求不规则四边形面积的两种方法-
五年级上册数学教案-《不规则图形的面积》人教新课标(2023秋)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了不规则图形面积的基本概念、计算方法和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.在实践活动环节，学生们分组讨论并动手操作，积极参与。我发现他们在操作过程中，不仅巩固了所学知识，还学会了与他人合作、交流。这种形式的活动有助于提高学生的动手能力和团队协作能力。
3.学生小组讨论环节，大家提出了很多有关不规则图形面积在实际生活中应用的想法。这表明他们在思考问题时能够联系实际，将所学知识运用到生活场景中。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调拼凑法和分割法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解如何将不规则图形转化为可求解的规则图形。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与不规则图形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过剪贴纸片，让学生动手拼凑和分割图形，亲身体验求解不规则图形面积的过程。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握拼凑法、分割法求解不规则图形面积的方法；
（2）运用规则图形面积公式计算组合图形的面积；
（3）将所学知识应用于解决实际问题，如土地测量、房间装修等。
举例解释：
（1）拼凑法：如将一个不规则的三角形拼凑成一个矩形和一个梯形，进而求解面积；
（2）分割法：如将一个不规则的四边形分割成两个三角形和一个矩形，分别求解面积后相加；
华罗庚学校数学课本(5年级下册)第02讲 不规则图形面积的计算(二)
第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。
例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。
解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE ＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。
解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。
例4 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。
分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.＝（157-7）×2÷20=15（厘米）。
《多边形的面积》知识点汇总
《多边形的面积》知识点汇总多边形是由多条直线边界围成的平面图形，它的面积是计算多边形所包围的区域的大小。
计算多边形的面积是几何学中的基本问题之一、本文将汇总多边形的面积的相关知识点。
1.常见多边形的面积公式：- 三角形的面积公式：设三角形的底为b，高为h，则三角形的面积S = (1/2)bh。
-正方形的面积公式：设正方形的边长为a，则正方形的面积S=a^2 - 长方形的面积公式：设长方形的长为a，宽为b，则长方形的面积S = ab。
- 平行四边形的面积公式：设平行四边形的底为b，高为h，则平行四边形的面积S = bh。
2.多边形的面积计算方法：-多边形的面积可以通过将其分割成多个三角形或梯形等已知形状的图形，然后计算每个图形的面积，最后将其求和来计算得到。
这种方法被称为分割法。
-另一种计算多边形面积的方法是使用矢量叉积。
将多边形的顶点按照一定的顺序连接起来，形成一个封闭的环。
然后通过顶点的坐标计算矢量叉积，并求和，最后取绝对值得到多边形的面积。
3.正多边形的面积公式：- 正n边形（n-gon）是指边数为n，所有边的长度和内角都相等的多边形。
正n边形的面积可以用公式S = (n * a^2) / (4 * tan(π/n))来计算，其中a为边长。
- 特殊地，正三角形的面积公式为S = (a^2 * sqrt(3)) / 4，其中a为边长；正六边形的面积公式为S = (3 * a^2 * sqrt(3)) / 24.不规则多边形的面积计算方法：-对于不规则多边形，可以将其分割成多个三角形或梯形等已知形状的图形，然后计算每个图形的面积，最后将其求和来计算得到多边形的面积。
-另一种方法是使用格林公式（也称为叉积公式），通过计算多边形顶点的坐标来计算面积。
5.使用数学软件计算多边形的面积：- 使用数学软件如MATLAB、Python的NumPy库等可以更方便地计算多边形的面积。
这些软件提供了各种几何计算的函数和库，可以直接调用相应函数计算多边形的面积。
海伦公式任意四边形的面积公式
海伦公式，又称为海伦-秦九韶公式，是用来计算任意四边形面积的公式。
通过该公式，我们可以不受限制地计算不规则四边形的面积，而不仅仅局限于矩形或者平行四边形。
下面，我们将介绍海伦公式的推导方法以及具体的计算步骤。
