2019年高考数学真题分类汇编：专题(05)平面向量(文科)及答案
2019年全国卷 文科数学高考真题(含答案)
，则
C．185 cm
．．
．．
．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
C．A=
1 12A +
的一条渐近线的倾斜角为130°0)
C．
1 sin50︒
（2）若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）
已知函数f（x）=2sin x-x cos x-x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
.
cos sin 1,()cos x x x g x x x '=+-=时，，所以在π,πx ⎛⎫
∈
⎪()0g x '<()g x。
2019版高考文科数学大一轮复习人教A版5.4 平面向量的综合应用 Word版含答案
§平面向量的综合应用最新考纲考情考向分析.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题. 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.．向量在平面几何中的应用()用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理∥⇔＝λ⇔－＝，其中＝(，)，＝(，)，≠垂直问题数量积的运算性质⊥⇔·＝⇔＋＝，其中＝(，)，＝(，)，且，为非零向量夹角问题数量积的定义θ＝(θ为向量，的夹角)，其中，为非零向量长度问题数量积的定义＝＝，其中＝(，)，为非零向量()用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．知识拓展．若是△的重心，则＋＋＝.．若直线的方程为＋＋＝，则向量(，)与直线垂直，向量(－，)与直线平行．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()若∥，则，，三点共线．(√)()在△中，若·<，则△为钝角三角形．(×)()若平面四边形满足＋＝，(－)·＝，则该四边形一定是菱形．(√)()设定点()与动点(，)满足·＝，则点的轨迹方程是＋－＝.(√)()已知平面直角坐标系内有三个定点(－，－)，(，)，()，若动点满足：＝＋(＋)，∈，则点的轨迹方程是－＋＝.(√)题组二教材改编．[组]已知△的三个顶点的坐标分别为(，)，()，(－，－)，则该三角形为()．锐角三角形．直角三角形．钝角三角形．等腰直角三角形答案。
2017-2018-2019年三年高考数学文科真题分类汇编(解析版) 专题05 平面向量
专题五 平面向量（2019·全国Ⅰ文科）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． （2019·全国Ⅱ文科）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=A.B. 2D. 50【答案】A【分析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||-a b ． 【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b 故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．（2019·全国Ⅲ文科）已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b <>=___________.【答案】10-【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】详解：22826cos ,102a b a b a b⨯-+⨯<>===-+． 【点睛】本题考点为平面向量的夹角，为基础题目，难度偏易．不能正确使用平面向量坐标的运算致误，平面向量的夹角公式是破解问题的关键．（2019·天津文科）在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】-1.【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
2019年全国卷高三期末考试文科数学分类汇编---平面向量
2019年全国卷高三期末考试文科数学分类汇编---平面向量1.（2019安徽合肥市期末）设向量()3 4a =-，，向量b 与向量a 方向相反，且10b =，则向量b 的坐标为( ).DA.6855⎛⎫- ⎪⎝⎭，B.()6 8-，C.6855⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.()6 8-， 2.(2019湖北荆门市期末)正六边形ABCDEF 的边长为1，则AE BF ⋅=uu u r uu u r ．323.（2019山东潍坊市期末）设向量＝（3，2），＝（1，﹣1），若（+）⊥，则实数λ＝ ﹣13 ．【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值． 【解答】解：； ∵；∴； 解得λ＝﹣13． 故答案为：﹣13．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算． 4.（2019湖北期末）已知等边内接于，为线段的中点，则（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC 中点为E ，则（）•．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．5.（2019吉林期末）已知向量，的夹角为，且，，，则__________．【答案】(或)【解析】【分析】由题意，利用向量的夹角公式，得，进而求解向量的夹角，得到答案。
【详解】由题意，利用向量的夹角公式，得，又由，∴ .【点睛】本题考查平面向量的夹角，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算求解能力.6.（2019安徽黄山市期末）G为的重心，若，则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用重心的性质，结合向量的线性运算即可得到结果.【详解】设BC的中点为D，则，又G为的重心，∴又，∴∴故选：D【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及三角形重心的性质，考查数形结合的思想，属于基础题.7.（2019福建厦门市期末）在中，，，为的中点，则（）A. B. C. D. 5【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的基本定理，求得，代入计算，即可求解.【详解】由题意，如图所示，根据平面向量的基本定理和数量积的运算，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中利用平面向量的基本定理，转化为向量和是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8.（2019广东肇庆市期末）已知的边上有一点满足，则可表示为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相加加法和减法的运算，将向量转化到两个方向上，化简后得出正确的结论.【详解】画出图像如下图所示，故，故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量减法运算，属于基础题.9.（2019湖北宜昌市期末）已知，，且，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解．【详解】，即：又，向量与向量的夹角的余弦为，向量与向量的夹角为：故选：B【点睛】本题考查向量夹角公式及向量运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力．10（2019湖南湘潭市期末）.已知单位向量的夹角为，则___．【答案】1【解析】因为单位向量的夹角为，所以，，故答案为.（）11.（2019湖南长沙市期末）在中，，，，且是的外心，则CA AOA. 16B. 32C. -16D. -32【答案】D【解析】【分析】利用数量积公式和投影的定义计算即可得到答案.【详解】，又是的外心，由投影的定义可知则故选.【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查投影定义的简单应用，属于基础题.12（2019陕西榆林市期末）.已知向量满足，，，则（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意明确•，进而求出的值.【详解】根据题意得，（）222﹣2•，又（）22+2•2＝1+4+2• 6∴2•1，∴（）2＝1+4﹣1＝4，∴2．故选：A．【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.13.（2019陕西榆林市期末）已知，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得到，结合同角基本关系式及二倍角正切公式得到结果.【详解】∵，，，且，∴，即，∴，∴，，即∴故选：B【点睛】本题考查三角函数的化简求值问题，涉及的知识点是数量积的坐标运算，二倍角公式，同角基本关系式，考查恒等变换能力.14.（2019四川内江市期末）若，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，对两边平方即可求出，从而可求出，这样即可求出与的夹角．