材料力学工程构件静力学平衡问题

-例题
18
3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 解： 取减速箱为研究对象。减速箱 上除作用有已知的两个力偶外，还 有螺栓及支承面的铅直约束力FNA和 FNB。因为力偶仅与力偶平衡，所以 FNA和FNB必须等值、反向组成一力偶， 如图3-3示。 减速箱受平面力偶系作用，由平面 力偶系的平衡方程
M M M F AB 0 i 0， 1 2 N A
解出：
3 2
H 45º
2r
2 M F F B F C A 3 r
45º
求出的值为正，说明实际方向与所设方向相同。
22
3.3 平面一般力系的平衡条件
受平面任意力系作用的刚体,平衡条件
F R 0 Mo 0
■平衡方程
F R 0 Mo 0
X 0 平面一般力系的 （3.8） Y 0 平衡方程
FRx Xi 0 FRy Yi 0
平面汇交力系的平 衡方程
平面汇交力系有2个独立的平衡方程，可解2个未知量。
4
解题步骤: 1.选取处于平衡状态的物体作为研究对象 2.画出分离体受力图 3.设置坐标系,列出平衡方程,求解未知量
5
3.1 汇交力系的平衡条件和方程
M ( F ) 0 o
*平面一般力系有三个独立的方程，可解三个未知量。 *投影轴可任选，力矩方程的矩心也可任选。
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3.3 平面一般力系的平衡条件
平衡方程的应用中投影轴与矩心的选取是任意的，应
尽可能使每一投影方程中只含一个未知量，而矩心应选在 未知力数量较多的交点上。由于平衡方程（3-8）中仅有一 个力矩方程，故又称为一矩式平衡方程
Xi 0
， ，
F F cos 30 T cos 45 0 （1） BC AB 1
（2） F sin 30 T sin 45 T 0 A B 1 2
Y i 0
T 1 T 2 G
由式（1）（2）（3）解得：
（3）
8
3.1 汇交力系的平衡条件和方程
-例题
于x 轴
A、B、C 三点不
在同一条直线上
25
C
3.3 平面一般力系 必须指出，平面任意力系平衡时，力系中各力对 任意轴投影的代数和以及对任意点之矩的代数和都等
于零，也就是说可以有无限多个方程，但其中只有三
个是独立的，只能求解三个未知量. 对平面任意力系，上述三组方程式（3-8）、（3-9）、 （3-10）都可用来解决平衡问题，实际应用中究竟选择哪 一组方程需根据具体条件灵活确定，但其原则是尽可能的 使平衡方简单，最好是一个方程中只有一个未知量。

1 . 8 代入得 F 57 arc tan 26 3 4 KN . 68 T 3 . 6
将FT值代入式（1）、（2）得
2 . 7 G 5 . 4 G 1 2 F T 3 . 6 sin ，以G1,G2的值及
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3.3 平面一般力系的例题 KN， F 7 .40KN F .59 Ay A x51
24
3.3 平衡方程的其他形式
1
二矩式：
X 0 M ( F ) 0 （3.9） M ( F ) 0
A
B
M ( F ) 0 A M ( F ) 0 （3.10） B M ( F ) 0 C
2
三矩式：
附加条件：
附加条件：
B A
x
B
A
A、B 连线不垂直


(1)
Y i 0 ，
Fcos F cos P 0
BA
2
DA
2
(2)
12
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 由式（1）（2）解得： F BA F DA
-例题
P
2cos 2
（2） 取滚轮B为研究对象 分析受力：滚轮B受链杆AB,BC 的约束力FAB,FBC，压板的约束力 FNB，组成平面汇交力系，如图c 所示，建立图示坐标系，列平衡 方程
M ( F ) 0 . 6 F 1 . 8 G 0 . 9 G 0 ，3 C Ay 2 1
30
3.3 平面一般力系的例题 取A、C、D点为矩心，三矩式平衡方程为
M ( F ) 0 . 6 F sin 2 . 7 G 5 . 4 G 0 ， 3 A T 1 2
-例题
F F (sin cot cos ) N B AB 2 2
因为FBA=FAB,将式（3）代入得
P F 1 tan cot ) N B ( 2 2
15
3.1 汇交力系的平衡条件和方程
-例题
夹具左右对称，故滚轮受到压板作用力之大小 与FNB相等，压板受到两滚轮的总压力FN为：

