向量组的极大无关组
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3-3向量组的极大无关组
1 1 2 2
的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
信息系 刘康泽
1 0 1 2 例 如 , 设 1 , 2 , 3 , 4 ， 例1 0 1 1 2
则 ： 1 , 2 构 成 1 , 2 , 3 , 4 的 极 大 无 关 组 ，
可 由 1 , ,
r
线性表出, 故对任意
i , 有 i , 1 , , r 可 由 1 , , r 线 性 表 出 . 由 r 1 r
知：
i , 1 , , r ( i 1, , r ) 必 线 性 相 关 .
r
又 1 , ,
1 , 2 , , r ( r s ) ，则 1 , 2 , , r 线性无关且含有
r 个向量， 因而 1 , 2 , , r 也是 1 , 2 , , s , 的一个
极大无关组，从而 可由 1 , 2 , , r 线性表出，故向 量 可由 1 , 2 , , s 线性表出。 （必要性是显然的）
（ 1）
4 1 1 2 2 3 3
又 假 设 5 4 能 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ， 则 ：
5 4 k 1 1 k 2 2 k 3 3
信息系 刘康泽
( a ) 可由 ( b ) 线性表示；
( b ) 可由 ( b ) 线性表示。
由线性表示的传递性可知：( a ) 可由 ( b ) 线性表示。 而 ( a ) 是线性无关的，故： ( a ) 中向量的个数 „ ( b ) 中向量的个数，
即
r ( 1 , 2 , , m ) „ r ( 1 , 2 , , s ) 。
的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
信息系 刘康泽
1 0 1 2 例 如 , 设 1 , 2 , 3 , 4 ， 例1 0 1 1 2
则 ： 1 , 2 构 成 1 , 2 , 3 , 4 的 极 大 无 关 组 ，
可 由 1 , ,
r
线性表出, 故对任意
i , 有 i , 1 , , r 可 由 1 , , r 线 性 表 出 . 由 r 1 r
知：
i , 1 , , r ( i 1, , r ) 必 线 性 相 关 .
r
又 1 , ,
1 , 2 , , r ( r s ) ，则 1 , 2 , , r 线性无关且含有
r 个向量， 因而 1 , 2 , , r 也是 1 , 2 , , s , 的一个
极大无关组，从而 可由 1 , 2 , , r 线性表出，故向 量 可由 1 , 2 , , s 线性表出。 （必要性是显然的）
（ 1）
4 1 1 2 2 3 3
又 假 设 5 4 能 由 1 , 2 , 3 线 性 表 示 ， 则 ：
5 4 k 1 1 k 2 2 k 3 3
信息系 刘康泽
( a ) 可由 ( b ) 线性表示；
( b ) 可由 ( b ) 线性表示。
由线性表示的传递性可知：( a ) 可由 ( b ) 线性表示。 而 ( a ) 是线性无关的，故： ( a ) 中向量的个数 „ ( b ) 中向量的个数，
即
r ( 1 , 2 , , m ) „ r ( 1 , 2 , , s ) 。
3.3 向量组的极大无关组与秩
矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt
第四节 向量组的极大线性无关组
故A是极大线性无关组为 1 , 2 , 4 .
n 例6 设R 中的向量组1 , 2 ,, n 线性无关,证明
向量组
1 =1 + 2 ,2 = 2 +3 ,, n1 = n1 + n , n = n +1,
当n为奇数时线性无关;当n为偶数时线性相关. 向量组1 , 2 ,, n 可以由向量组 证明： 1 0 0 0 1 具体为 1 , 2 ,, n 线性表示. 1 1 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 A 0 0 1 2 1 3 0 3 0 0 0 0 0 7 3 1
13
1 0 0 0
故B的列向量极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 且
0 1 2 n = 1 2 n 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 nn
20
当向量组1 , 2 ,, n 线性无关时,
矩阵1 2 n 可逆,则
i T1 ,
k1i k s 2i , i 1, 2,, r. ksi
i 1 2
2
即
1
2 r
1
2
k11 k 21 s ks1
k12 k1r k22 k2 r , ks 2 k sr
r 1 2 m r r B ;
r 1 2 m r A r
由 r A r AT , 可证明A的秩等于行向量组的秩.