一、海伦公式的推导1.1 海伦公式的由来海伦公式得名于古希腊数学家海伦（约公元前300年）。
海伦在《几何原本》一书中首次提出了该公式。
而后，我国唐代数学家秦九韶也独立地发现了这一公式，因此有时也称为海伦-秦九韶公式。
1.2 海伦公式的原理海伦公式是基于海伦公式面积公式，即√[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
其中，a、b、c为四边形的三条边长，s为四边形半周长。
1.3 海伦公式推导步骤（1）根据四边形的坐标计算出四条边的长度。
（2）根据四边形的边长计算出四边形的半周长s。
（3）代入海伦公式面积公式，即可计算出四边形的面积。
二、海伦公式的具体计算步骤2.1 计算四边形边长我们需要根据四边形的坐标计算出四条边的长度。
假设四边形的顶点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），则四条边的长度分别为AB、BC、CD、DA。
根据两点间距离公式可得：AB = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]BC = √[(x3-x2)^2 + (y3-y2)^2]CD = √[(x4-x3)^2 + (y4-y3)^2]DA = √[(x1-x4)^2 + (y1-y4)^2]2.2 计算四边形半周长四边形的半周长s可以通过四条边的长度计算得出：s = (AB + BC + CD + DA) / 22.3 代入海伦公式将四边形的半周长s代入海伦公式面积公式，即可得出四边形的面积：S = √[s(s-AB)(s-BC)(s-CD)(s-DA)]海伦公式是一种用来计算任意四边形面积的公式。
通过计算四边形的边长、半周长，再代入海伦公式，我们可以轻松地得出四边形的面积。
这种方法在数学和实际问题中有着广泛的应用，能够解决各种不规则四边形面积的计算问题。
不规则矩形面积计算
不规则矩形面积计算
不规则矩形面积计算是一项重要的几何计算技能。
不规则矩形是一种四边形，其中相邻两边长度不同，且对角线长度不相等。
计算不规则矩形的面积需要测量其两条对角线的长度，然后将其乘以一半。
这个公式可以表示为：面积 = 1/2 ×对角线1 ×对角线2。
在实际应用中，可以使用直尺或测量仪等工具来测量不规则矩形的对角线长度，然后应用公式计算出面积。
掌握不规则矩形面积计算技能对于许多领域非常重要，如建筑和土木工程等。
- 1 -。
北师大版小学数学五年级上册《不规则图形面积的估算》知识点讲解突破
不规则图形面积的估算知识精讲1.认识不规则图形像树叶、手掌等形状的图形，既不是长方形、正方形、三角形、平行四边形等基本图形，也不能通过分割、添补成基本图形，就叫作不规则图形。
2.不规则图形面积的估算方法不规则图形的面积无法直接利用面积公式计算，也难以直接运用计算组合图形面积的方法计算，一般通过一些特殊的方法估算。
方法1：利用数方格法估算。
将需要估算面积的图形放在方格纸中，将图形所占所有方格代表的面积相加，大约就是不规则图形的面积。
数方格时，占满1格记1格，占半格记作0.5格；对于大于半格和小于半格的部分，可以有不同的计数方法，如可以将大于半格和小于半格的合在一起，记作1格，也可以简化处理，将大于半格的记作1格，不满半格的记作0。
如估算下面树叶的面积，可以先数出占满格的有18个，超过半格的有11个，不满半格的有7个，所以这片树叶的面积大约是29平方厘米。
方法2：看作基本图形估算。
根据图形的特点，把不规则图形看作一个或几个基本图形，利用面积公式估算其面积。
仍以上面的树叶为例，也可以将其近似看作一个平行四边形，底是5个小方格的边长，高是6个小方格的边长，根据平行四边形的面积公式，可知该树叶的面积大约是5×6=30（cm2）。
名师点睛数方格估算面积时，方格分割越细越精确用数方格法估算不规则图形的面积时，方格分割越细，分的格子就越多，无法准确计算的图形面积就越少，因此估算出的面积就越准确。
典型例题例1：下图中每个小方格的面积都是1dm2，请你估算图中阴影部分的面积。
解析：可以利用数方格法估计。
满格的有10格，超过半格的有4格，不满半格的有1格，所以阴影部分的面积大约为14dm2。
答案：14dm2。
例2：下图中每个小方格的面积是1cm²，阴影部分的面积大约是多少平方厘米？解析：可以把阴影部分近似看成一个长方形（如下图），长是8cm，宽是4cm，因此阴影部分的面积大约是8×4=32（cm²）。
求不规则面积的数学方法
求不规则面积的数学方法一、分割法。
1.1 原理阐述。
求不规则面积的时候啊，分割法是个挺不错的法子。
就是把那个不规则的图形啊，分割成咱们熟悉的图形，像三角形、长方形、正方形啥的。
这就好比把一个大难题啊，拆成一个个小问题，各个击破嘛。
就拿一块奇形怪状的地来说，咱们可以想象着用几条线把它切成几块规整的形状，就像切蛋糕似的。
1.2 实际例子。
比如说有个不规则的多边形，看着乱得很。
咱们仔细瞅瞅，从几个合适的点连线，把它分成了三个三角形和一个长方形。
三角形的面积公式咱都知道，底乘高除以二嘛，长方形面积就是长乘宽。
把这几个小图形的面积都算出来，然后一加，这个不规则多边形的面积就出来了。
这就像是把一群散兵游勇，按照不同的队伍编排好，再把每个队伍的人数一加，总数就清楚了。