【详解】∵；∴；∴；∴；又；∴的夹角为．故选：D．【点睛】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及已知三角函数值求角，属于基础题.15.（2019四川内江市期末）在中，已知，，点D为BC的三等分点(靠近C)，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．【详解】如图，＝8﹣1＝7﹣2cos∠BAC∵∠BAC∈（0，π），∴cos∠BAC∈（﹣1，1），∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），故选：C．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．16.（2019云南昆明市期末）已知向量，，若，则______.【答案】2【解析】【分析】由得=0，计算可得t的值.【详解】已知向量，，所以= .，得==3+9-6t=0，所以t=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.17.（2019辽宁省实验中学期末）中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用向量数量积的运算，求得的大小，由余弦定理计算的长度，由此判断三角形为直角三角形.利用向量加法的平行四边形法则，判断点的位置，从而确定取得最大值时点的位置，由此计算出的长.【详解】依题意，.由余弦定理得，故，三角形为直角三角形.设，过作，交于，过作，交于.由于，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，点位于线段上，由图可知最长时为.由于，所以.所以.故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查余弦定理解三角形，考查平面向量加法的平行四边形法则，综合性较强，属于中档题.18.（2019辽宁省实验中学期末）已知向量()∥，，则夹角的余弦值为________ .【答案】【解析】【分析】设，根据向量共线和向量垂直的条件得到的值，进而得到向量的坐标，然后可求出夹角的余弦值．【详解】设，则，∵()∥，，∴，即．又，,∴．由，解得，∴．设的夹角为，则，即夹角的余弦值为．故答案为．【点睛】本题考查向量的基本运算，解题时根据向量的共线和垂直的充要条件得到向量的坐标是关键，同时也考查转化和计算能力，属于基础题．。
2019年真题分类汇编
2019年真题分类汇编一、 集合1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则UBA =A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．∅5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则AB =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,26，（北京文，1）已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（A ）（–1，1） （B ）（1，2） （C ）（–1，+∞） （D ）（1，+∞）7，（天津文、理，1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B = A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}1,2,3- D ．{}1,2,3,48（浙江1）．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B =A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-9，（江苏1）．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = .10，（上海1）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则AB = ．二、复数1，（全国1理，2）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=2，（全国1文，1）设3i12i z -=+，则z =A ．2B C D ．13，（全国2理2）设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4，（全国2文，2）设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．-1+2i C ．1-2i D ．-1-2i 5，（全国3理、文，2）若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i 6，（北京，理、文2）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A （B （C ）3 （D ）57，（天津理、文9）i是虚数单位，则5ii 1-+的值为_____________．8，（浙江11）复数11iz=+（i为虚数单位），则||z=___________．9，（江苏2）已知复数(2i)(1i)a++的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是. 10，（上海5）设i为虚数单位，365z i i-=+，则||z的值为三、函数1，（全国1理、文，3）已知0.20.32log0.220.2a b c===，，，则A．a b c<<B．a c b<<C．c a b<<D．b c a<<2（全国1理、文，5）．函数f(x)=2sincos++x xx x在[,]-ππ的图像大致为A．B．C．D．3，（全国1理、文13）曲线23()e xy x x=+在点(0)0，处的切线方程为____________．4，（全国2理，4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L点的轨道运行．2L点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，2L点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：121223()()M M MR rR r r R+=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r的近似值为A21MRMB212MRMC2313MRMD2313MRM5，（全国2理，12）．设函数()f x的定义域为R，满足(1) 2 ()f x f x+=，且当(0,1]x∈时，()(1)f x x x=-．若对任意(,]x m∈-∞，都有8()9f x≥-，则m的取值范围是A．9,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦B．7,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．5,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦D．8,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦6，（全国2理14）已知()f x是奇函数，且当0x<时，()e axf x=-.若(ln2)8f=，则a =__________．7，（全国2文，6）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+ 8，（全国2文，10）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=9，（全国3理6、文7）．已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-10，（全国3理7）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．11，（全国3理11、文12）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）12，（北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到原2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是 （A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③ 13，（北京理13）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．14，（北京理、文14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．15，（北京文3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）12y x=（B）y=2x-（C）12logy x=（D）1yx=16，（北京文7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lgEm mE=，其中星等为km的星的亮度为kE（k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）10.110-17，（天津理6）．已知5log2a=，0.5og2.l0b=，0.20.5c=，则,,a b c的大小关系为A．