非线性边值问题的一些解法郭柏灵译
计算非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧方法的开题报告
计算非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧方法的开题报告一、选题背景及意义非线性椭圆型方程广泛地应用于工程、物理学及数学等领域，其中具有二价性质的方程在一定的条件下存在多个解。
研究非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧方法，除了具有重要的理论意义外，还有着实际的应用价值，如在出现多解现象时，可通过分歧方法找到其中稳定的解，为实际问题的研究提供了有力的工具。
因此，本课题具有深远的理论和实际意义。
二、研究现状及进展针对非线性椭圆型方程多解分歧问题的研究已经有了一定的成果，其中最为经典的是Ren和Wei在1988年提出的分支追踪法，相继出现的有Ruelle-Takens分歧理论及其相应的算法、中心流形理论、Hopf分支理论等，这些方法在实际问题中已得到广泛的应用，取得了不少的成果。
然而，由于方程的非线性本性和边界的不规则性，使得定理的条件与假设往往非常苛刻，因此在研究实际问题时还需要针对具体情况加以改进和拓展。
近年来，研究者们陆续提出了基于变分框架、拓扑度量等方法进行多解分歧分析的新思路和新方法，并取得了一定的进展。
三、研究内容本论文将结合分歧理论、变分计算和数值计算，并基于内蕴变分的思想和拓扑度量的方法，研究非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧结构，重点研究其极限行为和奇异集的性质，进而确定其稳定解。
具体研究内容如下：1. 推导非线性椭圆型方程的内蕴变分结构，并通过高阶Sobolev空间中的Schauder估计证明其变分问题的弱解的存在性和唯一性。
2. 建立非线性椭圆型方程多解的分歧结构，研究其极限行为和奇异集的性质。
3. 基于拓扑度量的方法，发展新的数值算法和计算技术，将其应用于具体问题的研究中。
4. 计算和比较已有理论和本文提出的方法对非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧结构进行数值验证。
四、研究方案1. 熟悉分歧理论、变分计算等多解分析技术，深入研究非线性椭圆型方程边值问题。
2. 推导非线性椭圆型方程的内蕴变分结构，讨论其弱解的存在性和唯一性，进而建立其多解分歧结构。
monge—ampére方程边值问题的多解
monge—ampére方程边值问题的多解Monge—Ampère方程是一个非线性偏微分方程，常用于描述凸函数的性质。
它的边值问题是一个经典的数学问题，研究了其中的多解性质。
在本文中，我们将探讨Monge—Ampère方程边值问题的多解性质。
首先，我们来定义Monge—Ampère方程的边值问题。
假设Ω是一个有界开集，u是定义在Ω上的一个二次连续可微函数。
我们考虑下面的非线性偏微分方程：det(D^2u) = f(x), x ∈Ω,u = g(x), x ∈∂Ω,其中D^2u是Hessian矩阵，det(D^2u)是其行列式，f(x)是已知函数，g(x)是边界条件。
这个方程描述了u的Hessian矩阵的行列式等于给定函数f(x)，同时边界上的值等于给定函数g(x)。
首先，我们考虑方程的存在性。
对于一般的函数f(x)和g(x)，Monge—Ampère方程的边值问题可能没有解。
这是由于方程的非线性性质导致的。
然而，当f(x)和g(x)满足一定的条件时，方程的解是存在的。
具体的存在性定理可以通过正则化方法证明。
接下来，我们来讨论方程的唯一性。
对于一般的函数f(x)和g(x)，Monge—Ampère方程的边值问题可能有多个解。
这是由于方程的非线性性质导致的。
事实上，我们可以构造出一些例子来说明这一点。
例如，考虑一个二维平面上的圆形区域Ω，边界条件为u(x,y) = x^2 + y^2。
我们可以选择不同的函数f(x)来满足边界条件。
对于f(x) = 4，方程的解是唯一的，即u(x,y) = x^2 + y^2。
然而，对于f(x) = 8，方程的解不再唯一。
事实上，我们可以构造出无穷多个解，如u(x,y) = x^2 + y^2 + h(x,y)，其中h(x,y)是任意的二次连续可微函数。
这个例子表明，Monge—Ampère方程边值问题可以有多个解。
