非线性边值问题的一些解法郭柏灵译
(第2章 非线性方程与方程组的数值解法) 1
方程的有根区间为 [1.3,1.4].
f ' ( x) 3x 2 1 0, x [1.3,1.4]
又 即 f ( x) 0在 [1.3,1.4] 有唯一根。
9
二、二分法 求根
用二分法(将区间平分)求解。
令 a1 a, b1 b, c1 1 2 (a1 b1 ) 若 f (a1 ) f (c1 ) 0 ，则 [a1 , c1 ] 为有根区间， 否则 [c1 , b1 ] 为有根区间 记新的有根区间为 [a2 , b2 ] ， 则
1 取 x cn (an bn ) 2
n
n
* x 为 的近似值。
12
求方程f(x)=0的根的二分法算法
(1) 输入 : 有根区间[a, b] 的a, b值及精度控制量 ;
(2) if f (a ) f (b) 0 then 返回第 1步, 重新输入a, b值 else 转第3步;
2) while | b1 a1 | 时做
0
(二分法求根)
1 1 x (a1 b1 );计算f ( x ); 2
14
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
20 30 if if f ( x ) 0转(3); f ( a1 ) f ( x ) 0 then else endwhile; h 3)输出 : x; a1 x ; b1 a1 h; 10 endwhile;
第2章
非线性方程与方程组 的数值解法
1
本章的两类问题
本章重点介绍求解非线性方程 f ( x) 0的几种常见和有 效的数值方法，同时也对非线性方程组
fi ( x1, x2 ,, xn ) 0
非线性方程的五种解法
1、问题描述用五种不同的方法解方程x-s-ulog10(x)=0，令s=1，u=2；则原方程变为x-1-2*log10(x)=0。
2、计算机性能配置描述I5 处理器、主频2.4GHz 、内存2GB、双核3、处理方法与结果分析Ⅰ、牛顿法算法描述：⒈迭代公式：x n+1=x n-f(x n)/f′(x n)反复做一下操作：⒉计算x1处的函数值为f1，导数值为f2⒊若f2=0,则显示导数为零的信息，break⒋x2=x1-f1/f2,k=k+1,err=│x2-x1│⒌若err<eps，则输入近似根x2与迭代次数k，break⒍若k=n,则显示迭代次数超限的信息，break设置精度eps=10^(-8)、设置最大迭代次数n=100。
当初始值x1=100时，方程的根root=1.00000000、花费时间timecost=8.4840s结果分析：牛顿迭代法的收敛特性依赖于初始值x1的选择。
另外，牛顿法需要求导，这无疑限制牛顿法的使用范围。
结果精度相对较高。
Ⅱ、弦截法算法描述：⒈迭代公式：x n+1=x n-f(x n)*( x n-x1)/(f(x n)-f(x1))⒉计算x1处的函数值为3.5，x2处的函数值为2反复做一下操作：⒊x k+1=x k-f(x k)*( x k-x1)/(f(x k)-f(x1))，k=k+1⒋若│x2-x1│<eps，则输出近似根x k+1，break⒌若k=n,则显示迭代次数超限的信息，break设置精度eps=10^(-8)、设置最大迭代次数n=100。
当初始值x(1) =3.5,x(2)=2时，方程的根root=1.000000026、花费时间timecost=118.0630s结果分析：不需要计算导数，但是收敛速度比较慢。
所求根的精度不是很高。
Ⅲ、快速弦截法算法描述：⒈迭代公式：x n+1=x n-f(x n)*( x n-x n-1)/(f(x n)-f(x n-1))⒉计算x1处的函数值为3.5，x2处的函数值为2反复做一下操作：⒊x3=x3-f( x2-x1)/(f(2)-f(1))，k=k+1⒋若│x3-x2│<eps，则输出近似根x3，break⒌若k=n,则显示迭代次数超限的信息，break算法描述：⒈迭代公式：x n+1=x n-f(x n)/f′(x n)⒉计算x1处的函数值为f1，导数值为f2⒊若f2=0,则显示导数为零的信息，break⒋x2=x1-f1/f2,k=k+1,err=│x2-x1│⒌若err<eps，则输入近似根x2与迭代次数k，break⒍若k=n,则显示迭代次数超限的信息，break设置精度eps=10^(-8)、设置最大迭代次数n=100。
数值分析第七章 非线性方程与方程组的数值解法0607)
一、二分法
3. 二分法的一个例题
例2 求x3 x 1 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到
小数点后2位.
