最新高二数学上学期期末考试试卷含答案 (2)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.从已经编号的180(1～180)名学生中抽取20人进行调查，

采用系统抽样法.若第1组抽取的号码是2，则第10组抽取的号码是()

A. 74

B. 83

C. 92

D. 96

【答案】B

【解析】解：样本间隔为180÷20=9，第10组抽取的号码是2+9×9=83，故选：B．求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．

2.命题“?x0∈R，e x0≤log2x0+x02”的否定是()

A. “?x0∈R，e x0>log2x0+x02

B. “?x0∈R，e x0≥

log2x0+x02C. ?x∈R，e x≤log2x+x2D. ?x∈R，e x> log2x+x2

【答案】D

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“?x0∈R，e x0≤log2x0+x02”的否定是：?x∈R，e x> log2x+x2．故选：D．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定.特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．

3.对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1=

0.7859，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相

关系数r2=?0.9568，则下列判断正确的是()

A. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y

的线性相关性较强B. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强C. 变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强

D. 变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v

的线性相关性较强

【答案】C

【解析】解：由线性相关系数r1=0.7859>0知x与y正相关，由线性相关系数r2=?0.9568<0知u，v负相关，又|r1|< |r2|，∴变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．故选：C．根据线性相关系数的正负判断两变量正负相关性，根据线性相关系数的绝对值大小判断两变量相关性的强弱．本题考查了判断两个变量线性相关性的判断问题，是基础题．4.为了调查研究喝牛奶对身高(单位：cm)的影响，现随机从

五年级学生中抽取了60名学生，得到如下数据：

附：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

根据公式计算得k≈9.64，则下列说法正确的是()

A. 没有充足的理由认为喝牛奶与身高有关

B. 有0.5%的

把握认为喝牛奶与身高有关C. 有99.9%的把握认为喝牛奶与身高有关D. 有99.5%的把握认为喝牛奶与身高有关【答案】D

【解析】解：根据题意知k≈9.64>7.879，所以有99.5%的把握认为喝牛奶与身高有关．故选：D．根据观测值k，对照临界值得出结论．本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．

5.已知双曲线y2

a2?x2

b2

=1(a>0,b>0)的近线方程为y=

±3

4

x，则双曲线C的离心率是()

A. 5

4B. 5

3

C. √5

2

D. √15

3

【答案】B

【解析】解：根据题意，双曲线y2

a ?x2

b

=1(a>0,b>0)的近

线方程为y=±3

4x，又由其渐近线方程为y=±3

4

x，则有a

b

=3

4

，

即3b=4a，9b2=16a2，可得9(c2?a2)=16a2，e=c

a =5

3

，

故选：B．根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点在x轴

上，进而可得渐近线方程，结合题意可得有a

b =3

4

，即a=2b，

由双曲线的几何性质由离心率的计算公式可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线、离心率的计算，关键是求a，c的关系，注意分析双曲线的焦点的位置．6.对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到

样本的茎叶图，如图所示，则下列判断错误的是()

A. 甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63

B. 甲消

费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56C. 甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数D. 甲消费额的方差小于乙消费额的方差

【答案】D

【解析】解：由茎叶图可得：对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，可得正确；对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，可得正确；对于C，甲=1

7

(40+53+57+57+60+62+63)=56，乙=

1

7

(45+47+52+56+59+63+63)=55，可得甲>乙，可得正确；对于D，S甲2=17[(40?56)2+(53?56)2+(57?56)2+(57?56)2+(60?56)2+(62?56)2+(63?

56)2]=52.5858，S乙2=17[(45?55)2+(47?55)2+(52?55)2+(56?55)2+(59?55)2+(63?55)2+(63?

55)2]=45.428，可得：S甲2>S乙2，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误；故选：D．由茎叶图计算两组的众数，中位数，平均数，方差即可得解．本题考查茎叶图的应用，考查数据的几个常见的量，本题是一个基础题，解题时注意对于数据的个数不要弄丢数据，属于基础题．

7.抛物线C：y2=16x的焦点为F，点M为C上第一象限内

一点，|MF|=8，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，则N的纵坐标为()

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】C

【解析】解：抛物线C：y2=16x的焦点为F(4,0)，点M为C上第一象限内一点，|MF|=8，y轴上一点N位于以MF 为直径的圆上，即(x?4)2+(y?4)2=16，x=0时，y= 4．故选：C．利用已知条件，求出圆的方程，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．

8.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、

丁三人依次抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于丙、丁)的概率是()

A. 1

2B. 1

3

C. 1

4

D. 1

6

【答案】A

【解析】解：如下图，利用隔板法，得到

共计有n=C42=6种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数m=3，∴乙获得“最佳手气”的

概率p=m

n =3

6

=1

2

．故选：A．利用隔板法得到共计有n=C42=

6种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数m=3，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