非线性拟抛物型积分微分方程的初边值问题和初值问题
下 文 中 Ｃ表 广 义 常 数 ， 同地 方 可 能 有 不 同 含 义 ， Ｔ）表仅 与 了和 初 值 有 关 的 常 数 ． 不 ｃ（ １ 设 （ （ ） 是 特 征 值 问题 （ ｚ｝ ｚ）一一 （ ） 口（ Ｄ） ｚ ，Ｊ－ ＝ （ ＝ ０ ＝ １ ２ ． 的特 茌 函 Ｄ） ， ， ．． ・ 数 ， ｛ （ ｝构成 空 间 Ｌ：ｎ）的 完 备 正 交 系且 在 Ｈｊｎ）中稠 ， 在 Ｈ。ｎ）巾 的 闭 线 性 扩 张 则 ｚ） （ （ 它 （ 为 空 间 Ｈ ｎ）ｎ Ｈ ｎ）ｃ （ ． 造 问题 （ ） （ ）的 近 似解 为 ： （ （ Ｈ５ｎ） 构 １一３
方 程 ， 含 数 学 物 理 中 著 名 的 Ｂ ｎａ ｎＢ ｎ — ｏ ａ ｙＢ ｒｅｓ 方 程 为 特 倒 ， ｙ ０ 而 ＾ 它 ｅｊｍｉ－ ｏ ａＭ ｈ ｎ — ｕｇ ｒ 型 当 一 ， ≠ ０时 ， 程 （ ） 为 描述 粘 性 介 质 中 声 波 传 播 的模 型方 程 或 模 拟 热流 的运 动方 程 ． 方 １成 我 们 考 虑 方 程 （ ） 初边 值 问题 １的
向为 非 线性 偏微 分 方 程理 论厦 应 用 ．
ｉ— 曩隧珊 ｉｊ
百 ■— ＿
维普资讯
第 ｌ期
尚亚 东等 ： 线性 拟 撒物 型积 分微 分方 程 的初 边值 问 题 和初值 问 题 非
垂 ｌ
以下 用 ｎ 表 示 区 间 ［ Ｄ ， （ 初 边 值 问 题 或 周期 初 值 问 题 ）或 Ｒ ＝ （ 。 ， 呻 对 初 一 Ｄ］ 对 － ｏ ＋ 值 问 题 ）空 间 和 范数 的记 号 与 通 常意 义 相 同 ． 方 便 起 见 ， 取 ７＝ １ ， 为 下 ． 引 理 １ 假 定 “∈ Ｌ （ ， “∈ Ｌ ｍ ） 其 中 １ ｑ ｒ 。 ， ｎ）Ｄ ， ， ≤ ． ≤ 。ｎ
非线性常微分方程边值问题的有限解析法
非线性常微分方程边值问题的有限解析法常微分方程是一种非常重要的数学模型，可以用来描述许多物理、化学、生物、工程和经济等领域的有规律的现象。
常微分方程可分为线性和非线性两类，其中非线性常微分方程的解析解和数值解可能同时存在。
现今，许多科学研究和工程应用都依赖于解决非线性常微分方程边值问题的有效方法。
近些年来，随着计算机技术和数学模型理论的长足发展，有关解决非线性常微分方程边值问题的研究取得了显著成就，并开辟了一个全新的发展领域。
其中，有限解析法是一种有效解决非线性常微分方程边值问题的方法，其基本原理是将非线性方程通过一定的数学变换转化为线性方程组，然后应用有限元分析技术和矩阵分析技术，对其进行解析。
二、限解析法的基本思想有限解析法是一种基于矩阵分析的有限元分析方法，其基本原理是将非线性方程通过一定的数学变换转化为线性方程组，然后应用有限元分析技术和矩阵分析技术，对其进行数值求解。
该方法的基本思想是，建立一个普适的非线性偏微分方程的数值求解模型，给出此类非线性方程的通用数学表示式，并给出解决这类问题的概括性算法。
建立数值求解模型的基础是假定问题的解在一定的空间和时间范围内可以用一定的函数类型来表示，并以此建立解的数学表达式，在此基础上，对所求的数值解进行求解。
其次，在空间和时间范围内，将问题分解为有限个节点或单元，然后在这些节点或单元上求解出有限元函数系数，从而满足非线性方程及其边界条件，最后求出非线性方程的数值解。
三、限解析法的基本原理求解非线性常微分方程边值问题的有限解析法的基本原理如下：首先，建立有限解析法的数值求解模型，给出此类非线性方程的通用数学表示式，然后构造一个合适的有限元基函数，给出它在每个节点或单元上的求解矩阵，并计算出系数矩阵。
其次，根据边界条件对系数矩阵进行变换，求出特征值和特征向量，从而求出线性方程组的解。
最后，根据有限元方程的解得到非线性方程的数值解。
四、论非线性常微分方程边值问题的有限解析法是一种有效解决非线性常微分方程的方法，它的基本原理是将非线性方程通过一定的数学变换转化为线性方程组，然后应用有限元分析技术和矩阵分析技术，对其进行数值求解。
非线性微分方程三阶三点边值问题一个正解的存在性