k ak
bk
xk
f(xk)符号
0 1.0
1.5
1.25
−
1 1.25
1.375
+
2
1.375 1.3125
−
3 1.3125
1.3438
+
4
1.3438 1.3281
+
5
1.3281 1.3203
续，并且
(x*) (x*) ( p1) (x*) 0， ( p) (x*) 0,
只要相邻两次 计算结果的偏
|
xk
x* |
Lk 1 L
|
x1
x0
|
.
(2.5)
差足够小即可
保证近似值xk 具有足够精度
|
xk
x* |
1 1 L
|
xk 1
xk
|
.
(2.6)
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 局部收敛性
- 定义1 设(x)有不动点x*，若对任意x0∈{ x*
的某个邻域R}，迭代公式(2.2)产生的序列 {xk}∈R，且收敛到x*，则称迭代法(2.2)局部 收敛.
2). 存在正数L<1，使对任意x,y∈[a, b]都有
| (x) ( y) | L | x y |;
则(x)在[a, b]上存在唯一的不动点x*.
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 全局收敛的充分条件
- 定理2 设(x) 满足定理1中两条件，则对任意
x0∈[a, b]，迭代法收敛，并有误差估计式
第五章 非线性方程的数值解法 例题精
x3 1.365230014 x11 1.365137821 x4 1.365230013 x29 1.365230013
例1 用Newton迭代法 求方程 x- sinx = 0.5 在[1 ,2 ] 上的根 ， 使其精确到 10 –4 解 ： f(x) = x- sin x – 0.5 f(1)= -0.34 <0 f(2)=0.591 >0 f ′ (x) = 1-cosx ≠ 0 , f 〞 (x) = sin x >0 满足条件 迭代公式 X k+1= xk - ( xk- sinxk – 0.5 )/ ( 1-cos xk) 取 x 0 =2 ( f 〞( x 0) f(x0) >0 ) 可求出 x 1 =1.5829 x 2 =1.5009 x 3 =1.4973 x 4 =1.4973 迭代4次就达到精度要求
例题：（宫老师课件）
书P23，式(2-10)
用牛顿法求 f ( x) x cos x 0 的近似解。 解：
x cos x 0 由零点定理 在 (0, ) 有根。 2 由 f ( x) 1 sinx 及牛顿迭代公式得：
xn cos xn xn 1 xn 1 sin xn
例1：用二分法求方程 x x 1 0在区间 [1, 1.5] 上的 根，误差限为 102 ，问至少需对分多少次？
3
解：
书P15例1，式(2-5)
a 1, b 1.5， 102 ;
ln(b a ) ln n 1 ln 2
ln(1.5 1) ln10 1 ln 2
而 (1) 3 2 1， (2) 3 3 2
即 (1), (2) [1,2] ，所以 ( x ) 满足条件（1）
非线性两点边值问题的反插值Volterra型积分方程解法
许多文献都讨论过系统 （） １ 的解 的存在唯一性 问题［ 】对于系统 （）的数值解 的研究 ， １ ， １ 宋兴光做 了一定探 讨 ， 但其 数值结果却不 尽详 尽或令人 满 意 ［ ． 文 对 问题 （）的解 的存 在 性 与 数 值 结 果 都 ６本 】 １ 有 详 尽讨 论 ， 有较好 的结果 ． 并 考虑与系统（） Ｉ 相对应的初值问题如下 ： ｆＩｔ Ｉ ）＝ｆ ， ，） ０≤ ｔ ｂ Ｕ（ （ ｕｔ， ≤
