n+1)2n+1,②①-②,得-T n=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1,所以T n=n·2n+1,n∈N*.练习【解答】(1) 设等比数列的公比为q,由a1=,S2+a2=1,得+q+·q=1,即q=,因此a n=a1q n-1=·-=.(2) 因为b n=log3=log33-2n=-2n,所以==·=-,所以T n=-+-+-+…+--+-=--=--=.课堂评价1. -32【解析】设数列{a n}的公比为q,显然q≠1 由S6=9S3,得--=--,即(1+q3)(1-q3)=9(1-q3),所以q=2,所以a5=a1q4=-32.2. 81【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则由a2=3,S4=16,得解得因此S9=9+×2=81.3.【解析】由题意知---解得-4. -【解析】因为S1,S2,S4成等比数列,所以=S1S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6),解得a1=-.5. -7【解析】由题知a5a6=a4a7=-8.又a4+a7=2,所以a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4.若a4=4,a7=-2,解得a1=-8,a10=1,a1+a10=-7;若a4=-2,a7=4,解得a1=1,a10=-8,a1+a10=-7.课后巩固1. 2【解析】由等差中项的性质知a3==5,又因为a4=7,所以d=a4-a3=2.2.n2【解析】由题意得等差数列的公差d满足4d=8,所以d=2,所以a n=7+2(n-4)=2n-1,故S n=-=n2.3. 16【解析】因为a4+a8=(a1+3d)+(a1+7d)=2a1+10d,a2+a10=(a1+d)+(a1+9d)=2a1+10d,所以a2+a10=a4+a8=16.4. 3(1-3-10)5. -5【解析】由S9=9a5=27,得a5=3.设公差为d(d≠0 则(3-3d)(3-2d)=3(3-d),即d2-2d=0,从而得d=2,所以a1=a5-4d=3-8=-5.6. 11【解析】设等差数列{a n}的公差为d,由-=36,得6a5d=18.又由a1+a3+a5+a7+a9=10,得a5=2,所以6d=9,所以a11=a5+6d=2+9=11.7. 5或6【解析】由a5=15,a10=-10得a n=-5n+40,a n+5=-5n+15,则T n==15(11-2n),当11-2n=±1时,即n=5或6时,|T n|取最小值15.8. 4 034【解析】因为a1+a3+a5+…+a2 017=1 009a1 009=2 018,所以a1 009=2,故S2 017=a1+a2+…+a2 017=2 017a1 009=2 017×2=4 034.9.【解答】(1) 设数列{a n}的公差为d,则d>0.由a2·a3=15,S4=16,得解得或-(舍去),所以a n=2n-1.(2) ①因为b1=a1=1,b n+1-b n==-=·--,即b2-b1=-,b3-b2=-,…b n-b n-1=---,n≥2累加得b n-b1=--=--,所以b n=b1+--=1+--=--.又b1=1也符合上式,故b n=--,n∈N*.10.【解答】(1) 由3T1=+2S1,得3=+2a1,即-a1=0.因为a1>0,所以a1=1.(2) 因为3T n=+2S n,①所以3T n+1=+2S n+1,②②-①,得3=-+2a n+1,即3=(S n+1+S n)(S n+1-S n)+2a n+1,即3=(S n+1+S n)a n+1+2a n+1.因为a n+1>0,所以3a n+1=S n+1+S n+2,③所以3a n+2=S n+2+S n+1+2,④④-③,得3a n+2-3a n+1=a n+2+a n+1,即a n+2=2a n+1,所以当n≥2时,=2.又由3T2=+2S2,得3(1+)=(1+a2)2+2(1+a2),即-2a2=0.因为a2>0,所以a2=2,所以=2,所以对n∈N*,都有=2成立,所以数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N*.11.【解答】 (1) 因为a n+1=a n-,所以3n+1a n+1-3n a n=-2.因为a1=,所以31·a1=1,所以{3n a n}是首项为1,公差为-2的等差数列.(2) 由(1)知3n a n=1+(n-1)·(-2)=3-2n,所以a n=(3-2n),所以S n=1·+(-1)·+(-3)·+…+ 3-2n)·,所以S n=1·+(-1)·+…+ 5-2n)·+(3-2n)·,两式相减得S n=-2++…+-(3-2n)·=-2---+(2n-3)·=2n·,所以S n=.(3) 假设存在正整数p,q,r(p<q<r),使得S p,S q,S r成等差数列,则2S q=S p+S r,即=+.因为当n≥2时,a n=(3-2n)<0,所以数列{S n}单调递减.又p<q,所以p≤q-1且q至少为2,所以≥--,---=-.①当q≥3时,≥--≥,又>0,所以+>,等式不成立.②当q=2时,p=1,所以=+,所以=,所以r=3({S n}单调递减,解唯一确定).综上可知,存在正整数p,q,r的值分别为1,2,3时满足题意.。
艺术生高考数学专题讲义：考点14 导数与函数的极值、最值
考点十四导数与函数的极值、最值知识梳理1．函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0 )，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0 )，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极大值点与极小值点统称为极值点．注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．2．判断f(x0 )是极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时，若x0满足f′(x0 )＝0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0 )是极值．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x) ；(2)求方程f′(x) ＝0的根；(3)检查f′(x)在x0两侧的符号①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．4．函数的最值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(2)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．函数的极值与最值的区别与联系极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念．函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值．典例剖析题型一 利用导数求函数的极值例1 已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－x (x 2－5x ＋4)e x ＝－x (x －1)(x －4)e x ，当x 变化时，f (x )、f ′(x )的符号变化情况如下：∴f (x )的极大值为f (0)＝0和f (4)＝32e 4，f (x )的极小值为f (1)＝－1e.变式训练 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型二 利用极值求参数例2 设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 答案 －14解析 由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－(2a ＋1)x 1＋x，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x (x －1)1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0， 所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14.