非线性微分方程三阶三点边值问题一个正解的存在性郭丽君【摘要】格林函数在三阶三点边值问题的正解存在性理论中有着重要作用.考虑以下三阶三点边值问题其中,0＜η＜1,0＜α＜1/η,参数λ∈(0,∞).通过建立相关线性边值问题的格林函数得到解的形式,运用Guo-Krasnoselskii不动点定理建立上述边值问题至少一个正解的存在性准则.%The Green function plays an important role in the existence of positive solutions for the third-order three-point boundary value problems.In this paper,we consider the following boundary value problemwhere 0＜η ＜1,0＜α ＜1/η,and λ∈(0,∞) is a parameter.By establishing Green function for the related linear boundary value problem,the existence result of the positive solution for the problem considered is established by using Guo-Krasnoselskii fixed point theorem.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)006【总页数】5页(P846-850)【关键词】三阶三点边值问题;正解;存在性;锥;格林函数;不动点定理【作者】郭丽君【作者单位】兰州交通大学博文学院电信工程系, 甘肃兰州 730101【正文语种】中文【中图分类】O175.8三阶微分方程起源于应用数学和物理学等各种不同领域,有着广泛的应用背景和重要的理论价值.近年来,三阶三点边值问题受到了广泛的关注(见文献[1-8]).本文运用Guo-Krasnoselskii不动点理论研究了下列边值问题至少有一个正解的存在性准则其中0<η<1,0<α<1/η,参数λ∈(0,∞).值得一提的是,文献[1]讨论了当边值问题(1)和(2)中参数λ=0时的特殊情况,通过运用Leggett-Williams不动点定理得到了边值问题(1)和(2)的3个正解的存在性.但文献[1]及文献[2-8]中相关的格林函数形式较复杂,没有得到更好的性质.本文的目的是进一步研究参数λ>0时的边值问题(1)和(2)正解的存在性,构造了新的格林函数,且形式上较简单,得到了新的性质,通过运用Guo-Krasnoselskii不动点定理,在非线性项f满足一定条件的情况下得到了边值问题(1)和(2)至少一个正解的存在性准则.定理 1[9] 设E是Banach空间,K⊂E是锥.假设Ω1、Ω2是E上的有界开集且⊂Ω2,如果是全连续算子且下列条件之一满足:(i) 当u∈K∩∂Ω1时,‖Au‖≤‖u‖且当u∈K∩∂Ω2时,‖Au‖≥‖u‖,(ii) 当u∈K∩∂Ω1时,‖Au‖≥‖u‖且当u∈K∩∂Ω2时,‖Au‖≤‖u‖;则A在上至少有一个不动点.假设以下条件始终成立：(C1) f∈C([0,+∞),[0,+∞));(C2) a∈C([0,1],[0,+∞))且在[τ,1]上a(t)不恒为零,其中τ为(0,1)上的任意常数.为了得到本文的主要结果,需要以下3个重要引理.引理 1 设0<α<1/η,则对于任意给定的y∈C[0,1],边值问题(3) u(0)=u″(0)=0, u′(1)-αu(η)=λ, (4)有唯一解其中称为Green函数.证明事实上,如果u(t)是边值问题(3)和(4)的解,则可令由u(0)=u″(0)=0,可得A=C=0.再由u′(1)-αu(η)=λ,可得因此,边值问题(3)和(4)有唯一解引理成立.而在文献[1]中，当λ=0时边值问题(3)和(4)的格林函数为形式上较复杂,且没有得到以下2个有用引理.对本文格林函数(5),有如下2个引理:引理 2 对任意(t,s)∈[0,1]×[0,1],有0≤G(t,s)≤1-s.证明首先考虑0≤s≤t的情况.此时t(1-s)≤1-s.如果t≤s≤1,显然有0≤G(t,s)=t(1-s)≤1-s.因此0≤G(t,s)≤1-s, (t,s)∈[0,1]×[0,1].引理成立.引理 3 令0<η<1,0<α<1/η,则对任意(t,s)∈[τ,1]×[0,1],有G(t,s)≥γ(1-s),其中0<γ=τ/2<1,τ为(0,1)上的任意常数.证明如果0≤s≤t,则有).如果t≤s≤1,则有因此,对任意(t,s)∈[0,1]×[0,1],均有可令γ=τ/2,τ∈(0,1)为任意常数,则对任意(t,s)∈[τ,1]×[0,1]有引理成立.在本文的剩余部分总是假定0<α<1/η,参数λ>0且条件(C1)和(C2)满足.