2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)3-2-2 函数的性质(二)(精讲)(解析版)
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷二函数与基本初等函数北师大版(含答案)
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷二函数与基本初等函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东潍坊高三期中)若函数f(x)=axx+a的定义域是{x|x∈R,x≠2},则函数f(x)的值域为()A.(-∞,-2)∪(-2,+∞)B.(-∞,2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)2.(2021天津和平高三期中)若2a=3b=6,则1a2+1ab+1b=()A.1B.16C.32D.653.(2021江苏南京高三月考)函数y=4x-6·2x+8的所有零点的和等于()A.8B.6C.3D.24.(2021湖南师大附中高三期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(-12)-f(4)等于()A.-2B.2C.-1D.15.(2021广东佛山高三月考)已知函数f(x)=ln|x|+e x+e-x,则f-13,f12,f14的大小关系是()A.f-13>f14>f12B.f14>f-13>f12C.f12>f-13>f14D.f12>f14>f -136.已知函数f (x )=x 2-2ax+a 在区间[0,3]上的最小值为-2,则实数a 的值为( ) A.-2 B.-2或115 C.-2或1D.±27.(2021山东省实验中学高三二模)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数f (x )满足f (4-x )=f (x ),且当x ∈[0,2]时的解析式为f (x )={-log 2(2-x),0≤x ≤1,log 2x,1<x ≤2,则函数y=f (x )在[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的面积是( ) A.2 B.2log 23 C.4D.4log 238.(2021湖北宜昌高三期末)已知函数f (x )=ln(x-2)+ln(4-x ),则( ) A.f (x )的图象关于直线x=3对称 B.f (x )的图象关于点(3,0)对称 C.f (x )在(2,4)上单调递增 D.f (x )在(2,4)上单调递减9.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A.y=x 3B.y=ln 1|x| C.y=2|x|D.y=cos x10.定义一种运算:a b={a,a ≥b,b,a <b,设f (x )=(5+2x-x 2) |x-1|,则下列结论错误的是( )A.f (x )的图象关于直线x=1对称B.f (x )的图象与直线y=5有三个公共点C.f (x )的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3]D.f(x)的最小值是211.已知函数y=a x(a>0且a≠1)的图象如图,则下列四个函数图象与函数解析式对应错误的是()12.设函数f(x)=sinπxx2-x+1,则下列说法错误的是()A.f(x)的最大值为43B.|f(x)|≤5|x|C.曲线y=f(x)存在对称轴D.曲线y=f(x)存在对称中心二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021福建三明高三三模)能够说明“若ax >ay,a<0,则x>y”是假命题的一组整数x,y的值依次为.14.函数f(x)=a x+5-2(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为.15.(2021辽宁锦州高三模拟)函数y=21−x的图象与函数y=4sin πx(-4≤x≤6)的图象所有交点的横坐标之和为.16.(2021山东济南高三期中)已知函数f(x)=x,g(x)=ax2-x,其中a>1.若∀x1∈[1,3],∃x2∈[1,3],使得f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则实数a=.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江苏镇江高三月考)已知幂函数f(x)=(m-1)2x m2-4m+2在(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求实数m的值;(2)当x∈[1,2]时,记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.18.(12分)(2021山东烟台高三期中)已知函数f(x)={log14(x+3),−3<x≤1,(12)x+a,x>1,(1)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的值域为[-1,+∞),求实数a的取值范围.19.(12分)已知命题p:函数f(x)=|x+2c|在[-1,+∞)上单调递增;命题q:函数g(x)=cxx2+1-a(a>0)有零点.(1)当a=2时,命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;(2)若“p为真命题”是“q为真命题”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.(12分)(2021上海格致中学高三三模)“弗格指数f=log a x+bx-b”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中b是该地区的最低保障收入系数,a是该地区收入中位系数,x是该地区收入均值系数.经换算后,a,b,x都是大于1的实数,当f∈(1,2)时,该地区收入均衡性最为稳定.(1)指出函数g(x)=f=log a x+bx-b的定义域与单调性(不用证明),并说明其实际意义.经测算,某地区的“弗格指数”为0.89,收入均值系数为3.15,收入中位系数为2.17,则该地区的最低保障收入系数为多少(参考数据:2.170.89≈2)?(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围(用a,b表示).21.(12分)(2021浙江高三月考)已知函数f(x)=(x-1)·|x-a|.(1)若a=2,求f (x )在0,52上的最大值;(2)已知函数g (x )=f (x )+|x-a|-x+a-m ,若存在实数a ∈(-1,2],使得函数g (x )有三个零点,求实数m 的取值范围.22.(12分)(2021山东淄博高三期末)已知函数f (x )=log a (a x+1)+bx (a>0且a ≠1,b ∈R )是偶函数,函数g (x )=a x(a>0且a ≠1). (1)求实数b 的值;(2)若函数h (x )=f (x )-12x-a 有零点,求实数a 的取值范围.单元质检卷二 函数与基本初等函数1.A 解析:由x+a ≠0得x ≠-a ,因此a=-2,所以f (x )=-2-4x -2,由于4x -2≠0,因此-2-4x -2≠-2,即函数f (x )的值域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),故选A .2.A 解析:由于2a=3b=6,所以a=log 26,b=log 36,因此1a =log 62,1b =log 63,则1a +1b =1,于是1a 2+1ab +1b =1a 1a+1b +1b =1a +1b =1,故选A . 3.C 解析:令y=4x-6·2x+8=0得(2x-4)(2x-2)=0,所以2x=4或2x=2,解得函数的零点为x 1=2,x 2=1,故零点之和等于3.4.C 解析:若f (x )是R 上周期为5的奇函数,则f (-x )=-f (x ),f (x+5)=f (x ),所以f (-12)=-f (12)=-f (2)=-2,f (4)=f (-1)=-f (1)=-1,所以f (-12)-f (4)=-2-(-1)=-1,故选C .5.C 解析:由f (-x )=ln |-x|+e -x+e-(-x )=ln |x|+e x +e -x =f (x )且f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),即f (x )为偶函数,所以当x>0时,f (x )=ln x+e x +e -x ,则f'(x )=1x +e 2x -1e x>0,即f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以f -13=f13,而14<13<12,故f14<f -13<f12,故选C .6.D 解析:函数f (x )=x 2-2ax+a=(x-a )2-a 2+a ,当a ≤0时,函数在区间[0,3]上单调递增,函数的最小值f (0)=a=-2,符合题意;当0<a<3时,函数在区间[0,3]上的最小值f (a )=-a 2+a=-2,解得a=-1(舍)或a=2,所以a=2;当a ≥3时,函数在区间[0,3]上单调递减,函数的最小值f (3)=9-6a+a=-2,解得a=115,不合题意,综上可知a=±2,故选D .7.C 解析:由题意知f (x )关于直线x=2对称,而f (x )={-log 2(2-x),0≤x ≤1,log 2x,1<x ≤2,且f (0)=f (4)=-1,f (2)=1,所以在[0,4]上函数f (x ),f (4-x )及y=-1的图象如图.将所围成的图形在x 轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x 轴上半部分阴影区域,可得到由x 轴,y 轴,y=1,x=4所围成的矩形的面积,所以函数y=f (x )在[0,4]上的图象与直线y=-1围成的封闭图形的面积为4,故选C .8.A 解析:f (x )的定义域为(2,4).对于A,因为f (x+3)=ln(x+1)+ln(1-x )=f (3-x ),所以f (x )的图象关于x=3对称,因此A 选项正确;对于B,由A 知f (x+3)≠-f (3-x ),所以f (x )的图象不关于点(3,0)对称,因此B 选项错误;对于C,f (x )=ln(x-2)+ln(4-x )=ln(-x 2+6x-8),函数y=-x 2+6x-8=-(x-3)2+1在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此f (x )在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此C 选项,D 选项错误,故选A .9.B 解析:对于A,函数是奇函数,不满足题意;对于B,因为ln 1|-x|=ln 1|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=-ln x ,函数单调递减,满足题意;对于C,因为2|-x|=2|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+∞)上,y=2x ,函数单调递增,不满足题意;对于D,函数是偶函数,在区间(0,+∞)上不单调,不满足题意,故选B .10.B 解析:由题意,f (x )=(5+2x-x 2) |x-1|={5+2x -x 2,-1≤x ≤3,|x -1|,x <−1或x >3,作出函数的图象如图所示,由图象可知,函数f (x )的图象关于直线x=1对称,故A 正确;函数f (x )的图象与直线y=5有四个公共点,故B 错误;函数f (x )的单调递减区间是(-∞,-1]和[1,3],故C 正确;函数f (x )的最小值是2,故D 正确,故选B .11.C 解析:由图可得a 1=2,即a=2,y=a -x=12x单调递减且过点(-1,2),故A 正确;y=x -a =x -2为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,故B 正确;y=a |x|=2|x|={2x ,x ≥0,2-x ,x <0为偶函数,结合指数函数图象可知不符合题意,故C 错误;y=|log a x|=|log 2x|,根据“上不动、下翻上”可知D 正确,故选C .12.D 解析:对于选项A,因为sin πx ∈[-1,1],x 2-x+1=x-122+34≥34,所以f (x )=sin πx x 2-x+1≤134=43,故A 正确;对于选项B,由于f(x)x=sin πx πx·π(x -12) 2+34≤43π<5,所以|f (x )|≤5|x|,故B 正确;对于选项C,因为直线x=12是曲线y=sin πx 的对称轴,也是曲线y=x 2-x+1=x-122+34的对称轴,所以直线x=12是曲线y=f (x )的对称轴,故C 正确;对于选项D,因为f (a-x )+f (a+x )不可能为常数,所以曲线y=f (x )不存在对称中心,即D 错误,故选D .13.-1,1(答案不唯一) 解析:当a x >a y ,a<0时,可得1x <1y ,①当x ,y 同号时,可得x>y ;②当x ,y 异号时,y>0>x ,故取整数x ,y 满足y>0>x 即可.14.(-5,-1) 解析:当x+5=0,即x=-5时,y=a 0-2=-1,即f (-5)=-1,故函数图象恒过定点(-5,-1),即点P 的坐标为(-5,-1).15.12 解析:设f (x )=21−x ,g (x )=4sin πx ,当x ≠1时,f (2-x )=21−(2−x)=2x -1=-f (x ),即f (2-x )+f (x )=0,所以函数f (x )=21−x 的图象关于点(1,0)中心对称,g (2-x )=4sin[π(2-x )]=4sin(2π-πx )=-4sin πx=-g (x ),即g (2-x )+g (x )=0,所以,函数g (x )=4sin πx 的图象也关于点(1,0)中心对称,作出函数y=21−x与函数y=4sin πx (-4≤x ≤6)的图象如图:由图象可知,两个函数图象共有12个交点,形成6对关于点(1,0)对称的点对,因此两个函数所有交点的横坐标之和为6×2=12.16.43 解析:∀x 1∈[1,3],∃x 2∈[1,3],使得f (x 1)f (x 2)=g (x 1)g (x 2)成立,即为g(x 1)f(x 1)=f(x 2)g(x 2),即ax 1-1=1ax 2-1成立.由于a>1,可得ax 1-1在[1,3]上的值域为[a-1,3a-1],1ax 2-1在[1,3]上的值域为13a -1,1a -1,由题意可得在[1,3]内,ax 1-1的值域为1ax 2-1的值域的子集,因此13a -1≤a-1<3a-1≤1a -1,所以(a-1)(3a-1)=1,解得a=43.17.解(1)依题意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去. 当m=0时,f (x )=x 2在(0,+∞)上单调递增,满足题意. 故m 的值为0.(2)由(1)知f (x )=x 2,在区间[1,2]上,f (x ),g (x )均单调递增, 所以A=[1,4],B=[2-k ,4-k ], 因为A ∪B=A ,得到B ⊆A , 所以{2−k ≥1,4−k ≤4,解得0≤k ≤1.故实数k 的取值范围为[0,1].18.解(1)当x ∈(-3,1]时,f (x )=lo g 14(x+3)单调递减,当x ∈(1,+∞)时,f (x )=12x+a 单调递减.所以要使函数f (x )在定义域上是单调函数,应满足lo g 14(1+3)≥121+a ,即a+12≤-1,解得a ≤-32.故实数a 的取值范围是-∞,-32.(2)当x ∈(-3,1]时,f (x )=lo g 14(x+3)∈[-1,+∞),当x ∈(1,+∞)时,f (x )=12x+a ∈a ,a+12,由于函数f (x )的值域为[-1,+∞),所以a ,a+12⊆[-1,+∞), 因此a ≥-1,即实数a 的取值范围是[-1,+∞). 19.解由于f (x )=|x+2c|={x +2c,x ≥−2c,-x -2c,x <−2c,所以f (x )的单调递增区间是[-2c ,+∞).又因为f (x )在[-1,+∞)上单调递增,所以-2c ≤-1, 解得c ≥12.即命题p 为真命题时,c 的取值范围是12,+∞.(1)当a=2时,g (x )=cxx 2+1-2有零点,所以方程cxx 2+1-2=0有实数根,即2x 2-cx+2=0有实数根,因此c 2-16≥0,解得c ≥4或c ≤-4.即命题q 为真命题时c 的取值范围是(-∞,-4]∪[4,+∞). 故当命题p 和q 均为真命题时,应有{c ≥12,c ≥4或c ≤−4,即c ≥4.故实数c 的取值范围是[4,+∞).(2)函数g (x )=cx x 2+1-a 有零点,则方程cxx 2+1-a=0有实数根, 即ax 2-cx+a=0有实数根,所以c 2-4a 2≥0,解得c ≥2a 或c ≤-2a. 由于“p 为真命题”是“q 为真命题”的充分不必要条件, 所以12>2a , 解得0<a<14.故实数a 的取值范围是0,14.20.解(1)要使函数g(x)有意义,须使x+bx-b>0, 又因为x>1且b>1,解得x>b,所以函数g(x)的定义域为(b,+∞).令t=x+bx-b(x>b),则f=log a t.因为t=x+bx-b =1+2bx-b,所以当x∈(b,+∞)时,函数t=x+bx-b单调递减;又因为a>1,所以f=log a t在(0,+∞)上单调递增,故f=log a x+bx-b在定义域(b,+∞)上是减函数.其实际意义是当该地区收入均值系数x大于该地区的最低保障收入系数b时,收入均值系数x越大,弗格指数f越小.将f=0.89,x=3.15,a=2.17代入函数得0.89=log2.173.15+b3.15−b,所以3.15+b3.15−b =2.170.89≈2⇒b≈3.15-6.33=1.05.故该地区的最低保障收入系数为1.05.(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,则f∈(1,2),即1<log a x+bx-b<2.又因为a>1,所以a<x+bx-b<a2,即a-1<2bx-b<a2-1.又因为x>b,a>1,所以1a2-1<x-b2b<1a-1,解得a 2b+ba2-1<x<ab+ba-1.即该地区收入均值系数x的取值范围是a 2b+ba2-1,ab+ba-1.21.解(1)当a=2时,f(x)=(x-1)|x-2|.若x ∈[0,2],则f (x )=-(x-1)(x-2)=-x-322+14, 所以f (x )max =f 32=14. 若x ∈2,52,则f (x )=(x-1)(x-2)=x-322-14,f (x )在区间内单调递增,所以f (x )max =f 52=34.综上f (x )在0,52上的最大值为34.(2)由题设,令g (x )=x|x-a|-(x-a )-m=0.所以x|x-a|-(x-a )=m 在a ∈(-1,2]上有三个根, 即h (x )={x 2-(a +1)x +a,x ≥a,-x 2+(a -1)x +a,x <a 与y=m 有三个交点.当-1<a<1时,h (x )在-∞,a -12,a+12,+∞上单调递增,在a -12,a+12上单调递减,此时,h a+12<m<h a -12,可得-(a -1)24<m<(a+1)24,故-1<m<1;当1≤a ≤2时,h (x )在-∞,a -12,(a ,+∞)上单调递增,在a -12,a 上单调递减,此时,0<m<h a -12,可得0<m<(a+1)24∈1,94,故0<m<94.综上,实数m 的取值范围为-1,94.22.解(1)因为f (x )为偶函数,所以∀x ∈R ,有f (-x )=f (x ). 即log a (a -x+1)-bx=log a (a x+1)+bx 在R 上恒成立.所以log a (a -x +1)-log a (a x+1)=2bx 在R 上恒成立.所以2bx=-x ,故b=-12.(2)若函数h (x )=f (x )-12x-a 有零点,所以log a (a x+1)-x=a 有解,即log a 1+1a x =a 有解.令p (x )=log a 1+1a x ,则函数y=p (x )图象与直线y=a 有交点.当0<a<1时,因为1+1a x >1,p(x)=log a1+1a x<0,所以log a1+1a x=a无解.当a>1时,因为1+1a x >1,p(x)=log a1+1a x>0,由log a1+1a x=a有解可知a>0,所以a>1.故a的取值范围是(1,+∞).。
2023年高考数学复习：函数及其性质多选题(原卷版)
【多选题与双空题满分训练】专题3 函数及其性质多选题 2022年高考冲刺和2023届高考复习满分训练新高考地区专用1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数()1x f x x+=，则（ ） A ．()f x 的定义域为R B ． ()f x 是奇函数 C ．()f x 在()0,+∞上单调递减D ． ()f x 有两个零点2．（2022·湖南永州·三模）已知函数()21ln 12f x x x x =--+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线1x =对称 B ．()f x 在[)2,+∞上为减函数 C ．()f x 有4个零点 D ．00x ∃>，使()00f x >()221111222y x x x =-+=--+ 3．（2022·湖北十堰·三模）已知函数()lg f x x =，则( )A ．()2f ，f，()5f 成等差数列B ．()2f ，()4f ，()8f 成等差数列C ．()2f ，()12f ，()72f 成等比数列D ．()2f ，()4f ，()16f 成等比数列4．（2022·山东枣庄·三模）已知a 、()0,1∈，且1a b +=，则（ ） A ．2212a b +≥B ．ln ln 2ln 2a b +≤-C ．2ln ln ln 2≥a bD ．ln 0+<a b5．（2022·重庆·模拟预测）已知1e a b <<<（e 为自然对数的底数），则（ ） A ．b a a b <B ．e e aba b >C ．e e ba a a >D ．e e bb a a <6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有()()11f x f x -=-+，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（ ）A ．()f x 是以2为周期的周期函数B ．点()3,0-是函数()f x 的一个对称中心C ．()()202120222f f +=-D ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点7．（2022·江苏盐城·三模）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（ ）A ．()f x 图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()2f x f x -=8．（2023·福建漳州·三模）若函数()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（）的图象与()()cos 2g x x θ=+的图象关于y 轴对称，则（ ） A ．2ω=B ．θ的值可以是π3C ．函数f (x )在ππ[,]122单调递减D ．将()y f x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到g (x )的图象9．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（ ） A ．()f x 在[]1,2上单调递减 B ．()00f = C ．()20222022f =D ．()20231f '=10．（2022·辽宁锦州·一模）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当(]1,1x ∈-时，()21f x x =-+ ）A ．7839f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 在()6,8上为减函数C ．点()3,0是函数()f x 的一个对称中心D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解11．（2022·河北·模拟预测）若函数()21f x +（x ∈R ）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点()1,0对称B ．2是函数()f x 的一个周期C ．()20210f =D ．()20220f =12．（2022·河北沧州·模拟预测）已知三次函数32()1f x ax bx cx =++-，若函数()()1g x f x =-+的图象关于点（1，0）对称，且(2)0g -<，则（ ）A ．0a <B ．()g x 有3个零点C ．()f x 的对称中心是(1,0)-D ．1240a b c -+<13．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1f x -关于(1,0)中心对称，()1f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则下列选项中说法不正确的有（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 周期为2C ．912f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()2f x -是奇函数14．（2022·河北石家庄·二模）已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的一个周期为2π B ．函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C．函数()f xD ．函数()f x 图象关于直线2x π=对称15．（2022·重庆八中模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈，有()()11f x f x +=--，当[]0,1x ∈时，()22f x x x =+-，则（ ） A ．()f x 是以4为周期的周期函数 B ．()()202120222f f +=-C ．函数()()2log 1y f x x =-+有3个零点D ．当[]3,4x ∈时，()2918f x x x =-+16．（2022·湖北·一模）已知函数12)||+||cos f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在（0，+∞）上单调递减 C ．()f x 是周期函数D ．()f x ≥-1恒成立17．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点18．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则a b的取值可以是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．419．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）对于偶函数sin ()xf x x a=+，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在3π2x =处的切线斜率为249πB ．函数()1f x <恒成立C ．若120π,x x <<< 则12()()f x f x <D ．若()m f x <对于π0,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则m 的最大值为2π20．（2022·福建厦门·模拟预测）已知函数()2441x x xf x x =+--，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的图象关于点()1,1对称C ．()f x 有唯一一个零点D ．不等式()()223f x f x +>的解集为()()1,13,-+∞21．（2022·江苏南通·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当0x ≥时，()()121f x f x +=-，且当0x >时，()()110f x f x '++'-<，则下列说法正确的是（ ） A ．()10f =B ．()f x 在(]–,1∞上单调递减C ．若()()1212,x x f x f x <<，则122x x +<D ．若12,x x 是()()cos g x f x x π=-的两个零点，且12x x <，则()()2112f x f x << 22．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中k ∈N ；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； 23．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）函数ln ()(0)sin ax x f x a x+=≤在[]2,2ππ-上的大致图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．24．（2022·广东茂名·模拟预测）所谓整数划分，指的是一个正整数n 划分为一系列的正整数之和，如n 可以划分为{}123,,,,k m m m m ，1k n ≤≤．如果{}123,,,,k m m m m 中的最大值不超过m ，即{}123max ,,,,k m m m m m ≤，则称它属于n 的一个m 划分，记n 的m 划分的个数为(),f n m ．下列说法正确的是（ ）A ．当1n =时，m 无论为何值，(),1f n m =B ．当1m =时，n 无论为何值，(),1f n m =C ．当m n =时，()(),1,1f n m f n m =+-D ．()6,46f =25．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R 上的单调递增的函数()f x 满足：任意x ∈R ，有()()112f x f x -++=，()()224f x f x ++-=，则（ ）A ．当x ∈Z 时，()f x x =B ．任意x ∈R ，()()f x f x -=-C ．存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x Tf xD ．存在非零实数c ，使得任意x ∈R ，()1f x cx -≤26．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令1()(123)n n x f x n -==，，，，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0<j <k 时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若122()12(1)2x x f x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，，下列各值是()f x 周期为2的周期点的有（ ）A ．0B ．13C ．23D ．1。
