沪教版九年级数学二次函数单元测试
百度文库 - 让每个人平等地提升自我 1 沪教版九年级数学二次函数单元测试（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题 1．烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”，特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度(m)h
与飞行时间(s)t的关系式是130252tth，礼炮点火升空后会在最高点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为（ ） Ａ．91米 Ｂ．90米 Ｃ．81米 Ｄ．80米 2．如图，下列四个阴影三角形中，面积相等的是（ ）
3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象所示，若∣ax2+bx+c∣=k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k<-3 B. k>-3 C. k<3 D. k>3
4．根据下列表格中的对应值得到二次函数cbxaxy2（a≠0）于x轴有一个交点的横坐标x的范围是（ ） x y ﹣ ﹣
A．x＜ B．＜x＜ C．＜x＜ D．＜x＜ 5．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为【 】
A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点百度文库 - 让每个人平等地提升自我 2 B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是【 】
A．①④ B．①③ C．②④ D．①② 7．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处， 则平移后的抛物线解析式是【 】
A．y＝（x＋1）2－1 B．y＝（x＋1）2＋1 C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝（x－1）2－1 8． 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），有下列
结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2＞4a；④a+b+c＜0.其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9．已知二次函数2(0)yaxbxca的图象如图（1）所示，则直线yaxb与反比
例函数acyx，在同一坐标系内的大致图象为（ ）
10． 二次函数2yxbxc的图象如图所示，则2bc 的值是（ ） 百度文库 - 让每个人平等地提升自我
3 A． 13 B． 8 C． 5 D． 7 二、填空题 11．当«Skip Record If...» 时，函数«Skip Record If...»是二次函数。 12．抛物线322xxy的顶点坐标是
13．函数y=-2x的图象的两个分支分布在第_______象限. 14．（1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ； （2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则所有满足条件的t的值为 ．
15．已知抛物线622mxxy与x轴相交时两交点间的线段长为4，则m的值是 。 16．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来． 17． 将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线解析式为 . 18．当22x时，下列函数中，函数值y随自变量x增大而增大的是 （只填
写序号）
①2yx；②2yx；③2yx；④268yxx． 三、计算题 19．（本小题满分12分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=16 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）用含t的式子表示△OPQ的面积S； （2）判断四边形OPBQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； （3）当△OPQ∽△ABP时，抛物线y＝41x2+bx+c经过B、P两点，求抛物线的解析式；
B
A P x
C Q O
y
P 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 4 （4）在（3）的条件下，过线段BP上一动点M作y轴的平 行线交抛物线于N，求线段MN的最大值．
如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图像经过点B、D． y
xDOPC
BA 20．请直接写出用m表示点A、D的坐标 21．求这个二次函数的解析式； 22．点Q为二次函数图像上点P至点B之间的一点，连结PQ、BQ，求四边形ABQP面积的最大值．
四、解答题 百度文库 - 让每个人平等地提升自我
5 23．已知：如图，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点. （1）求证：△CDP∽△PAF； （2）设DP＝x，AF＝y，求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围； （3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由. （本题12分）
24．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A(O，－6),与x轴的一个交点坐标是B(－2，0)． (1)求二次函数的关系式，并写出顶点坐标； (2)将二次函数图象沿x轴向左平移«Skip Record If...»个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．
25．已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8） （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标； （3）x取什么值时，函数值大于0？ x取什么值时，函数值小于0？