a c b<<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<18，（天津文5）已知0.223log7,log8,0.3a b c===，则a，b，c的大小关系为（A）c b a<<（B）a b c<<（c）b c a<<（D）c a b<<19，（天津理8）．已知a∈R，设函数222,1,()ln, 1.x ax a xf xx a x x⎧-+≤=⎨->⎩若关于x的不等式()0f x≥在R上恒成立，则a的取值范围为A．[]0,1B．[]0,2C．[]0,e D．[]1,e20，（天津文8）已知函数2,01,()1, 1.x xf xxx⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x的方程1()()4f x x a a=-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（A）59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B）59,44⎛⎤⎥⎝⎦（C）59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦（D）59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦21，（天津文11）曲线cos2xy x=-在点(0,1)处的切线方程为__________.22．（浙江11）已知,a b∈R，函数32,0()11(1),032x xf xx a x ax x<⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b=--恰有3个零点，则A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>023，（浙江6）．在同一直角坐标系中，函数y =1xa，y=log a(x+12)(a>0，且a≠1)的图象可能是24，（浙江16）已知a∈R，函数3()f x ax x=-，若存在t∈R，使得2|(2)()|3f t f t+-≤，则实数a 的最大值是____.25．（江苏4）函数276y x x =+-的定义域是 . 26，（江苏10）．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点， 则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 . 27，（江苏14）．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .28，（上海4）（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．29，（上海10）．（5分）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．30（上海13）（5分）下列函数中，值域为[0，)+∞的是( )A ．2xy = B ．12y x = C ．tan y x = D ．cos y x = 31，（全国1理，20）（12分）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点． 32，（全国1文，20）（12分）已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．33，（全国2理，20）（12分） 已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线.34（全国2文21）．（12分）已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．35（全国3理，20）（12分）已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.36（全国3文，20）（12分）已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．37（北京理19，文科20）（本小题13分）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M（a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．38（天津理20）．（本小题满分14分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．39（天津文20）（本小题满分14分）设函数()ln (1)e xf x x a x =--，其中a ∈R .（Ⅰ）若a ≤0，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10ea <<， （i ）证明()f x 恰有两个零点；（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->.40（浙江22）．（本小题满分15分）已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围．注：e=2.71828…为自然对数的底数．41（江苏19）．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．四、三角函数1，（全国1理11）．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③2，（全国1文7）tan255°=A ．B ．C ．D ．3，（全国1文11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则bc=A ．6B ．5C ．4D ．34，（全国2理9）．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │5，（全国2理10、文11）．已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．5C ．3D ．56，（全国2文，8）若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32 C ．1 D ．127（全国3理，12）设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④8（全国3文5）．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．59，（北京文6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 10，（天津理7、文7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B．CD ．211，（全国1文15）．函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 12，（全国2，理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________13，（全国2文．15）．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 14，（北京理9）函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 15，（浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上， 若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=___________． 16，（江苏13）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 17，（上海8）．（5分）在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = 18，（全国1理17）．(12分)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；（22b c +=，求sin C19，（全国3理、文18）．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．20，（北京理15）（本小题13分）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．21，（北京文15）（本小题13分）在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B +C ）的值．22，（天津理15、文16题）．（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 23，（浙江18）（本小题满分14分）设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域24，（江苏15）．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．五、平面向量1，（全国1理7、文8）．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3 D ．5π62，（全国2理7）．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63，（全国2文3）．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a -b |=A B ．