2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)3-5 幂函数与一元二次函数(精讲)(解析版)
3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）思维导图考点呈现考点一 幂函数及性质【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m mf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6 B ．1 C ．6 D ．1或﹣6【答案】B【解析】∵幂函数223()(55)()mmf x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∵2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数1m ∴=或6m =- 当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去因此：m ＝1故选：B【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数2232m m y x --=是偶函数，在()0,∞+上是减函数，则整数m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．2【答案】A【解析】因为幂函数2232m m y x --=在()0,∞+上是减函数，所以22320m m --<，解得122m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =， 当0m =时，221yxx 定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()2211x x =-，所以2y x 是偶函数，满足题意；当1m =时，331y x x -==定义域为()(),00,-∞⋃+∞，而()3311x x =--，所以3y x -=是奇函数，不满足题意，舍去；综上，0m =.故选：A 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，则下列说法正确的有（ ）例题剖析A ．函数是偶函数B ．函数是增函数C ．当1x >时，()1f x >D ．当120x x <<时，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】因为幂函数()f x x α=的图象经过点(16,4)，所以164α=，则12α=， 所以12()f x x ==[)0,+∞，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A 错； 又102>，所以12()f x x =是增函数，故B 正确； 因此当1x >时，()(1)1f x f >=，故C 正确；当120x x <<时，因为12()()2f x f x +122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭则22121212()()222f x f x x x x x f +⎡+⎤+⎡⎤⎛⎫-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦20=-<⎝⎭，所以1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BCD. 2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-.若a ，b R ∈，且()()f a f b +的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）A ．0a b +>，0ab <B ．0a b +<，0ab >C ．0a b +<，0ab <D ．0a b +>，0ab >【答案】BC【解析】由于函数()f x 为幂函数，故211m m --=，即220m m --=，解得1,2m m =-=.当1m =-时，()21f x x =，当2m =时，()3f x x =.由于“对任意()12,0,,x x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-”知，函数在()0,∞+上为增函数，故()3f x x =.易见()()f x f x -=-，故函数()3f x x =是单调递增的奇函数.由于()()0f a f b +<，即()()()f a f b f b <-=-，得a b <-，所以0a b +<，此时，若当0a =时，0b <，故0ab =；当0a >时，0a b <<-，故0b <，故0ab <；当0a <时，由a b <-知，b a <-，故0b <或0b =或0b >，即0ab >或0ab =或0ab <.综上可知，0a b +<，且0ab >或0ab =或0ab <.故选：BC. 3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()223()mm f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，与x 轴及y 轴均无交点，则由m 的值构成的集合是__________． 【答案】{}1,1,3-【解析】由幂函数()f x 与x 轴及y 轴均无交点，得2230m m -≤-，解得13m -≤≤， 又m Z ∈，即{}1,0,1,2,3m ∈-，()223()mm f x x m Z --=∈的图像关于y 轴对称，即函数为偶函数，故223m m --为偶数，所以{}1,1,3m ∈-，故答案为：{}1,1,3-.4．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()22()1a f x a a x +=-+为幂函数，且为奇函数，则实数a 的值_____．【答案】1【解析】因为函数()22()1a f x a a x +=-+为幂函数，所以2211,0,1a a a a a -+=∴-=∴=或0a =.当0a =时，()2f x x =为偶函数，不符合题意，所以舍去；当1a =时，()3f x x =为奇函数，符合题意.故答案为：1考点二 一元二次函数【例2-1】（2021·重庆市清华中学校高三阶段练习）若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(]0,4 B ．25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】函数234y x x =--的图象如图所示，因为223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭当0x =或3x =时，4y =-；当32x =时，254y =-，因为函数的定义域为[]0,m ，所以3,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：C ．【例2-2】（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知,(0,1)a b ∈，则函数2()41f x ax bx =-+在[1,)+∞上是增函数的概率为（ ）A ．45B ．34C ．25D ．14【答案】D【解析】由题设()f x 对称轴为2bx a=，而,(0,1)a b ∈，函数开口向上， 所以()f x 的增区间为2[,)b a +∞，故在[1,)+∞上是增函数有201b a <≤，综上，01012a b b a<<⎧⎪<<⎨⎪≤⎩对应可行域如下阴影部分：所以阴影部分面积为14，而,(0,1)a b ∈的面积为1，故在[1,)+∞上是增函数的概率为14.故选：D 【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BC 【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC. 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数22y ax bx c =-+的图象与x 轴的交点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2【答案】D【解析】由a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+， 所以()()2224440b ac a c ac a c ∆=-=+-=-≥，所以二次函数22y ax bx c =-+的图象与x 轴交点的个数为1或2.故选：D.2．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a a a ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数，所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B3（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数24y x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，则a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．()3,+∞C ．()3,4D ．(),3-∞【答案】C【解析】二次函数24y x x a =-+，对称轴为2x =，开口向上，在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，要使二次函数2()4f x x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，需(1)140(2)480f a f a =-+>⎧⎨=-+<⎩，解得34a <<故实数a 的取值范围是()3,4故选：C4．（2022·全国·高三专题练习（理））若集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是___________ 【答案】12(,]23【解析】由题意，不等式2(2)20x a x a -++-<且0a >，即222(1)x x a x -+<+，令()()222,(1)f x x x g x a x =-+=+，所以()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，所以()y f x =是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线， 而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线，作出函数()222f x x x =-+和()(1)g x a x =+的图象，如图所示，其中()()11,22f f ==，又因为,0x Z a ∈>，结合图象，要使得集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，可得()(1)122g g >⎧⎨≤⎩，即2132a a >⎧⎨≤⎩，解得1223a <≤.即正实数a 的取值范围是12(,]23.故答案为：12(,]23.考点三 一元二次函数与其他知识综合【例3】（2022·山东济宁·三模）已知二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则14a c+的最小值为（ ） A ．3- B ．3 C ．4- D ．4【答案】B【解析】若0a =，则函数()f x 的值域为R ，不合乎题意，因为二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则0a >，且()min 44114ac ac f x a a --===，所以，1ac a -=，可得101a c =>-，则1c >，所以，144113c a c c +=+-≥=，当且仅当2c =时，等号成立，因此，14a c +的最小值为3.故选：B.【一隅三反】1．（2021·广东·湛江二十一中）若函数()25log 212a f x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】B【解析】令25212t x ax a =-+-，要使函数()25log 212a f x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有最大值，则内层函数25212t x ax a =-+-要有最小正值，且外层函数()log a f t t =为减函数，可知0＜a ＜1．要使内层函数25212t x ax a =-+-要有最小正值，则2544(1)02a a ∆=--<，解得122a <<．综合得a 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B.2．（2022·黑龙江）若关于x 的方程19310x x m ++-+=有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],3-∞D ．(]1,3【答案】A【解析】方程19310x x m ++-+=有解，2(3)3310x x m ∴+⨯-+=有解， 令30x t =>，则可化为2310t t m +-+=有正根，则231t t m +=-在()0,∞+有解，又当()0,t ∈+∞时，230t t +>所以101m m ->⇒>，故选：A ．3．（2022·全国·高三专题练习）函数y =R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞ B ．[)()1,00,-⋃+∞ C ．(,1)-∞-D ．[)1,1-【答案】A【解析】因为函数y =R ，可得真数部分y = 即函数21y x ax =++取到所有的正数，所以(0,)+∞是函数21y x ax =++的值域的子集， 所以240a ∆=-≥解得：2a ≤-或2a ≥，所以实数a 的取值范围是：(][),22,-∞-+∞.故选：A.考点四 图像问题【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数()2121y a x x =---（0a >且1a ≠）在同一个坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A ，D ； 二次函数图象的对称轴为直线11x a =-，当01a <<时，指数函数递减，101a <-，C 符合题意； 当1a >时，指数函数递增，101a >-，B 不符合题意．故选：C ． 【例4-2】（陕西省部分地市学校2022届高三下学期高考全真模拟考试理科数学试题）函数2ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，函数()2ln x f x x=的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x=，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以排除D 选项，选项C 符合.故选：C.【一隅三反】1．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式20ax x c -->的解集为1{|1}2x x -<<，则函数2y cx x a =--的图象可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得1-和12是方程20ax x c --=的两个根，且0a <， 1112112a ca ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得2,1a c =-=-，则()()22221y cx x a x x x x =--=--+=-+-， 则函数图象开口向下，与x 轴交于()()2,01,0，-.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项；故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）函数43y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数443()y f x x ===，满足()()f x f x -=，即函数是偶函数，图象关于y 轴对称，D 错误；该函数是幂函数y x α=，413α=>，故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A 正确，BC 错误. 故选：A.4．（江西省2022届高三5月高考适应性大练兵联考数学（理）试题）函数()f x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题得()()f x f x -===，则f (x )为偶函数，排除A ；又()01f =，排除B ；当2,0x π⎛∈⎫ ⎪⎝⎭时()0f x >，当3(,)22x ππ∈时，()1f x =所以()11f x -<<排除D ， 故选：C ． 5．（安徽省十校联盟2022届高三下学期最后一卷文科数学试题）函数()3e 2x f x x x =-在R 上的图象大致为（ ）A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】由题意得，()()()33e 2e 2x x f x x x x x f x --=---=-+=-， 故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除D ；()2322e 220f =-⨯<，排除B ；()()()30.10.10.10.1e 20.10.1e 0.020f =-⨯=->，排除C ， 故选：A.。
2023年高考数学一轮复习单元检测二函数含解析文
单元检测(二) 函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的定义域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 2．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x >0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象过点P (－1，11)，且其对称轴是直线x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．24．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．25．[2022·湖北武汉武昌调研]函数f (x )＝x 2e x|x |的图象大致为( )6．已知函数y ＝f (x ＋1)是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[1，＋∞)上单调递减，则不等式f (2x －1)>f (x ＋2)的解集为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B ．[1，3)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3 7．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫67－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7615，c ＝log 278，定义在R 上的奇函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( )A ．f (b )>f (a )>f (c )B ．f (c )>f (b )>f (a )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (b )>f (c )>f (a )8．某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况下0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y (元)，要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工的绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少，则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x25＋500 C ．y ＝11000(x －50)3＋625 D ．y ＝50[10＋lg (2x ＋1)]9．在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则当x ∈[－2，2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．1210．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝x 2－2x －5.若f [g (a )]≤2，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[0，22－1]B ．[－1，22－1]C ．(－∞，－1]∪(0，3]D ．[－1，3]11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x ＋11＋2x－13，则函数y ＝[f (x )]的值域是( ) A ．{0，1}B ．{－1，1} C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}12．已知函数f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立，且f (3)＝－1，当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.则给出下列命题：①f (2017)＝－1；②函数y ＝f (x )图象的一条对称轴方程为x ＝－4；③函数y ＝f (x )在[－6，－4]上为减函数；④方程f (x )＝0在[－6，6]上有4个根．其中正确的命题个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数y ＝log a (x －1)＋4的图象恒过点P ，点P 在幂函数f (x )的图象上，则f (3)＝________．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（2－x ），x <1，2x ，x ≥1，则f (－2)＋f (log 23)的值是________．15．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上，②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋1），x <0，x 2＋1，x ≥0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋3)，a ∈R . (1)若函数f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)已知集合M ＝[1，3]，方程f (x )＝2的解集为N ，若M ∩N ≠∅，求a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x . (1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数，其中a ，b 为实数．(1)求实数a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在R 上是减函数；(3)若对于任意的t ∈[－2，2]，不等式f (t 2－2t )＋f (－2t 2＋k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分12分)中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需另投入成本c (x )(万元)，当年产量不足80台时，c (x )＝12x 2＋40x (万元)；当年产量不小于80台时，c (x )＝101x ＋8100x－2180(万元).若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)求年利润y (万元)关于年产量x (台)的函数关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？21．(本小题满分12分)已知关于x 的函数f (x )＝2x＋(a －a 2)·4x，其中a ∈R . (1)当a ＝2时，求满足f (x )≥0的实数x 的取值范围；(2)若当x ∈(－∞，1]时，函数f (x )的图象总在直线y ＝－1的上方，求a 的整数值．22．(本小题满分12分)函数f (x )＝2x －a x(a ∈R )的定义域为(0，1]. (1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围；(3)求函数y ＝f (x )在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取得最值时x 的值．单元检测（二） 函数1．答案：C解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12∈[0，2]，x －12∈[0，2]，即⎩⎪⎨⎪⎧x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 2．答案：B解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1（x >0）的定义域为（0，＋∞），值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞），④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x >0）的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个．3．答案：A解析：因为二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋5的图象的对称轴是直线x ＝1，所以－b2a＝1 ①.又f （－1）＝a －b ＋5＝11，所以a －b ＝6 ②.联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋b ＝－2.4．答案：A解析：因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ）.因为f （8）＝log 3（8＋1）＝2，所以f （－8）＝－2，所以g （f （－8））＝g （－2）＝f （－2）＝－f （2）＝－log 3（2＋1）＝－1.5．答案：A解析：因为x <0时，f （x ）＝x 2e x －x ＝－x e x>0，所以排除选项C 、D.因为x >0时，f （x ）＝x 2e x x＝x e x ，所以f ′（x ）＝e x ＋x e x ＝e x （x ＋1）>0，所以f （x ）在（0，＋∞）上单调递增，排除选项B.6．答案：D解析：因为函数y ＝f （x ＋1）是定义域为R 的偶函数，所以函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称．又因为f （x ）在[1，＋∞）上单调递减，所以不等式f （2x －1）>f （x ＋2）等价于|2x －1－1|<|x ＋2－1|，两边平方整理得3x 2－10x ＋3<0，解得13<x <3.7．答案：B解析：根据题意，函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞）且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，则f （x ）在[0，＋∞）上为减函数，又f （x ）为定义域R 上的奇函数，所以函数f （x ）在（－∞，0）上为减函数，所以函数f （x ）在R 上为减函数．