26．已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1 （1）求抛物线的解析式; （2）画出抛物线的草图; （3）根据图象回答：当x取何值时，y>0. 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 6 27．某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件．为了增加销量，每降价1元，日销售量可增加2件．问将售价定为多少元时，才能使日利润最大？求最大利润． 7 参考答案 1．A 2．D 3．D 4．C 5．C。 6．A。 7．C。 8．B 9．B 10．D 11．-1 12．（1，-4） 13．二、四 14．1或3 15．±4 16．600。 17．y=x2-10x+27 18．①④ 19． 8 ∴当m=－ab2＝10时，MN有最大值是9 …………………12分 20．A(3－m，0)，D(0，m－3 ) 21．设以P（1，0）为顶点的抛物线的解析式为y＝a(x－1)2(a≠0) ∵抛物线过点B、D，
∴m＝a(3－1)2m－3＝a(0－1)2 解得m＝4a＝1 …………4分 所以二次函数的解析式为y＝(x－1)2， 即：y＝x2－2x＋1 …………5分 22．设点Q的坐标为(x，x2－2 x＋1)，显然1＜x＜3 …6分 连结BP，过点Q作QH⊥x轴，交BP于点H. 9
yxDOPC
BAQ H
∵A（－1，0），P（1，0），B（3，4） ∴AP＝2，BC＝3，PC＝2 由P（1，0），B（3，4）求得直线BP的解析式为y＝2x－2 ∵QH⊥x轴，点Q的坐标为(x，x2－2 x＋1) ∴点H的横坐标为x，∴点H的坐标为(x，2x－2) ∴QH＝2x－2－(x2－2x＋1)＝－x2＋４x－3 …………7分
∴四边形ABQP面积S＝S△APB＋S△QPB＝12×AP×BC＋12×QH×PC
＝12×2×4＋12×(－x2＋４x－３)×2 ＝－x2＋４x＋1＝－(x－2)2＋5 …………9分 ∵1＜x＜3 ∴当x＝2时，S取得最大值为5， …………10分 即当点Q的坐标为(2，1)时，四边形ABQP面积的最大值为5
23．（1）见解析（2）y＝232xx（0＜x＜3）（3）不存在符合要求的点P 24．(1/2,-25/4)；y=(x+2)︿2-25/4 25．（1）4222xxy；（2）)29,21(；（3）1,2xx时，y>0；12x时，y<0 26．（1）y=—2x2+4x+6；（2）略；（3）—1＜x＜3 27．售价定为34元时，才能使日利润最大，最大利润是512元
2019—2020年沪科版九年级数学第一学期《二次函数与反比例函数》单元达标检测及答案.docx
第21章达标检测卷(150分，90分钟)题 号 一 二 三 总 分得 分一、选择题(每题4分，共40分)1．下列函数中，不是反比例函数的是( )A ．x ＝5yB ．y ＝－k x (k ≠0)C ．y ＝x －17D ．y ＝－1|x|2．抛物线y ＝－x 2不具有的性质是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．与y 轴不相交 D ．最高点是原点3．某公司举行年会，一共有n 个人参加，若每两个人都要握手一次，握手的总次数为y ，则y 与n 之间的函数表达式为( )A ．y ＝n 2＋nB ．y ＝n 2－nC ．y ＝12n 2－12nD ．y ＝12n 2＋12n 4．关于反比例函数y ＝2x 的说法正确的是( )A ．图象经过点(1，1)B ．图象的两个分支分布在第二、四象限C ．图象的两个分支关于x 轴对称D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．－1＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜－1D ．x ＜－1或x ＞26．函数y ＝ax与y ＝ax 2(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )(第5题)7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2的图象经过点(1，0)，则代数式2－a －b 的值为( ) A ．－3 B ．0 C ．4 D ．－48．(2015·苏州)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( )A ．x 1＝0，x 2＝4B ．x 1＝1，x 2＝5C ．x 1＝1，x 2＝－5D ．x 1＝－1，x 2＝59．把函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为y ＝x 2－3x ＋5，则( )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝21 10．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点(都不与正方形ABCD 的顶点重合)，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ，设四边形EFGH 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是( )(第10题)二、填空题(每题5分，共20分)11．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 的长为x 米，则菜园的面积y(平方米)与x(米)的函数表达式为________．(不要求写出自变量x 的取值范围)(第11题)(第12题)(第13题)(第14题)12．如图，A 是反比例函数图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 的面积为2，则这个反比例函数的表达式为________．13．如图，A 、B 是双曲线y ＝kx的一个分支上的两点，且点B(a ，b)在点A 的右侧，则b 的取值范围是____________．14．函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象如图所示，现给出以下结论：①3b ＋c ＝－6；②抛物线的对称轴是直线x ＝32；③当1＜x ＜3时，x 2＋(b －1)x ＋c ＞0；④两函数图象交点间的距离是22.其中正确结论的序号有________．三、解答题(15，16题每题10分，17题12分，18，19题每题14分，20，21题每题15分，共90分)15．(2015·珠海)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴是直线x ＝1. (1)求证：2a ＋b ＝0；(2)若关于x 的方程ax 2＋bx －8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．16．人的视觉机能受运动速度的影响很大，汽车司机的视野随着车速的增加而变窄．当车速为50千米/时时，视野为80度．如果视野f(度)是车速v(千米/时)的反比例函数，求f 与v 之间的函数表达式，并计算当车速为100千米/时时，视野的度数是多少？17．