2C ．D ．504，（全国3理13）．已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________.5，（全国3文13）．已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>=a b ___________. 6，（北京理7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7，（北京文9）已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．8，（天津理、文14）．在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 9，（浙江17）．已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是___________，最大值是___________．10，（江苏12）．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE交于点O . 若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ▲ .11，（上海11）．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．六 数列1，（全国1理，9）．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n=-D ．2122n S n n =- 2，（浙江10）．设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ，则A ．当b =12时，a 10>10 B ．当b =14时，a 10>10 C ．当b =–2时，a 10>10 D ．当b =–4时，a 10>103，（全国1理，14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 4，（全国1文，14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________．5，（全国3理5、文6）．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16 B ．8 C ．4 D ．26，（全国3理14）．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________ 7，（全国3文14）．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.8，（江苏8）．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是9，（全国1文18）（12分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 10，（全国2理19）（12分）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式. 11，（全国2文18）．（12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．12，（天津理19）．（本小题满分14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式；（ii ）求()2*1ni i i a c n =∈∑N ．13，（天津文18）（本小题满分13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知1123323,,43a b b a b a ====+.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足21n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数,，为偶数.求*112222()n n a c a c a c n +++∈N .14，（浙江20）．（本小题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N15（江苏20）（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．16，（上海18）．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．七 立体几何1，（全国1理12）．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π2，（全国1文16）．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________． 3，（全国2理、文7）．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面4，（全国2理16、文16）．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）第4题图 第5题图 5（全国3理8）．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 6，（全国3理16）．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.7，（北京理11，文12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1， 那么该几何体的体积为__________．8，（北京理12，文13）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 9，（天津理11，文12）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.10，（浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ．324第10题图 第12题图 11，（江苏9）．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 .12，（浙江8）．设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 13，（上海15）．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直 B ．两两平行 C ．两两相交 D ．两两异面 14，（全国1理18）．（12分）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A−MA 1−N 的正弦值．15，（全国1文19）．（12分）如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. （1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求点C 到平面C 1DE 的距离．16，（全国2理17）．（12分）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1． （1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值．17，（全国2文第17）．（12分）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1． （1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C 的体积．18，（全国3理19）．（12分）图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2. （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.19，（北京理16）（本小题14分）如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角F –AE –P 的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． ,20，（北京文18）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ； （Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．21，（天津理17）．（本小题满分13分）如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．22，（天津文17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,2,3PA CD CD AD ⊥==.（Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.23，（浙江19）．（本小题满分15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.24，江苏16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．25，上海17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．