15
r A r. 则有 推论 设A为 m n 矩阵，
第3.3节 向量组的秩
例2 证明
(1) n维基本单位向量组 1 , 2 , , n 是Rn的极大无关组； (2) Rn中任意n个线性无关的向量都是Rn的极大无关组. 证 (1) 1 , 2 , , n 显然线性无关；又 ( a1 , a2 , , an ) R n , 有
( a1 , a2 , , an ) a1 1 a2 2 an n ,
因此，1 , 2 , 4 是向量组A的极大无关组，且
3 1 2 0 4 1 2 .
例7 设向量组 (I) 1 (1, 1, 0, 0)T， 2 (1, 0, 1, 1) T , (II) 1 (2, 1, 3, 3)T， 2 (0, 1, 1, 1) T . 证明向量组(I)与向量组(II)等价. 证 方法1 考虑向量组 (III)
例1 考察下列向量组的极大无关组.
(1) 1 (0, 0, 0);
不存在
(2) 1 (0, 0, 0)， 2 (1, 0, 0)， 3 (0,1, 0); (3) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (0, 0,1); (4) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (1,1, 0).
不难归纳
2 , 3
1,2,3
1,2； 1,3；2,3
(1)只含零向量的向量组不存在极大无关组； (2)含有非零向量的向量组必存在极大无关组； (3)线性无关向量组的极大无关组是其本身； (4)线性相关组的极大无关组所含向量个数少于 原向量组所含向量个数； (5)向量组的极大无关组可能不唯一.
故而r1 r2 .
(2)略.
例4
已知向量组 1 , 2 , , s ( s 1) 的秩为r ，且
向量组的极大无关组与秩的定义
复习
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 ,,r (II ) : 1, 2 ,, s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性
表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，
则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的极大无关组 定义1：设 向量组T 的部分向量组1,2 ,,r 满足
(i) 1,2,,r线性无关 (ii) T 中向量均可由1,2,,r线性表示。
或T 中任一向量. ,1,2 ,,r线性相关。 则称1,2 ,,r是向量组T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性。
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2 ,, s线性无关。
r(K) s K可逆 1,2,,s可由1, 2,, s表示 1,2,,s与1, 2,, s等价。
1
2
C
s
12
s
O
O
.
r
O
r r(A) r(C) s.
推论1：若向量组1,2 ,,r可由向量组 1, 2 ,, s 线
性表示，且r >s,则向量组1,2,,r线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个 数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的 个数相等。
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表
向量组的极大线性无关组
05
关组都是等价的.
第二章 n维列向量
第二章 n维列向量
2.4 向量组的极大线性无关组
计算 理论依据:
(1) 命题2.1
例2.8. 已知向量组1, 2, 3线性无关, 求 1 2, 2 3, 3 1 的一个极大无关组.
(2) 定理1.11 (2.4 向量组的极大线性无关组 线性无关。
1.求向量组的秩：初等行变换化为行阶梯形，
第二章 n维列向量 行阶梯形的非零行数等于矩阵的秩，等于行 （列）向量组的秩。 初等行变换不改变列向量组之间的线性关系。
2.判断向量组的线性关系：初等行变换化为行
阶梯形，判断秩与向量个数的大小，秩小于 个数，向量组线性相关，秩等于个数，向量组
r个向量构成的极大无关组.
命题2.1. 秩为r的向量组中任何r个线性无关的
向量都构成它的一个极大无关组.
2.4 向量组的极大线性无关组
02
定理2.6. 一个向量组的任何两个极大无关组
都是等价的, 因而任意两个极大无关 组所含向量的个数都相同, 且等于这 个向量组的秩.
