托勒密定理的六种证明方法
专题：三角之托勒密定理
专题：三角之托勒密定理知识梳理克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号。
即圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．精选例题习题1.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=42，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A.8B.16C.83D.1632.克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上一点，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC的长取最大值时，∠AOC=()A.30°B.45°C.60°D.90°3.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC,BD是其两条对角线，BD=8，且△ACD为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A.83B.163C.243D.3234.数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“cos2a=1-2sin2a”所用的几何图形，已知点B,C在以线段AC为直径的圆上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AE=AB,点F为EC的中点.设AC=2r,∠DAC=a,那么下列结论:①DC=2r cos a,②AB=2r cos2a,③FC=r1-cos2a,④DC2=r2r-AB.其中正确的是()A.②③B.②④C.①③④D.②③④5.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是以其名字命名的重要定理，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，AC=2，△BCD为正三角形，则△ABD面积的最大值为；四边形ABCD的面积为.(注：圆内接凸四边形对角互补)6.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，BD=4，且△ACD为正三角形，则△ABC面积的最大值为，四边形ABCD的面积为.(注：圆内接凸四边形对角互补)7.托勒密定理指“圆内接凸四边形ABCD两组对边乘积的和等于两条对角线的积”.若直径AC=2，AB=2AD=1，则BD=，cos A=.8.托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家.托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形ABCD的四个顶点在同一圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，△BCD的三个内角所对的圆弧长均相等，且AC=4米，则四边形ABCD的面积为平方米.9.托勒密定理是数学奥赛中的常用定理，该定理指出：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图，已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AD=CD，cos∠ACD=35，BD=5，则四边形ABCD的面积为.10.托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC,BD是其两条对角线，AB=AD，∠BAD=120∘，AC=6，则四边形ABCD的面积为．。
托勒密定理的向量证明
托勒密定理的向量证明
托勒密定理是几何学中的经典定理，可以描述向量的等腰三角形对应的角的大小。
它定义
了一个特定的角，如果直角两边的向量长度满足特定的关系，则这个角是固定的且为等腰
三角形中必要的。
托勒密定理可以用向量的形式表示，其数学表达式如下：
|AB|*|AC| = |BC|*|BA|
其中|AB|表示向量AB的大小，|AC|表示向量AC的大小，|BC|表示向量BC的大小，|BA|
表示向量BA的大小。
因此，只要两个边的长度满足上述的关系，等腰三角形的第三个角必定是直角，即托勒密
定理就被证明了。
下面我们使用向量的证明来证明上述定理：
假设存在一个等腰三角形ABC，其中A，B，C是三角形的三个顶点。
设向量AB=a，BC=b，AC=c，则有
|AB|*|AC| = |BA|*|BC|，
即a*c = b*(-a) ，
其中a*c表示向量a与c的点积，b*(-a)表示向量b与-a的点积。
显然，a*c = b*(-a)只有当其中一边的向量为零，即a或b为零时才成立。
这就意味着，等腰三角形ABC的腰部的向量不能同时为零，因此腰部的向量必须有一个非零的模。
又由于a*c = b*(-a)，a和b的模相等，故a*c = b*(-a)，a与b互为反向量，即a与b的夹角为180度，由此可知ABC的第三个角为直角，即托勒密定理得以证明。
综上所述，我们可以用向量的形式来证明托勒密定理：只要腰部的向量都不为零，且相等，它们必然是反向量，则它们所组成的等腰三角形的第三个角就是一个直角。
托勒密定理的证明方法
托勒密定理的证明方法嘿，咱今儿就来聊聊托勒密定理的证明方法。
你说这托勒密定理啊，就像数学世界里的一颗神秘宝石，闪烁着独特的光芒。
托勒密定理说的是圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
听起来是不是有点拗口？别急，咱慢慢道来。