变式训练 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln x ＋x 2－10x 的一个极值点，则实数a ＝________． 答案 12解析 f ′(x )＝a x ＋2x －10，由f ′(3)＝a3＋6－10＝0，得a ＝12，经检验满足条件．题型三 利用导数求函数的最值例3 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0.则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 变式训练 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解析 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .解题要点 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．当堂练习1．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x ) ________.①在(－∞，0)上为减函数② 在x ＝0处取极小值 ③ 在(4，＋∞)上为减函数 ④ 在x ＝2处取极大值答案 ③解析 由f ′(x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴f (x )在x ＝0处取得极大值，同理f (x )在x ＝2处取得极小值，故①，②，④均不正确 ，由f ′(x )的图象可知f (x )在(4，＋∞)上单调递减．2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是________.①x ＝1 ②x ＝－1 ③x ＝1或－1或0 ④x ＝0 答案 ③解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3. 若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则a 与b 的关系是________. 答案 a ＋2b ＝0解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.4．函数f (x )＝xe x ，x ∈[0,4]的最大值是________.答案 1e5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，由f (x )在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.课后作业一、 填空题1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．函数f (x )＝x 3－32x 2－6x 的极值点的个数是________．答案 2解析 f ′(x )＝3x 2－3x －6＝3(x 2－x －2)＝3(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.易知x ＝－1为f (x )的极大值点，x ＝2为f (x )的极小值点．故f (x )的极值点有2个． 3．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________． 答案 －16解析 由f ′(x )＝12－3x 2＝0，得x ＝－2或x ＝2. 又f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9， ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值为－16.4．f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． 答案 e －1解析 f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.令f ′(x )>0，得x >0，令f ′(x )<0，得x <0，则函数f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (－1)＝e －1＋1，f (1)＝e －1，f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f (1)>f (－1).5．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________． 答案 3百万件解析 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________．答案 －23解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23.7．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) ③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) ④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 ④解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 8．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37.9．函数f (x )＝x 3+ x 2－x +2在[0,2]上的最小值是________． 答案4927解析 f ′(x )＝3x 3+2x －1，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝13.比较f (0)＝2，f (13)＝4927，f (2)＝12.可知最小值为4927.10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为__________ 元时利润最大，利润的最大值为__________． 答案 30 23 000解析 设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， ∴y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，∴p ＝30或p ＝－130(舍去)，则p ，y ，y ′变化关系如下表：∴当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3＋150p 2＋11 700p －166 000在(20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． ∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．11．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.二、解答题12． （2015北京文节选）设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.求f (x )的单调区间和极值解析 函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. 13．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2处取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. 所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c . 则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9， 因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．。
2020新课标高考艺术生数学复习：导数的概念与计算含解析
解析：D[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大，故选D.]