命题2.2. 一个向量组与它的任何一个极大无
个向量线性相关。又因为a, b互异，故
从而 线性无关。因此这个向量组的
秩为2，且 是所要求的极大无关组。
(2) 1, 2, …, s中任一向量都可由
§2.4 向量组的极大线性无关组
第二章 n维列向量
§2.4 向量组的极大线性无关组
一. 定义
如果向量组1, 2, …, s的部分组
满足以下条件:
, …,
i1
,
i2
ir
线性无关;
, …,
关组都是等价的.
第二章 n维列向量
第二章 n维列向量
2.4 向量组的极大线性无关组
计算 理论依据:
(1) 命题2.1
例2.8. 已知向量组1, 2, 3线性无关, 求 1 2, 2 3, 3 1 的一个极大无关组.
(2) 定理1.11 (2.4 向量组的极大线性无关组 线性无关。
1.求向量组的秩：初等行变换化为行阶梯形，
第二章 n维列向量 行阶梯形的非零行数等于矩阵的秩，等于行 （列）向量组的秩。 初等行变换不改变列向量组之间的线性关系。
2.判断向量组的线性关系：初等行变换化为行
阶梯形，判断秩与向量个数的大小，秩小于 个数，向量组线性相关，秩等于个数，向量组
r个向量构成的极大无关组.
命题2.1. 秩为r的向量组中任何r个线性无关的
向量都构成它的一个极大无关组.
2.4 向量组的极大线性无关组
02
定理2.6. 一个向量组的任何两个极大无关组
都是等价的, 因而任意两个极大无关 组所含向量的个数都相同, 且等于这 个向量组的秩.
命题2.2. 一个向量组与它的任何一个极大无
个向量线性相关。又因为a, b互异，故
从而 线性无关。因此这个向量组的
秩为2，且 是所要求的极大无关组。
(2) 1, 2, …, s中任一向量都可由
§2.4 向量组的极大线性无关组
第二章 n维列向量
§2.4 向量组的极大线性无关组
一. 定义
如果向量组1, 2, …, s的部分组
满足以下条件:
, …,
i1
,
i2
ir
线性无关;
, …,
3[1].4向量组的极大无关组
![3[1].4向量组的极大无关组](https://img.taocdn.com/s3/m/97dfa6f5fc0a79563c1ec5da50e2524de518d03b.png)
1 0 1 0 4
例如：
0
1
1
0
3
B
0 0 0 1 3
0
0
00
0
注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
例1 ：对矩阵
A
0
1
1
0
0
1
0 2 2 0 0 1
0
1
1 2 2 2
作行初等变换,使成为行阶梯矩阵.
又等价的向量组有相同的秩，
A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变。
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上
1
1
i
i
A
kri
A3
j
j
k i
显然，A3 中的行向量组 可以由 A的行向量组线性表示
m
m 而 A的行向量组可以由
A3 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。
0
0
0
1
1
1
r3r2 0 0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
例2：求上三角矩阵的秩
a11 a12 a13 a14 a15
0
a22
a23
a24
a25
A 0
0 0
0 a33 a34 a35 aii 0 i 1, 2, 3
0
0
0
0
0 0 0 0
解：看行秩 1 a11,a12 ,a13 ,a14 ,a15 2 0,a22 ,a23 ,a24 ,a25
1-3 向量组的极大无关组及向量组的秩
11
α1 = (1, 2,0, 1) α2 = (3,1, 5, 7) 例4 求向量组 α3 = (5, 3,7,9) α = (2,1, 3, 3) 4 α5 = (1, 4, 2, 7)
的秩及向量组的一极大无关组, 的秩及向量组的一极大无关组,并求其余向量由这极大无关 组的线性表达式. 组的线性表达式. 极大无关组为: 极大无关组为: α1 ,α2 ,α4 或者 α1 ,α3 ,α4
4 7 α3 = 5α1 5 α2 为极大无关组为例: 以α1 ,α2 ,α4 为极大无关组为例: α = 9α + 8α 2α 4 5 5 1 5 2 12
或者 α1 ,α2 ,α5 或者 α1 ,α3 ,α5
小结
1.介绍基本概念:极大无关组,秩. 介绍基本概念:极大无关组, 介绍基本概念 2. 向量组的初等变换,行阶梯形矩阵. 向量组的初等变换,行阶梯形矩阵. 3. 重点:定理1.3.3. 重点:定理1 4 .必须会求向量组的秩,极大无关组. 必须会求向量组的秩, 必须会求向量组的秩 极大无关组.