因为c ＝log 278<0，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫67－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7614，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7615，所以a >b >0，所以f （c ）>f （b ）>f （a ）.8．答案：C解析：由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝（x －50）2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg （2x ＋1）]是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11000（x －50）3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．9．答案：C解析：由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，x 2，x >1，2⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≤2，x 2，x >2，所以f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1，x 3－2，1<x ≤2，x 3－x 2，x >2.当x ≤1时，函数的最大值是f （1）＝－1；当1<x ≤2时，函数的最大值是f （2）＝6.所以当x ∈[－2，2]时，函数f （x ）＝（1⊕x ）·x －（2⊕x ）的最大值等于6.10．答案：A解析：由题意可知g （0）＝0，设x >0，则－x <0，g （x ）＝－g （－x ）＝－x 2－2x ＋5.∵f [g （a ）]≤2，f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g （a ）≥－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0， 解得a ≤－1或0≤a ≤22－1. 11．答案：D解析：函数f （x ）＝2x ＋11＋2x －13＝53－21＋2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53，当－13<f （x ）<0时，y ＝[f （x ）]＝－1；当0≤f （x ）<1时，y ＝[f （x ）]＝0；当1≤f （x ）<53时，y ＝[f （x ）]＝1，所以函数y ＝[f （x ）]的值域是{－1，0，1}．12．答案：D解析：令x ＝－2，由f （x ＋4）＝f （x ）＋f （2），得f （－2）＝0，因为函数y ＝f （x ）是R 上的偶函数，所以f （2）＝f （－2）＝0，所以f （x ＋4）＝f （x ），即函数y ＝f （x ）是以4为周期的周期函数．所以f （2017）＝f （504×4＋1）＝f （1）.因为f （3）＝－1，所以f （－3）＝－1，所以f （1）＝f （－3）＝－1，从而f （2017）＝－1；因为函数y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称，周期为4，所以函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴方程为x ＝－4；当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，设x 1<x 2，则f （x 1）<f （x 2），故函数y ＝f （x ）在[0，2]上是增函数．根据对称性，易知函数y ＝f （x ）在[－2，0]上是减函数，再根据周期性，可知函数y ＝f （x ）在[－6，－4]上为减函数；f （2）＝f （－2）＝0，结合单调性及周期性，可知在[－6，6]上有且仅有f （2）＝f （－2）＝f （6）＝f （－6）＝0，即方程f （x ）＝0在[－6，6]上有4个根．综上所述，4个命题都正确．13．答案：9解析：函数y ＝log a （x －1）＋4的图象恒过点P ，则P （2，4），设幂函数f （x ）＝x α，则2α＝4，解得α＝2，所以f （x ）＝x 2，所以f （3）＝32＝9.14．答案：5解析：∵函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（2－x ），x <1，2x ，x ≥1，∴f （－2）＝log 24＝2，f （log 23）＝2log 23＝3，∴f （－2）＋f （log 23）＝2＋3＝5.15．答案：9解析：∵f （x ）＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f （m ）＝f （n ），∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f （x ）在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f （x ）在[m 2，1）上是减函数，在（1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意；同理，若log 3n ＝2，则n ＝9，m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可知，m ＝13，n ＝3，此时nm＝9.16．答案：（2＋22，＋∞）解析：设点（m ，n ）（m >0）是函数y ＝f （x ）的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点（－m ，－n ）必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k （－m ＋1），消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f （x ）有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不相等的正实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4（k ＋1）>0，k >0，k ＋1>0，解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是（2＋22，＋∞）. 17．解析：（1）因为函数的定义域为R ，所以ax 2－x ＋3>0恒成立， 当a ＝0时，－x ＋3>0不恒成立，不符合题意； 当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－12a <0，解得a >112.综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫112，＋∞.（2）由题意可知，ax 2－x ＋3＝9在[1，3]上有解， 即a ＝6x 2＋1x在[1，3]上有解．设t ＝1x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a ＝6t 2＋t .因为y ＝6t 2＋t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递增，所以y ∈[1，7].所以a ∈[1，7].18．解析：（1）x <0时，－x >0，f （－x ）＝－（－x ）2－2x ＝－x 2－2x 又f （x ）为R 上的奇函数，∴f （x ）＝－f （－x ）＝x 2＋2x 又∵当x ＝0时，f （0）＝0∴f （x ）的解析式为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0.（2）由（1）知：f （x ）＝－x 2＋2x （x ≥0）在[0，1]上单调递增．f （x ）＝x 2＋2x （x <0）在[－1，0）上单调递增，∴f （x ）在[－1，1]上单调递增，又f （x ）在[－1，a －2]上单调递增，∴[－1，a －2]⊆[－1，1]，∴－1<a －2≤1，1<a ≤3. 即a 的取值范围是（1，3].19．解析：（1）∵f （x ）是R 上的奇函数，∴f （0）＝0，可得b ＝1. 又f （－1）＝－f （1），∴1－2－12－1＋a ＝－1－22＋a，解得a ＝1.经检验，当a ＝1且b ＝1时，f （x ）＝1－2x2x ＋1，满足f （x ）是R 上的奇函数．（2）由（1）得f （x ）＝1－2x2x ＋1＝－1＋22x ＋1.任取实数x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝22x 1＋1－22x 2＋1＝2（2x 2－2x 1）（2x 1＋1）（2x 2＋1）.∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，且（2x 1＋1）（2x 2＋1）>0， ∴f （x 1）－f （x 2）>0，即f （x 1）>f （x 2）， ∴函数f （x ）在R 上为减函数．（3）由（1）和（2）知，函数f （x ）是奇函数且在R 上为减函数， ∴不等式f （t 2－2t ）＋f （－2t 2＋k ）<0恒成立， 即f （t 2－2t ）<－f （－2t 2＋k ）＝f （2t 2－k ）恒成立， 故t 2－2t >2t 2－k 对任意的t ∈[－2，2]恒成立， 即k ＞t 2＋2t 对任意的t ∈[－2，2]恒成立， 令h （t ）＝t 2＋2t ＝（t ＋1）2－1，t ∈[－2，2]， 易知当t ＝2时，h （t ）取得最大值8，∴k >8. 故实数k 的取值范围是（8，＋∞）.20．解析：（1）当0<x <80时，y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋40x －500＝－12x 2＋60x －500；当x ≥80时，y ＝100x －⎝⎛⎭⎪⎫101x ＋8100x－2180－500＝1680－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8100x . ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋60x －500，0<x <80，x ∈N *，1680－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8100x ，x ≥80，x ∈N *.（2）当0<x <80时，y ＝－12（x －60）2＋1300，∴当x ＝60时，y 取得最大值，最大值为1300万元；当x ≥80时，y ＝1680－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8100x ≤1680－2x ·8100x ＝1500，当且仅当x ＝8100x，即x ＝90时，y 取得最大值，最大值为1500万元．11 综上，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．21．解析：（1）当a ＝2时，f （x ）＝2x －2·4x ≥0，即2x ≥22x ＋1，所以x ≥2x ＋1，解得x ≤－1.故实数x 的取值范围是（－∞，－1].（2）由题意知f （x ）>－1在x ∈（－∞，1]上恒成立， 即a －a 2>－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈（－∞，1]上恒成立． 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈（－∞，1]上均单调递减， 所以y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在（－∞，1]上单调递增， 最大值为－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－34. 因此a －a 2>－34，解得－12<a <32.故实数a 的整数值是0，1. 22．解析：（1）由题意知，f （x ）＝2x ＋1x ≥22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立，所以函数y ＝f （x ）的值域为[22，＋∞）.（2）若函数y ＝f （x ）在定义域上是减函数，则任取x 1，x 2∈（0，1]，且x 1<x 2，都有f （x 1）>f （x 2）成立，即f （x 1）－f （x 2）＝（x 1－x 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a x 1x 2＝（x 1－x 2）·a ＋2x 1x 2x 1x 2>0成立，只要a ＋2x 1x 2<0，即a <－2x 1x 2成立．由x 1，x 2∈（0，1]，得－2x 1x 2∈（－2，0），所以a ≤－2，故a 的取值范围是（－∞，－2].（3）当a ≥0时，函数y ＝f （x ）在（0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；由（2）知，当a ≤－2时，y ＝f （x ）在（0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－2<a <0时，函数y ＝f （x ）在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－2a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－2a 2时，取得最小值2－2a .。
2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)1-2 逻辑用语与充分、必要条件(精练)(解析版)
1.2 逻辑用语与充分、必要条件（精练）（提升版）1．（2022·湖南湖南·二模）“()()112212a a +<-”是“122a -<<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为12y x =是定义在[)0,∞+上的增函数，又()()112212a a +<-，所以102012a a a a+≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得112a -≤<， 因为由112a -≤<可推出122a -<<，而由122a -<<无法推出112a -≤<， 故“()()112212a a +<-”是“122a -<<”的充分不必要条件.故选：A. 2．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）设2x ππ<<，则“2cos 1x x <”是“cos 1x x >-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由cos 1x x >-且(,)2x ππ∈，可得(cos )cos 1x x x x -=<，所以cos cos cos 1x x x x x ⋅<<，即2cos 1x x <，所以必要性成立； 当23x π=时，可得222(cos )1336πππ⋅=<，满足2cos 1x x <， 但22cos cos 1333x x πππ=⨯=-<-，即充分性不成立， 所以“2cos 1x x <”是“cos 1x x >-”的必要而不充分条件.故选：B. 3．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知函数()af x x a=+，则“1a >-”是“函数()f x 在[)1,+∞上存在最小值”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】()af x x a=+①当0a =时，()0f x =恒成立，所以()f x 在[)1,+∞上存在最小值为0； 题组一 充分、必要条件的判断①当0a >时，()a f x x a =+，可以看做是函数ay x=(0a >)图像向左平移a 个单位得到，所以()f x 在[)1,+∞只有最大值，没有最小值； ①当0a <时，()a f x x a =+，可以看做是函数ay x=(0a <)图像向右平移a -个单位得到，所以()f x 若要在[)1,+∞单调递增，需要<1a -，即1a >-.综上所述：当10a -<≤时，()af x x a=+在[)1,+∞上存在最小值， 所以“1a >-”是“10a -<≤”的必要不充分条件,即“1a >-”是“函数f （x ）在[1，＋∞）上存在最小值”的必要不充分条件.故选：B.4．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则“函数()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“02ω<<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要件【答案】A【解析】①263x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，①626366x ππππωπωω---≤≤， 由于函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，①2662223620k k πππωππππωπω⎧-≥-+⎪⎪⎪-≤+⎨⎪>⎪⎪⎩（k Z ∈）解得212130k k ωωω≥-+⎧⎪≤+⎨⎪>⎩，（k Z ∈）故k 只能取0，即01ω<≤，①“函数f （x ）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“02ω<<”的充分不必要条件.故选：A.5．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知三角形ABC ，则“222cos cos cos 1A B C +->”是“三角形ABC 为钝角三角形”的（ ）条件. A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】因为222cos cos cos 1A B C +->，故2221sin 1sin 1sin 1A B C -+--+>，故222sin sin sin C A B >+，故222c a b >+，故222cos 02a b c C ab+-=<，而C 为三角形内角，故C 为钝角，但若三角形ABC 为钝角三角形，比如取2,63C B A ππ===，此时2221cos cos cos 14A B C +-=<，故222cos cos cos 1A B C +->不成立，故选：A. 6．（2021·江苏·靖江高级中学高三阶段练习）已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，则“201720192021,,S S S 成等差数列”是“202020212022,,a a a 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题题可得0n a ≠，若201720192021,,S S S 成等差数列，则2019201720212019S S S S -=-， 所以2019201820212020a a a a +=+， 所以20182017202020191111a qa q a q a q +=+，所以3221(1)q q q q q +=+=+，2(1)(1)0q q +-=， 解得1q =-或1q =，当1q =-时，202012021120221,,a a a a a a =-==-，则20212020120222021122a a a a a a -=≠-=-， 所以 202020212022,,a a a 不成等差数列，当1q =时，202012021120221,,a a a a a a ===，则202020212022,,a a a 成等差数列， 若202020212022,,a a a 成等差数列，则2021202020222a a a =+，所以22020202020202a q a a q ⋅=+⋅，所以2210q q -+=，解得1q =， 所以2017120191202112017,2019,2021S a S a S a ===， 所以2019201720212019S S S S -=-，所以201720192021,,S S S 成等差数列，所以“201720192021,,S S S 成等差数列”是“202020212022,,a a a 成等差数列”的必要不充分条件， 故选：B7．（2021·全国·模拟预测）“1a =”是“()4220211111ax xx ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为7”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】①()41ax +的展开式的通项14C ()r rr T ax +=，所以()4220211111ax xx ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为0222441C 1C 16a a ⨯+⨯=+.若1a =，则2167a +=，故充分性成立；反之，若常数项为7，则2167a +=，解得1a =±，故必要性不成立. 故“1a =”是“()4220211111ax xx ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为7”的充分不必要条件，故选：B.8．（2021·浙江·模拟预测）已知数海小岛昨天没有下雨.则“某地昨天下雨”是“某地不是数海小岛”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为数海小岛昨天没有下雨.所以“某地昨天下雨”推出“某地不是数海小岛”，反之不一定成立，故“某地昨天下雨”是“某地不是数海小岛”的充分不必要条件，故选：A 9．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC ，则“sin cos A B >”是“tan tan 1A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当tan tan 1A B >时，A ，B 均为锐角，sin sin 1cos cos A B A B >，即()cos 0A B +<，故π2A B +>，则π2A B >-，则πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，必要性成立；若A 为锐角，B 为钝角，则sin cos A B >，但tan tan 0A B <，充分性不成立. 故“sin cos A B >”是“tan tan 1A B >”的必要不充分条件.故选：B10．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足12,a =则“*,,p r p r p r a a a +∀∈=N ”是“{}n a 为等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】不妨设1r =，则11p p a a a ，+=12p p a a ，+∴=12p pa a {}n a ∴为等比数列；故充分性成立反之若{}n a 为等比数列，不妨设公比为q ，111=2p r r p r p q a a q ++-+-=，22214pr pr p r a a a q q当2q时p r p r a a a +≠，所以必要性不成立故选：A ．1．（2022·陕西）命题“212,0x x a ∀≤≤-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．5a ≥ C ．4a ≤ D ．5a ≤【答案】B【解析】因为命题“12x ∀≤≤，20x a -≤”是真命题，所以12x ∀≤≤，2a x ≥恒成立，所以4a ≥， 结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是5a ≥故选：B2．（2022·重庆·一模）已知0a >且1a ≠，则函数()x x a bf x b a=-为奇函数的一个充分不必要条件是（ ）A ．0b <B ．1b >-C ．1b =-D ．1b =±【答案】C【解析】若函数()x x a bf x b a=-为奇函数，由于函数()f x 的定义域为R ，①()00f =，①000a bb a-=,即101b b -=,①21b =①1b =±；当1b =±时，()2211()x xx x x x x x a b b a b a f x ba b f x b a ba b a b a b---=-=-=⋅-⋅=-=-， 即()x x a bf x b a=-为奇函数的充分必要条件是1b =或1b =-，0b <是1b =±的非充分非必要条件；1b >-是1b =±的非充分非必要条件；1b =-是1b =±的充分不必要条件； 故选：C.3．（2022·安徽黄山·一模）命题：x R ∃∈，20020ax ax -->为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．(][),80,-∞-⋃+∞B ．()8,0-C ．(],0-∞D ．[]8,0-【答案】B【解析】命题2,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，命题“x R ∀∈，220ax ax --”为真命题， 当0a =时，20-成立，当0a ≠时，0a <，故方程220ax ax --=的280a a ∆=+≤解得：80a -<，故a 的取值范围是：[]8,0-，要满足题意，则选项是集合[]8,0-真子集，故选项B 满足题意.故选：B题组二 充分、必要条件的选择4．（2021·贵州·一模（文））下列选项中，为“数列{}n a 是等差数列”的一个充分不必要条件的是（ ） A ．()1122n n n a a a n +-=+≥B ．()2112n n n a a a n +-=⋅≥C ．数列{}n a 的通项公式为23n a n =-D ．()2112n n n n a a a a n ++--=-≥【答案】C【解析】对于A ：数列{}n a 是等差数列()1122n n n a n a a +-⇔=+≥， ①A 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个充要条件，故A 错误；对于B ：易知B 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B 错误； 对于C ：①23n a n =-，①()121321n a n n +=+-=-，①12n n a a +-=， ①数列{}n a 是等差数列，反之若{}n a 为等差数列，则1n n a a d +-=， 此时d 不一定为2，所以必要性不成立，①C 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个充分不必要条件，故C 正确； 对于D ：若数列{}n a 是等差数列，则211n n n n a a a a ++--=-， ①211n n n n a a a a ++--=-成立，反之当11a =，22a =，34a =，45a =时，满足211n n n n a a a a ++--=-， 但{}n a 不是等差数列，①D 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个必要不充分条件，故D 错误．故选：C ．5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学三模（文））已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则n α⊥的一个充分条件是（ ）A ．αβ⊥，n β⊂ B ．//αβ，n β⊥ C ．αβ⊥，βn//D ．//m α，n m ⊥【答案】B【解析】对于A ，由αβ⊥，n β⊂，可得n 与α可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以A 错误， 对于B ，由//αβ，n β⊥，可得n α⊥，所以B 正确，对于C ，由αβ⊥，βn//，可得n 与α可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，n 可能在α内，所以C 错误，对于D ，由//m α，n m ⊥，可得n 与α可能平行，可能垂直，可能相交不垂直，所以D 错误，故选：B6．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））命题0:0p x ∃>，20020210x ax -+<成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．(40,60)a ∈ B ．[60,80]a ∈ C ．[80,90)a ∈ D ．[90,100)a ∈【答案】D【解析】命题0:0p x ∃>，20020210x ax -+<成立，即00x ∃>，002021a x x >+成立，则a > 又[90,100)a ∈可以推出a >a >[90,100)a ∈， 所以[90,100)a ∈是命题p 成立的一个充分不必要条件， 故选：D.7．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知命题：函数32()(21)(0,0)f x x ax m a x m a m =++--->>，且关于x 的不等式|()|f x m <的解集恰为（0，1），则该命题成立的必要非充分条件为（ ） A ．m a ≥ B ．m a ≤ C ．2m a ≥ D ．