八统计概率1，（全国1理第6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11162，（全国1理第15）．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．3，（全国2理第13、文14）．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________．4，（全国2文第4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B．35C．25D．155，（浙江7）设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是则当a在（0,1）内增大时，A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大6．（江苏6）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.7．（上海第9题，5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）8，全国2理第18．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.9，（全国1理第）21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．10，北京理（17）（本小题13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．11，天津理16．（本小题满分13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．统计1，（全国1文2）．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生2，（全国2理5）．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数B．平均数C．方差D．极差3．全国3理4、文4，《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.84，（江苏5）．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.5，全国1，文17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的（1（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．6，全国2文19．（12分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）8.602≈.7，全国3理、文17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．8，北京文（17）（本小题12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A不大于2 000元大于2 000元支付金额支付方式仅使用A 27人3人仅使用B 24人1人（（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．9，天津文（15）（本小题满分13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A B C D E F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人,,,,,员工A B C D E F项目子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××。
2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第5章平面向量章末总结(含答案解析)
知识点考纲展示平面向量的实际背景及基本概念❶了解向量的实际背景．❷理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.向量的线性运算❶掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．❷掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．❸了解向量线性运算的性质及其几何意义.平面向量的基本定理及坐标表示❶了解平面向量的基本定理及其意义．❷掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．❸会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．❹理解用坐标表示的平面向量共线的条件.平面向量的数量积及向量的应用❶理解平面向量数量积的含义及其物理意义．❷了解平面向量的数量积与向量投影的关系．❸掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．❹能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．❺会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．❻会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.一、点在纲上，源在本里考点考题考源向量线性运算及基本关系(2017·高考全国卷Ⅱ，T4，5分)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()A.a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|＞|b|必修4 P120A组T2向量的数量积与应用(2017·高考全国卷Ⅰ，T13，5分)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________ .必修4 P119A组T13向量的坐标表示与数量积(2016·高考全国卷Ⅱ，T3，5分)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A.－8B．－6C．6 D．8必修4 P119A组T12(2016·高考全国卷Ⅰ，T13，5分)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.必修4 P120B组T3 (2016·高考全国卷Ⅲ，T3，5分)已知向量BA→＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC→＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC＝()A.30°B．45°C．60°D．120°必修4 P119A组T10二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修4 P 92B 组T 5改编)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 一定为( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形解析：选D.由OA →＋OC →＝OB →＋OD →，得OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，所以BA ∥CD ，且BA ＝CD .所以四边形ABCD 一定为平行四边形，故选D.2．(必修4 P 119A 组T 9改编)已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32bB ．12a －32bC ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：选B.设c ＝λa ＋μb ，所以(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，所以⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，所以c＝12a －32b . 3．(必修4 P 98例6改编)已知a ＝(3，4)，b ＝(sin θ，cos θ)，若a ∥b ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝( )A ．7B ．17C ．－17D ．－7解析：选D.因为a ∥b ，所以3cos θ－4sin θ＝0，即tan θ＝34，所以sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝34＋134－1＝－7.故选D.4．(必修4 P 119A 组T 11改编)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A ．π6B.π4 C ．π3D.2π3解析：选B.因为a ⊥(a －b )，所以a 2－a ·b ＝0，又|a |＝1，所以a ·b ＝1，设向量a 与向量b 的夹角为θ，由cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12＝22，可得θ＝π4，即向量a 与b 的夹角为π4.二、填空题5．已知▱ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，则|BD |＝________．