3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)( )
A．既是周期函数，又是奇函数
B．既是周期函数，又是偶函数
2020新课标高考艺术生数学复习：导数的概念与计算含解析
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第10节 导数的概念与计算
最新考纲
核心素养
考情聚焦
1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想．
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”。
(1)y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( )
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
C．不是周期函数，但是奇函数
D．不是周期函数，但是偶函数
解析：B[因为y＝f(x)是周期函数，
所以有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，
得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，
即f′(x＋T)＝f′(x)，
所以导函数为周期函数．又y＝f(x)是奇函数．所以f′(x)为偶函数]
4．[人教A版教材P18A组T6改编]曲线y＝1－ 在点(－1，－1)处的切线方程为__________．
2021年艺术生高考数学总复习：数列求和
第 1 页 共 9 页2021年艺术生高考数学总复习：数列求和1．公式法求和 常用的求和公式有：(1) 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2) 等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.2.错位相减法求和适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． 3.裂项相消法求和方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和． 常用的裂项公式有： (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4) 1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1) － 1(n ＋1)(n ＋2)；4.分组求和通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和． 题型一 分组求和例1 （2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．例2 （2020•五华区校级模拟）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列．第 2 页 共 9 页（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T ．[玩转跟踪]1.（2020•番禺区模拟）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列． （1）求n a 及n S ； （2）设*2112()1n a n n b n N a+=+∈-，求数列{}n b 前n 项和n T ．2.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b是等比数列;（2）求数列{}n a的前n项和n S.题型二错位相减法求和第3页共9页第 4 页 共 9 页例2 （2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅰ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .[玩转跟踪]第 5 页 共 9 页1. （2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．题型三 利用裂项相消法求和第 6 页 共 9 页例3 （2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .[玩转跟踪]第 7 页 共 9 页1.（2020•福清市一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n a S -=． （Ⅰ）求n a（Ⅱ）若数列{}n b 满足*14()nn n n a b n N S S +=∈，{}n b 的前n 项和n T ． [玩转练习]1.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .2.（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226nT ≤<．3.（2020•全国3卷）设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．4.（2020·江西省名高三第二次大联考（理））已知首项为4的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+.第 8 页 共 9 页（1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.（2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .5.(安徽，18)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .6.(浙江，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .7. （湖南高考）设为数列{}的前项和，已知，2，N(Ⅰ)求，，并求数列｛｝的通项公式； (Ⅱ)求数列｛｝的前项和．8.(安徽，18)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列{a nn }是等差数列； n S n a 01≠a n n S S a a •=-11∈n *1a 2a n a n na n第 9 页 共 9 页(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .9.(新课标全国Ⅰ，17)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n2n }的前n 项和.10.(重庆，16)设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋ (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.11.(重庆，18)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .。