2m a ≤【答案】A【解析】函数32()(21)(0,0)f x x ax m a x m a m =++--->>， 故(0)000f m m =++-=-，(1)121f a m a m m =++---=，2'()32(21)f x x ax m a =++--，'20(0)0(1)21f m a m a =++--=--，令'2()()32(21)g x f x x ax m a ==++--，所以'()62g x x a =+，因为)(0,1x ∈，0a >，所以'()620g x x a =+＞，此时函数()g x 是单调递增的， 所以()(0)21g x g m a =--＞，要使得|()|f x m <的解集恰为（0，1）恒成立，且(0)f m =-、(1)f m =则应满足在)(0,1x ∈为增函数，所以当)(0,1x ∈时，'()0f x ＞，故'(0)210f m a =--＞，此时，12a m +＞，由选项可知，选项C 和选项D 无法由该结论推导，故排除，而选项C ，2m a ≥，若212a a +＞，此时112a -＜＜与0a >矛盾，故不成立，所以该命题成立的必要非充分条件为m a ≥.故选：A.8．（2022·江西景德镇）已知命题：函数32()(21)(0,0)f x x ax m a x m a m =++--->>，且|()|f x m <在区间(0,1)上恒成立，则该命题成立的充要条件为（ ）A ．2213a m a --≥B ．20213a m a ≤--≤C ．210m a --≥D ．210m a --≤【答案】C【解析】①32()(21)(0,0)f x x ax m a x m a m =++--->>，①(0),(1)f m f m =-=，()23221f x x ax m a '=++--，()021f m a '=--，令()()23221g x f x x ax m a '==++--，则()62g x x a '=+，①(0,1),0x m ∈>，即①(0,1)x ∈时，()620g x x a '=+>，函数()g x 在(0,1)上是增函数， 要使|()|f x m <在区间(0,1)上恒成立，又(0),(1)f m f m =-=， 则应满足()f x 在区间(0,1)上为增函数，①当(0,1)x ∈时，()0f x '>，又函数()f x '在(0,1)上是增函数， ①()f x '≥()0210f m a '=--≥，即210m a --≥.故选：C.9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测）已知函数()f x 和()g x 的定义域均为[],a b ，记()f x 的最大值为1M ，()g x 的最大值为2M ，则使得“12M M >”成立的充要条件为（ ）A ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x >B ．[]1,x a b ∀∈，[]2,x a b ∃∈，()()12f x g x >C ．[]1,x a b ∃∈，[]2,x a b ∀∈，()()12f x g x >D ．[],x a b ∀∈，()()f x g x > 【答案】C【解析】A 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最大值； B 选项表述的是()f x 的最小值大于()g x 的最小值；C 选项表述的是()f x 的最大值大于()g x 的最大值成立的充要条件；D 选项是12M M >成立的充分不必要条件．故选：C10．（2021·安徽师范大学附属中学模拟预测）在ABC 中，a 、b 是角A ，B 所对的两条边．下列六个条件中，是“A B >”的充分必要条件的个数是（ ）． ①sin sin A B >； ①cos cos A B <； ①a b >；①22sin sin A B >； ①22cos cos A B <； ①22tan tan A B >． A ．5 B ．6C ．3D ．4【答案】A【解析】依题意A B >，在三角形中，大角对大边，所以①a b >正确.由正弦定理得2sin 2sin R A R B >，即①sin sin A B >正确. 由于(),0,A B π∈,sin sin 0A B >>，所以①22sin sin A B >正确. 故221cos 1cos A B ->-，22cos cos A B <，①正确.在区间()0,,cos y x π=是减函数，所以①cos cos A B <正确. 当2A π=时，①22tan tan A B >不成立，错误.所以充分必要条件的个数有5个.故选：A11．（2021·浙江浙江·二模）“关于x ()x m m R -∈有解”的一个必要不充分条件是（ ）A ．[]2,2m ∈-B ．m ⎡∈⎣C ．[]1,1m ∈-D ．[]1,2m ∈【答案】A 【解析】关于x ()x m m R -∈有解，等价于函数y =y x m =-的图象有公共点，函数y =1为半径的上半圆，y =|x -m |的图象是以点(m ，0)为端点， 斜率为±1且在x 轴上方的两条射线，如图：y =x -m 与半圆21y x =-相切时，点(m ，0)在B 处，m =y =-x +m 与半圆y (m ，0)在A 处，m当y =|x -m |的图象的顶点(m ，0)在线段AB 上移动时，两个函数图象均有公共点，所以“关于x ()x m m R =-∈有解”的充要条件是m ⎡∈⎣，B 不正确；因[]2,2m m ⎡∈⇒∈-⎣，[]2,2m m ⎡∈-∈-⎣，即[]2,2m ∈-是m ⎡∈⎣的必要不充分条件，A 正确； []1,1m m ⎡∈-⇒∈⎣，[]1,1m m ⎡∈∈-⎣，即[]1,1m ∈-是m ⎡∈⎣的充分不必要条件，C 不正确； []1,2m m ⎡∈-⎣∈，[]1,2m m ⎡∈∈⎣，即[]1,2m ∈是m ⎡∈⎣的不充分不必要条件，C 不正确.故选：A.12．（2021·浙江·模拟预测）已知a R ∈，则“对任意(,)2x ππ∈，2sin 0x x a --≥恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A ．2a < B ．2a ≤ C ．244a π-<D ．244a π≤-【答案】C【解析】由2sin 0x x a --≥，得2sin x x a -≥，(,)2x ππ∈，令()2sin f x x x =-，则()2cos 0x x f x =->'，则函数()2sin f x x x =-在(,)2ππ上单调递增，(,)2πx π∀∈，()24()24f x f ππ->=，若对任意,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 0x x a --≥恒成立，则244a π≤-，由充分不必要条件的定义可知选项C 符合，故选：C13．（2022·福建莆田·模拟预测）（多选）设0a >，0b >，且a b ，则“2a b +>”的一个必要不充分条件可以是（ ） A ．332a b +> B ．222a b +> C ．1ab >D ．112a b+>【答案】AB【解析】由0a >，0b >且ab ，A ：2a b +>时，333222()()()()[()3]24a b a b a b a b ab a b a b ab ++=++-=++->>，而332a b +>时存在13,22a b ==使2a b +=，符合要求.B ：2a b +>时有222()22a b a b ++>>，而222a b +>时存在13,22a b ==使2a b +=，故推不出2a b +>，符合要求；C ：2a b +>时，存在12,3a b ==使1ab <，不符合要求；D ：2a b +>时，存在32a b ==使11423a b +=<， 不符合要求；故选：AB 14．（2022·辽宁实验中学高三阶段练习）（多选）已知x ，y 均为正实数，则下列各式可成为“x y <”的充要条件是（ ） A ．11x y> B ．sin sin x y x y ->- C ．cos cos x y x y -<-D ．22e e x y x y -<-【答案】ACD【解析】A ：由110--=>y x x y xy 且,0x y >，则x y <成立，反之x y <也有11x y >成立，满足要求； B ：由sin sin x y x y ->-，则sin sin x x y y ->-，令()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，即()f x 在定义域上递增，故x y >，不满足充分性，排除；C ：由cos cos x y x y -<-，则cos cos x x y y -<-，令()cos f x x x =-，则()1sin 0f x x '=+≥，即()f x 在定义域上递增，故x y <，反之x y <也有cos cos x y x y -<-成立，满足要求；D ：由22e e x y x y -<-，则22e e x y x y -<-，令2()e x f x x =-，则()e 2x f x x '=-，()e 2x f x ''=-，故在(,ln2)-∞上()0f x ''<，在(ln2,)+∞上()0f x ''>，所以()'f x 在(,ln2)-∞上递减，在(ln2,)+∞上递增，则2()(ln 2)2ln 20f x f ''>=->，所以()f x 在定义域上递增，故x y <，反之x y <也有22e e x y x y -<-成立，满足要求； 故选：ACD1．（2021·吉林·高三阶段练习）设2:2310p x x -+<，2:(21)(1)0q x a x a a -+++<，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1(,0],2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1(,0),2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题设，1:12p x <<，:1q a x a <<+， 题组三 根据充分、必要条件求参①q 是p 的必要不充分条件，①1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得102a ≤≤.故选：A 2．（2022·全国·模拟预测）已知命题:p a D ∈，命题0:q x ∃∈R ，2003x ax a --≤-，若p 是q 成立的必要不充分条件，则区间D 可以为（ ） A ．(,6][2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(0,)-∞-+∞ C ．()6,2- D ．[]4,0-【答案】B【解析】命题0:q x ∃∈R ，2003x ax a --≤-，则200+30x ax a --≤，所以()24+30a a ∆=--≥，解得6a ≤-或2a ≥，又p 是q 成立的必要不充分条件，所以(,6][2,)-∞-⋃+∞ D ， 所以区间D 可以为(,4)(0,)-∞-+∞， 故选：B.3．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（文））圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充要条件是（ ） A．k ≤-k ≥B．k ≤-C ．2k ≥ D．k ≤-或2k >【答案】A【解析】若直线与圆有公共点，则圆心()0,0到直线30kx y --=的距离1d =≤3≥，①219k +≥，即28k ≥，① k ≤-或k ≥①圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充要条件是k ≤-或k ≥ 故选：A4．（2022·全国·高三专题练习（理））设集合(){},,U x y x R y R =∈∈，若集合(){},20,A x y x y m m R =-+>∈，(){},0,B x y x y n n R =+-≤∈，则()()2,3U A B ∈⋂的充要条件是（ ）A ．1m >-，5n <B ．1m <-，5n <C ．1m >-，5n >D ．1m <-，5n >【答案】A【解析】由题意，可得()()20,0U x y m A B x y x y n ⎧⎫-+>⎧⎪⎪⋂=⎨⎨⎬+->⎩⎪⎪⎩⎭，因为()()2,3U A B ∈⋂，所以2230230m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩，解得1,5m n >-<，反之亦成立，所以()()2,3U A B ∈⋂的充要条件是1,5m n >-<． 故选：A ．5．（2022·四川）方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（ ） A ．01a <≤ B ．1a < C ．1a ≤ D ．01a <≤或0a <【答案】C【解析】当0a =时，方程为210x +=有一个负实根12x =-，反之，12x =-时，则0a =，于是得0a =； 当0a ≠时，44a ∆=-，若0a <，则0∆>，方程有两个不等实根12,x x ，1210x x a=<，即1x 与2x 一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积1a小于0，0a <，于是得0a <，若0a >，由0∆≥，即01a <≤知，方程有两个实根12,x x ，必有12122010x x ax x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，此时1x 与2x 都是负数，反之，方程2210ax x ++=两根12,x x 都为负，则12124402010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得01a <≤，于是得01a <≤，综上，当1a ≤时，方程2210ax x ++=至少有一个负实根，反之，方程2210ax x ++=至少有一个负实根，必有1a ≤.所以方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是1a ≤.故选：C6．（2022·四川·成都七中高三开学考试（文））设命题()22:210p x a x a a -+++<，命题():lg 211q x -≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由2(21)(1)0x a x a a -+++<，得[(1)]()0x a x a -+-<，即1a x a <<+，即:1p a x a <<+， 由()lg 211x -，得02110x <-，解得：11122x<，若p 是q 的充分不必要条件，则121112a a ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得：1922a ，故答案为：19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．（2022·青海西宁·高三期末（文））已知集合233|1,,224A y y x x x ⎧⎫⎡⎤==-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，{}2|1B x x m =+≥．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 【答案】33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】函数2312y x x =-+的对称轴为34x =，开口向上，所以函数2312y x x =-+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，当34x =时，min 716y =；当2x =时，max 2y =.所以7,216A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.{}{}22|1|1B x x m x x m =+≥=≥-， 由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，所以27116m -≤，2916m ≥，解得34m ≤-或34m ≥， 所以m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列四个命题中，真命题是（ ） A ．x R ∃∈，2log x x > B ．0x ∀≤，2x x ≥ C ．x R ∀∈，40x > D ．x R ∃∈，310x -<【答案】BC【解析】()2log f x x x =-，则()1ln 211ln 2ln 2x f x x x -'=-=，函数在10,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，在1,ln 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()()()2min ln 2ln 2log ln 2ln 20f x f ==->>，故2log x x <恒成立，故A 错误；0x ∀≤，20x x ≥≥，故B 正确；x R ∀∈，40x >，C 正确；x R ∀∈，310x -≥，故D 错误.故选：BC.2．（2021·黑龙江实验中学高三阶段练习（文））已知下列命题：①若a b <，则11a b>；①若0a b >>，0c d <<，则ac bd <；①若22ac bc >，则a b >；①若0a b <<，则2b ab <；其中为真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①若11a b =-<=，显然11a b>不成立，错误； 题组四 命题真假的判断①若0a b >>，0c d <<，即0d c <-<-，则0bd ac <-<-，故ac bd <，正确； ①若22ac bc >，即20c >，则a b >，正确；①若0a b <<，即0b a <-<-，则220()()()b b a b ab <-=<--=，正确.故真命题有3个.故选：C 3．（2022·陕西）下列命题中，真命题的是（ ） A ．函数sin ||y x =的周期是2π B ．2,2x x R x ∀∈> C ．函数2()ln 2x f x x+=-是奇函数. D ．0a b +=的充要条件是1ab=- 【答案】C【解析】由于5sin |||2|sin()333ππππ-=-+==sin ||y x =的周期不是2π，故选项A 是假命题；当2x =时22x x =，故选项B 是假命题； 函数2()ln 2x f x x+=-的定义域(2,2)-关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题；由1a b =-得0a b +=且0b ≠，所以“0a b +=”的必要不充分条件是“1ab=-”，故选项D 是假命题 故选：C4．（2021·安徽）命题p ：数12，15，17能成为等差数列的项（可以不是相邻项），命题q ：数2，5，7能成为等比数列的项（可以不是相邻项），则命题p 、q 的真假情况是（ ） A ．p 真、q 真 B ．p 真、q 假 C ．p 假、q 真 D ．p 假、q 假【答案】B【解析】因为1315,5107141122-=-=，设等差数列的公差为d ，则()121235,,1014k d k d k k Z ==∈，所以122125k k =，令1221,25k k ==，所以数12，15，17能成为等差数列的项，故命题p 为真命题；设等比数列的公比为q ，则()121257,,25k k q q k k Z ==∈，则()121275ln ln 52,,ln ln k k k k Z q q==∈，所以217ln55ln 2k k =，与12,k k Z ∈矛盾，故命题q 为假命题，故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）下列命题为真命题的是（ ）A ．函数()()11x f x e x x R -=--∈有两个零点B ．“0x R ∃∈，00x e x >”的否定是“0x R ∀∈，00xe x <”C ．若0a b <<，则11a b<D ．幂函数()22231m m y m m x --=--在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数1m =-【答案】A【解析】对于A ，函数()()11x f x e x x R -=--∈，()1e 1x f x -'=-，当()0f x '>得1x >，当()0f x '<得1x <，所以()f x 在1x >是单调递增函数，在1x <是单调递减函数，所以()f x 在1x =时有最小值，即()011110f e =--=-<，()3344150f e e =--=->，()3322110f e e ---=+-=+>，所以()f x 有两个零点，正确；对于B ，“0x R ∃∈，00xe x >”的否定是x R ∀∈，x e x ≤，错误；对于C ，11b a a b ab --=，因为0a b <<，所以0,0b a ab ->>，所以110->a b ，11a b >，错误；对于D ， 由已知得2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，无解，幂函数()22231m m y m m x --=--在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数1m =-，错误.故选：A6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知()y f x =与()y g x =皆是定义域、值域均为R 的函数，若对任意x ∈R ，()()f x g x <恒成立，且()y f x =与()y g x =的反函数1()y f x -=、1()y g x -=均存在，命题P ：“对任意x ∈R ，11()()f x g x -->恒成立”，命题Q ：“函数()()y f x g x =+的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（ ） A ．命题P 真，命题Q 真 B ．命题P 真，命题Q 假 C ．命题P 假，命题Q 真 D ．命题P 假，命题Q 假【答案】D【解析】由题，可设，与0,0()1,0x y f x x x =⎧⎪==⎨≠⎪⎩，与1,0()11,0x y g x x x =⎧⎪==⎨+≠⎪⎩ 其反函数10,0()1,0x y f x x x -=⎧⎪==⎨≠⎪⎩，10,1()1,11x y g x x x -=⎧⎪==⎨≠⎪-⎩均存在，命题p ：对任意x ∈R ，11()()f x g x -->恒成立”由图象关于y x =直线对称可知P 是错误的． 如图：对命题Q ：可 设(),1,2,33,11,22,3x x x f x x x ≠⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪=⎩，()3,2,3,21,3x x g x x x -≠⎧⎪==⎨⎪-=⎩令()()()h x f x g x =+，存在()()23=1h h =，根据反函数特征，若函数存在反函数， 则不能存在一个y 值对应两个x 的情况，说明()h x 不存在反函数 故命题P 假，命题Q 假故选：D ．7．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列命题是真命题的是（ ） A ．a R ∃∈，函数()af x x =的图象经过点1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0x R ∃∈，0000sin cos sin cos -+≥x x x x C ．()0,1x ∀∈，21log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()0,1x ∀∈，1123log log x x> 【答案】CD【解析】对于A ，因为幂函数图象不经过第四象限，所以函数()af x x =的图象不会经过点1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A错误；对于B ，设sin cos t x x =-，t ⎡∈⎣，则21sin cos 2t x x -=，所以sin cos sin cos x x x x t -+=+()22111122t t -=--+，当1t =时，该式有最大值1，故B 错误；对于C ，当()0,1x ∈时，102x⎛⎫> ⎪⎝⎭而2log 0x <，所以21log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，因为11lg 2lg 3>，当()0,1x ∈时，lg 0x ->，所以lg lg lg 2lg 3-->x x ，即lg lg 11lg lg 23>x x，即1123log log x x >，故D 正确. 故选：CD.8．（2021·湖南·模拟预测）（多选）已知数列{}n a 满足1a a =，()112n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断中，错误的是（ ） A ．0a ∀>，2n ∃≥，使得2n a <B ．0a ∃>，2n ∃≥，使得1n n a a +<C ．0a ∀>，m *∃∈N ，总有()m n a a m n <≠ D ．0a ∃>，m *∃∈N ，总有m n n a a +=【答案】ABC【解析】（1）0a ∀>，1n ≥时，0n a >，1112222n n n n na a a a a +=+≥⋅=，仅当12n n a a =，即2n a =时成立等号，故A 错误；（2）当2a =时，由（1）知，2n a =，1n n a a +<不成立，当2a ≠时，由（1）知，12a >，2121022n nn n n n na a a a a a a +--=+-=<，所以1n n a a +<，故B 错误；（3）由（1）知，2a ∃=，使得()2n a n *=∈N ，故m *∃∈N ，()m n a a m n <≠不成立，故C 错误；（4）同（3）分析，可知D 正确． 故选：ABC1．（2022·宁夏）已知命题“0x R ∃∈，()20014204x a x +-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围（ ） A ．(],0-∞ B ．[]0,4C ．[4,+∞）D ．(],0-∞[)4⋃+∞,【答案】D【解析】由题意，命题“0x R ∃∈，()20014204x a x +-+≤”是真命题故221(2)44404a a a ∆=--⨯⨯=-≥，解得4a ≥或0a ≤.则实数a 的取值范围是(],0-∞[)4⋃+∞,故选：D.题组五 含有一个量词的求参2．（2021·山东临沂）若()0,x ∀∈+∞，241x m x +≥，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(],4-∞【解析】()0,x ∀∈+∞，241x m x +≥，则2min41x m x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得241144x x x x +=+≥， 当且仅当14x x =即12x =时，等号成立，所以4m ≤， 因此实数m 的取值范围是(],4-∞.故答案为：(],4-∞.3．（2021·辽宁·模拟预测）已知命题“2,230x x ax a ∃∈-+R ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()0,3【解析】由题意知“2,230x x ax a ∀∈-+>R ”为真命题，所以2Δ4120a a =-<，解得0＜a ＜3． 故答案为：()0,3.4．（2021·广东·石门中学模拟预测）若“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为_____. 【答案】356a ≥【解析】因为“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，所以[]24,6,10x x ax ∀∈--≤恒成立，即1x a x -≤在[]4,6恒成立，所以max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭且[]4,6x ∈，又因为()1f x x x=-在[]4,6上是增函数，所以()()max 1356666f x f ==-=，所以356a ≥.故答案为：356a ≥.5．（2022·北京市）若命题:p x R ∃∈，220x ax a ++≤是假命题，则实数a 的一个值为_____________． 【答案】12（(0,1)上任一数均可）【解析】由题意2,20x R x ax a ∀∈++>是真命题，所以2440a a -<，解得01a <<． 故答案为：12（(0,1)上任一数均可）．6．（2021·广西·玉林市育才中学三模（文））若命题“()0x ∃∈+∞，，使得24ax x >+成立”是假命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(],4-∞【解析】若命题“()0x ∃∈+∞，，使得24ax x >+成立”是假命题，则有“()0x ∀∈+∞，，使得24ax x ≤+成立”是真命题.即4a x x ≤+，则min 4a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，又44x x+≥=，当且仅当2x =时取等号，故4a ≤．故答案为：(],4-∞.。
2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)5-3 三角函数的性质(精讲)(解析版)