13
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 平衡方程为：
-例题
sin F sin 0 Xi 0 ， F CB AB 2

(4)
Y i 0
F cos F cos 0(5) N B CB AB ， F 2
14
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 由（4）和（5）解得：
M ( F ) 0， C
M ( F ) 0 ， D
3 . 6 F 1 . 8 G 0 . 9 G 0 Ay 2 1
1 . 8 F 5 . 4 G 2 . 7 G 0 Ax 2 1
同样可得上述结果。
31
3.3 平面一般力系的例题 例3-6 端固定的悬臂梁AB受力如图（a） 所示，梁的全长上作用有载荷集度为q的均 布载荷，自由端有集中载荷FP和力偶M的 2 F ql M ql 作用，已知 P ， ，l为梁 的长度。求固定端约束力。
F 2 F ( 1 tan cot ) P N N B 2
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3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程
受力偶系作用的刚体，平衡
M0
M 0 x M y 0 M 0 z
M0
力偶系的平衡方 程
平面力偶系 平衡条件:
M M 0 i
代数和为零
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3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 例3-3 如图所示的减速箱的输入轴 Ⅰ上受到一主动力偶的作用，力偶 125 N m，输出轴 矩的大小为 M 1 Ⅱ上受到一阻力偶作用，力偶 500 N m 矩的大小为 M ；轴Ⅰ和 2 轴Ⅱ互相平行，减速箱的重 量不计，并于A,B处用螺栓和 支承面固联。求A,B处所受 铅直约束力。（设螺栓无 预紧力）
6
3.1 汇交力系的平衡条件和方程
解：本题要求求解AB杆和BC杆的受力。 由题意知，AB杆和BC杆为二力杆，假 设AB受拉，BC受压，受力如图b所示。 小滑轮的自重及几何尺寸不计，取小滑 轮为研究对象，受平面汇交力系作用， 受力如图 c所示。
-例题
7
3.1 汇交力系的平衡条件和方程
-例题
建立坐标系Bxy如图c示，为 计算各力投影时的方便，使x轴 沿FBC方向，y轴垂直向上，列 出平衡方程：
33
3.3 平面一般力系的例题
建立图示坐标，其平衡方程:
X 0 ,
FAx 0
F F F 0 Ay q P
Y 0 ,
l F F l M 0 M ( F ) 0, M A q P A 2
解得：
FAx 0
，
5 2 FAy 2ql ， M A ql 2
2
3.1 汇交力系的平衡条件和方程
平衡的结论 受空间汇交力系作用的刚体，平衡
而
FR 0
X 0 Y 0 Z 0
i
i
FR 0
空间汇交力系 的平衡方程
i
空间汇交力系有3个独立的平衡方程，可解3个未知量。
3
3.1 汇交力系的平衡条件和方程
对于Oxy平面内的平面汇交力系，平衡方程变化为:
28
3.3 平面一般力系的例题
建立（b)所示坐标，平衡方程，
Hale Waihona Puke Baidu cos 0(1) X 0 ， F Ax T
(2) F F sin G G 0 1 2 Y 0 , Ay T (3) M ( F ) 0, 3 . 6 F sin 2 . 7 G 5 . 4 G 0 A T 1 2 由（3）式解得
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3.1 汇交力系的平衡条件和方程 (1)取销钉A为研究对象： 分析受力：杆AB，AD 均为二力杆，假设受压。 销钉A在由P，FBA，FDA 组成的平面汇交力系作用下处于平 衡，其受力图如图b，建 立图示坐标，平衡方程为
-例题
sin F sin 0 Xi 0 ， F BA DA 2 2
第3章 工程构件的静力学平衡问题 1.本章将建立汇交力系、力偶系、任意力系
的平衡条件和平衡方程
2.应用平衡条件和平衡方程求解物体和物体
系统的平衡问题。
1
第3章 工程构件的静力学平衡问题
3.1 3.2 汇交力系的平衡条件和方程 力偶系的平衡条件和平衡方程
3.3 平面一般力系的平衡条件 3.4 简单的刚体系统平衡问题
26
3.3 平面一般力系的例题
例3-5 起重机水平梁AB，A处为固定铰链支座，DC为 钢索。已知梁重G1=2.4KN，电动小车与重物共重 G2=16KN，尺寸如图（a）所示。试求当电动小车 在图示位置时，钢索的拉力和铰链支座A的约束力。
27
3.3 平面一般力系的例题 解： 取梁AB为研究对象 分析受力，作用于梁AB的力，除其自重G1外，在B处 受载荷G2的作用，C处有钢索拉力FT，铰链支座A处的 约束力为FAx和FAy，受力图如图（b）所示。梁AB在 平面任意力系作用下处于平衡。
FAy为负值，表明受力图中FAy的实际指向与图中 的假设相反。
注：本题可用二矩式及三矩式平衡方程求解。取A、 C为矩心，二矩式平衡方程为
X 0 ， F F cos 0 Ax T
M ( F ) 0 . 6 F sin 2 . 7 G 5 . 4 G 0 ，3 A T 1 2
-例题
19
3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 解得：
-例题
F F 625 N N A N B
20
3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 例题 3-4 已知: 结构受力如图所示,
-例题
图中M, r均为已知,且 l = 2r. 求: 画出AB和BDC杆的受
力图;并求A, C处的约束力.
解： 1. 取AB杆为研究对象;
-例题
例3-2 气动夹具简图如图a所示。直杆AB,BC， AD,DE均为铰链连接，且AB=AD，B,D为两个滚动轮 杆和轮的自重不计，接触处均光滑，已知图示位置的夹角 为 和 ，活塞气体总压力为P。求压板受到滚轮 的压力有多大？