标记定理 2 假设下述条件成立：(i) f0=0且f∞=∞(超线性);或者(ii) f0=∞且f∞=0(次线性),则边值问题(1)和(2)至少存在一个正解.证明设Banach空间E=C[0,1],赋予其范数‖u‖|.令‖u‖},显然K⊂E是锥.对u∈K,t∈[0,1]定义由引理2可知,对任意t∈[0,1]都有故由引理3和(8)式可得,当t∈[τ,1]时有‖Au‖,因此这表明AK⊂K.更进一步,容易验证A:K→K是全连续的且A的不动点即为边值问题(1)和(2)的解.首先,考虑超线性情况:f0=0,f∞=∞,此时参数λ可足够小.因为f0=0,则存在H1>0,当0≤u≤H1时,有f(u)≤εu,参数λ满足且满足令Ω1={u∈E:‖u‖<H1},则当u∈K,‖u‖=H1时,由引理2及(9)式可得ε‖u‖因此由(10)式可知‖Au‖≤‖u‖, u∈K∩∂Ω1.另一方面,由于f∞=∞,则存在H2>H1,使得u≥γH2时有f(u)≥ρu,其中ρ>0且满足令Ω2={u∈E:‖u‖<H2},则当u∈K,‖u‖=H2时有u(t)≥γ‖u‖=γH2, t∈[τ,1],因此由(11)式可得γρ‖u‖‖u‖,所以‖Au‖≥‖u‖, u∈K∩∂Ω2.因此由定理1的(i)可知A有一个不动点即为边值问题(1)和(2)的正解.下面考虑对任意参数λ∈(0,∞)时的次线性情况:f0=∞,f∞=0.由于f0=∞,则存在H3>0,使得0≤u≤H3时f(u)≥Mu,其中M>0且满足则当u∈K,‖u‖=H3时,由(12)式可得Mγ‖u‖‖u‖.令Ω3={u∈E:‖u‖<H3},则‖Au‖≥‖u‖, u∈K∩∂Ω3.由于f∞=0,则存在H>0,使得u≥H时,f(u)≤μu,其中μ>0满足分以下2种情况考虑:1) 假设f是有界的,即u∈[0,∞)时,f(u)≤N.此时可令使得对任意u∈K,当‖u‖=H4时有H4, t∈[0,1],所以‖Au‖≤‖u‖.2) 如果f是无界的,可令使得则对任意u∈K,当‖u‖=H4时,由(13)和(14)式可得‖u‖, t∈[0,1],因此‖Au‖≤‖u‖.所以,无论在哪种情况下,都可令Ω4={u∈E:‖u‖<H4},则对任意u∈K∩∂Ω4,都有‖Au‖≤‖u‖.由定理1的(ii)可知,边值问题(1)和(2)至少有一个正解.定理成立.2010 MSC:34B15【相关文献】[1] SUN J P, GUO L J, PENG J G. Multiple nondecreasing positive solutions for a singular third order three point BVP[J]. Commun Appl Anal,2008,12:91-100.[2] 孙建平,张小丽. 非线性三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 西北师范大学学报(自然科学版),2012,48(3):29-31.[3] 吴红萍. 一类非线性三阶三点边值问题的多个正解[J]. 贵州大学学报(自然科学版),2014,31(2):4-6.[4] 张立新. 三阶边值问题的3个正解的存在性[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2011,34(4):466-470.[5] 孙建平,曹珂. 一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性[J]. 兰州理工大学学报(自然科学版),2010,36(2):123-124.[6] 白婧,李永祥. 含一阶导数项的三阶周期边值问题解的存在性[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2015,38(6):834-837.[7] 张立新,孙博,张洪. 三阶三点边值问题的两个正解的存在性[J]. 西南师范大学学报(自然科学版),2013,38(10):30-33.[8] GUO L J, SUN J P, ZHAO Y H. Existence of positive solution for nonlinear third-order three-point boundary value problem[J]. Nonlinear Anal,2008,68:3151-3158.[9] GUO D, LAKSHMIKANTHAM V. Nonlinear Problems in Abstract Cones[M]. New York:Academic Press,1988.。