二、填补法。
2.1 原理剖析。
填补法呢，和分割法有点相反。
要是遇到个不规则的图形，咱就想办法给它补上一块或者几块，让它变成一个咱们能轻松算面积的规则图形。
这就好比一个人衣服破了个洞，咱们补上一块布，让它完整起来。
等算出这个完整的规则图形的面积之后呢，再把咱们补上的那部分面积减掉，剩下的就是原来不规则图形的面积了。
2.2 举例说明。
就像有个图形，缺了一角，看着像个残缺不全的正方形。
咱们就给它补上那缺的一角，让它变成一个完整的正方形。
先算出这个正方形的面积，然后再算出补上的小三角形的面积。
正方形面积减去三角形面积，得嘞，原来那个不规则图形的面积就到手了。
这就像先把一个不完整的东西补全，再把多出来的部分去掉，就得到原本的东西了。
三、方格纸估算。
3.1 操作方法。
方格纸估算这个方法也很实用。
把这个不规则的图形画在方格纸上，每个方格的大小是一样的。
然后咱们就数这个图形占了多少个方格。
对于那些不满一格的，咱们就大概估算一下，是半格呢还是三分之一格之类的。
这就有点像咱们过日子，有时候大概估摸一下东西的数量。
3.2 实际操作。
比如说有个不规则的树叶形状的图形画在方格纸上。
小学三年级下册数学“求图形面积”的10种方法,考试必考题型
小学三年级下册数学“求图形面积”的10种方法，考试必考题型！实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
先看三道例题感受一下例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是12厘米.解：S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
一句话：阴影部分面积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。
常用的基本方法有：一、相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如：求下图整个图形的面积一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积二、相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如：下图，求阴影部分的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求不规则四边形面积的两种方法
面积问题是初中数学的重要内容之一，解决面积问题的方法灵活，技巧性较强。
本文
介绍利用转化思想求不规则四边形面积的方法。
一. 作辅助线转化，化不规则四边形为规则图形
1. 作对角线，化四边形为三角形
例1. 如图1所示，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别是3、4、
12和3，∠=ABC 90°，求四边形ABCD 的面积。
图1
解析：考虑到∠B 为直角，连结AC ，则
又由勾股定理的逆定理知，AC CD AD ACD 222222
51213+=+==∆为直角
三角形。
所以S S S ABC ACD =+∆∆
例2. 如图2所示，在矩形ABCD 中，△AMD 的面积为15，△BCN 的面积为20，则
四边形MFNE 的面积为_______________。
图2
解析：连结EF ，将四边形面积转化为两三角形面积之和。
由等积变化知，△EFM 与
△AMD 面积相等，△EFN 与△BCN 面积相等。
故所求面积为15+20=35。
2. 通过“割补”，化不规则四边形为规则图形
例3. 如图3所示，△ABC 中，AB=AC=2，∠=A 90°，D 是BC 中点，过D 作DE DF ⊥，则四边形AEDF 的面积为________________。
图3
解析：过中点D 作DG AB DH AC ⊥⊥，，则DG 、DH 是△ABC 的中位线，
∆∆DEG DFH ≅，即将△DFH 割下补在△DEG 处，于是所求面积转化为边长为1的正方
形AGDH 的面积，得1。
二. 引入未知量转化，变几何问题为代数问题
1. 引入字母常量计算面积
例4. 如图4所示，正方形ABCD 的面积为1，AE=EB ，DH=2AH ，CG=3DG ，BF=4FC ，
则四边形EFGH 的面积是______________。
图4
解析：考虑到图中线段倍数关系多，设最短线段CF 的长为m ，则正方形边长为5m ，
面积为()512m =。
2. 引入未知量，把求面积转化为解方程（组）
例5. 如图5所示，D 、E 分别是△ABC 的AC 、AB 边上的点，BD 、CE 相交于点O ，
若S S S OCD OBE OBC ∆∆∆===234，，，那么S ADOE 四边形=_____________。
图5
解：连结OA ，设△AOE 、△AOD 的面积分别为x 、y ，由“等高的三角形面积比等
于底的比”有
所以S x y ADOE 四边形=+=395
.
仅供个人参考
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forsch ung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文。