9.已知双曲线C：x2

a ?y2

4

=1(a>0)的一个焦点和抛物线

y2=?8√3x的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为()

A. y=±√2

4x B. y=±√2

2

x C. y=±√2x D. y=±x

【答案】B

【解析】解：抛物线y2=?8√3x的焦点(?2√3,0)，双曲线C：

x2 a ?y2

4

=1(a>0)的一个焦点和抛物线y2=?8√3x的焦点

相同，可得c=2√3，可得a2+4=12，解得a=2√2，所以双曲线C的渐近线方程：y=±√2

2

x.故选：B．求出双曲线的焦点坐标与抛物线的焦点坐标，然后求解即可．本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．

10.函数f(x)=x2

e

的图象大致为()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】解：当x=1时，f(1)=1

e

>0.排除C．f′(x)=

2xe x?x2e x

e2x =2x?x2

e x

，令2x?x2

e x

=0，可得x=2，当x∈(0,2)，f′

(x)>0，函数f(x)是增函数，当x∈(2,+∞)，f′(x)<0，函数是减函数，∴C，D不正确，故选：A．利用特殊值求出函数的值，利用函数的导数判断函数的单调性，即可得到函数的图象．本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．11.执行如图所示的程序框图，若输入

的n=8，则输出的s，k依次是()

A. 15，4

B. 15，5

C. 31，6

D. 31，7

【答案】A

【解析】解：模拟程序的运行，可得n=8，i=1，s=0，k=0第1次执行循环体，r=0，s=1，k=1，i=2第2次执行循环体，r=0，s=3，k=2，i=3第3次执行循环体，r=2，i=4第4次执行循环体，r=0，s=7，k=3，i=5第5次执行循环体，r=3，i=6第6次执行循环体，r=2，i=7第7次执行循环体，r=1，i=8第8次执行循环体，r=0，s=15，k=4，i=9此时，满足条件i>8，退出循环，输出s，k的值分别为：15，4．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s，k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

12.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l.若点A在

抛物线上，点B在准线l上，并且△ABF是等腰三角形，∠BAF=120°，则△ABF的面积是()

A. √3

6p2B. √6

9

p2C. √3

9

p2D. √6

6

p2

【答案】C

【解析】解：如图所示，抛物线y2=

2px(p>0)的焦点为F(p

2

,0)，准线方

程为l：x=?p

2

；由△ABF是等腰三

角形，且∠BAF=120°，得出|AB|=

|AF|；设点A(x0,y0)，且x0>0，y0>0，则√3(p

2

?x0)=y0，…①又y02=2px0，…②由①②组成方程组，消去y0，整理得

12x 02?20px 0+3p 2=0，解得x 0=p 6或x 0=3p 2(不合题意，舍去)，由x 0求得y 0=√3p 3，∴△ABF 的面积是S =12×(p 6+p

2)×√3p

3=√39

p 2．故选：C ．根据题意画出图形，结合图形得出|AB|=|AF|，设出点A(x 0,y 0)，且x 0>0，y 0>0，利用三角函数和抛物线方程求得点A 的坐标，从而求出△ABF 的面积．本题考查了抛物线的定义与标准方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 函数f(1)=xsinx +cosx 的图象在点(3π2,f(3π

2))处的切线斜率为______．

【答案】0

【解析】解：∵f(x)=xsinx +cosx ，∴f ′(x)=(xsinx)′+(cosx)′=x(sinx)′+(x)′sinx +(cosx)′=xcosx +sinx ?

sinx =xcosx ∴k =f ′(3π

2)=0．函数f(1)=xsinx +cosx 的图象在点(3π2,f(3π2))处的切线斜率为：0．故答案为：0．先对函数f(x)进行求导运算，根据在点(3π2,f(3π2))处切线的斜率为在点(3π2,f(3π2))处的导数值，可得答案．本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系.属基础题．

14. 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、

右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆C 上的点，∠F 1PF 2=π2，S △F 1PF 2=3，则

椭圆C 的短轴长是______．

【答案】2√3

【解析】解：由椭圆定义可得|PF 1|+

|PF 2|=2a ，∵∠F 1PF 2=π2

，∴|PF 1|2+

|PF 2|2=|F 1F 2|2，即(|PF 1|+|PF 2|)2?2|PF 1||PF 2|=|F 1F 2|2，

又S △F 1PF 2=12|PF 1||PF 2|=3，

∴|PF 1||PF 2|=6．∴4a 2?12=4c 2，即4b 2=12，b =√3．∴椭圆C 的短轴长是2√3．故答案为：2√3．由椭圆定义、勾股定理及三角形的面积联立即可求得椭圆C 的短轴长．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及勾股定理的应用，是中档题．