黑龙江艺术生高考数学复习资料-9解析几何
（八） 解析几何A 组1.若直线260ax y ++=和直线2(1)(1)0x a a y a +++-=垂直,则a 的值为 ( )2. （ ） 22.1259xyA += 22.1259yxB += 2222.11259259xyyxC +=+=或D.以上都不是 3.曲线221259xy+=与曲线221(9)259xyk kk+=<--的 （ ）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等 4.与圆221x y +=以及228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在 （ ） A.一个椭圆 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 5.斜率为2的直线l 与双曲线22132xy-=交于A ，B 两点，且||4AB =，则直线l 为 ( ). 2 . 2 . 2333A y xB y xC y x =+=-=±D.以上都不对6.经过点M （2，1）作直线l 交于双曲线2212yx -=于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为_______7.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线22(0)y px p =>的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为_______ 8.已知椭圆22149xy+=，一组平行线的斜率是32，当这些直线在y 轴的截距b 为_______时，这些直线与椭圆相交；当它们相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点都在曲线__________（写出曲线方程）上。
9.已知椭圆221259xy+=，直线:45400l x y -+=.椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？10.已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率是k ，k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？B 组11.光线自点M （2，3）射到N （1，0）后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为______12.若直线(3-a)x+(2a-1)y+7=0与直线(2a+1)x+(a+5)y-6=0互相垂直，则a 为____________ 13.已知点P 是椭圆2216251600x y +=上一点，且在x 轴上方，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，直线2P F 的斜率为-12P F F ∆的面积.14.从椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足为左焦点1F .又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//A B O P ，1||F A =，求椭圆的方程.15.已知直线与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且O A O B ⊥，O D AB ⊥交于A B 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求p 的值.16.已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 分别交于点M ，且它们的斜率之和为2，求点M 的轨迹方程.17.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径画圆，判断所作圆与抛物线的关系，并加以证明.解析几何参考答案：C CB D C (6)47y x=-；(7)(4(4p p-+或；(8)(b∈-;32y x=-; (9)解：假设存在满足题设的点，不妨设为(5cos,3sin)A t t，则有点A到直线:45400l x y-+=41 =≥41。
艺考攻略：艺术生文化课高考数学方法
艺术生数学高考备考攻略一、艺术生数学学习特点数学是文科的高考科目中难度最大、分值最高的一科。
艺术类的学生，由于平时精力更多地放在艺术类专业课上，都存在较长的学习荒芜期,长则一年，短则半年，对高中数学知识点掌握的不系统不全面;同时，很多艺术生还错过了学校的一轮复习，在数学高考复习中往往感觉心有余而力不足，在这种情况下要在短短两三个月内较大幅度提高数学成绩其难度可想而知。
高中艺术生主要分为两类：一类是进入高中时就确定艺术方向，另一类则是在高二后期或高三前期转入艺术生。
这两类学生有着很大的区别，前者在中考时成绩一般，基本上是属于跟得上，对于较难知识点掌握一般，比如函数、阅读量大的题目、动态类型的题都是他们容易出现问题的地方，进入高中后，开学后第二章就学习高中阶段较难的部分：函数，一下子就让这些学生失去了学习的积极性，从而导致整个高中的数学学习积极性不高;后一种情况的学生本打算高中通过普文普理参加高考，只是到了最后发现高考的难度很大，转为艺术生，这类学生的基础知识有一定的掌握，但是不系统，学习和解题方法不准确到位，相对于前一类学生，他们对一些知识是熟悉的，比如在做选择题时，可以大体上知道是怎么回事，大体上答案是哪个，但是在做填空题时，简单的还可以，稍加综合就会出问题了。
另外，在教学过程中应根据艺考生不同的学习类型采取不同的学习策略。
二、艺术生高考数学拿分策略高考文科数学各题型的难度系数比为：6：3：1，对艺考生而言，最容易出成绩的地方是占60%的难度系数相对小的基础题，在短期拿到满意的分数，必须有所舍去，舍难取易。
高考共计三大类题型：一、选择题(每小题5分，满分60分)，这一部分基本全是考察基础知识和基本运算，是学生得分比较容易的部分，只要平时把常考的题型点做精做活，拿到45分以上应该不难;二、填空题(每小题4分，满分16分)，这一部分80%的题属于基础题，主要考察基础知识和基本运算。
但由于填空题对答案的准确率要求高，就需要考生平时训练扎实，提高运算能力和准确率，会做的题一定要争取做对，这部分要让学生拿到12分以上;三、解答题(共计5个题，满分74分)，前3个题属于基础题，相对比较容易得分，只要平时训练扎实，做题步骤完善，得到满分很难，但拿到60-70%的分应该是没问题的，后面两个大题难度都比较难，对综合能力要求高，但因为每个题的第一问属于基础题，对艺术生来说难度不大，这两个题应该争取拿到30-50%的分。
艺术生高考数学专题讲义：考点22 一元二次不等式与简单的分式不等式的解法
A. ( -∞，32 ) ∪ (2，+∞)
B. R
C.