§1.3 向量组的极大无关组及向量组的秩 一,极大无关组,秩 极大无关组, 二,向量组的初等变换
1
一,极大无关组,秩 极大无关组, 定义1.3.1 定义1.3.1
α1 ,α2 ,,αr 是向量组 的一部分向量组,如果满足 是向量组T 的一部分向量组,
线性无关; (1)α1 ,α2 ,,αr 线性无关; (2)α ∈T, 总有 α1 ,α2 ,,αr,α 线性相关. 线性相关. 则称 α1 ,α2 ,,αr 是向量组 的一个极大线性无关组, 是向量组T 简称极大无关组.
若写成矩阵形式 ,可以看到有阶梯出现
α1 1 α2 = 0 α3 0 α 0 4
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向量组的极大无关组
在线性代数中常常会遇到向量组的问题，其中一个重要的问题是如何确定一个向量组的基。
而要解决这个问题，就需要考虑向量组中向量的线性相关性。
如果一个向量可以表示成其他向量的线性组合，那么这个向量就不是基向量，也就无法作为向量组的一部分。
而向量组中极大线性无关的向量组成的集合，就被称作向量组的极大无关组。
先定义一下向量组的线性相关性：设 $\alpha_1, \alpha_2, ...,
\alpha_n$ 为向量组，则如果存在不全为零的数 $k_1, k_2, ..., k_n$，使得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = \boldsymbol{0}$，那么这个向量组就是线性相关的。
反之，如果这样的向量组不存在，那么就称这个向量组是线性无关的。
接下来，我们来定义一下“极大无关组”这个概念。
假设 $\alpha_1,
\alpha_2, ..., \alpha_n$ 是一个向量组，那么它的一个子集 $\beta_1,
\beta_2, ..., \beta_k$ 是极大无关组，当且仅当：
- $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_k$ 中的向量是线性无关的；
- $k < n$；
- 如果将 $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_k$ 中的任何一个向量去掉，剩下的向量就是线性相关的。
举个例子，假设有一个向量组 $\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \boldsymbol{v_3}, \boldsymbol{v_4}, \boldsymbol{v_5}$，其中
$\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}$ 和 $\boldsymbol{v_3},
\boldsymbol{v_4}$ 是线性相关的。
那么，$\boldsymbol{v_1},
\boldsymbol{v_2}, \boldsymbol{v_5}$ 和 $\boldsymbol{v_3},
\boldsymbol{v_4}, \boldsymbol{v_5}$ 都是向量组的极大无关组。
因为
在第一组中，去掉任意一个向量，剩下的两个向量仍然线性无关；在
第二组中，去掉任意一个向量，剩余的两个向量会成为线性相关的。
那么，极大无关组有什么作用呢？其实，极大无关组是求解向量组的
一组基非常有用的工具。
可以将极大无关组中的向量排列起来，就得
到了一组基。
这组基可以用来表示出向量组中的任意一个向量，从而
方便进行向量空间的计算。
在实际应用中，寻找极大无关组有多种方法，例如高斯消元法、矩阵
秩计算法等。
无论采用哪种方法，计算过程都需要一定的时间和精力，但是通过寻找极大无关组，可以得到向量组的基，从而与其他的线性
代数问题（例如矩阵的特征向量与特征值问题）产生更为紧密的联系。
总之，在线性代数中，极大无关组是一个非常重要的概念。
通过寻找
向量组的极大无关组，可以得到向量组的基，从而方便进行向量空间
的计算和解决其他的线性代数问题。
尽管寻找极大无关组需要耗费一
定的时间和精力，但这个过程是非常值得的。