人教版八年级数学下册导学案(全册)

第十六章 二次根式 第1课时 二次根式的定义

学习目标：

了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字

母的取值范围。

理解二次根式的非负性

学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导：

看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。（2）被开方数必须是 数。

判断下列格式哪些是二次根式?

⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2

)2

1(- ⑷ ()223≥-a a

⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02?-x x 学：

代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？

2-x ⑵

x

-21 ⑶13-+

-x x ⑷2x ⑸3x （6）

()01-a

（1）常见的非负数有：a a a ,,2

（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。 巩固练习：

已知(),03122

=-++b a 求a,b 的值

2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练：

1.下列各式中：①52+-

x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥

3+-x 其中是二次根式的有 。

2.若1

21

3-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。

3.已知122+-+-=

x x y ，则=y

x

4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范围是（）

（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子ab

a 1+

-有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限

（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四

6.若,011=-++b a 则=+20112011

b a

7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范围是

8.已知01442=-++

+-y x y y ，求xy 的值

展：小组展示成果，提出质疑 评:

1. 组内互助，解决质疑并进行小组评价。

2.知识方法小结：(交流后填空)

（1）二次根式的定义：_________________________ （2）二次根式有意义的条件：_______________________

（3）二次根式的性质: )0( a a 是 数，即（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？ （五）作业 （六）反思

第2课时 二次根式的性质

学习目标：理解二次根式的性质，并能运用性质 学习重难点：二次根式的性质的理解和综合运用

学法指导： 先自学质疑，再小组互助，最后请求老师帮助 导：

◆ 看书完成填空：

1.()0≥a a 是一个________ 数

2.

()

=2

a __________（a ≥0）

3.()()()

??

????=?==0_______0_______

0_______2

a a a a a

4.代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把_______和表示数的__________连接起来的式子，叫做代数式。 学：

◆ 在二次根式的运算时，要熟练地利用公式

()()0______2

≥=a a 及()

2

22

b a ab =进行计算

例1.计算：（1）()

2

5.1（2）()

2

52 （3）2

331??? ??-（4）()

22

2321--???

? ?? 例2.实数范围内分解因式：32

-m

◆ 二次根式化简：()()

()

??

????=?==0_______0_______

0_______2

a a a a a

例3.化简：（1）16 （2）()25- （3）

23- （4）

(

)

2

3

2-

练：

1.计算：（1）()

23 （2）()

2

23 （3）2

77???

? ?? （4）()()

225211-+- 2.实数范围内分解因式：422

-x

3.说出下列各式的值：（1）23.0 （2）2

71??

?

??- （3）()2π--

（4）210- （5）

(

)

2

5

6-

4.已知0

A 2X-1

B 1-2X

C -1

D 1

5.若()02

=-+a a ，则a 的取值范围是（）

A a=0

B a ≥0

C a ≤0

D a 为任意实数

6.若

()(),2312

2=-+

-a a 则a 的取值范围是（）

A a ≥3

B a ≤1

C 1≤a ≤3

D a=1或a=3 7. 已知,71

=+

a a 求a

a 1+的值。 8．在△ABC 中，a,b,c 是三角形的三边长，试化简

()b a c c b a ---+-22

展：小组展示成果，提出质疑

评:

知识方法小结：二次根式的性质：

（1）（2）（3）

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？（五）作业

（六）反思

第3课时 二次根式的乘法

学习目标：掌握二次根式乘法法则的运用 ,会把二次根号外的因式移到根号内 学习重难点：二次根式的乘法运算和化简及二次根号外的因式移到根号内 学法指导： 利用类比，由一般到特殊，再由特殊到一般的思维方式 导：

◆ 二次根式乘法法则：__________=?b a （a ≥0,b ≥0） 例1：计算：（1）53? （2）2731? （3）y

xy 2

24? 学：

◆ 利用()0,0≥≥?=

b a b a ab 及()02≥=a a a 进行化简

例2.化简（1）8116? (2)324b a (3)

()()2235-?-(4)()()4916-?-

◆ 二次根式的被开方数不含开得尽方的因数或因式

例3.计算：（1）714? （2）10253? （3）xy x 3

1

3?