(
3 2
，2)
D. ∅
【题型练1-2】(2015 江苏 ) 不等式 2x2 - x < 4 的解集为 ________．
【题型练1-3】不等式 -3 < 4x - 4x2 ≤ 0 的解集为 ________．
（
）
【题型练1-4】(2015 广东文 ) 不等式 -x2 - 3x + 4 > 0 的解集为 ________( 用区间表示 )．
【题型练3-6】若不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是 ( -4,1)，则不等式 b(x2 - 1) + a(x + 3) + c > 0 的解集为 ．
题型四 一元二次不等式恒成立问题 角度 1 形如 f(x) ≥ 0( f(x) ≤ 0)，x ∈ R 确定参数的范围 例4. 若不等式 mx2 - 2x - 1 < 0 恒成立，则 m 的取值范围是 ________．
题型三 一元二次不等式与一元二次方程根之间关系问题 例3. 关于 x 的不等式 x2 + (a + 1)x + ab > 0 的解集是 {x|x <-1 或 x > 4}，则 a + b = ________．
方法总结 解决这类习题关键是理解三个二次之间的关系，一元二次函数与 x 轴交点的横坐标即为对应一 元二次方程的根，利用一元二次方程的根，结合函数图象就可以求出对应一元二次不等式．因此反过
f (x) g(x)
≥
0⇔
fg((xx))·≠g(x0)，≥ 0，，
f (x) g(x)
2021年艺术生高考数学总复习：集合的概念和运算
例2（2018全国卷Ⅱ）已知集合 ，则 中元素的个数为
A．9B．8C．5D．4
例3已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
[玩转跟踪]
1.（2020•德州模拟）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()
3.定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B},若集合M＝{1,2,3,4,5},集合N＝{x|x＝2k－1,k∈Z},则集合M－N的子集个数为()
A.2 B.3C.4 D.无数个
题型三集合的基本运算
例6（2017•山东）设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，则
A． B． ， C． D． ，
例7（2017•新课标Ⅰ）已知集合 ， ，则
A.3B.,C＝{z|z＝xy,x∈A且y∈B},则集合C中的元素个数为()
A.3 B.8 C.11 D.12
题型二集合间的基本关系
例4（2015•全国）设集合 ，2，3， ，若 至少有3个元素，则这样的 共有
A．2个B．4个C．5个D．7个
3.集合的运算
(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
符号
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
[玩转典例]
题型一集合的基本概念
例1（2020•济南模拟）设集合 ，2， ， ， ， ， ， ，则 中元素的个数为
A． B． C． D．
例8（2016•全国）设集合 ， ，则
黑龙江艺术生高考数学复习资料-1集合基础
一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征： ， ， 。
（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。
（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。
（4）集合的表示法： ， ， 。
注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xy z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。
（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。
如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。
二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
（2）_}__________{_________=B A ；____}__________{_________=B A ； _}__________{_________=A C U（3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A ___；A B B A ___；B A B A ___；②⇔=A B A ；⇔=A B A ；⇔=U B A C U ；⇔=φB A C U ；③=B C A C U U ； )(B A C U =；（4）①若n 为偶数，则=n ；若n 为奇数，则=n ；②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则=n ；若n 被3除余2，则=n ；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
艺术生高考数学精品提分秘籍专题十 导数以及运用
解析：切线 l 的方程为 y＋1＝－(x＋1)，即 x＋y＋2
＝0.点
P(3,2)到直线
l
的距离为
d＝
7 ＝7 2
2 2.故选
A.