15. 已知四棱锥P ?ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，

PA =AB =2.现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ?ABCD 的内部的概率为______．

【答案】2√39π

【解析】解：四棱锥P ?ABCD 扩展为正方体，则正方体的对角线的长是外接球的直径，即2√3=2R ，即R =√3，则四棱锥的条件V =13×2×2×2=83，球的体积为43×π(√3)3=

4√3π，

则该点取自四棱锥P ?ABCD 的内部的概率P =834√3π=2√39π，故答案为：2√39π根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，

结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．

16. 已知不等式xlnx +ex 2≥2x +a(e 是自然对数的底数)恒成立，则a 的取值范围是______．

【答案】(?∞,?1

e ]

【解析】解：不等式xlnx+ex2≥2x+a(e是自然对数的底数)恒成立，就是不等式xlnx+ex2?2x≥a(e是自然对数的底数)恒成立，设：y=xlnx+ex2?2x可得：y′=lnx+2ex?1，

令lnx+2ex?1=0，可得x=1

e ，当x∈(0,1

e

)，y′<0，函数

是减函数，x>1

e ，y′>0，函数是增函数，所以x=1

e

，函数

取得最小值：1

e ln1

e

+e?(1

e

)2?2×1

e

=?2

e

．则a的取值范围

是：(?∞,?1

e ].故答案为：(?∞,?1

e

].转化求解函数的最值，利

用导函数的单调性转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知p：x2?4x+3≤0，q：x2≥2x+a，且q是p

的必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】解：由x2?4x+3≤0得(x?1)(x?3)≤0得1≤x≤3，由x2≥2x+a得x2?2x≥a，若q是p的必要条件，即当1≤x≤3时，x2?2x≥a恒成立，设f(x)=x2?2x，在[1,3]上为增函数，则f(x)的最小值为f(1)=1?2=?1，∴a≤?1，即实数a的取值范围是(?∞,?1]．

【解析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转发为不等式恒成立即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系转化为不等式恒成立是解决本题的关键．

18.某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车

辆数y进行了统计对比，得到如下的表格：

车辆数x 10 18 26 36 40 用次卡消费的

车辆数y 7 10 17 18 23 (Ⅰ)根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(b ∧的结果保留两位小数)(Ⅱ)试根据(I)求出的线性回归方程，预测x =50时，用次卡洗车的车辆数．参考公

式：由最小二乘法所得回归直线的方程是y ^=b ^x +a

^；其中，b ?=∑(n i=1x i ?x)(y i ?y)

∑(n i=1x i ?x)2)=∑x i n i=1y i ?nxy

∑x i 2n i=1?nx 2，a

?=y ?bx ． 【答案】解：(Ⅰ)x =10+18+26+36+40

5=26，y =7+10+17+18+23

5=

15．∑x i 5i=1y i ?5xy =10×7+18×10+26×17+

36×18+40×23?5×26×15=310，∑x i

25i=1?5x 2=102+182+262+362+402?5×262

=616．∴b ?=310616≈0.50．∴a ?=y ?b

?x =15?0.50×26=2．则y 关于x 的线性回归方程为y

?=0.50x +2；(Ⅱ)由(Ⅰ)的线性回归方程可得，当x =50时，用次卡洗车的车辆数估计是0.50×50+2=27．

【解析】

(Ⅰ)由已知图表结合公式即可求得y 关于x 的线性回归方程；(Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的线性回归方程中，取x =50求得y 值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．

19. 过去大多数人采用储蓄的方式将

钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定

.考虑到通货膨胀的压力，如果我们

把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式.随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来.为了研究某种理财工具的使用情况，现对[20,70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)估计使用这种理财工具的人员年龄的中位数；(Ⅱ)采用分层抽样的方法，从第二组、第三组中共抽取6人，则两个组各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)中抽取的6人中，随机抽取2人，第三组至少有1个人被抽到的概率是多少？

【答案】解：(Ⅰ)年龄在[20,30)，[30,40)，[40,50)的频率分别为0.05，0.2，0.4，∵0.05+0.2<0.5，0.05+0.2+0.4> 0.5．∴中位数为：40+0.5?0.05?0.2

0.04

=46.25．(Ⅱ)采用分层抽样的方法，从第二组、第三组中共抽取6人，∵第二组、第三组的频率比为1：2，∴两个组依次抽取的人数为2，4．(Ⅲ)抽取的6人中，随机抽取2人，基本事件总数n=C62=15，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽取，