解析：设D (x ，y )，由AB →＝DC →得(1，2)＝(3－x ，4－y )．所以x ＝2，y ＝2，即D 点的坐标为(2，2)，所以BD →＝(2，2)－(－1，3)＝(3，－1)，所以|BD |＝|BD →|＝32＋（－1）2＝10.答案：106．(必修4 P 120B 组T 4改编)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝3，AD ＝DC ＝2，M 是DC 的中点，则AM →·BC →＝________．解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝2.AM →＝AD →＋DM →＝b ＋13a ，BC →＝AC →－AB →＝AD →＋DC →－AB →，＝b ＋23a －a ＝b －13a ，所以AM →·BC →＝⎝⎛⎭⎫b ＋13a (b －13a )＝|b |2－19|a |2＝22－19×32＝3. 答案：3三、解答题7．(必修4 P 108A 组T 8改编)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a ·b －27＝61， 所以a ·b ＝－6.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13. (3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.8．(必修4 P 147A 组T 9改编)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )． (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. (2)由f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12， 而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.。
2010-2019十年高考数学(文)真题专题5平面向量第13讲平面向量的概念与运算分类汇编
专题五平面向量第十三讲平面向量的概念与运算一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EBA ．3144AB AC B ．1344AB AC C ．3144ABACD ．1344ABAC2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1a ，1a b，则(2)a ab A ．4B ．3C ．2D ．03．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM ，2ON ，120MON ，2BM MA ，2CN NA ，则·BC OM 的值为A ．15B ．9C ．6D ．04．（2017新课标Ⅱ）设非零向量a ，b 满足||||ab ab 则A ．a b B ．||||a b C ．∥a bD ．||||a b 5．（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数，使得m n ”是“0m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2016年天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F，使得EF DE 2，则AF BC的值为A ．85B ．81C ．41D ．811NMOCBA7．（2016全国III 卷）已知向量,则A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8．(2015重庆)已知非零向量,a b 满足||=4||b a ，且(+)2aa b ，则a 与b 的夹角为A ．3B ．2C ．23D ．569．（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||≤a b a bB ．||||||||≤ab a b C ．22()||ab a b D ．22()()a b ab ab10．（2015新课标2）向量(1,1)a，(1,2)b ，则(2)a b aA ．B ．C ．D ．11．（2014新课标1）设FE D ,,分别为ABC 的三边AB CA BC ,,的中点，则FCEB A ．ADB ．AD21C ．BC21D ．BC12．（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+|=10a b ，||=6ab ，则a bA ．1B ．2C ．3D ．513．(2014山东) 已知向量(1,3),(3,)m ab . 若向量,a b 的夹角为6，则实数mA ．23B ．3C ．0D ．314．（2014安徽）设,a b 为非零向量，2ba ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y 所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为A ．23B ．3C ．6D ．015．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量3,2a表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)e e B ．12(1,2),(5,2)e e 13(,)22BAuu v31(,),22BCuu u v ABC112C ．12(3,5),(6,10)e e D ．12(2,3),(2,3)e e 16．（2014浙江）设为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t b a 是最小值为1 A ．若确定，则||a 唯一确定B ．若确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则唯一确定D ．若||b 确定，则唯一确定17．(2014重庆)已知向量(,3)k a ,(1,4)b ,(2,1)c ,且(23)ab c ,则实数kA ．92B ．0C ．3D ．15218．（2013福建）在四边形中，,则该四边形的面积为A ．B ．C ．5D ．1019．（2013浙江）设ABC ，0P 是边上一定点，满足014PB AB ，且对于边上任一点，恒有00PB PC P B PC ≥．则A ．B ．C ．D ．20．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B ，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．B ．C ．D ．21．（2013湖北）已知点、、、，则向量在方向上的投影为A ．B ．C ．D ．22．（2013湖南）已知,a b 是单位向量，0a b =．若向量c 满足1c a b，则c 的最大值为A ．B ．C ．D ．23．（2013重庆）在平面上，，,.若，则的取值范围是ABCD )2,4(),2,1(BDAC552AB AB P 090ABC 090BAC ACAB BCAC 3455，-4355，-3455，4355，(1,1)A (1,2)B (2,1)C (3,4)D AB CD 32231523223152212212212AB AB 121OB OB 12AP AB AB 12OPOAA 、B 、C 、D 、24．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使ab c ；③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使ab c ；④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使abc ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．425．（2012陕西）设向量a =（1,）与b =（1,2）垂直，则等于A ．B ．C ．0D ．－126．（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||a b a b ，则abB ．若a b ，则||||||ab a b C ．若||||||a b a b ，则存在实数，使得b aD ．若存在实数，使得b a ，则||||||a b a b 27．（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若为实数，()∥a b c ，则=A ．14B ．12C ．1D ．228．（2011辽宁）已知向量(2,1)a ，(1,)k b，(2)0a a b ，则kA ．12B ．6C ．6D ．1229．（2010辽宁）平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA=a ，OB b ，则△OAB 的面积等于A ．222|||()|a b a b B ．222|||()|a b a b 50,257,225,227,22cos cos cos22212C ．2221|||()2|a b a b D ．2221|||()2|a b a b 30．（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)m n a ，(,)p q b ，令mq np ab ，下面说法错误的是A ．若a 与b 共线，则0a b B ．a b b aC ．对任意的R ，有()()a ba b D ．2222()()||||a b a b a b 二、填空题31．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)a，(2,2)b ，(1,)c．若2c a b ，则_．32．(2018北京)设向量(1,0)a，(1,)m b ，若()m aa b ，则m =_______．33．（2017新课标Ⅰ）已知向量(1,2)a ，(,1)m b ．若向量a b 与a 垂直，则m =__．34．（2017新课标Ⅲ）已知向量(2,3)a，(3,)m b，且ab ，则m =．35．（2017天津）在△ABC 中，60A ，AB=3，AC=2．若2B DD C ，AEACAB（R ），且4AD AE，则的值为．36．（2017山东）已知向量(2,6)a ，(1,)b ，若a ∥b ，则．37．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA与OC 的夹角为，且tan 7，OB 与OC 的夹角为45。