证明它的方法有好几种呢。
比如说，我们可以通过构造相似三角形来搞定。
想象一下，在那个圆内接四边形里，我们巧妙地找到一些相似的三角形，就像拼图一样把它们拼在一起，然后哇，就能发现其中的奥秘啦！这不就跟我们玩拼图，突然找到关键一块，整个画面就清晰了一样嘛。
还有一种方法是利用三角函数。
三角函数啊，就像是数学里的小精灵，能帮我们解决好多难题呢。
我们把四边形的边和角用三角函数表示出来，然后一顿操作猛如虎，嘿，定理就证明出来啦！你说神奇不神奇？咱再想想啊，这就好像是走迷宫。
一开始看着那弯弯绕绕的路，觉得好迷茫啊，但是一旦找到了正确的方向，一步一步地走，嘿，就能顺利走到终点啦！托勒密定理的证明不也是这样嘛，找到合适的方法，就一路通畅啦。
或者说像爬山，刚开始觉得那山好高好难爬呀，但是当我们一步一个脚印地往上爬，慢慢就会发现，咦，山顶就在眼前啦！证明托勒密定理不也是这样，过程可能有点难，但只要坚持，就能领略到那美妙的风景。
哎呀，数学的世界就是这么奇妙，一个小小的定理，背后藏着那么多有趣的证明方法。
每一种方法都像是一把钥匙，能打开这神秘定理的大门。
你说，要是我们能把这些证明方法都掌握得牢牢的，那该多牛啊！以后再遇到和托勒密定理相关的问题，咱就能轻松搞定啦。
就像有了一把万能钥匙，啥锁都能开。
总之呢，托勒密定理的证明方法充满了智慧和乐趣，等着我们去探索，去发现。
大家可别小瞧了它哦，好好去研究研究，一定会有大收获的！怎么样，是不是对托勒密定理的证明方法更感兴趣啦？赶紧去试试吧！。
高中数学竞赛辅导之——托勒密定理和西姆松定理
托勒密定理和西姆松定理一、托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：设四边形ABCD 内接于圆，则有；分析可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明在AC上取点E，使∠ADE=∠BDC，由∠DAE=∠DBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD，得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．说明本定理的证明给证明ab=cd+ef的问题提供了一个典范．定理：在四边形ABCD 中，有，并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。
【解析】在四边形ABCD内取点E，使，则：相似，所以，又因为且，所以相似，所以，所以，且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C、D四点共圆时成立。
1.1 直接应用托勒密定理1．如图所示，P是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)，求证：．CA BCDE【解析】：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．1. 2 完善图形借助托勒密定理2．如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．【解析】：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．∵∠1=∠2，∴BD=CD．故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．3．证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：【解析】：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①，又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．②把②代人①，得．1.3 构造图形借助托勒密定理4．若a、b、x、y是实数，且．求证：．【解析】：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．∵．1.4 巧变原式妙构图形，借助托勒密定理5．已知a、b、c是△ABC的三边，且，求证：∠A=2∠B．分析：将变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．【解析】：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，∴∠ABD=∠BAC．又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．于是，则依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．①，而已知，即．②，比较○1○2得，，，∴∠BAC=2∠ABC ．1.5 巧变形 妙引线 借肋托勒密定理6． 设A 1A 2A 3…A 7是圆内接正七边形，求证：1A 1A 2=1A 1A 3+1A 1A 4．(1987年第二十一届全苏)分析 注意到题目中要证的是一些边长之间的关系，并且是圆内接多边形，当然存在圆内接四边形，从而可以考虑用Ptolemy 定理． 证明 连A 1A 5，A 3A 5，并设A 1A 2=a ，A 1A 3=b ，A 1A 4=c ．本题即证1a =1b +1c．在圆内接四边形A 1A 3A 4A 5中，有A 3A 4=A 4A 5=a ，A 1A 3=A 3A 5=b ，A 1A 4=A 1A 5=c ．于是有ab +ac =bc ，同除以abc ，即得1a =1b +1c说明 Ptolemy 定理揭示了圆内接四边形中线段关系，在数学中应用非常广泛． 7． 在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，求证：。
