课时跟踪检测 (二十八) 函数的零点与方程的解

课时跟踪检测 （二十八） 函数的零点与方程的解

层级(一) “四基”落实练

1．若函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：

则函数y ＝f (x )在x ∈[1,6]上的零点至少有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

解析：选B 由表得f (1)f (2)＜0，f (4)f (5)＜0， 因为函数的图象是连续不断的，

所以函数在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点， 所以函数y ＝f (x )在x ∈[1,6]上的零点至少有两个．

2．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＞0，f (2)＜0，则f (x )在(1,2)上的零点( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个

D ．一个也没有

解析：选C 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)＜0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则必有f (1)·f (2)＞0，与已知矛盾．

3．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C.???

?0，12 D ．????

12，1

解析：选C ∵函数f (x )＝e x ＋4x －3在R 上连续且单调递增， 且f (0)＝e 0－3＝－2＜0，

f ????12＝e ＋2－3＝e －1＝e 1

2－e 0

＞0， ∴f (0)·f ????12＜0，

∴函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为???

?0，1

2. 4．方程x ＋log 3x ＝3的解为x 0，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n ＝( ) A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选C 设f (x )＝x ＋log 3x －3，则f (1)＝1＋log 31－3＝－2＜0，f (2)＝2＋log 32－3＝log 32－1＜0，f (3)＝3＋log 33－3＝1＞0，又易知f (x )为单调增函数，∴方程x ＋log 3x ＝3的解在(2,3)内，因此n ＝2.故选C.

5．已知函数f (x )＝?????

log 12x ，x ＞0，

2x ，x ≤0，

若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实根，则

实数k 的取值范围是( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，1)

C ．(1，＋∞)

D ．(0,1]

解析：选D 作出函数f (x )的图象，由图象知，当0＜k ≤1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有两个交点，此时方程f (x )＝k 有两个不等实根，所以0＜k ≤1，故选D.

6．已知函数f (x )＝ln x －m 的零点位于区间(1，e)内，则实数m 的取值范围是________． 解析：由题意，令f (x )＝ln x －m ＝0，得m ＝ln x ， 因为x ∈(1，e)，所以ln x ∈(0,1)，故m ∈(0,1)． 答案：(0,1)

7．函数f (x )＝?

????

4x －4，x ≤1，

x 2－4x ＋3，x ＞1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是

________．

解析：作出g (x )与f (x )的图象如图，由图知f (x )与g (x )有3个交点．

答案：3

8．若abc ≠0，且b 2＝ac ，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点的个数是________． 解析：∵ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式Δ＝b 2－4ac ，b 2＝ac ，且abc ≠0，∴Δ＝－3b 2＜0， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根． ∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 无零点． 答案：0

9．求函数f (x )＝log 2x ＋2x －7的零点个数，并写出它的一个大致区间． 解：设g (x )＝log 2x ，h (x )＝－2x ＋7， 作出g (x )，h (x )的图象如图所示．

由图可知g (x )与h (x )只有一个交点，则log 2x ＋2x －7＝0有一个根， ∴函数f (x )有一个零点．f (2)＝log 22＋22－7＝－2，f (3)＝log 23＋23－7＞0， ∴f (2)·f (3)＜0.

∴零点的一个大致区间为(2,3)．

10．已知函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点． (1)若函数的两个零点是－1和－3，求k 的值； (2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围． 解：(1)－1和－3是函数f (x )的两个零点，

故－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根．

则?????

－1－3＝k －2，－1×(－3)＝k 2

＋3k ＋5，

解得k ＝－2.

(2)函数的两个零点为α和β，

则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根． ∴????

?

α＋β＝k －2，αβ＝k 2

＋3k ＋5，Δ＝(k －2)2

－4×(k 2

＋3k ＋5)≥0.

则－4≤k ≤－43，且α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k 2－10k －6在－4≤k ≤－4

3上单调递减，

∴α2＋β2在区间????－4，－43上的最大值是18，最小值是509.

层级(二) 素养提升练

1．若函数y ＝????13|x －1|

＋m 有零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．[－1,0)

D ．(0，＋∞)

解析：选C 因为函数y ＝????13|x －1|＋m 有零点，

所以方程????13|x －1|

＋m ＝0有解，

即方程????13|x －1|＝－m 有解，因为|x －1|≥0，所以0＜????13|x －1|≤1，即0＜－m ≤1，因此－1≤m ＜0，故选C.