2019版高考数学文创新大一轮人教A版文档：第五章 平面
第3节 平面向量的数量积及其应用最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos_θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos_θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).[常用结论与微点提醒]1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去同一个向量.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(2018·云南11校跨区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A.13＋6 2 B.2 5 C.30D.34解析 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，选D. 答案 D3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 74.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案 －25.(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解析 cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2 ＝12，解之得λ＝33.答案 33考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】 (1)(2018·河南天一联考测试)如图，在△ABC 中，AB＝3，AC ＝5，∠BAC ＝60°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接CD ，BE 交于点F ，连接AF ，取CF 的中点G ，连接BG ，则AF →·BG →＝________.(2)(2018·莆田三月检测)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝2AD ，△ABD 的面积为1，若DE →＝12EC →，BE ⊥CD ，则DA →·DC →＝________. 解析 (1)依题意，F 是△ABC 的重心， AF →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)， BG →＝12(BF →＋BC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13BA →＋43BC →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫43AC →－53AB →＝23AC →－56AB →， 故AF →·BG →＝13(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－56AB →＝9536.(2)如图，以B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设|AD |＝a (a >0)，则|BC |＝2a ，又S △ABD ＝1， ∴|AB |＝2a ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，B (0，0)，C (2a ，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a .设E (x ，y )，则DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，y －2a ，EC→＝(2a －x ，－y )，∵DE →＝12EC →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ，y －2a ＝12(2a －x ，－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －x 2，－y 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝a －x 2，y －2a ＝－y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43a ，y ＝43a ，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ，43a ，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a ，43a ，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，2a ，∵BE ⊥CD ，∴BE →·CD →＝0，∴43a ·(－a )＋43a ·2a＝0，解得a 2＝2，∴DA →·DC →＝(－a ，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－2a ＝－a 2＝－ 2. 答案 (1)9536 (2)－ 2规律方法 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.【训练1】 (1)(2018·武汉三调)在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD ＝3，则AN →·MN →＝( ) A.－7B.0C.7D.7(2)(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 (1)以AB →，AD →为基底，AN →＝AD →＋34AB →，MN →＝CN →－CM →＝14CD →－13CB →＝－14AB→＋13AD →，AN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋34AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14AB →＋13AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →2－916AB →2＝13(9－9)＝0. (2)AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311.答案 (1)B (2)311考点二 平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(2018·洛阳一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( ) A.－7B.－3C.2D.3(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2.(2)依题意得a ·b ＝2×1×cos 2π3＝－1，(a ＋λb )·(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a ·b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c <0， 即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ， 即2a －3b 与c 反向.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.答案 (1)2 (2)D (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3规律方法 1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a ·b|a ||b |(夹角公式)，a ⊥b ⇔a ·b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【训练2】 (1)(2018·广东省际名校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝2|b |＝2，且(a ＋3b )⊥(a －b )，则a ，b 夹角的余弦值为________.(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.解析 (1)∵|a |＝2|b |＝2，且(a ＋3b )⊥(a －b )， ∴(a ＋3b )·(a －b )＝0，即a 2＋2a ·b －3b 2＝0， 故有a ·b ＝－12，则cos 〈a ，b 〉＝－14.