∴第三组至少有1个人被抽到的概率：P=1?C22

C62=14

15

．

【解析】(Ⅰ)利用频率分布直方图能求出中位数．(Ⅱ)采用分层抽样的方法，从第二组、第三组中共抽取6人，由第二组、第三组的频率比为1：2，能求出两个组依次抽取的人数．(Ⅲ)抽取的6人中，随机抽取2人，基本事件总数n=C62=15，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽

取，由此能求出第三组至少有1个人被抽到的概率．本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

20.函数f(x)=x3?ax2+b(a>0)两个极值点差为2，在

x=3处的切线为l，l在y轴上的截距为?28．(Ⅰ)求实数a，b的值；(Ⅱ)当x∈[?1

2

,4]时，求f(x)的最大值和最小值．

【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=3x2?2ax，f′(x)=0的两根为0

和2a

3，即得2a

3

=2，解得：a=3，又f′(3)=27?6a=9，f(3)=

27?9a+b=b，故直线l的方程是y?b=9(x?3)，由于直线l经过点(0,?28)，故b=?1，综上，a=3，b=?1；(Ⅱ)f′(x)=3x(x?2)，在区间[?1

2

,0]和[2,4]上，f′(x)≥0，f(x)递增，在区间[0,2]上，f′(x)≤0，f(x)递减，f(0)=?1，f(4)=

15，故f(x)的最大值是f(4)=15，f(?1

2)=?15

8

，f(2)=?5，

故f(x)的最小值是f(2)=?5．

【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，结合方程的根，求出a的值，结合切线方程求出b的值即可；(Ⅱ)求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查切线方程以及转化为思想，是一道常规题．

21.已知P(?√3,0)，Q(3,0)，圆(x+√3)2+y2=16上的

动点T满足：线段TQ的垂直平分线与线段TP相交于点K．(Ⅰ)求点K的轨迹C的方程；(Ⅱ)经过点A(?2,0)的斜

率之积为?12的两条直线，分别与曲线C 相交于M ，N 两点，试判断直线MN 是否经过定点.若是，则求出定点坐标；若否，则说明理由．

【答案】解：(Ⅰ)∵|KP|+|KQ|=|PT|=4>|PQ|=2√3，∴点K 的轨迹是以P ，Q 为焦点，长轴长为4，焦距为2√3的椭圆，∴点K 的轨迹方程为：x 24+y 2=1，(Ⅱ)设直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为y =k(x +2)，联立可得{y =k(x +2)x 24

+y 2=1，整理，可得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2?4=0，则?2x M =

16k 2?41+4k 2，则x M =?8k 2+21+4k 2，代入y =k(x +2)，可得y M =

4k 1+4k ，∴M(?8k 2+21+4k 2,4k 1+4k 2)，同理可得N(2k 2?2k 2+1,?2k k 2+1)，当M ，N 的横坐标不相等时，直线MN

的斜率k MN =y N ?y M x N ?x M =3k 2(1?2k 2)，故直线MN 的方程为y ??2k

k 2+1=3k 2(1?2k 2)(x ?

2k 2?2k 2+1)，令y =0，可得x =?23，此时直线MN 经过点(?23,0)，当M ，N 的横坐标相等时，有?8k 2+21+4k 2=

2k 2?2

k 2+1，解得k 2=12，此时点M ，N 的横坐标为?23，此时直线MN 经过点(?23,0)，综上

所述直线MN 经过点(?23,0) 【解析】(Ⅰ)利用椭圆的定义即可得出k 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AM 的方程为y =k(x +2)，代入椭圆方程消元，得出M ，N 坐标的关系，求出MN 的方程，即可求出点的坐标．本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题．

22.函数g(x)=(x+a+1)e x，a∈R．(Ⅰ)讨论g(x)的单

调性；(Ⅱ)若对任意x∈R，不等式g(x)?e x≥3ex?e恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】解：(Ⅰ)g′(x)=(x+a+2)e x，当x?a?2时，g′(x)>0，故g(x)在区间(?∞,?a?2)上递减，在(?a?2,+∞)递增；(Ⅱ)不等式g(x)?e x≥3ex?e恒成立，即a≥3ex?e

e x

?x恒成立，设f(x)=

3ex?e e x ?x，则f′(x)=4e?3ex?e x

e

，设?(x)=4e?3ex?e x，?′

(x)=?3e?e x<0，故?(x)在R递减，又?(1)=0，故当x∈(?∞,1)时，?(x)>0，当x∈(1,+∞)时，?(x)<0，故f(x)在

(?∞,1)递增，在(1,+∞)递减，故f(x)的最大值是f(1)=1，综上，a的范围是[1,+∞)．

【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题转化为a≥3ex?e

e x

?x恒成立，

设f(x)=3ex?e

e

?x，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．