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ，B ，C 三点，其x ≥0的部分如图．(1)求该抛物对应的函数的表达式，并写出抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y＝ax2＋bx＋c的x＜0的部分；(3)利用图象写出x为何值时，y＞0.(第17题)18．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点；(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？19．(2015·南充)反比例函数y ＝kx (k ≠0)与一次函数y ＝mx ＋b(m ≠0)交于点A(1，2k－1)．(1)求反比例函数的表达式；(2)若一次函数的图象与x 轴交于点B ，且△AOB 的面积为3，求一次函数的表达式．20．某农户生产经销一种季节性农副产品，已知这种产品的成本价为30元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w(千克)与销售价格x(元/千克)有如下关系：w ＝－x ＋60.设这种产品每天的销售利润为y(元)．(1)求y 与x 之间的函数表达式．(2)当销售价格定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)为了尽快将产品销售完，且该农户想要每天的销售利润达到200元，那么销售价格应该定为多少？21．如图，已知二次函数图象的顶点为A(1，－3)，并经过点C(2，0)． (1)求该二次函数的表达式；(2)直线y ＝3x 与该二次函数的图象交于点B(非原点)，求点B 的坐标和△AOB 的面积； (3)点Q 在x 轴上运动，求出所有使得△AOQ 是等腰三角形的点Q 的坐标．(第21题)答案一、1.D 2.C3．C 点拨：y ＝12n(n －1)＝12n 2－12n.4．D 点拨：对于函数y ＝2x ，当x ＝1时，y ＝2，故A 不正确；∵2＞0，∴图象的两个分支分布在第一、三象限，故B 不正确；图象的两个分支是关于原点对称的，故C 不正确；当x ＜0时，图象分布在第三象限，y 随x 的增大而减小，故D 正确．5．D6．D 点拨：当a ＞0时，抛物线开口向上，双曲线的两个分支在第一、三象限；当a ＜0时，抛物线开口向下，双曲线的两个分支在第二、四象限. 故选项D 正确．7．C 点拨：将点(1，0)的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋2，得0＝a ＋b ＋2，故a ＋b ＝－2，故2－a －b ＝2－(－2)＝4.8．D 点拨：∵二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴－b2＝2，解得b ＝－4，∴关于x 的方程x 2＋bx ＝5为x 2－4x ＝5，其解为x 1＝－1，x 2＝5.9．A 点拨：y ＝x 2－3x ＋5可变形为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋114，所以原函数的表达式是y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋194＝x 2＋3x ＋7，所以b ＝3，c ＝7. 10．B 点拨：由已知可得题图中四个直角三角形全等，面积相等，AE ＝x ，AH ＝1－x ，所以y ＝1－4×12x(1－x)＝2x 2－2x ＋1，所以图象为开口向上，对称轴是直线x ＝12的抛物线的一部分，故选B.二、11.y ＝－12x 2＋15x12．y ＝4x 点拨：设这个反比例函数的表达式为y ＝kx ，点A 的坐标为(m ，n)，m ＞0，n ＞0，则mn ＝k.在△ABP 中，AB ＝ m ，AB 边上的高为n ，所以12mn ＝2，所以k ＝mn＝4，所以这个反比例函数的表达式为y ＝4x.13．0＜b ＜214．①②④ 点拨：把点(3，3)的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，可得3b ＋c ＝－6；点(0，3)和点(3，3)都在抛物线上，所以抛物线的对称轴是直线x ＝32；从两函数的图象可以看出，当1＜x ＜3时，抛物线在直线的下方，即x 2＋bx ＋c ＜x ，所以x 2＋(b －1)x ＋c ＜0；两函数图象的两个交点分别是(1，1)和(3，3)，这两点到原点的距离分别为2和32，所以这两点之间的距离是32－2＝22.故①②④正确．三、15.(1)证明：由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝1，得－b 2a＝1.∴2a ＋b＝0.(2)解：抛物线y ＝ax 2＋bx －8与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3有相同的对称轴，且方程ax 2＋bx －8＝0的一个根为4.设ax 2＋bx －8＝0的另一个根为x 2，则满足：4＋x 2＝－ba.∵2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∴4＋x 2＝2，∴x 2＝－2.(第17题)16．解：由题意，可设f 与v 之间的函数表达式为f ＝kv (k ≠0)．∵当v ＝50时，f ＝80，∴80＝k50.解得k ＝4 000， ∴f ＝4 000v.当v ＝100时，f ＝4 000100＝40.∴当车速为100千米/时时，视野为40度．17．解：(1)由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(0，2)，B(4，0)，C(5，－3)，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＝c ，0＝16a ＋4b ＋c ，－3＝25a ＋5b ＋c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32，c ＝2，所以该抛物线对应的函数表达式为y ＝－12x 2＋32x ＋2，其顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，258.(2)如图所示． (3)由图象可知，当－1＜x ＜4时，y ＞0. 18．(1)证明：因为(－2m)2－4(m 2＋3)＝－12＜0， 所以方程x 2－2mx ＋m 2＋3＝0没有实数根，所以不论m 为何值，函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象与x 轴都没有公共点． (2)解：设把函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象沿y 轴向下平移a(a ＞0)个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3－a.