非线性三阶m-点边值问题的单调正解
锥 ，ｎ 和 ｎ。是 Ｅ 中 的有 界 开子集 ，并 且 Ｅ ｎ ，
力 ｃ ｎ ，若全 连续 算 子 丁：Ｋ ｎ （国２＼ １）一 Ｋ 满
足 下述 条件 之一 ：
（１））Ｊ丁“）Ｊ≤ Ｊ｝“ｌｌ，“∈ Ｋ ｎ ａ力 且
【ｌ Ｔ“ ≥ ｉｆ“｛ｆ，“Ｅ Ｋ ｎ ａｎ ；
（２）ｌｌ Ｔ ｌｌ≥ ｝Ｊ ｌｌ， ∈ Ｋ ｎ ａｎ 且
ｆ“ （ｆ）＋ ａ（ｔ）厂（“（ｆ））一 ０，ｔ Ｅ （０，１），
『
１ （０）一ＵＨ（０）一０，“ （１）一ａ“（ ）
正解 的存 在性 准 则．由于 当非 线性 项 厂含 有 未 知 函数 的 一 阶导数 时 ，研 究 边 值 问 题 的 正解 会 遇 到 一 些 困 难 ，因此 ，大 多 数 文 献 都 是 假 设 非 线 性 项 不 含 有 未 知 函 数 的 导 数 ． 而 本 文 运 用 Ｇｕｏ— Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不 动 点 定 理 考 虑 下 述 非 线 性 项 含 有 未 知 函数 一 阶导数 项 的三 阶 ｍ一点边值 问题
（Ｏ）一 （０）一 ０，
（１）
ｍ－ ２
“ （１）～∑ 口 “（ ）一０
单调 正 解 的存 在 性 ，得 到 边 值 问题 （１）单 调 正解 的充 分条 件．假 设
ｍａＸ ｆ“ （ｔ）ｆ
ｒ∈ ［０，１］
则 Ｅ 为 Ｂａｎａｃｈ空 间．记
１
１一∑ ｎ
ｉ— ｌ － ２
引理２ 假设∑ ｎ ≠ １，则对任意的ｈ∈
口 ≥ ０（ｉ一 １，２，… ， 一 ２）， ０＜ 亭１＜ ２＜ … ＜ ～２＜ １，
ｃ［ｏ，１］，边值 问题
ｍ － ２
∑“ ＜１，
非线性常微分方程边值问题的有限解析法
非线性常微分方程边值问题的有限解析法文章摘要：本文分析了非线性常微分方程边值问题的解析解类型及其有限解析法，以及在解析过程中应用的数值方法，同时还介绍了有限解析法的优点和缺点，总结出解决非线性常微分方程边值问题的有效方法。
非线性常微分方程边值问题是由一组不可积分的常微分方程组构成的边值问题。
它在物理学、工程学和科学计算等研究中，有重要的理论意义和实际应用，但它的分析和解析解往往不容易，因此，传统的数值方法无法解决这类棘手的问题。
因此，开发针对不同特殊情况下的有限解析法，成为近几十年来解决非线性常微分方程边值问题的研究重点。
首先，本文介绍了解这类问题的几种基本方法，包括对称矩阵变换、函数变量变换、解析有理化等方法。
随后，本文研究了解析有理化及其应用，介绍了在有限解析法中应用的正则变换方法，以及其在求解非线性常微分方程边值问题中的利用方法。
此外，文章还讨论了实际应用中出现的一些问题，以及针对这些问题的有效解决方法。
最后，本文总结了解决非线性常微分方程边值问题的有效方法，尤其是利用有限解析法的解决方法，以及围绕此方法的一些有用的应用。
从上文可以看出，解决非线性常微分方程边值问题既有解析方法，也有数值方法，而有限解析法介于二者之间，是一种有效的数值与解析结合的方法，可以有效的解决非线性常微分方程边值问题。
总的来说，有限解析法是一种有效的解决非线性常微分方程边值问题的方法，具有较高的效率和准确性。
然而，它也存在一定的不足，如计算量大、结果依赖于参数等。
因此，在实际应用中，有必要在准确性与效率之间进行取舍，以较少的计算量获取满足要求的解。
从本文讨论可以知道，有限解析法是一种有效的解决非线性常微分方程边值问题的方法，它既可以获取精确的解，又可以提高计算效率，是现代工程计算中的有效工具。
因此，有限解析法在理论研究和实际应用中将发挥重要作用，为解决现代工程技术中存在的复杂问题提供新思路。
非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解