托勒密定理的证明及应用
托勒密定理的证明及应⽤托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对⾓线的积等于两组对边乘积之和！
证明过程如下，先作辅助线如下：
具体过程如下：
下⾯，我们看看使⽤托勒密定理证明两个重要其他定理：勾股定理和余弦定理（1）利⽤托勒密定理证明勾股定理如下：
具体过程为：
（2）利⽤托勒密定理证明余弦定理
具体过程如下：
是不是感觉很强⼤呢？
下⾯我们再来看看使⽤托勒密定理的其他应⽤，⽤题⽬说话吧：
题⽬⼀：
添加辅助线如下：
具体证明过程如下：
题⽬⼆：
本题直接使⽤托勒密定理，甚是简洁！
题⽬三：
附辅助线如下：。
初中几何：三大变换之旋转（旋转的构造-托勒密定理）
初中几何：三大变换之旋转（旋转的构造-托勒密定理）成才路上奥数国家级教练与四名特级教师联手执教。
成才路上推荐搜索几何变换旋转托勒密定理本篇将介绍关于旋转的内容，一个关于旋转构造的定理-托勒密定理，定理本身并非课内知识，但在近年中考中，已经不止一次地出现了，因而值得重视．01定理介绍托勒密定理定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则AC·BD=AB·CD+AD·BC．定理证明证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，易证△AEB∽△ADC，∴AB:AC=BE:CD，即AC·BE=AB·CD，当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，易证△ABC∽△AED，∴AD:AC=DE:CB，即AC·DE=AD·BC，∴AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC，∴AC·BD=AB·CD+AD·BC．定理推广-托勒密不等式推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，AC·BD≤AB·CD+AD·BC证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，易证△ABE∽△ACD，∴AB:AC=BE:CD，即AC·BE=AB·CD①，连接DE，如图2，∵AB/AC=AE/AD，∴AB/AE=AC/AD，∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，∴△ABC∽△AED，∴AD/AC=DE/BC，即AC·DE=AD·BC②，将①+②得：AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC，∴AC·BD≤AC(BE+DE)=AB·CD+AD·BC即AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号．托勒密定理在中考题中的应用托勒密定理在中考题中的应用（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，当点D在弧AC上时，根据托勒密定理有：AC·BD=AB·CD+AD·BC，又等边△ABC有AB=AC=BC，故有结论：BD=AD+CD．证明：在BD上取点E使得DE=DA，易证△AEB∽△ADC，△AED∽△ABC，利用对应边成比例，可得：BD=AD+CD．如图2，当点D在弧BC上时，结论：DA=DB+DC．【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别．（2）当△ABC是等腰直角三角形，如图3，当点D在弧BC上时，根据托勒密定理：AD·BC=AB·CD+AC·BD，又AB:AC:BC=1:1:根号2，代入可得结论：根号2AD=BD+CD．如图4，当点 D在弧AC上时，根据托勒密定理：AD·BC=AB·CD+AC·BD，又AB:AC:BC=1:1:根号2，代入可得结论：BD=根号2AD+CD．（3）当△ABC是一般三角形时，若记BC：AC：AB=a：b：c，根据托勒密定理可得：a·AD=b·BD+c·CD．02中考题中的托勒密定理2019仙桃中考2019威海中考2017临沂中考2016淮安中考来源：有一点数学，作者：刘岳。
平面几何3--托勒密定理及应用
平面几何（3）----托勒密定理及应用托勒密定理：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ⋅∠=⋅∠+⋅∠推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O ，则sin sin sin sin sin sin ADC BAD ABD BDC ADB DBC ∠⋅∠=∠⋅∠+∠⋅∠直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排序的四点，则AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅四边形中的托勒密定理：设ABCD 为任意凸四边形，则,AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号托勒密定理的逆定理： 在凸四边形ABCD 中，若AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅，则A ，B ，C ，D 四点共圆例1：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 的大小成等比数列，且22b a ac -=，则角B 的弧度数等于多少？