◆ 运用公式()02≥=a a a 和()0,0≥≥?=b a b a ab 进行解答，解答时注意符

号

例4.把下列各式中根号外的因式移到根号里面 （1）212 （2）1.010 （3）()01

?a a

a

练：

一、选择题：1.化简二次根式

()()=?-352

A 35-

B 35

C 35±

D 75

2.下列计算正确的是（） A

()()69494-=-?-=

-?- B 188142712=?=?

C 624416416=+=+=+

D 12

12414414=?=?= 3.化简

()()1214916-??-得（）

A 22

B ±22

C ±308

D 308

4.如果6424102-?-=+-m m m m ，则实数m 的取值范围是（）

A m ≥4

B m ≥6

C 4≤m ≤6

D m 一切实数取 二、填空题

5.计算：=?65

=?31a a =y x 450 =903

1 6.已知一个三角形的底边长为42cm,底边上的高为30cm ，则此三角形的面积为： 7.点P （x,y ）在第二象限，化简=y x 2

三、解答题 8.计算：（1）

351223? (2)??

?

??-???? ??-

6722447 (3)144262?? (4)2249-

展：小组展示成果，提出质疑

评: 1.解决质疑：组内交流后仍不明白，向老师请教。

2．知识方法小结：二次根式乘法法则：________________________ 二次根式法则逆用：_________________________

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？（五）作业

（六）反思

第4课时 二次根式的除法

学习目标：掌握二次根式除法法则的运用及法则逆用，训练逆向思维能力。 学习重难点：理解和运用

()0,0?≥=

b a b a

b

a 和()0,0?≥=

b a b

a b a 学法指导：利用类比，由一般到特殊，再由特殊到一般的思维方式

导：

◆ 二次根式除法法则：()0,0≥≥=b a b

a

b

a

例1．计算：（1）3

24 （2）

18

123÷ （3）21335÷ (4)()0,02123

?????

? ??-÷b a b a b a 学：

◆ 运用

()0,0?≥=

b a b

a

b a 计算或化简 例2.计算：（1）1003 （2）2

925x y

练：

1. 下列计算正确的是（） A 243

12

3

112===

÷

B 521212=÷

C 7434322=+=+

D 2282

16

2

16===

-- 2.等式

3

3

-=-x x x x

成立的条件是（）

A x ≠3

B x ≥0

C x ≥0且x ≠3

D x>3 3.计算32

642

x x ÷的结果为（）A x 22 B x 3

2

C x 26

D x 3

2

2 4.计算：（1）

=5

15 （2）

=19

.076.0

5. 在△ABC 中，BC 边上的高h=36cm ，它的面积恰好等于边长为23cm 的正方形面积。则BC 的长为

6.计算：=?

÷2

27

818 7.计算：（1）xy y x 2162

÷ （2）???

? ??

-÷541554

（3）521312321

?÷ （4）y

x x y xy x 155102÷÷ 展：小组展示成果，提出质疑

评:

1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。

2.知识归纳：

二次根式除法法则及逆用:()0,0?≥=

b a b a

b

a 和()0,0?≥=

b a b

a b a （四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？ （五）作业 （六）反思

第5课时 最简二次根式

学习目标：理解最简二次根式的概念，并运用其化简,能检验计算结果是否是最简二次根式

学习重难点：最简二次根式的运用和判断结果是否是最简二次根式。 学法指导：小组合作交流 一对一结对子检查过关。 导：

◆ 最简二次根式有如下两个特点：

（1）被开方数不含 （2）被开方数中不含开得尽方的 我们把上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