2．若函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在x ∈[0,1]上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是________．

解析：当a ＝0时，函数的零点为1

2，满足题意．

当a ≠0时，f (0)＝1＞0.

①当函数的对称轴不在区间内时，

由函数f (x )＝ax 2－2x ＋1在x ∈[0,1]上存在唯一零点， 得f (1)＝a －1＜0，可得a ＜1，且a ≠0； ②当函数的对称轴在区间[0,1]内时， 由函数f (x )＝ax 2－2x ＋1的对称轴为x ＝1

a ，

可得??

?

0≤1

a ≤1，f ???

?1a ＝0，即?????

a ≥1，

1a －2a ＋1＝0，

解得a ＝1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]

3．已知函数f (x )＝?

????

－x ＋k ，x ＜0，

x 2－1，x ≥0，其中k ≥0.

(1)若k ＝2，则f (x )的最小值为______；

(2)若关于x 的函数y ＝f (f (x ))有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________． 解析：(1)当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2在区间(－∞，0)上单调递减，则f (x )＞2； 当x ≥0时，f (x )＝x 2－1在区间(0，＋∞)上单调递增，则f (x )≥f (0)＝－1. 则f (x )的最小值为－1. (2)令f (x )＝t ，则y ＝f (t )．

当k ∈[0,1)时，函数f (x )的图象如图①所示．

则f (t )＝0?t ＝1，则函数f (x )的图象与直线y ＝1有两个交点，则k ∈[0,1)满足题意． 当k ∈[1，＋∞)时，函数f (x )的图象如图②所示．

则f (t )＝0?t ＝1，则函数f (x )的图象与直线y ＝1只有一个交点，则k ∈[1，＋∞)不满足题意．

综上，k ∈[0,1)． 答案：(1)－1 (2)[0,1)

4．已知f (x )＝log 3(3x ＋1)＋1

2kx (x ∈R )是偶函数．

(1)求k 的值；

(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝1

2x ＋a 有公共点，求a 的取值范围．

解：(1)∵y ＝f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴log 3(3－x ＋1)－12kx ＝log 3(3x ＋1)＋1

2

kx ，

化简得log 3? ??

??3－x ＋13x ＋1＝kx ，即log 31

3x ＝kx ，

∴log 33－x ＝kx ，∴－x ＝kx ，

即(k ＋1)x ＝0对任意的x ∈R 都成立，∴k ＝－1. (2)由题意知，方程log 3(3x ＋1)－12x ＝1

2

x ＋a 有解，

亦即log 3(3x

＋1)－x ＝log 3? ??

??

3x ＋13x ＝a 有解，

∴log 3???

?1＋1

3x ＝a 有解．

由13x ＞0，得1＋1

3x ＞1，∴log 3????1＋13x ＞0， 故a ＞0，即a 的取值范围是(0，＋∞)． 5．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝log 2x .

(1)若x 0是方程f (x )＝32－x 的根，证明2x 0是方程g (x )＝3

2

－x 的根；

(2)设方程f (x －1)＝52－x ，g (x －1)＝5

2－x 的根分别是x 1，x 2，求x 1＋x 2的值．

解：(1)证明：因为x 0是方程f (x )＝3

2－x 的根，

所以2x 0＝32－x 0，即x 0＝3

2－2x 0，

则g (2x 0)＝log 22x 0＝x 0＝3

2－2x 0.

所以2x 0是方程g (x )＝3

2

－x 的根．

(2)由题意知，方程2x －1＝52－x ，log 2(x －1)＝5

2－x 的根分别是x 1，x 2，

即方程2x －1＝32－(x －1)，log 2(x －1)＝3

2－(x －1)的根分别为x 1，x 2，

令t ＝x －1，

则方程2t ＝32－t ，log 2t ＝3

2－t 的根分别为t 1＝x 1－1，t 2＝x 2－1.

由(1)知t 1是方程2t ＝32－t 的根，则2t 1是方程log 2t ＝3

2－t 的根．

令h (t )＝log 2t ＋t －3

2，则2t 1是h (t )的零点，

又因为h (t )是(0，＋∞)上的增函数，

所以2t 1是h (t )的唯一零点，即2t 1是方程log 2t ＝3

2－t 的唯一根．

所以2t 1＝t 2，

所以t 1＋t 2＝t 1＋2t 1＝32，即(x 1－1)＋(x 2－1)＝3

2，

所以x 1＋x 2＝32＋2＝7

2

.