非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题是指求解一个具有非线性分数阶p-laplacian算子的边值问题，其中p是一个正实数，它的形式如下：$$\begin{cases}(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u=f(x,u) & \text{in}\\Omega \\ u=g(x) & \text{on}\ \partial\Omega\end{cases}$$其中，$\Omega$是一个有界域，$f(x,u)$是一个非线性函数，$g(x)$是边界条件，$(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u$是p-laplacian算子，它的定义为：$$(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u=\nabla\cdot(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$$求解非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解，可以采用函数空间的方法，即将问题转化为一个有界线性系统，然后求解该系统的解。
首先，我们将上述问题转化为一个有界线性系统，即：$$\begin{cases}Au=F & \text{in}\ \Omega \\ u=g & \text{on}\\partial\Omega\end{cases}$$其中，$A$是一个线性算子，它的定义为：$$Au=(-\Delta)^{\frac{p}{2}}u-f(x,u)$$$F$是一个函数，它的定义为：$$F=-f(x,g)$$接下来，我们可以采用Galerkin方法求解上述线性系统，即：$$Au_n=F_n$$其中，$u_n$是一个有限维的函数空间，它的定义为：$$u_n=\sum_{i=1}^{n}c_i\phi_i$$其中，$\phi_i$是一组基函数，$c_i$是一组系数，它们的定义为：$$c_i=\int_{\Omega}u\phi_i\,dx$$最后，我们可以将上述线性系统转化为一个矩阵形式，即：$$A_{ij}c_j=F_i$$其中，$A_{ij}$是一个矩阵，它的定义为：$$A_{ij}=\int_{\Omega}\phi_iA\phi_j\,dx$$最后，我们可以采用数值方法求解上述矩阵形式，从而得到非线性分数阶p-laplacian方程边值问题的正解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
非线性边值问题的一些解法郭柏灵译
非线性边值问题（NonlinearBoundaryValueProblems，简称NBVP）是数学和工程学中广泛存在的问题。
它们可以用来模拟实际系统的行为，比如计算电磁场、求解非线性模型、对流堆热传导等等。
本文介绍了NBVP的概念及其解决方案，通过对郭柏灵教授关于NBVP解法的译著，介绍了非线性边值问题的基本框架、初值解法、终值解法和取样解法。
非线性边值问题是指当初值或者终值被指定的情况下，求解满足一类非线性微分方程的解。
这类微分方程可能有起点和终点之外的边界，以及内部的约束条件，而且这些约束条件也可能不是线性的。
因此，解决 NBVP求解的解可能不能满足线性方程的特征，而是构成非线性函数。
由于非线性边值问题的复杂性，解决这类问题的方法也相对比较复杂，大多数方法基于数值计算。
郭柏灵教授的译著提供了一种解决非线性边值问题的思路，以及三种可行的解决方案：初值解法、终值解法和取样解法。
其中，初值解法是指以定义了方程系统的初值问题为基础，从初值点开始求解系统方程，最终得到满足边界条件的解。
这种方法可以利用常微分方程求解、有限差分法求解、变步长隐式求解等，利用计算机实现各种表达式，有助于精确求解非线性边值问题。
终值解法是指在计算问题的终止点时，通过解决线性边值问题的方法，获得解的表达式，从而间接求解原问题。
取样解法是指采用插值的方法，在一组已知的散点上进行综合，从而求解非线性边值问题。
总的来说，郭柏灵教授关于NBVP解法的译著，为解决非线性边
值问题提供了有效的思路，使科学家和工程师可以更好地理解和解决这类问题。
NBVP的解决方案是非常有用的，它们可以用来精准模拟各种实
际系统的行为，比如计算电磁场、求解非线性模型、对流堆热传导等等，从而更好地控制和优化工程系统。
外，非线性边值问题也可以用来模拟大气和水文过程，比如预测水洪、地面污染、空气污染及空气质量等等，这些都属于环境工程中常见的应用领域。
不管是用于哪一个领域，非线性边值问题的计算方法都是有效的，它们可以帮助我们更精准推测实际系统的行为，为我们提供可靠的计算结果，以便在实际应用中应用。
因此，本文通过分析郭柏灵教授关于NBVP解法的译著，介绍了非线性边值问题的基本框架、初值解法、终值解法和取样解法，以及它们的应用，从而探究了非线性边值问题的解决方案。