5.3 三角函数的性质（精讲）（提升版）思维导图考点呈现考点一 值域【例1-1】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数()()sin 2f x x ϕ=+（2πϕ<）的图象向左平移6π个单位后关于直线4x π=对称，则函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A ．32-B ．12-C ．32D ．12【答案】A【解析】函数()sin(2)||2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后的图象表达式为y sin 23y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，该函数的图象关于直线4x π=对称，所以2()432k k πππϕπ⨯++=+∈Z ，又||2ϕπ<所以，3πϕ=-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当233x ππ-=-，即0x =时，()f x 的最小值为32-.故选：A【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A ．1 B ．12-C ．12+D ．3【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 2sin 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈-，对称轴为12t =-，所以当2t =时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为()222121+-=+，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12+，故选：C 【例1-3】（2021·河南南阳·高三期末）已知例题剖析()22sincos 222x x xf x =+()3f x m -对任意5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[]1,1- B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A【解析】()22sin cos sin 2sin 2223x x xf x x x x π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭，566x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，则[],,sin 1,13223x x ππππ⎡⎤⎛⎫+∈-+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，()[]2,2f x ∈-.()()333f x m f x m -⇒--⇒()33m f x m -+，若()3f x m -对任意566x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立，则][2,23,3m m ⎡⎤-⊆-+⎣⎦，即[]3211,1321m m m m m ⎧--⎧⇒⇒∈-⎨⎨+-⎩⎩.故选：A. 【例1-4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在7,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ） A ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】当32()42x k k Z ππωπ+=+∈时，即524()k x k Z ππω+=∈时，函数有最小值， 令1,0,1,2k =-时，有34x πω=-，54x πω=，134x πω=，214x πω=， 因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在7,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个最小值点，0>ω， 所以有：54413713344772144ππωππωωππω⎧<⎪⎪⎪<⇒<≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，故选：B 【一隅三反】1．（2021·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数2()4sin 4sin f x x x =-+，[]0,x a ∈的值域为0,1，则实数a 的取值范围为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设sin t x =，则2221()4sin 4sin ()44412f x x x g t t t t ⎛⎫=-+==-+=--+ ⎪⎝⎭，所以1()()12g t g ≤=，且(0)0g =，又[]0,x a ∈的值域为0,1，所以6a ππ≤≤，即实数a 的取值范围为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.2．（2022·河南焦作·二模）已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若方程|()|1f x =在区间(0,2)π上恰有5个实根，则ω的取值范围是（ ） A ．75,63⎛⎤⎥⎝⎦B ．513,36⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．43,32⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由方程|()|2sin 16f x x πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得1sin 62x πω⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以()66x k k Z ππωπ+=±∈，当(0,2)x π∈时，,2666x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 所以6x πω+的可能取值为56π，76π，116π，136π，176π，196π，…，因为原方程在区间(0,2)π上恰有5个实根，所以17192666πππωπ<+≤， 解得4332ω<≤，即ω的取值范围是43,32⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知函()sin cos (0,0)6f x a x x a πωωω⎛⎫=+->> ⎪⎝⎭，对于任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x1)+f (x 2)-，若f (x )在[0，π]上的值域为⎣，则实数ω的取值范围为（ ） A ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】f (x )=a sin ωx +cos(ωx -6π)=a sin ωx +cos ωx cos 6π+sin ωx sin 6π=(12+a )sin ωx ωx =ωx +φ)，其中tan φ=212a +. 对于任意的x1，x 2∈R ，都有f (x 1)+f (x 2)-，即f (x 1)+f (x 2f (x 1)=f (x 2)=f (x )max 时取等号，故解得a =1或a =-2(舍去)，故f (x )=32sin ωx ωx ωx +6π).因为0≤x ≤π，所以6π≤ωx +6π≤ωπ+6π.又f (x )在[0，π]上的值域为，所以2π≤ωπ+6π≤56π，解得13≤ω≤23.故选：B.考点二 伸缩平移【例2-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知曲线1:cos C y x =，2:sin 23C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为了得到曲线2C ，则对曲线1C 的变换正确的是（ ）A ．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移6π个单位长度 B ．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移6π个单位长度 C ．先把横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移12π个单位长度 D ．先把横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移12π个单位长度【答案】C【解析】A. 先把曲线1C 上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得1cos 2y x =的图象，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度得1117cos cos sin 26212212y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，A 错； B. 先把曲线1C 上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得1cos 2y x =的图象，再把得到的曲线向左平移6π个单位长度得1117cos cos sin 26212212y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，B 错； C. 先把曲线1C 上点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得cos 2y x =的图象，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度得cos 2cos 2sin 21263y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，C 正确； D. 先把曲线1C 上点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得cos 2y x =的图象，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度得2cos 2cos 2sin 21263y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，D 错误；故选：C ．【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移a (a >0)个单位长度得到函数g (x )=cos2x 的图象，则a 的最小值为（ ） A ．3π B ．512π C ．23π D ．π【答案】B【解析】将函数f (x )=sin(2x -3π)的图象向左平移a (a >0)个单位长度，可得函数y =sin[2(x +a )-3π]=sin[2x +(2a -3π)]的图象，所以y =sin[2x +(2a -3π)]的图象与g (x )=cos 2x 的图象重合. 因为g (x )=cos 2x =sin(2x +2π)，所以2a -3π=2kπ+2π，k ∈Z ，即a =kπ+512π，k ∈Z .当k =0时，可得a min =512π.故选：B. 【一隅三反】1．（2022·陕西）已知函数()cos()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，若将其图象向左平移6π个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则()f x 的图象（ ）A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于6x π=对称C ．关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于512x π=对称【答案】A 【解析】依题意22T ππω==，解得4ω=，所以()()cos 4f x x ϕ=+，将函数向左平移6π个单位长度得到2cos 4cos 463y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为2cos 43y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭关于坐标原点对称，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以6πϕ=-，所以()cos 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为cos 4cos 06662f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，又553cos 4cos 0121262f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数关于5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，cos 4cos 0124246f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数关于24x π=对称；故选：A2．（2022·湖北·一模）函数()sin f x x x =，先把函数()f x 的图像向左平移3π个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()g x 的图像，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()g x 是奇函数，最大值是2B ．函数()g x 在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()g x 的图像关于直线()4x k k Z ππ=+∈对称D ．π是函数()g x 的周期 【答案】B【解析】()1sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把函数()f x 的图像向左平移3π个单位，得2sin 2sin 33y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的12，得2sin 2g xx ，所以可知()g x 是奇函数，最大值是2，最小正周期为π，当222,22ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，得,44ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，所以函数()g x 在区间,64ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()22x k k Z =+∈ππ，得()42k x k Z ππ=+∈，所以()4x k k Z ππ=+∈也是函数()g x 的对称轴，所以错误的选项为B.故选：B.3．（2022·全国·模拟预测）若将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象分别向左平移3π个单位长度与向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则ϕ的最小值为（ ）A ．23π B ．2π C ．53π D ．π【答案】A【解析】()f x 的图象向左平移3π个单位长度得()g x =2sin 22sin 2333x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象,向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度得()()2sin 23h x x πϕ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2sin 223x πϕ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的图象,由题意得 2233k ππϕπ--+=（k Z ∈）所以3k πϕπ=-（k Z ∈） 又 0ϕ>,故ϕ的最小值为23π, 故选：A考点三 三角函数的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，以2π为最小正周期的函数有（ ） A ．cos 2y x =B ．sin2xy = C ．sin 2y x = D ．tan 2xy =【答案】BD 【解析】cos 2cos2y x x ==，其最小正周期为22ππ=， sin 2xy =的最小正周期为4π，所以sin 2x y =的最小正周期为2π，sin 2y x =的最小正周期为π，所以sin 2y x =的最小正周期为2π，tan 2x y =的最小正周期为212ππ=故选：BD【例3-2】（2020·河南）已知函数()()2sin cos 1f x x x ωω=+-的图象与函数()tan g x x =图象的对称中心完全相同，则ω=（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】由已知()2sin cos sin 2f x x x x ωωω==，令2,x k k Z ωπ=∈，解得,2k k Z x πω∈=， 所以()f x 的对称中心为,0,2k k Z πω⎛⎫∈⎪⎝⎭，又tan y x =的对称中心为,0,2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1ω=.故选：C 【例3-3】（2022·四川·泸县五中二模（文））将()πcos 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位后得到()g x 的图象，则()g x 有 （ ） A ．为奇函数，在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递減B ．为偶函数，在3ππ,88⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．最大值为1，图象关于直线π2x =对称 【答案】D【解析】将函数()cos(2)4f x x π=-的图象向左平移8π个单位后，得到函数()cos(2)cos244g x x x ππ=+-=的图象.()g x 为偶函数，(0,)4x π∈，2(0,)2x π∴∈，函数()g x 单调递减，故A 不正确；3(8x π∈-，)8π，32(4x π∴∈-，)4π，函数()g x 不单调，故B 错误；()g x 的周期为22ππ=，当38xπ=时，()g x =，故C 错误；g （x ）最大值为1，当2x π=时，函数()1g x =-，为最小值，故()g x 的图象关于直线2x π=对称，故D 正确，故选：D ．【例3-4】（2022·山东青岛·一模）已知函数()()sin 2cos2101f x x x ωωω=-+<<，将()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω为（ ） A ．14B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】()π214f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数()ππ2122π444g x x x ωωω⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故2π2141ππ04π444g ωωω⎛⎛⎫-= -⎫⎛⎫+==⎪ ⎪⎝⎭⎪⎭⎝⎭⎝，所以411ππ,,Z 44k k k ωω-==+∈， 由于01ω<<，所以14ω=.故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，图象为轴对称图形的是（ ） A ．cos 2cos y x x =+ B ．sin 2sin y x x =+ C ．2cos sin y x x =+ D ．sin 2cos y x x =+【答案】AC【解析】A.因为()()()()cos 2cos cos2cos f x x x x x f x -=-+-=+=⎡⎤⎣⎦， 所以cos 2cos y x x =+是偶函数，函数图象关于y 轴对称，故正确； B.因为sin 2y x =的对称轴方程为：,24k x k Z =+∈ππ， sin y x =的对称轴方程为：,2x k k Z ππ=+∈，又|,|,242k x x k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈⋂=+∈=∅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 所以sin 2sin y x x =+图象不是轴对称图形，故错误；C.将2cos sin y x x =+向左平移2π个单位可得cos 2sin cos 2cos 22y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()()()cos 2cos cos2cos f x x x x x f x -=--+-=-+=⎡⎤⎣⎦，所以cos 2cos y x x =-+是偶函数，所以2cos sin y x x =+是轴对称图形，故正确； D. 因为sin 2y x =的对称轴方程为：,24k x k Z =+∈ππ，cos y x =的对称轴方程为：,x k k Z π=∈，又{}|,|,24k x x k Z x x k k Z πππ⎧⎫=+∈⋂=∈=∅⎨⎬⎩⎭，所以sin 2cos y x x =+图象不是轴对称图形，故错误； 故选：AC2．（2022·北京西城·一模）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象向右平移a 个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移a 个单位所得函数图象关于y 轴对称，其中02πϕ≤≤，0a >，则ϕ=（ ）A ．6πB ．3π C ．8π D ．4π 【答案】D【解析】由函数sin(2)y x ϕ=+的图象向右平移a 个单位，可得()sin(22)f x x a ϕ=-+， 又由函数sin(2)y x ϕ=+的图象向左平移a 个单位，可得()sin(22)g x x a ϕ=++， 因为函数()sin(22)f x x a ϕ=-+关于原点对称，可得sin(2)0a ϕ-+=， 解得12,a k k Z ϕπ-+=∈，即112,a k k Z ϕπ=+∈又因为()sin(22)g x x a ϕ=++的图象关于y 轴对称，可得sin(2)1a ϕ+=±， 解得222,2a k k Z πϕπ=-++∈，则12122(),,2k k k k Z πϕπ=++∈，即1212,,42k k k k Z πϕπ+=+∈， 因为02πϕ≤≤，可得4πϕ=.故选：D.3．（2022·北京·一模）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定． (1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间.条件∈：14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件∈：()f x 为偶函数；条件∈：()f x 的最大值为1； 条件∈：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)选择∈∈或∈∈均可得到()sin 2f x x =(2)7,8ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和30,8π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】(1)因为()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=>>，所以()1sin 22f x a x ω=，显然当0a ≠时()f x 为奇函数，故∈不能选，若选择∈∈，即()1sin 22f x a x ω=最大值为1，所以112a =，解得2a =，所以()sin 2f x x ω=，又14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以sin 2144f ππω⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222k ππωπ=+，k Z ∈，解得14k ω=+，k Z ∈，故()f x 不能唯一确定，故舍去；若选择∈∈，即()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22ππω=，解得1ω=，所以()1sin 22f x a x =，又11si 24n 24f a ππ⎛⎫⎛⎫== ⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以112a =，解得2a =，所以()sin 2f x x =；若选择∈∈，即()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22ππω=，解得1ω=，所以()1sin 22f x a x =，又()f x 的最大值为1，所以112a =，解得2a =，所以()sin 2f x x =；(2)由（1）可得()()222cos 1sin 22cos 1sin 2cos2g x f x x x x x x ω=-+=-+=-2224x x x π⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭令222242k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，解得388k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，所以函数的单调递增区间为3,88k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，又()0,x π∈，所以()g x 在()0,π上的单调递增区间有7,8ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和30,8π⎛⎫⎪⎝⎭；4．（2022·浙江浙江·二模）已知函数1()cos 2x x f x +=，x ∈R ． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数22[()3]32y f x fx π⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域．【答案】(1)22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)1919⎡-+⎣【解析】(1)由1cos ()si 2n 6f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+由22,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间为：22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ (2)由()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin cos 6226f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2222sin 3cos 36[()3]326y f x fx x x πππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎝⎭⎣⎦⎦⎢⎥22sin 6sin 9cos 6cos 96666x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6sin 6cos 1966x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1912x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由1sin 112x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则19191912x π⎛⎫-≤-+≤+ ⎪⎝⎭所以函数22[()3]32y f x fx π⎡⎤⎛⎫=+++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为1919⎡-+⎣ 考点四 三角函数性质与其他知识的综合运用【例4-1】（2022·江苏苏州）若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．58,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】因为()f x 在[)0,π有2个极值点，也即()f x 在区间[)0,π取得一次最大值，一次最小值； 又0ω>，则当[)0,x π∈，,333x πππωωπ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，要使得()f x 满足题意，只需35232ππωππ<+≤，解得713,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C. 【一隅三反】1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上无极值，则ω的取值范围是（ ） A ．（0，5] B ．（0，5） C ．（0，52）D ．