例2：凸四边形ABCD 中，60,90o o ABC BAD BCD ∠=∠=∠=，AB=2，CD=1，对角线AC ，BD 交于点O ，如图，求sin AOB ∠例3：如图，在锐角ABC 的BC 边上有两点E ，F ，满足,BAE CAF ∠=∠作FM AB ⊥于M ，FN AC ⊥于N ，延长AE 交ABC 的外接圆于点D ，证明：四边形AMDN 与ABC 的面积相等.例4：如图，在ABC 中，60o A ∠=，,AB AC >点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM=CN ，求MH NH OH+的值例5：若有四个圆都与第五个圆内切，第一个与第二个圆的外公切线长用12l 表示，其他前四个圆中的两两的外公切线也用同样的方法来标记，且前四个圆以顺时针的顺序排列，试证明依次以12233441,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线所构成的凸四边的四个顶点共圆.例6：经过XOY ∠的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P,Q ，求证：11OP OQ+为定值例7：圆内接六边形ABCDEF 的对角线共点的充要条件是1AB CD EF BC DE FA ⋅⋅=。
托勒密定理逆定理同样成立一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接圆。
CD ·OBA EP圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则： 一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP ∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
如图，连接OB 、OD 则∠A=21β，∠C=21α ∵α+β=360°∴∠A+∠C=21×360°=180°同理得∠B+∠D=180°（也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。
设圆内接四边形ABCD证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°连接BO 并延长，交⊙O 于E 。
连接AE 、CE 。
则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180°∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°∵∠DAE=∠DCE （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）【证明】方法三：利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC 、BD ，将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等）∴∠1+∠2+∠5+∠6=21×360°=180°∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明如图，求证：∠DCE=∠BAD ∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°）∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴∠DCE=∠BAD三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：△BCP ∽△ADP ，△ABP ∽△DCP证明： ∵∠CBP=∠DAP ，∠BCP=∠ADP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
托勒密定理的六种证明方法
托勒密定理又称“托勒密三角形定理”，是古希腊数学家托勒密于公元前三世纪提出的定理，它说明了三角形内每条边和两条对角线的长度的平方的和等于斜边的平方。
托勒密定理的表述可以简写为：
a^2 +b^2 =c^2
已知a和b两边，求c斜边。
（1）倒推方法
这是最常见也是最简单的证明方法，首先假设三角形AB和C三边的长度分别为a，b 和c，则可以推而出：
然后利用勾股定理，在ABC中，用勾股定理求出斜边的平方可以符合上述公式推导出结果c^2=a^2+b^2.
（2）极坐标方法
极坐标角的余弦定理为：
cos^2α +cos^2β =1
如用该定理来证明托勒密定理，假设三角形AB和C的三边分别为a、b和c，斜角为α和β，其方程可为：
a=c*cosα
b=c*cosβ
(a/c)^2+(b/c)^2=1
（3）海伦定理方法
海伦定理认为：对任意三角形，斜边长的平方总是等于最长边减去其余两边后，和最短边增加其余两边后，乘积的两倍。
a+b=c
根据海伦定理，则有：
c^2=(a+b)*(a+b-2*b)=a^2+b^2
（4）三角形面积法
假设ABC的三边分别为a，b，c，使用三角形面积计算方法，则有：
S=bc*cosA/2
(bc*sinA)^2/2=(bc*(2S/bc))^2/2=(2S)^2/2
经过简化，有：
（5）变形法
假设ABC的三边分别为a，b，c，可以把ABC的角A改变成AC与BC的夹角，表示为A，此时可以把三角形ABC变形为直角三角形ACB，由直角三角形的定理可以得出：
AC^2=AB^2+BC^2
即：
（6）向量方法
假设ABC三角形中，CA向量为u，AB向量为v，则向量u*v等于|u|*|v|*cosA，得：
|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2|u|*|v|*cosA
结合数学关系（|u|=a，|v|=b，|u+v|=c），则有：
所以，由A+B=180°可求得cosA=-1，所以：。