◆ 二次根式的计算和化简结果，一般都要化成 二次根式。 例1．计算：（1）

5

3 （2）

27

23 （3）

a

28

学：

◆ 分式化简：（1）分母有理化之前，要先把分子、分母的二次根式进行化简

（2）分母有理化常有两种方法：一是分子、分母都乘以适当的二次根式，二是根据题目的特点，把分母或分子当地分解因式，再约分。 例2.化去下列各式分母中的二次根式

（1）3

2

3+ （2）813 （3）251+ （4）()0,03

??y x x y

例3.如图，在Rt △ABC 中,∠C=0

90,AC=2.5cm BC=6cm,求AB 长。

练：1.下列各式中，最简二次根式的是（ ）

A 64

B x x 43

C 3

2a D 4

32a

2.将

31

21+化成最简二次根式为（ ） A 3061 B 306 C 56

1 D 56 3.已知a=12+,b=1

21

-,则a 与b 的关系是（ ）

A a=b

B ab=1

C a+b=0

D ab=-1 4.下列各式中，变形正确的是（ ） ①a a a =3 ②6373= ③()2

55=

④ab b a

ab =

⑤

248

1=⑥

323

21+=-

A.5个 B 4个 C 3个 D 2个 5．把b

b

1

化成最简二次根式为 6.观察下列各式：312311=+

，413412=+，5

14513=+，…………请将猜想到的规律用含自然数n （n ≥1）的等式表示出来 7.计算：（1）

2

5 （2）

c

a a

b 3

23 （3）

2

12-

8.计算：()01

??

÷b ab

ab b a a

9.如图，在Rt △ABC 中,∠C=900

,∠A=300

,AC=2cm,求斜边的长

展：小组展示成果，提出质疑

评: 1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。 2.知识归纳：分式化简：（1）分母有理化之前，要先把分子、分母的二次根式进行化简 （2）分母有理化常有两种方法：一是分子、分母都乘以适当的二次根式，二是根据题目的特点，把分母或分子当地分解因式，再约分。 补：【拓展】已知3

535+-=x ,3

535-+=

y .求2

24y xy x +-的值。

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？ （五）作业 （六）反思

第6课时 二次根式的加减

学习目标：理解和掌握二次根式加减的方法。先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解

学习重难点：二次根式化简为最简根式；会判定是否是最简二次根式。 学法指导：类比整式加减，注意思维方式的训练。 导：

1.几个根式中，根指数是（ ），并且被开方数（ ）的根式叫做同类二次根式。

2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成（ ）再将被开方数相同的二次根式进行（ ）．

3.计算下列各式．

（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3

4.计算下列各式．

（1） （2）

（3 （4）学：

◆ 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二

次根式进行合并 例1、(1).a 9 +a 25; (2). 80-45 例2、(1) 23

1

612—+348 （2）（2012+）+（3—5）； 练：

1是同类二次根式的是（ ）．

A ．①和②

B ．②和③

C ．①和④

D ．③和④

2．下列各式：①；②17

=1；

）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个

5、在8,12,27,18中与3是同类二次根式有

6、已知10182

22=++x x x x

，则x 等于 . 7、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 .

8、已知，a 2

b-ab 2

=__ _______ ．

9、2

1)2()12(18---+++ 10、 展：小组展示成果，提出质疑

评: 1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。 2.知识归纳：

◆ 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么它

们就叫做同类二次根式。

◆ 同类二次根式可以像同类项那样进行合并。【本概念了解即可】

二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，?再合并被开方数相同的根

式。有括号时，要先去括号。

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？（五）作业

（六）反思

2m 1m 4m A

D

B

图21.3-1

第7课时 二次根式的加减

学习目标：利用二次根式加减法解决一些实际问题. 培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力. 获得把实际问题转化为数学问题的体验。

学习重难点：将实际问题抽象为数学问题和二次根式的混合运算，被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简。