中 图分 类 号 ：２ １８ Ｏ ４ ．３ 文 献 标识 码 ： Ａ
Ｏ 引 言
我们 首先 描述 二阶非线 性常 微分 方 程 的两 点边
值 问题 的一般形 式 ： ｆ （ ）＝ ¨ ， ￡ ， ｔ ， ） ０≤ ｔ≤ ｂ
ｎ个 方程 ， ｒ （ ）＝ ｕ ， ｔ ｔ ， ）
其中，
｛（） ｕ口 ＝口
Ｌ （ ）＝ 口
（ ２ ）
） ） ㈡， ＝
撕㈩ （ ＝
这里 定 义 ，
其 中 ， 待定 ．
） ．
由此 ， 系统 （） 化 为 寻 求 恰 当 的 ， 得 （） １转 使 ２
式 的解 Ｕ ｔ ） 足 ， （； 满 （； ｂ 口）＝ ．
文章编号： ０ １ ４—５２ （０ ０ ０ —０ ２ —０ ０ ４ ２ ２ １ ）２ １０ ４
非 线 性 两 点 边 值 问题 的 反 插 值 Ｖ ｌｒ ｏ ｅｒ 积 分 方 程 解 法 ｔ ａ型
付 宇ｋ ，肖继红 涛 ，吕
（． １四川大学 数 学学院，四川 成都 摘 ６０６ ； ． １０４ ２ 四川理工 学院 理 学院 ， 四川 自贡 ６ ３０ ） ４０ ０
∑ Ｆ ，） ＝ ， ｉ ， 凡 （ ， ｏ ． …，；＝ｌ 『 …，
计算声学第三章非线性方程的数值解法
03
迭代法求解非线性方程
迭代法的基本思想
01
构造迭代公式
将非线性方程转化为等价的迭代 公式，通过迭代逐步逼近方程的 解。
初始值选择
02
03
迭代终止条件
选择合适的初始值作为迭代的起 点，影响迭代过程的收敛速度和 结果。
设定合适的终止条件，当迭代结 果满足条件时停止迭代，得到近 似解。
迭代法的收敛性与误差分析
在实际应用中，还需要考虑数值稳 定性和计算效率等问题，选择合适 的算法和参数设置。
05
拟牛顿法及其应用
拟牛顿法的基本思想
构造近似Hessian矩阵
拟牛顿法通过迭代过程中梯度信息的变化，构造一个近似于真实Hessian矩阵的对称正定矩阵， 用于指导搜索方向。
无需显式计算Hessian矩阵
与牛顿法相比，拟牛顿法无需显式计算目标函数的Hessian矩阵，从而降低了计算的复杂性和存 储需求。
在实际应用中，声学问题往 往与其他物理场（如热场、 电场等）相互耦合。如何有 效地求解这类多物理场耦合 问题，是计算声学领域面临 的一个重要挑战。
不确定性与鲁棒 性分析
在实际声学系统中，往往存 在各种不确定因素（如材料 参数的不确定性、边界条件 的不确定性等）。如何对这 些不确定性进行建模和分析 ，提高计算结果的鲁棒性， 是另一个需要关注的问题。
收敛性定理
根据收敛性定理判断迭代法是否收敛，如全局收敛性、 局部收敛性等。
收敛速度
分析迭代法的收敛速度，如线性收敛、超线性收敛、 二次收敛等。
误差估计
对迭代法的误差进行估计，包括截断误差、舍入误差 等。
常见的迭代法及其改进
简单迭代法
最基础的迭代法，通过直接代入迭代公式进 行计算。
8第四章 非线性方程的数值解法根的隔离
y
y=f(x)
a b x
由此可大体确定根所在子区间，
记笔记
画图法
• 画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的
大致位置。
• 也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式，1(x) 与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为 含根 区间。 例如 xlogx-1= 0 可以改写为logx=1/x
为（x ) 0的 正 根 3
N3
1 N3
定 理4 .3设 有n次 多 项 式 ( x ), 首 项 系 数 0 0, f a ( x ) f ( n ) ( x )都 取 正 值 ， 若 当x c时 ，f ( x ), f 则 数 是 ( x )的 正 根 上 界 。 f