• 答案：A
4．曲线 y＝13x3＋x 在点1，34处的切线与坐标轴围 成的三角形面积为( )
A.19
B.29
1
2
C.3
D.3
解析：已知曲线的导数为 y′＝x2＋1，导数在 x＝1 处的值即为已知曲线在该点处的切线的斜率，即 k＝ y′|x＝1＝12＋1＝2，故已知曲线在点1，34处的切线方程 为 y－43＝2·(x－1)，设该直线在 x 轴，y 轴 的截距为 a， b，则 a＝13，b＝－23，所求三角形的面积为12|ab|＝19.
• 答案：D
• 8．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )
• A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)>0，g′(x)<0
• C．f′(x)<0，g′(x)>0
D．f′(x)<0，g′(x)<0
• 解析：依题意得f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数， 故在(－∞，0)上是增函数，即当x<0时，f′(x)>0；g(x) 是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上 是减函数，即当x<0时，g′(x)<0，故选B.
• ∴f(2)＝18.选C.
• 答案：C
• 6．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在区间[0,3]上的最大
值和最小值依次是( )
• A．12，－15
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艺术生高考数学知识点
数学在高考中是所有考生的必考科目之一，包括艺术生在内。
虽然艺术生的重点是文化课考试，但数学同样是不能忽视的一门学科。
本文将对艺术生高考数学的重点知识点进行梳理和总结，以帮助艺术生更好地备考数学科目。
一、函数与方程
1.1 函数及其表示
艺术生在数学中需要掌握函数的概念及其表示方法。
函数由自变量和因变量组成，通常用 f(x) 或 y 表示。
1.2 一次函数与二次函数
一次函数的特征是其图像为一条直线，可以通过截距和斜率来确定。
二次函数的特征是其图像为一个抛物线，可以通过顶点、焦点等关键点来确定。
1.3 方程与不等式
艺术生需熟练掌握方程与不等式的解法，包括一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、一元二次不等式等。
二、数列与数列求和
2.1 数列的概念
数列是按照一定规律排列的一组数，包括等差数列和等比数列等。
2.2 等差数列与等比数列
艺术生需要了解等差数列和等比数列的特点及其求解方法。
2.3 数列的通项公式与求和公式
数列的通项公式是指通过一个通项公式可以直接求得数列中任意一项的公式。
数列的求和公式是指通过一个公式可以直接求得数列的前n项和。
三、平面几何与空间几何
3.1 平面几何基础知识
艺术生需要熟悉平面几何中的基本概念、基本性质和基本定理，包括线段、角、三角形、四边形等的性质和判定方法。
3.2 圆的性质与相关定理
圆是平面几何的重要内容之一，艺术生需要掌握圆的性质以及
与之相关的定理，如切线定理、弦切角定理等。
3.3 空间几何基础知识
艺术生需要了解立体几何中的基本概念、基本性质和基本定理，包括直线、平面、三棱锥、四棱锥等的性质和判定方法。
四、概率与统计
4.1 概率的基本概念
艺术生需要掌握概率的基本概念，包括样本空间、事件等。
4.2 概率的计算
艺术生需要熟悉概率的计算方法，包括事件的概率计算、事件
的互斥与对立等。
4.3 统计的基本概念与分析方法
艺术生需要了解统计的基本概念和分析方法，包括频数、频率、频率分布表、统计图等。
五、数学思维与解题方法
5.1 数学思维的培养
艺术生需要培养数学思维，包括逻辑思维、联想思维、抽象思
维等。
5.2 解题方法的掌握
艺术生需要熟悉并灵活运用数学解题的方法，包括分析方法、
推理方法、建模方法等。
以上是艺术生高考数学知识点的简要概述，艺术生在备考过程
中应注重基础知识的掌握和解题能力的提升。
通过不断练习和思
考，相信艺术生们都能在高考数学中取得好成绩。
祝愿所有的艺术生考生在数学考试中取得优异的成绩！。