（0，52]【答案】A【解析】由已知条件得()πsin (0)6f x x ωωω⎛⎫'=-+> ⎪⎝⎭，∈函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上无极值，∈函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∈πsin 06x ωω⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭或πsin 06x ωω⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，当πsin 06x ωω⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭时，πsin 06x ω⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，∈06x π<<，∈ππππ6666x ωω<+<+，在此范围内πsin 06x ω⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭不成立；当πsin 06x ωω⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭时，πsin 06x ω⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∈06x π<<，∈ππππ6666x ωω<+<+，即πππ66ω+≤，解得5ω≤，则ω的取值范围是(]0,5，故选：A .2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像如图所示，现将()f x 的图像向左平移12π个单位长度得到()y g x =的图像，则方程2()g x =[0,2]π上实数解的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据函数()sin()f x A x ωϕ=+，(0A >，0>ω，||)ϕπ<的部分图象，可得1211721212πππω⋅=-，3ω∴=．所以()()sin 3f x A x ϕ=+， 结合五点法作图，7322,12k k Z πϕππ⨯+=+∈，2,4k k Z πϕπ∴=+∈，因为ϕπ<，4πϕ∴=，故()sin(3)4f x A x π=+．再把点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，可得31sin()24A ππ-=+，即1cos 4A π-=-，A ∴=所以())4f x x π=+．现将()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数()3412y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为2()g x =1cos32x =，所以1132,3x k k Z ππ=+∈或2232,3x k k Z ππ=-+∈，解得112,93k x k Z ππ=+∈或222,93k x k Z ππ=-+∈， 因为[0,2]xπ，所以9x π=或79π或139π或59π或119π或179π，故方程2()g x =[0,2]π上实数解的个数为6个； 故选：B3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，且sin sin sin B A C -=若将函数()()2sin 2f x x B =+的图像向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图像，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()g x 的最小正周期为2πB ．函数()g x 的图象关于直线512x π=对称C ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最小值为D ．函数()g x 在,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】C【解析】∈sin sin sin B A C -=∈b ac -=，即222a c b +-=，∈222cos 2a c b B ac +-==()0,B π∈， ∈34B π=， ∈()32sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，又将函数()()2sin 2f x x B =+的图像向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图像， ∈()2sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∈函数()g x 的最小正周期为π，故A 错误；当512x π=时，1112122x ππ=+，函数()g x 的图象不关于直线512x π=对称，故B 错误；当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,,sin 241212122x x ππππ⎡⎤⎛⎫+∈-+≥- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即()122sin 2g x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭C 正确；当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，532,12124x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()g x 在,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有增有减，故D 错误.故选：C.。
(江苏专用)新高考数学一轮复习 第二章 函数 强化训练 函数的性质-人教版高三全册数学试题
强化训练 函数的性质1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝1x 2 C ．f (x )＝2x ＋2－x D ．f (x )＝－cos x答案 B解析 函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意． 2．函数f (x )＝x ＋9x (x ≠0)是( )A ．奇函数，且在(0,3)上是增函数B ．奇函数，且在(0,3)上是减函数C ．偶函数，且在(0,3)上是增函数D ．偶函数，且在(0,3)上是减函数答案 B解析 因为f (－x )＝－x ＋9－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝x ＋9x 为奇函数． 又f ′(x )＝1－9x2，在(0,3)上f ′(x )<0恒成立， 所以f (x )在(0,3)上是减函数．3．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋8(a ≠0)是偶函数，则g (x )＝2ax 3＋bx 2＋9x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数答案 A解析 由f (x )是偶函数可得b ＝0，∴g (x )＝2ax 3＋9x ，∴g (x )是奇函数．4．(2019·某某某某重点中学联考)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x －1)≥－1，则x 的取值X 围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[0,1]D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意，得f (x )在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x －1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x ≤1.故选C.5．若定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝－f (x )成立，且f (1)＝8，则f (2019)，f (2020)，f (2021)的大小关系是( )A ．f (2019)<f (2020)<f (2021)B ．f (2019)>f (2020)>f (2021)C ．f (2020)>f (2019)>f (2021)D ．f (2020)<f (2021)<f (2019)答案 A解析 因为定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝－f (x )成立，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4，且f (0)＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－8，所以f (2019)＝f (4×504＋3)＝f (3)＝－8，f (2020)＝f (4×505)＝f (0)＝0，f (2021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝8，即f (2019)<f (2020)<f (2021)．6．(2019·大兴区模拟)给出下列函数：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝tan x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x >1，x ，－1≤x ≤1，－x －2，x <－1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x >0，－2－x ，x <0.则它们共同具有的性质是( )A ．周期性B ．偶函数C ．奇函数D ．无最大值答案 C解析 f (x )＝sin x 为奇函数，周期为2π且有最大值； f (x )＝tan x 为奇函数且周期为π，但无最大值；作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x >1，x ，－1≤x ≤1，－x －2，x <－1的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值；作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x >0，－2－x ，x <0的图象(图略)，由图象可知此函数为奇函数但无周期性和最大值．所以这些函数共同具有的性质是奇函数．7．(多选)定义在R 上的奇函数f (x )为减函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)上的图象与f (x )的图象重合，设a ＞b ＞0，则下列不等式中成立的是( )A ．f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )B ．f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )C ．f (a )＋f (－b )＜g (b )－g (－a )D ．f (a )＋f (－b )＞g (b )－g (－a )答案 AC解析 函数f (x )为R 上的奇函数，且为单调减函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)上的图象与f (x )的图象重合，由a ＞b ＞0，得f (a )＜f (b )＜0，f (a )＝g (a )，f (b )＝g (b )；对于A ，f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )⇔f (b )＋f (a )－g (a )＋g (b )＝2f (b )＜0(因为f (a )＝g (a )在a ＞0上成立)，所以A 正确；对于B ，f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )⇔f (b )＋f (a )－g (a )＋g (b )＝2f (b )＞0，这与f (b )＜0矛盾，所以B 错误；对于C ，f (a )＋f (－b )＜g (b )－g (－a )⇔f (a )－f (b )－g (b )＋g (a )＝2[f (a )－f (b )]＜0，这与f (a )＜f (b )符合，所以C 正确；对于D ，f (a )＋f (－b )＞g (b )－g (－a )⇔f (a )－f (b )－g (b )＋g (a )＝2[f (a )－f (b )]＞0，这与f (a )＜f (b )矛盾，所以D 错误．8．(多选)(2020·某某模拟)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( )A ．f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C ．f (x ＋3)为奇函数D.f (x ＋4)为偶函数答案 ABC解析 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知函数f (x )的图象关于点(1,0)，(2,0)对称， 所以f (x )＋f (2－x )＝0，f (x )＋f (4－x )＝0，所以f (2－x )＝f (4－x )，即f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )是以2为周期的函数．所以函数f (x )的图象关于点(－3,0)，(－2,0)，(－1,0), (0,0)对称．9．(2019·某某中学调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (3)＝3，则f (2022)＝________.答案 3解析 ∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2022)＝f (673×3＋3)＝f (3)＝3.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________.答案 0解析 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝505[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.11．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，求：(1)f (0)，f (2)，f (3)的值；(2)f (2021)＋f (－2022)的值．解 (1)f (0)＝log 21＝0，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1.(2)依题意得，当x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即当x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数．因此，f (2 021)＋f (－2 022)＝f (2 021)＋f (2 022)＝f (1)＋f (2)．而f (2)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 021)＋f (－2 022)＝1.12．已知g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且满足g (x )－h (x )＝2x ，若存在x ∈[－1,1]，使得不等式m ·g (x )＋h (x )≤0有解，某某数m 的最大值．解 因为g (x )－h (x )＝2x ，①所以g (－x )－h (－x )＝2－x .又g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，所以g (x )＋h (x )＝2－x ，②联立①②，得g (x )＝2x ＋2－x 2，h (x )＝2－x －2x 2. 由m ·g (x )＋h (x )≤0，得m ≤2x －2－x 2x ＋2－x ＝4x－14x ＋1＝1－24x ＋1. 因为y ＝1－24x ＋1为增函数，所以当x ∈[－1,1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24x ＋1max ＝1－24＋1＝35，所以m ≤35，即实数m 的最大值为35.13．(2020·某某模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则i ＝1m (x i ＋y i )等于( ) A ．0B ．m C ．2m D ．4m答案 B解析 因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x .所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1m x i ＝0，∑i ＝1m y i ＝m 2×2＝m ，故选B. 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x －2，x ≤0，f x －2＋1，x >0，则f (2019)＝________.答案 1010解析 当x >0时，f (x )＝f (x －2)＋1，则f (2 019)＝f (2 017)＋1＝f (2 015)＋2＝…＝f (1)＋1 009＝f (－1)＋1 010,而f (－1)＝0，故f (2 019)＝1 010.15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.答案 －8解析 因为定义在R 上的奇函数满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (－x )．由f (x )为奇函数，所以函数图象关于直线x ＝2对称，且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数的周期为8.又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以函数在区间[－2,0]上也是增函数，作出函数f (x )的大致图象如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，由对称性可知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.16．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值X 围． 解 (1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，又f (x )的定义域关于原点对称，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，所以f (x －1)<2，等价于f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．所以0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1.所以x 的取值X 围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
2023年新高考数学一轮复习3-2 函数的单调性与最值(知识点讲解)解析版
专题3.2 函数的单调性与最值（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以具体函数为载体，通过考查函数的单调性、考查函数的最值，凸显数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.【知识点展示】（一）函数的单调性1.增函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有()()12f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；2.减函数：若对于定义域I 内的某个区间()D D I ⊆上的任意两个自变量1x 、2x ，当12x x <时，都有 ()()12f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.3.【特别提醒】(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．4.函数单调性的结论(1)∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，1212()()0f x f x x x --＞⇔f (x )在D 上是增函数；1212()()0f x f x x x --<⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝a x x+ (a ＞0)(3)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数．(4)若k ＞0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k ＜0，则kf (x )与f (x )的单调性相反．(5)函数y ＝f (x )在公共定义域内与y ＝1()f x 的单调性相反． (6)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性关系是“同增异减”．（二）函数单调性的应用1.函数的最值（1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；②存在0x I ∈，使得()0f x M =.那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值.（2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；②存在0x I ∈，使得()0f x m =.那么，我们称m 是函数()y f x =的最小值.2.函数最值存在的两个结论（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【常考题型剖析】题型一 求函数的单调区间例1.（2021·湖南·高考真题）函数2()41f x x x =--的单调递减区间是（ ）A ．[)2,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],2-∞D ．(],4-∞【答案】C【解析】【分析】求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解.【详解】函数2()41f x x x =--的对称轴为2x =，开口向上，所以函数2()41f x x x =--的单调递减区间是(],2-∞，故选：C.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y = ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．(,1]-∞- C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]12-， 【答案】C【解析】【分析】先求出定义域，再求出内层函数22t x x =-++在定义域内的单调区间，然后由复合函数“同增异减”判断单调性的方法可得答案【详解】令220x x -++≥，解得12x -≤≤，令22t x x =-++，则y =∵函数22t x x =-++在区间112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，y =∴根据复合函数的单调性可知，函数y =112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 故选：C例3.（2022·江西·二模（文））已知函数()22,0,3,0,x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩若()()3f a f a =+，则()2g x ax x =+的单调递增区间为（ ）A ．1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】【分析】先根据题目条件求出a 的值，再根据二次函数的性质求出()g x 的单调递增区间【详解】解：依题意，()2332,03,a a a a ⎧+=+-⎪⎨<≤+⎪⎩解得a ＝－1，故()2g x x x =-+，可知()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增 故选：D【规律方法】1.求函数单调区间的常用方法：图像法、性质法、导数法；2.求复合函数单调区间的一般步骤(1)求函数的定义域(定义域先行)．(2)求简单函数的单调区间．(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．3.特别提醒：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．(2)重视函数()0()ax b f x ac cx d≠＋＝＋的图象与性质(对称中心、单调性、渐近线)． 题型二： 函数单调性的判断与证明例4.（2021·辽宁大连·高三学业考试）下列函数在R 上为增函数的是（ ）A ．2y xB ．y x =C ．y =D ．1y x = 【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性逐项判断即可.【详解】2y x 在(],0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故选项A 错误；y x =在R 上为增函数，选项B 正确；y =[)0,∞+上单调递减，故选项C 错误；1y x=在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递减，故选项D 错误. 故选：B.例5.（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x x f x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)[]4,4-【解析】【分析】（1）利用单调性的定义，取值、作差、整理、定号、得结论，即可得证.（2）令33x x t -=-，根据x 的范围，可得t 的范围，原式等价为()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需()min 4h t ≥-即可，分别讨论823m -≤-、88323m -<-<和823m -≥三种情况，根据二次函数的性质，计算求值，分析即可得答案.(1)由已知可得()f x 的定义域为R ，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()12f x f x -()()1122121121333331313x x x x x x x x x ---+⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭， 因为130x >，121103x x ++>，21130x x --<， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数．(2)()()()()223333x x x x f x mf x m --⎡⎤+=-+-⎣⎦， 令33x x t -=-，则当[]1,1x ∈-时，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()()22f x mf x t mt ⎡⎤+=+⎣⎦． 令()2h t t mt =+，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 则只需()min 4h t ≥-．当823m -≤-，即163m ≥时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≤，与163m ≥矛盾，舍去； 当88323m -<-<，即161633m -<<时，()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()2min 424m m h t h ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得44m -≤≤； 当823m -≥即163m ≤-时，()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()min 86484393h t h m ⎛⎫==+≥- ⎪⎝⎭，解得256m ≥-，与163m ≤-矛盾，舍去． 综上，实数m 的取值范围是[]4,4-．【方法技巧】1.利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；（2）函数()f x -与函数()f x 的单调性相反；（3）0k >时，函数()f x 与()kf x 的单调性相反（()0f x ≠）；0k <时，函数()f x 与()kf x 的单调性相同（()0f x ≠）.3.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.4.导数法：()0f x '≥在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递增；()0f x '≤在区间D 上恒成立，则函数()f x 在区间D 上单调递减.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.题型三：函数单调性的应用例6.（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知110a b <<，则下列不等式正确的是（ ） A ．