学法指导：利用转化思想，细心计算，注意提升计算能力。 导：

◆ 将实际问题转化为（ ）。 ◆ 二次根式的混合运算法则：（口答） ◆ 复习巩固: （1）52080+-

; （2）10

1

252403--

学：

◆ 数学来源于生活,应用于生活,因此我们应该热爱生活,热爱数学;将实际问题转化为

数学问题,只要审清题意弄明白,就一定可以做出来

例3.要焊接一个如图21.3-1所示的钢架,大约需要多少米钢材（精确到0.01m ）?【5236.2≈】

◆ 二次根式仍然满足整式的运算律，故可直接用整式的运算律。 例4、计算:【讲解完成后类比完成书上例题】

（1）

（2）（

）÷

练：1、计算： （1）

2

1

4

18122

-+- （2）3)154276485(÷+- （3）x x x x 3)1246(÷- （4） 2

22333--- 2.【20分】如图，Rt △AMC 中，∠C=90°， ∠AMC=30°，AM ∥BN ，MN=2 cm ， BC=1cm ，则AC 的长度为 ( )

A 、23cm

B 、3cm

C 、3.2cm

D 、 3.解答题：【每小题40分】

（1）.已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=22cm ，

BC=10cm ，求AB 上的高CD 长度.

（2）. .22,211881的值求代数式-+-+++

-+-=x

y y x x y y x x x y cm

32

3M A N

B C 3 C A B D

展：小组展示成果，提出质疑

评: 1.组内交流解决质疑，若仍不懂则向老师请教。

2．体会数学中的转化思想：

3．理解二次根式四则运算：

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？（五）作业

（六）反思

第8课时 二次根式的加减

学习目标：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用； 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算 学习重难点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；由整式运算知识迁移到含二次根式的运算。

学法指导：类比整式运算中乘法公式进行二次根式的运算。 导：

◆ 二次根式的混合运算法则：________________________。

◆ 二次根式性质和化简的内容：________________________________。 ◆ 计算

（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2

）÷xy ◆ 计算

（1）（2x+3y ）（2x-3y ） （2）（2x+1）2+（2x-1）2

学：

◆ 整式中的运算规律也适用于二次根式 例1．计算【讲解完成后类比完成书上例题】

（1）

）（

（2）

）

） ◆ 巩固练习 【师生共同分析思路，学生再思考完成】

1.(

()

2

771+--

2. 22

-

3. (

(

(

(22221111++-

练：

1．当x _________ _时，式子

3

1

-x 有意义． 2. a －12-a 的有理化因式是____________．

3. 当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．

4. 若1+x ＋

3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．

5. x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2

＝____________． 6. 已知233x x +＝－x 3+x ，则……………（ ）

（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 7．若x ＜y ＜0，则2

2

2y xy x +-＋2

2

2y xy x ++＝……（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y

8. ．化简a

a 3

-(a ＜0)得………………（ ）

（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a

9、已知 ,那么 的值是 ( )

A 、1

B 、-1

C 、±1

D 、4

10.计算：

11.已知 求① ； ②

的值. （四）课堂小结 5

1

=+x x x x 1-23232

323+-=-+=y x ，y x 11+y x x y +

()()

()

()

121123131302-+

-+---+

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？（五）作业

（六）反思

第9课时 二次根式的复习

学习目标：二次根式的概念及其性质；二次根式的化简及运算；二次根式的相关运用。 学习重难点：二次根式的双重非负性的理解；二次根式的化简。 学法指导：小组合作交流 一对一结对子检查过关。 导：知识点回顾