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3.1 汇交力系的平衡条件和方程
-例题
解：作用在活塞上的压力通过销钉A推动杆AB，AD, 使滚轮B,D压紧压板，故可首以销钉A为研究对象，再取 取B或D为研究对象。
32
3.3 平面一般力系的例题
解 :取悬臂梁AB为研究对象。AB受主动力FP、力 偶M、分布载荷q作用，将均匀分布载荷转化为集 中载荷Fq，作用在AB的中点；A端的约束为固定 端约束，其约束力为FAx、FAy，指向假设如图3-6 （b）所示，约束力偶为MA，其转向假设为逆时针。 研究对象的受力图如图3-6（b）所示，受平面任意 力系的作用处于平衡状态。
34
若在平面力系中,各力的 作用线互相平行,如图,取 y轴与各力平行。 由平面任意力系的平衡 方程
G ( 1 sin 45 ) F 5 . 12 kN AB sin 30
F F cos 30 G cos 45 5 . 49 kN BC A B
由于FAB和FBC均为正值，说明受力途中假定的各力 的指向正确，即AB杆受拉，BC杆受压。
9
3.1 汇交力系的平衡条件和方程
AB杆为二力杆，受 力如图。
2. 取BDC杆，
B 处受力的方位可 以判断出。
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3.2 力偶系的平衡条件和平衡方程 问题：能否确定C处受力的方位？ 3 计算
-例题
M0
力偶臂EC为：
M F EC 0 B
EC EH HC r cos 45 2 r cos 45

例3-1 如图a所示为一简单的起重设备。
-例题
AB和BC两在A,B,C三处用铰链连接。在 B处的销钉上装一不计重量的光滑小滑轮 ，绕过滑轮的起重钢丝绳，一端悬重为 G=1.5KN的重物，另一端绕在卷扬 机绞盘D上。当卷扬机开动时， 可将重物吊起，设AB和BC 两杆的自重不计，小滑轮 尺寸亦不考虑，并设重 物上升时匀速的， 试求AB杆和BC杆所受的力.