22ac bc >B ．a a b b <C ．11a b a b ->-D ．22ln ln a b >【答案】C【解析】【分析】 首先简化条件，由1a 、1b 大小得到a 、b 的大小，再逐个分析选项，A 为易错点，0c 时错误，选项B 需对绝对值化简，选项C 需构造函数()1f x x x=-通过单调性比较大小，选项D 先比较2a 、2b 大小，再同时取对数22ln ln a b <即可．解：对于A ：1100b a a b<<⇒<<，当0c 时，220ac bc ==，选项A 错误； 对于B ：()22222200b a b a a a b b a b b a <<⇒>⇒-=---=->，即a a b b 选项B 错误；对于C ：构造函数()1f x x x =-显然函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，0()()b a f b f a <<⇒<，即11b a b a-<-，选项C 正确； 对于D ：22220ln ln b a a b a b <<⇒⇒<<，选项D 错误．故选：C.例7．（2022·河北沧州·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间()1,+∞上单调递增，则满足()()13f x f x ->+的x 的取值范围为（ ）A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．(),1-∞【答案】B【解析】【分析】先求出函数()f x 的对称轴，再根据单调性和对称性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得结果.【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，又()f x 在区间()1,+∞上单调递增，所以在(,1)-∞上单调递减，因为()()13f x f x ->+，()()|11||31|x x -->+-， 即2x x ->+，平方后解得1x <-.所以x 的取值范围为(,1)-∞-.故选：B. 例8．【多选题】（2020·河北·藁城新冀明中学高三阶段练习）已知函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值可以是（ ）A ．-2B ．1C ．2D ．3【解析】【分析】 由212015a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩求出a 的范围即可得解.【详解】 因为函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数， 所以212015a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩，解得23a ≤≤，故选：CD【总结提升】函数单调性的应用（1）比较函数值大小（随着基本初等函数的学习，逐步体会）比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．（2）求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．（3）利用单调性求参数的范围(或值)的方法①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．题型四：函数的最值（值域）问题例9.（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x =+C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+ 【答案】C【解析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x =+≥，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x x x y -=+=+≥，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x =+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．例10．（2021·江苏高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b ++的最小值是（ ） A ．23 B ．43 C ．2 D ．4【答案】B【分析】由奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，()()240f a f b +-=，可得24a b +=，即2(1)6a b ++=，所以12112[2(1)]161a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭，化简后利用基本不等式可求得结果 【详解】解：因为()()240f a f b +-=，所以(2)(4)f a f b =--，因为奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，所以(2)(4)(4)f a f b f b =--=-，所以24a b =-，即24a b +=，所以226a b ++=，即2(1)6a b ++=， 所以12112[2(1)]161a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭14(1)2261b a a b +⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦14(1)461b a a b +⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦1144(44)663⎡⎤≥=+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当4(1)1b a a b +=+，即1,32a b ==时取等号， 所以121a b ++的最小值是43. 故选：B例11. （2022·贵州贵阳·模拟预测（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当12x >时，1()f x x m x=++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________． 【答案】(,2]-∞-【解析】【分析】由题可得函数()f x 关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，进而可得当12x >时，1()0f x x m x =++≤有解，利用基本不等式即得. 【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，又当12x >时，1()f x x m x =++， 要使函数()f x 的值域为R ，则当12x >时，1()0f x x m x =++≤有解，又当12x >时，12x m m m x ++≥=+，当且仅当1x x =，即1x =取等号， ∴20m +≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-.例12．（2022·北京·高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【答案】 0（答案不唯一） 1【解析】【分析】根据分段函数中的函数1y ax =-+的单调性进行分类讨论，可知，0a =符合条件，0a <不符合条件，0a >时函数1y ax =-+没有最小值，故()f x 的最小值只能取2(2)y x =-的最小值，根据定义域讨论可知210a -+≥或()2212a a -+≥-， 解得 01a <≤.【详解】解：若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =； 若0a <时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥ ∴210a -+≥或2212a a -+≥-（）， 解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1【规律方法】求函数最值的五种常用方法。
2023年新高考数学一轮复习3-2 函数的单调性与最值(真题测试)解析版
专题3.2 函数的单调性与最值（真题测试）一、单选题1．（2014·北京·高考真题（文））下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x = 【答案】B【解析】【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】对于A ，1xx y e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意； 对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意；对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B.2．（2020·山东·高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数 【答案】C【解析】【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立， 等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <.所以函数()f x 一定是增函数.故选：C3.（2015·山东·高考真题）关于函数22y x x =-+，以下表达错误的选项是（ ）A ．函数的最大值是1B ．函数图象的对称轴是直线1x =C ．函数的单调递减区间是[)1,-+∞D ．函数图象过点()2,0【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.【详解】 ()22211y x x x =-+=--+，最大值是1，A 正确；对称轴是直线1x =，B 正确；单调递减区间是[)1,+∞，故C 错误；令2x =的22220y =-+⨯=，故()2,0在函数图象上，故D 正确，故选：C4．（2021·全国·高三专题练习）函数()232f x x x =-+的单调递增区间是（ ） A ． 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和[)2,+∞ 【答案】B【解析】【分析】去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果.【详解】222232,13232,1232,2x x x y x x x x x x x x ⎧-+≤⎪=-+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩如图所示：函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞． 故选：B.5．（2022·河北·模拟预测）已知2:10p x ax -+=无解，()2:()4q f x a x =-为增函数，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】 分别由210x ax -+=无解和()2()4f x a x =-为增函数解出a 的范围，即可判断. 【详解】由210x ax -+=无解可得240a -<，解得22a -<<；由()2()4f x a x =-为增函数 可得240a ->，解得22a -<<，故p 是q 的充要条件.故选：C.6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知函数()f x 对任意实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，并且对任意12,(,2)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，则下列说法正确的是（ ） A ．(0)(3)f f <B ．(2)(2)f f =-C ．(2)f f <-D ．1)1)f f <【答案】C【解析】【分析】根据题意得到函数()f x 关于2x =对称，且在区间(,2)-∞上单调递减函数，在区间(2,)+∞上单调递增函数，结合函数的性质，逐项判定，即可求解．【详解】由函数()f x 对任意实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，可得函数()f x 关于2x =对称， 又由对任意12,(,2)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-， 可得函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减函数，则在区间(2,)+∞上单调递增函数，由()(0)4(3)f f f =>，所以A 不正确；由(2)(2)f f <-，所以B 不正确；由()(6)2f f f <=-，所以C 正确；1212->-，所以))11f f >，所以D 不正确. 故选：C.7．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()13f x f x -=-，且[)12,1,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，()33f =．若对()1,3x ∀∈，()230f x a -->恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,9-B ．[]1,7-C ．()(),19,-∞-+∞ D ．(][),17,-∞-+∞【答案】D【解析】【分析】 由抽象函数单调性和对称性的定义可得()f x 在[)1,+∞上单调递增，在(],1-∞上单调递减且()()133f f -==，由此可将恒成立的不等式化为23x a ->或21x a -<-，分离变量后，根据函数最值可得a 的范围.【详解】[)12,1,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增；()()13f x f x -=-，()f x ∴图象关于1x =对称，()f x ∴在(],1-∞上单调递减；()33f =，()()133f f ∴-==；由()230f x a -->知：()()23f x a f ->或()()21f x a f ->-，23x a ∴->或21x a -<-，23a x ∴<-或21a x >+，()1,3x ∈，1a ∴≤-或7a ≥，即a 的取值范围为(][),17,-∞-+∞.故选：D. 8．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】分0m ≥和0m <进行分类讨论，分别确定m 的取值范围，最后综合得答案.【详解】0m ≥时，()()()22220f x m mf x x m mx ++=++>，符合题意；0m <时，()()20f x m mf x ++>，即()())2f x m mf x f+>-=显然()f x 在R 上递增，则2x m +>对1x ∀≥恒成立 (120x m +>对1x ∀≥恒成立则：10104120m m ⎧⎪⇒-<<⎨>⎪⎩； 综上，1,4m ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭， 故选：B ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）函数()21x a f x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A ．2a >-B ．1b >-C ．1b ≥-D ．2a <- 【答案】AC【解析】分离常数()221a f x x +=-+，根据()f x 在区间()b +∞，上单调递增，可得201a b +>⎧⎨≥-⎩，从而可得出选项.【详解】()22211x a a f x x x -+==-++， ()f x 在区间()b +∞，上单调递增，20a ∴+>，2a >-∴，由()f x 在区间()1+∞-，上单调递增， 1b .故选：AC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数23()4x f x x +=+，则下列叙述正确的是（ ） A ．()f x 的值域为()(),44,-∞--+∞ B ．()f x 在区间(),4-∞-上单调递增 C ．()()84f x f x +--=D ．若{}4,x x x x Z ∈>-∈，则()f x 的最小值为-3 【答案】BCD【解析】【分析】 将函数转化为()245235()2444x x f x x x x +-+===-+++，再逐项判断. 【详解】 函数()245235()2444x x f x x x x +-+===-+++， A. ()f x 的值域为()(),22,-∞+∞，故错误；B. ()f x 在区间(),4-∞-上单调递增，故正确；C. ()23()8134442x x x f x f x x ++=--++++=，故正确； D. 因为{}4,x x x x Z ∈>-∈，则()f x 的最小值为(3)3f -=-，故正确；故选：BCD11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(12)3221a x a y a x -++=+-（a 是常数）在[2,5]上的最大值是5，则a 的值可能是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB【解析】【分析】先化简解析式，再对参数进行分类讨论，即可求解.【详解】令(12)324()221211a x a f x y a a a x x -++==+=++---（a 是常数）， 因为[2,5]x ∈，所以41[2,5]1x +∈+. 若1a ≤，44()212111f x a a x x =++-=+--的最大值为5，符合题意； 当512a <≤时，()f x 的最大值为(2)f 与(5)f 中较大的数，由(2)(5)f f =， 即2|52|2|22|a a a a +-=+-，解得74a =， 显然当714a <≤时，()f x 的最大值为5，当74a >时，()f x 的最大值不为定值. 综上，当74a ≤时，()f x 在[2,5]上的最大值是5，结合选项可知，a 的值可能是0或1， 故选AB . 12．（2022·江苏·二模）已知定义在[]1,6上的函数()4f x x x=+，则（ ） A ．任意[],,1,6a b c ∈，()f a ，f b ，()f c 均能作为一个三角形的三条边长B ．存在[],,1,6a b c ∈，使得()f a ，f b ，()f c 不能作为一个三角形的三条边长C ．任意[],,1,6a b c ∈，()f a ，f b ，()f c 均不能成为一个直角三角形的三条边长D ．存在[],,1,6a b c ∈，使得()f a ，f b ，()f c 能成为一个直角三角形的三条边长【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在定义区间上的最值，再结合构成三角形、直角三角形的条件判断作答.【详解】函数()4f x x x =+在[1,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，min ()(2)4f x f ==，max 20()(6)3f x f ==，任意[],,1,6a b c ∈，不妨令()()()f a f b f c ≥≥，则min max ()()2()2()()()f b f c f c f x f x f a +≥≥>≥，即()f a ，f b ，()f c 均能作为一个三角形的三条边长，A 正确，B 错误；取2,2a b c ===，满足[],,1,6a b c ∈，则()()4,()f a f b f c ===显然有222[()][()][()]f a f b f c +=，即()f a ，f b ，()f c 为边的三角形是直角三角形，C 错误，D 正确. 故选：AD三、填空题13．（2022·山东淄博·三模）设()()232,2x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩．若()()2f a f a =+，则=a __________． 【答案】19【解析】【分析】由分段函数各区间上函数的性质有02a <<3a =，即可求结果.【详解】由y =(0,2)上递增，3(2)y x =-在(2,)+∞上递增，所以，由()()2f a f a =+，则02a <<，3a =，可得19a =. 故答案为：19 14．（2022·湖北武汉·模拟预测）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．【答案】)+∞【解析】【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.【详解】由2210x x λ-+<可得，221x x λ>+，因为1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以12x x λ>+，根据题意，min 12x x λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>即可， 设()12f x x x =+，易知()f x在12⎛ ⎝⎭单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭单调递增， 所以()min f x f ==⎝⎭所以λ>故答案为：)+∞15．（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数()f x 为定义在R 上的函数，对任意的R x ∈，均有()()22f x f x +=-成立，且()f x 在[)2,+∞上单调递减，若()10f -=，则不等式()10f x -≥的解集为__________．【答案】[]0,6##}{06x x ≤≤【解析】【分析】根据函数的对称性及单调性之间的关系即可求解.【详解】由题意，因为函数()f x 对任意的R x ∈均有()()22f x f x +=-，所以可得函数()f x 的图象关于2x =对称，又由()f x 在[)2,+∞上单调递减，则()f x 在(,2)-∞上单调递增，因为()10f -=，可得()()510f f =-=，则不等式()10f x -≥，可得115x -≤-≤，解得06x ≤≤，所以不等式()10f x -≥的解集为[]0,6.故答案为：[]0,6.16．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，且任意0x >，均有()()11f f x x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f =_____.【解析】【分析】设(1)f a =，令1x =、1x a =+求得()1111f f a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，结合()f x 单调性求出a 值，代入()f x 验证即可得结果.【详解】设(1)f a =，令1x =得：()()()111111f f f a f a⎡⎤+=⇒+=⎣⎦； 令1x a =+得：()()()111111111f f a f a f a f a a a ⎡⎤⎛⎫++=⇒+== ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭，因为()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，所以1111a a a +=⇒=+，当()1f a ==时，由()()11111101a f a f a a a a +>⇒+>⇒>⇒<-<<或矛盾.故()1f a ==.四、解答题17．（2021·江苏·高三）比较2ππ1+，103【答案】2ππ1013+<<【解析】【分析】构造()21x f x x+=，函数在()1,+∞上单调递增，3π<<. 【详解】设()21x f x x +=，故()211x f x x x x+==+，函数在()1,+∞上单调递增.故3π<<()()3πf f f <<，即2ππ1013+<< 18．（2022·上海市七宝中学模拟预测）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过c 千米/时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？【答案】(1)()()20s y bv a v c v =+<≤ (2)答案见解析【解析】【分析】（1）首先确定全程运输时间，根据可变成本和固定成本可得解析式； （2）根据对号函数单调性可分类讨论得到结论.(1)由题意知：每小时可变部分的成本为2bv ，全程运输时间为s v时， ∴全程运输成本()()20s y bv a v c v=+<≤. (2)由（1）得：a y s bv v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，c >时，y 在(]0,c 上单调递减；则当v c =时，y 取得最小值；c 时，y 在⎛ ⎝上单调递减，在c ⎤⎥⎦上单调递增；则当v =y 取得最小值；c >时，应以速度c c . 19．（2021·上海浦东新·一模）已知函数2()1=++f x x ax ，a R ∈.(1)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()()(0)f x g x x x=>，写出函数()g x 的单调递增区间并用定义证明. 【答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞，证明见解析【解析】【分析】（1）分0a =、0a ≠两种情况， 利用函数奇偶性的定义判断出结果；（2）求得1()g x x a x=++，可以确定()g x 的单调递增区间为[)1,+∞，之后利用函数单调性证明即可.(1)当0a =时，2()1f x x =+，定义域为R ， 任选x ∈R ，都有2()1()f x x f x -=+=，所以0a =时函数()f x 为偶函数；当0a ≠，(1)2,(1)2f a f a -=-=+则(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-； 0a ≠时函数()f x 既非奇函数又非偶函数；(2)函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞. 证明：()1()f x g x x a x x==++， 任取[)12,1,,x x ∈+∞且12x x <，1212121212111()()()()(1)g x g x x a x a x x x x x x -=++-++=--1212121()()x x x x x x -=-， 由于12x x <，则120x x -<；由于[)12,1,x x ∞∈+，则121210x x x x ->； 所以1212121()()0x x x x x x --<，即12()()f x f x <. 函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞.20．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)2(1)2f x x x =++ (2)913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据0∆≤，结合(1)0f -=可解；（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得.(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++，因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++.(2) 因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 21．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））已知函数()f x 的定义域为R ，,a b ∀∈R ，()()()f a f a b f b -=，且当0x >时，()1f x >.(1)求(0)f ，并写出一个符合题意的()f x 的解析式；(2)若()()22248f m m f m +>-，求m 的取值范围. 【答案】(1)(0)1f =，()2x f x =（答案不唯一） (2)423,⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用特殊值求出()0f ，再根据指数的运算性质得到()f x 的一个解析式；（2）令2a b =，即可得到()0f x >，再利用单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；(1) 解：因为(),,()()f a a b f a b f b ∀∈-=R ，所以()0f x ≠. 令a b =，得()(0)1()f a f f a ==. 所以()f x 的一个解析式为()2x f x =（答案不唯一）.(2) 解：令2a b =，则2()02a f a f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()0f x >. 令12x x <，则()()()2211f x f x x f x -=. 因为当0x >时，()1f x >，所以()()()22111f x f x x f x -=>. 因为()0f x >，所以()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.不等式()()22248f m m f m +>-等价于22248m m m +>-， 即23280m m --<，解得423m -<<，即m 的取值范围是423,⎛⎫- ⎪⎝⎭. 22．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24(1)f x x ax a =-+≥，2()1x g x x =+. (1)求函数()y f x =的最小值()m a ；(2)若对任意12,[0,2]x x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)24,12()84,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩(2)1a ≤<【解析】【分析】（1）先将()f x 的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间[0,2]的位置关系，可求出函数()y f x =的最小值()m a ；（2）根据函数的单调性求出函数()f x 的最小值和()g x 的最大值，然后使()()21min max f x g x >，建立关系式，解之即可求出答案.(1)由()()222244f x x ax x a a =-+=-+-，则二次函数的对称轴为x a =，则当12a ≤<时，()f x 在[)0,a 上单调递减，在(],2a 上单调递增，所以 ()()()2min 4m a f x f a a ===-；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，()()()min 284m a f x f a ===- ，所以()24,1284,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩； (2)()()1121g x x x =++-+，当[0,2]x ∈时，[]11,3x +∈，又()g x 在区间[0,2] 上单调递增，所以()40,3g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.若对任意12,[0,2]x x ∈，()()21f x g x >恒成立 则()()21min max f x g x >，故212443a a ≤<⎧⎪⎨->⎪⎩或24843a a ≥⎧⎪⎨->⎪⎩解得：1a ≤<.。