1、二次根式：（1）定义：

)0(≥a a （2）两个公式：①)0()(2

≥=a a a ②

||2a a =

2、积、商的算术平方根：

如：

2727727147142

2=?=?=?=? 学：

例1：x 是什么实数时，下列各式在实数范围内有意义：

3-x ，21x +，a a -+-11，

321+m ，a

a --56

3，m 1--

例2：化简：

（1）|4x| （x<0） （2）)3(|3|<-a a

（3）)1(|1|>-x x x

（4）2)1(-a

例3、计算 3)2564(÷-

例4、化简：（1）231- （2）121

3

1--

例5.11

45-－

7114-－7

32

+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根

式．

练：

1.下列式子中，是二次根式的是（ ） A ． B D ．x

2.下列根式中，是最简二次根式的是（ ）

3．若0＜x ＜1，则4)1(2

+-x

x －4)1(2

-+x

x 等于……（ ） （A ）

x 2 （B ）－x

2

（C ）－2x （D ）2x

4. ）

5．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．

A

．

．

6.

x ，小数部分为y

y -的值是（ ）

A. 3-

二．填空题

7. 已知：()022

=+++y x x ，则=-xy x 2

。

8.三角形的一边长是cm 42，这边上的高是cm 30，则这个三角形的面积是 9. 计算：3

133?

÷的结果为

10. 已知 11. 化简625①-= ②627-= 【两个题选做一个即可】

12. 已知 ,那么 的值是 三．解答题 [

1.计算：（12）－2－|1－2|- 2 科

2. 当121-=x 时，求x 2

-2x -1的值

（四）课堂小结

这节课我们学习了什么内容？有什么收获？你还有什么疑问吗？ （五）作业 （六）反思

=???

?

?-???? ??+-=+=x y y x 11111313，则，5

1

=+x x x x 1-

第十七章 勾股定理 第1课时——勾股定理（1）

一、教学目标：

1、能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理；

2、知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示；

3、能运用勾股定理理解用关直角三角形的问题。

二、教学重点：知道直角三角形中勾、股、弦的含义，能说出勾股定理，并用式子表示。

教学难点：能用几何图形的性质和代数的计算方法探索勾股定理； 三、学习过程：

（一）导入：勾股定理的探究： 1、 利用几何图形的性质探索勾股定理： 探索一：剪4个与图1完全相同的直角三角形， 再将它们拼成如图2所示的图形。

大正方形的面积可以表示为： ； 又可以表示为 。 ∵两种方法都是表示同一个图形的面积 ∴ = 即 = ∴2

2

2

=

+

（用字母表示）

2、将图2沿中间的正方形的对角线剪开， 得到如图所示的梯形：

直角梯形的面积可以表示为： ；

三个直角三角形的面积和可以表示为： ； 利用“直角梯形的面积”与“三个直角三角形的面积和”的关系，可以得到：

= + + ∴ = 即 = ∴2

2

2=

+

（用字母表示）

3、 利用代数的计算方法探索勾股定理:

探索一：如图一，观察图中用阴影画出的三个正方形（每一个

c

8C

B

A

小方格的边长为1）

∵21S S += ，3S = ； ∴ = 即：=+（用字母表示）

探索二：利用右图画出一个两条直角边分别为AC=3厘米、BC=4厘米的直角三角形，

（1）用刻度尺量出斜边的长AB= 厘米， （2）计算： 22BC AC += = 2AB = = 即：=+（用字母表示）

3、勾股定理：

如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 。

公式变形: c 2= ， a 2 = , b 2

= （二）讲授新课：勾股定理的应用： 例1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．

（1） 已知a ＝6， b ＝8，求c ； （2） 已知a ＝2， c ＝5， 求b ． 解：（1）在ABC Rt ? 中，根据勾股定理，

c 2

= = =

∴c =

（2）在ABC Rt ? 中，根据勾股定理，

b 2

= = = ∴b =

（三）课堂练习:

1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．

（1） 已知 a ＝3，b ＝4，求c ； （2） 已知c ＝10， a ＝6，求b. 解：(1)在ABC Rt ? 中，根据勾股定理， （2）在ABC Rt ? 中，根据勾股定理，

∴c 2

= = = ∴b 2

= = = ∴c = ∴ b =

2.求下列图中直角三角形的未知边。