(2)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案 (1)－14 (2)－2考点三 平面向量的模及其应用【例3】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(2)(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________.解析 (1)|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos 60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3. (2)建立平面直角坐标系如图所示，则B (－3，0)，C (3，0)，A (0，3)，则点P 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝1.设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x ＝2x 0－3，y ＝2y 0，代入圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0－322＝14，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM →|max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎪⎫32－02＋12＝72，所以|BM →|2max ＝494. 答案 (1)23 (2)494规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【训练3】 (1)(2018·湖北七市联合调考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.解析 (1)由|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝9＋2×2×2cos 120°＋2×2×1×cos 120°＋2×2×1×cos 120°＝9－4－2－2＝1，则|a ＋b ＋c |＝1. (2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x (0≤x ≤a )，∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x ).P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，当x ＝3a 4时取等号.∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 答案 (1)1 (2)5基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A.a ⊥bB.|a |＝|b |C.a ∥bD.|a |>|b |解析 由|a ＋b |＝|a －b |平方得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，则a ⊥b . 答案 A2.(2018·合肥质检)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A.2B.2 3C.3D.2 5解析 由|a ＋b |＝4，a ·b ＝1可得，a 2＋b 2＝16－2＝14，∴|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝14－2×1＝12，∴|a －b |＝2 3. 答案 B3.(2018·华中师大高考联盟质检)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，m )，c ＝(2，4)，且(2a －5b )⊥c ，则实数m ＝( ) A.－310B.－110C.110D.310解析 因为2a －5b ＝2(2，1)－5(1，m )＝(－1，2－5m )，又(2a －5b )⊥c ，所以(2a －5b )·c ＝0，则(－1，2－5m )·(2，4)＝－2＋4(2－5m )＝0，解得m ＝310. 答案 D4.(2018·西安八校联考)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD →在AB →方向上的投影是( ) A.322B.－322C.3 5D.－3 5解析 依题意得，AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|AB →|＝5，因此向量CD →在AB →方向上的投影是AB →·CD →|AB →|＝155＝3 5.答案 C5.(2018·大连测试)若向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与a ＋2b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 ∵向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝2×1×cos π3＝1，|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2 ＝22＋4×1＋4×12＝23，∴cos 〈a ，a ＋2b 〉＝a ·（a ＋2b ）|a ||a ＋2b |＝a 2＋2a ·b |a ||a ＋2b |＝22＋2×12×23＝32，∵〈a ，a ＋2b 〉∈[0，π]，∴〈a ，a ＋2b 〉＝π6. 答案 A 二、填空题6.(2018·河南百校联盟联考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，则|a ＋b |（2a ＋b ）·（a －b ）＝________.解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(3，－1)，∴a ＋b ＝(5，0)，2a ＋b ＝(7，1)，a －b ＝(－1，2)，∴|a ＋b |＝5，(2a ＋b )·(a －b )＝－5，∴|a ＋b |（2a ＋b ）·（a －b ）＝－1.答案 －17.已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是________. 解析 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(3，1)， AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，1－m ).若AB →∥AC →，则有3(1－m )＝2－m ，解得m ＝12. 由题设知，BA →＝(－3，－1)，BC →＝(－1－m ，－m ). ∵∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →＝3＋3m ＋m >0，可得m >－34.由题意知，当m ＝12时，AB →∥AC →，且AB →与AC →同向. 故当∠ABC 为锐角时，实数m 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8.(2017·北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.解析 设P (cos α，sin α)，∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，∴AO →·AP →＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1时取等号. 答案 6 三、解答题9.(2017·德州一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·江西新高考联盟质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，c 2，n ＝(cos C ，cos A )，且m ·n ＝b cos B ，则B 的值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3解析 ∵m ·n ＝a 2cos C ＋c 2cos A ，且m ·n ＝b cos B . ∴a 2cos C ＋c 2cos A ＝b cos B ，即a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B .∵0<B <π，sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.答案 B12.(2017·浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析 由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b | ＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.答案 4 2 513.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8).(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k .∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.。
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