例4.5 f ( x) x 2 x 5 x 8 x 7 x 3
5 4 3 2
4.1.3实根的个数
函数列的符号变更系数 ：设有函数列f 0 ( x), f1 ( x),, f n ( x). 当x c时，得数列f 0 (c), f1 (c), , f n (c), 我们称此数列的符号 的变更次数为函数列在x c处变号次数。 记 Vc V f 0 (c), f1 (c), , f n (c)
( x) 3 x 5 7 x 4 8 x 3 5 x 2 2 x 1
k2
B8
B 8 1 2 1 a0 3
8 3 1 8 3
( x ) 0的 正 根 的 上 界 为 1
f ( x ) 0的 正 根 的 下 界 为 1
非线性方程组的数值解法共30页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
非线性方程组的数值解法
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
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非线性边值问题的一些解法郭柏灵译
把一个问题分解成一系列子问题，求解每个子问题的最优解，从而得到原问题的最优解这便是一个典型的非线性边值问题(Nonlinear Boundary-Value Problem,NBVP)。
线性边值问题是数学
建模、实际应用中常见的一类问题，它可以用来模拟复杂的系统或进行优化计算。
线性边值问题的求解通常是一个比较困难的问题，人们对它提出了不同的解法。
中，郭柏灵(Bo-Ling Guo)提出的一些解法
受到了广泛的关注，这里我们就来简要介绍一下它们。
首先，郭柏灵引入了解耦的理念，将非线性边值问题分解成一系列线性边值问题。
将子问题的解分解成一系列解矢量，再求得每一步的最优解，最终得到整个非线性边值问题的最优解。
这种求解方法能够节省计算量，同时也能够充分发挥算法的优势。
同时，郭柏灵还提出了一种基于缩减系数的算法，利用反问题历史信息和反问题特征信息，可以有效地暗示反问题的特征，从而减少非线性边值问题的计算量。
此外，郭柏灵还提出了一种基于梯度信息的算法，将NBVP问题
抽象为一个非凸优化问题，然后利用梯度信息来求解。
这种算法在求解复杂的NBVP问题上具有出色的性能，能够极大地减少计算量，同
时也能够得到一个比较准确的结果。
最后，郭柏灵还提出了一种基于多种优化方法的综合算法，综合算法把子问题分为线性和非线性优化问题，并尽可能利用反问题信息，从而达到更好的求解效果。
总而言之，郭柏灵提出的一些解法，大大改善了非线性边值问题求解的效率，受到了广泛的关注和应用。
在实际应用中，这些解法可以有效地解决实际问题，帮助我们更好地探索解决问题的思路，朝着更高效的求解方向不断前进。
因此，郭柏灵提出的非线性边值问题求解算法具有重要的工程实用价值，值得我们深入研究。
我们认为，在研究非线性边值问题求解算法方面，仍然有很多改进的空间，例如用更高效的方法设计差分处理、优化梯度算法等。
同时也希望有更多的研究者能够从郭柏灵的研究经验中受益，探索出更多的非线性边值问题求解算法，从而为我们解决实际应用问题提供帮助。
综上所述，非线性边值问题求解是一个比较困难的问题，郭柏灵提出的一些解法大大改善了这一问题的求解效率，受到了广泛的关注和应用，带来了许多实际的效用。
我们仍有很大的改进空间，未来我们还可以继续探索更高效的非线性边值问题求解算法，从而为我们解决实际应用的问题提供帮助。