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3.2.2 函数的性质（二）（精讲）（提升版）思维导图考点呈现考点一 函数的周期性【例1-1】（2022·黑龙江）己知()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当(0,1)x ∈时，5()e xf x a =+，若323(22)2e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则195f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．3e e +B ．3e e -+C ．3e e -D ．3e e --【答案】D【解析】由题意可得，()f x 为定义在R 上的周期为4的奇函数，故(4)()()f x f x f x +==-- ， 故(2)(24)(2)f f f =-+=-，所以(2)0f =故()()32332222e 55f f f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()3322e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即332e 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而当()0,1x ∈时，()5e xf x a =+，故333e 2e ,e 35f a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，则当()0,1x ∈时，()53e e xf x =+，故319191(4)()e e 555f f f ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，故选：D【例1-2】（2022·湖南衡阳·三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()1f x +为偶函数，且当[]0,1x ∈时，()4cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．40434039(2022)22f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．40394043(2022)22f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．40434039(2022)22f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．40394043(2022)22f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】因为()1f x +为偶函数,所以满足(1)(1)f x f x +=-+,又因为()f x 是奇函数,所以(1)(1),f x f x -+=--故[](1)(1)(3)(3)f x f x f x f x +=--=---=-例题剖析因此()(4),f x f x =+即()f x 是以4为周期的周期函数.4043404331(4505)()(),2222f f f f ⎛⎫=-⨯== ⎪⎝⎭(2022)(2)(0)f f f ==， 4039403911(4505)2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当[]0,1x ∈时，()4cos x f x x =-，4x 在[]0,1x ∈单调递增，cos x 在[]0,1x ∈单调递减，故()4cos x f x x =-在[]0,1x ∈单调递增.所以40434039(2022)211()(0)2()22f f f f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⇒⎝>-⎭> 故选：A 【一隅三反】1．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-【答案】A【解析】因为函数()f x 图象关于原点对称，所以()()f x f x -=-， 由()(4)f x f x =+知，函数()f x 是以4为周期的函数，又当(0,2)x ∈时，()f x 则3333243(3log )(3log 243log 4)(8log 4)4f f f +=+-=-33(log 4)(log 4)f f =-=-=11==-.故选：A. 2．（2022·江西鹰潭·二模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（ ） A ．2- B ．4 C ．4- D ．6【答案】C【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，又32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以()()f x f x -=-、()00f =且3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33322232f f x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦++⎣⎦，即()()3f x f x -=+，所以()()()()6333f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦，即()f x 是以6为周期的周期函数，由()12f =，()()412f f =-=-所以()()()20206336442f f f =⨯+==-，()()()()202163371112f f f f =⨯-=-=-=-， ()()()20226337000f f f =⨯+==，所以()()()2020202120224f f f ++=-；故选：C3．（2022·新疆·三模）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e xf x x =，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()3ln3e e f f f <<- B ．()()()3e ln3ef f f -<< C ．()()()3e e ln3f f f <-<D ．()()()3ln3e e f f f <-<【答案】A【解析】[]0,3x ∈，()e x f x x =()()e 1xf x x '∴=+[]0,3x ∴∈时，()f x 单调递增；()()6f x f x +=，[]18,21x ∴∈，()f x 单调递增；323636e e +⨯<<+⨯()()()3236e e 36f f f ∴+⨯<<+⨯()()()32e e f f f ∴<<()()f x f x -=()()e e f f ∴-= 20ln 3ln e 2∴<<=，()()ln32f f ∴<，综上所述，()()()3ln3e e f f f <<-.故选：A.考点二 函数的对称性【例2-1】（2022·安徽合肥）函数()4e e x xf x +-=-（e 是自然对数的底数）的图象关于（ ）A ．直线e x =-对称B ．点(e,0)-对称C ．直线2x =-对称D ．点(2,0)-对称【答案】D【解析】由题意()()2e 2e 42e 42e 2e ee e e x x x xf x -----+--++--=-=-，它与()f x 之间没有恒等关系，相加也不为0，AB 均错，而44(4)4(4)e e e e ()x x x x f x f x --+----+--=-=-=-，所以()f x 的图象关于点(2,0)-对称．故选：D ． 【例2-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2220212f x f x f +=-+对任意的x ∈R 恒成立，且函数()2021f x -的图像关于点()2021,0对称，()12021f =-，则()()20212022f f +=（ ） A ．2021 B ．－2021C ．2022D ．－2022【答案】A【解析】对任意的x ∈R 都有()()()2220212f x f x f +=-+，令x ＝0，则()()()2220212f f f =+，即()20f =，即有()()22f x f x +=-，即()()4f x f x +=-，所以函数()f x 的图像关于直线x ＝2对称．又函数()2021f x -的图像关于点()2021,0对称，则函数()f x 的图像关于点()0,0对称，即函数()f x 为奇函数． 所以()()()4f x f x f x +=-=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=， 所以8是函数()f x 的最小正周期．()()()()()()()20212538333122112021,f f f f f f f =⨯-=-=-=-+=--=-=()()()()202225382220f f f f =⨯-=-=-=，所以()()202120222021f f +=，故选：A ．【例2-3】．（2022·山西吕梁）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间()1,+∞上单调递增，则满足()()13f x f x ->+的x 的取值范围为（ ） A ．()1,-+∞ B ．(),1-∞- C ．()1,1- D ．(),1-∞【答案】B【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称， 又()f x 在区间()1,+∞上单调递增，所以在(,1)-∞上单调递减， 因为()()13f x f x ->+，()()|11||31|x x -->+-，即2x x ->+，平方后解得1x <-.所以x 的取值范围为(,1)-∞-.故选：B.【例2-4】（2022·河南河南·三模（理））函数()112e e 1x x f x x --=---的所有零点之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．4D ．6【答案】B【解析】令()112e e 01x xf x x --=--=-，得112e e 1x x x ---=-， ()21g x x =-图象关于()1,0对称，在()(),1,1,-∞+∞上递减.()11e e ,x x h x --=-，令()()()()1e e ,e e x x x x H x h x H x H x --=+=--=-=-，所以()H x 是奇函数，图象关于原点对称，所以()h x 图象关于()1,0对称，()10h =，()1ee e x xh x -=-在R 上递增， 所以()h x 与()g x 有两个交点，两个交点关于()1,0对称，所以函数()112e e 1x xf x x --=---的所有零点之和为2. 故选：B【一隅三反】1．（2022·北京四中高三阶段练习）下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ） A ．1y x= B ．lg y x = C ．tan y x = D ．3y x =【答案】A【解析】对于A ，1y x=图象关于y x =、坐标原点()0,0分别成轴对称和中心对称，A 正确；对于B ，lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，但无对称中心，B 错误；对于C ，tan y x =关于点(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭成中心对称，但无对称轴，C 错误； 对于D ，3y x =为奇函数，其图象关于坐标原点()0,0成中心对称，但无对称轴，D 错误. 故选：A.2．（2022·河北保定·一模）已知函数()32f x x ax x b =+++的图象关于点()1,0对称，则b =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】C 【解析】()f x 图象关于点()1,0对称，()()20f x f x ∴+-=，又()()()()()()32322222641310f x x a x x b x a x a x -=-+-+-+=-++-++4a +b +，()()()()222641210420f x f x a x a x a b ∴+-=+-++++=，260412010420a a a b +=⎧⎪∴+=⎨⎪++=⎩，解得：3a =-，1b =.故选：C. 3．（2022·吉林·长春外国语学校高三开学考试（文））已知函数2()e e x x f x -=-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 关于直线1x =-对称 B ．()f x 关于点(1,0)对称 C ．()f x 关于点(1,0)-对称 D ．()f x 关于直线1x =对称【答案】B【解析】∵2()e e x x f x -=-，∴2(2)e e x x f x --=-，24(2)e e x x f x --+--=-， ∴242(2)e e ()e e x x x x f x f x --+-=≠--=--，故A 错误；()22(2)e e e e ()x x x x f x f x --=-=---=-，故B 正确； ()242(2)e e ()e e x x x x f x f x --+---=-=--≠-，故C 错误；22(2)e e ()e e x x x x f x f x ---=-=-≠，故D 错误.故选：B.4．（2022·天津市第七中学模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()22f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()2f x x a =+，则函数()f x 与函数()2112x g x --=的图象在[]2020,2022-上所有交点的横坐标之和为（ ） A ．2020 B ．1010 C ．1012 D ．2022【答案】A【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f a ==，即当[]0,2x ∈时，()2f x x =由已知()()()44f x f x f x =-=--，()()48f x f x ∴-=--，()()8f x f x =-，故()f x 是8T =周期函数，且对称轴为2x =，又()()2241111422x x g x g x ------===，即()()22g x g x +=-，所以函数()2112x g x --=关于2x =对称如图函数()f x 和函数()g x 在[]6,10-上的图像在区间[]2,2022上，包含了函数()f x 中的252个周期再加上12个周期， 在区间[]2020,2-上，包含了函数()f x 中的252个周期再加上34个周期，所以函数()f x 和函数()g x 在[]2020,2-和[]2,2022上都有25221505⨯+=个交点， 根据对称性可得所有交点的横坐标之和为50542020⨯=.故选：A.考点三 Mm 函数【例3】（2022.广东）已知3()sin 1f x x x =-+，[2x π∈-，2]π，若()f x 的最大值为M ，()f x 的最小值为N ，则M N +等于( ) A ．0 B ．2C ．4πD ．38π【答案】B【解析】令3()()1sin g x f x x x =-=-，[2x π∈-，2]π，函数()g x 的定义域关于原点对称，且33()sin()()sin ()g x x x x x g x -=---=-+=-，∴函数()g x 为奇函数，()()0max min g x g x ∴+=，即()1()10max min f x f x -+-=，()()2max min f x f x ∴+=，即2M N +=．故选：B ．【一隅三反】1．（20022•椒江区）已知函数2()2x xxf x e e -=++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值等于( )A ．2B ．4C ．2221ee ++ D ．2441ee ++ 【答案】B 【解析】设2()x xxg x e e -=+，则()g x 是奇函数，()g x ∴的最大值和最小值互为相反数，且()f x 的最大值为M ，最小值为m ， 4M m ∴+=．故选：B ．2．（2022•沙河）函数21(21)2()2x x xx f x x +++=在[2019-，0)(0⋃，2019]上的最大值为M ，最小值为N ，则(M N += ) A ．4038 B ．4C ．2D ．0【答案】B【解析】22221222222222()22x x x x x x x xx x f x x x x --++++++++===+， 设222()x x g x x-++=，则()g x 是奇函数，()g x ∴在[2019-，0)(0⋃，2019]上的最大值和最小值互为相反数，又()f x 在[2019-，0)(0⋃，2019]上的最大值为M ，最小值为N ， 4M N ∴+=．故选：B ．3．（2021•河北）已知22(2)()4x f x x +=+，则()f x 在区间[2-，2]上的最大值最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】A【解析】由222444()144x x xf x x x ++==+++ 令24()4xg x x =+，可得24()()4xg x g x x -=-=-+是奇函数， 可得()g x 区间[2-，2]上的最大值最小值之和为0．那么()f x 在区间[2-，2]上的最大值为1()max g x +，最小值为1()min g x +； ()f x ∴在区间[2-，2]上的最大值最小值之和为2．故选：A ．4．（2022•广东月考）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1-，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则(M m += ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=，[1x ∈-，3]上， 可得[2t ∈-，2]；那么()f x 转化为21()sin sin 1g t t t t t=+-+ 由于21()sin sin h t t t t t=+-是奇函数 可得()h t ，[2t ∈-，2]的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．考点四 函数性质的综合运用【例4】（2022·辽宁·模拟预测）（多选）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点【答案】BC【解析】因为()()()63f x f x f ++=，取3x =-，得()()()333f f f +-=，故()30f -=，又()f x 是偶函数，所以()()330f f =-=，所以()()60f x f x ++=，故()()()126f x f x f x +=-+=，即()f x 的一个周期为12，故A 项错误；又()f x 在区间[]6,0-上是增函数，所以()f x 在区间[]0,6上为减函数，由周期性可知，()f x 在区间[]12,18上单调递减，故B 项正确；因为()f x 是偶函数，所以()f x 的图像关于y 轴对称，由周期性可知()f x 的图像关于直线12x =对称，故C 项正确；因为()f x 在区间[]6,0-上是增函数，所以()f x 在区间[]0,6上为减函数，()()330f f =-=，由周期性可知，在区间[]0,12上，()()390f f ==，而区间[]0,2016上有168个周期，故()f x 在区间[]0,2016上有336个零点，又()()201930f f ==，所以()f x 在区间[]0,2022上有337个零点，由()f x 为偶函数，可知()f x 在区间[]2022,2022-上有674个零点，故D 项错误．故选：BC 项．【一隅三反】1．（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）（多选）已知()f x 是R 上的奇函数，()2f x +是R 上的偶函数，且当[]0,2x ∈时，()22f x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 最小正周期为4B ．()33f -=-C ．()20200f =D ．()20213f =-【答案】BCD 【解析】因为(2)f x +是偶函数， 所以(2)(2)f x f x +=-+， 又因为()f x 是奇函数，所以(2)(2)f x f x -+=--，所以(2)(2)f x f x +=--，所以(4)()f x f x +=-，所以()()4()8x x f f f x =-=++，所以()f x 的周期为8，故A 错误；又当[]0,2x ∈时，()22f x x x =+，所以()()()3513f f f -==-=-，选项B 正确；(2020)(42528)(4)(0)0f f f f =+⨯==-=，选项C 正确；(2021)(52528)(5)(1)3f f f f =+⨯==-=-，选项D 正确.故选：BCD.2．（2022·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知定义在R 上的单调递增的函数()f x 满足：任意x ∈R ，有()()112f x f x -++=，()()224f x f x ++-=，则（ ）A ．当x ∈Z 时，()f x x =B ．任意x ∈R ，()()f x f x -=-C ．存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x T f xD ．存在非零实数c ，使得任意x ∈R ，()1f x cx -≤【答案】ABD【解析】对于A ，令1x t =-，则()()22f t f t +-=，即()()22f x f x +-=，又()()224f x f x ++-=，()()()()()242422f x f x f x f x ∴+=--=--=+；令0x =得：()()112f f +=，()()224f f +=，()11f ∴=，()22f =，则由()()22f x f x +=+可知：当x ∈Z 时，()f x x =，A 正确；对于B ，令1x t =+，则()()22f t f t -++=，即()()22f x f x -++=，()()()()()2224222f x f x f x f x ∴-=-+=---=--，由A 的推导过程知：()()22f x f x -=-，()()()22f x f x f x ∴-=--=-，B 正确；对于C ，()f x 为R 上的增函数，∴当0T >时，x T x +>，则()()f x T f x +>；当0T <时，x T x +<，则()()f x T f x +<，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x T f x ，C 错误；对于D ，当1c =时，()()f x cx f x x -=-；由()()112f x f x -++=，()()224f x f x ++-=知：()f x 关于()1,1，()2,2成中心对称，则当a Z ∈时，(),a a 为()f x 的对称中心；当[]0,1x ∈时，()f x 为R 上的增函数，()00f =，()11f =，()[]0,1f x ∴∈，()1f x x ∴-≤；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，()1f x cx -≤，D 正确.故选：ABD.3．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A 【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x -=，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，又函数()f x 为偶函数，所以()()()2-==-f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数， 又1()1g x x =-的图象也关于直线1x =对称， 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5-上的图象，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图象在区间[]3,5-上有8个交点，且关于直线1x =对称，所以方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为4218⨯⨯=， 故选：A. 4．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()()22f x f x f -=+成立，当1x ，[]20,1x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，有下列命题：①()()()2320220f f f ++⋅⋅⋅+=；②点()2022,0是函数()y f x =图象的一个对称中心；③函数()y f x =在[]2022,2022-上有2023个零点；④函数()y f x =在[]7,9上为减函数；则正确结论的序号为______．【答案】①②③ 【解析】(2)()(2)f x f x f -++，令0x =得(2)(0)(2)f f f =+，(0)0f =，令1x =得(1)(1)(2)f f f =+，(2)0f =， 所以(2)()f x f x -=，又()f x 是奇函数，()()(2)f x f x f x =--=-+，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，4是它的周期，当1x ，[]20,1x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，即12x x >时，12()()f x f x >，()f x 在[0,1]是增函数，由奇函数性质知()f x 在[1,0]-上也是增函数，所以()f x 在[1,1]-上递增，所以(1)(2)(3)(4)(1)(2)(1)(0)0f f f f f f f f +++=++-+=，从而()(1)(2)(3)0,f k f k f k f k k Z ++++++=∈，202224505-=⨯，()()()()()232022302022f f f f f ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅+=+，①正确；(2)()f x f x -=，则函数图象关于直线1x =对称，又函数图象关于原点对称，因此也关于点(2,0)对称，②正确；由上讨论知()f x 在[,4)k k +上有2个零点，2022210114⨯=， 注意(2022)(2022)0f f =-=，因此()f x 在[2022,2022]-上零点个数为2101112023⨯+=，③正确；由周期性知函数在[7,9]x ∈与[1,1]x ∈-时的图象相同，函数同为增函数，④错误．故答案为：①②③．。