由得到的函数图象与x 轴只有一个公共点，可知方程x 2－2mx ＋m 2＋3－a ＝0有两个相等的实数根，所以(－2m)2－4(m 2＋3－a)＝0.解得a ＝3.所以把函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋3的图象沿y 轴向下平移3个单位长度，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点．19．解：(1)∵反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象过点A(1，2k －1)，∴k1＝2k －1，解得k ＝1.∴反比例函数的表达式为y ＝1x.(第19题)(2)如图，∵A(1，2k －1)，k ＝1， ∴点A(1，1)，点A 到x 轴的距离AM ＝1.由题意知S △AOB ＝12OB ·AM ＝3，∴12OB ×1＝3，即OB ＝6. 故B(6，0)或B ′(－6，0)．①当一次函数的图象过点A(1，1)，B(6，0)时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋b ＝1，6m ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－15，b ＝65.∴一次函数的表达式为y ＝－15x ＋65. ②当一次函数的图象过点A(1，1)，B ′(－6，0)时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋b ＝1，－6m ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝17，b ＝67. ∴一次函数的表达式为y ＝17x ＋67. 综上可知，一次函数的表达式为y ＝－15x ＋65或y ＝17x ＋67. 20．解：(1)y 与x 之间的函数表达式为y ＝w(x －30)＝(－x ＋60)(x －30)＝－x 2＋90x －1 800.(2)∵y ＝－x 2＋90x －1 800＝－(x －45)2＋225，∴当销售价格定为45元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)令y ＝200，则－(x －45)2＋225＝200，解得x 1＝50，x 2＝40.对于w ＝－x ＋60，w 随着x 的增大而减小，∴当x ＝40时，销售量w 更大．故销售价格应该定为40元/千克．21．解：(1)由二次函数图象的顶点为A(1，－3)可设该二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2－3.∵其图象过点C(2，0)，∴0＝a －3，解得a ＝3，∴该二次函数的表达式为y ＝3(x －1)2－3＝3x 2－6x.(2)解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝3x 2－6x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝9， ∴点B 的坐标为(3，9)．由A(1，－3)，B(3，9)可求得直线AB 对应的函数表达式为y ＝6x －9.令y ＝0，得x ＝32. 设直线AB 与x 轴的交点为D ，则OD ＝32， ∴S △AOB ＝S △BOD ＋S △AOD ＝12×32×9＋12×32×3＝9.(第21题)(3)△AOQ 是等腰三角形分以下三种情况：①AO ＝AQ ，此时点Q 与点C 重合，∴点Q 的坐标为(2，0)．②OQ ＝OA.由A(1，－3)可求得OA ＝10，∴OQ ＝10，∴此时点Q的坐标为(－10，0)或(10，0)．③QO＝QA，如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，则AQ＝x，OE＝1，AE＝3. 设OQ＝x，则AQ＝x，EQ＝x－1.在Rt△AEQ中，AQ2＝EQ2＋AE2，∴x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，∴此时点Q的坐标为(5，0)．综上，满足题意的点Q的坐标为(2，0)或(－10，0)或(10，0)或(5，0)．。
_第二十六章 二次函数 单元测试卷 2021-2022学年沪教版(上海)九年级上册数学(含答案)
2021-2022学年沪教新版九年级上册数学《第26章二次函数》单元测试卷一．选择题1．下列各式中表示二次函数的是（）A．y＝x2+B．y＝2﹣x2C．y＝D．y＝（x﹣1）2﹣x22．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝2x﹣1B．y＝C．y＝D．y＝﹣x2+2x 3．下列函数中，不是二次函数的是（）A．y＝1﹣x2B．y＝2（x﹣1）2+4C．D．y＝（x﹣1）（x+4）4．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（）A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上均不正确5．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．6．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（）A．B．C．D．7．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．4πD．都不对8．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①a﹣b+c＝0；②2a+b＝0；③4ac﹣b2＞0；④a+b≥am2+bm（m为实数）；⑤3a+c＞0．则其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，现要在抛物线y＝x（6﹣x）上找点P（a，b）；针对b的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲：若b＝15，则点P的个数为0；乙：若b＝9，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对二．填空题11．函数y＝（m+2）x2+2x﹣1是二次函数，则m．12．函数的图象是抛物线，则m＝．13．抛物线y＝x2﹣（b﹣2）x+3b的顶点在y轴上，则b的值为．14．若函数y＝（m﹣2）x|m|是二次函数，则m＝．15．如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为．16．当m＝时，函数y＝（m﹣4）+3x是关于x的二次函数．17．二次函数y1＝mx2、y2＝nx2的图象如图所示，则m n（填“＞”或“＜”）．18．如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝﹣3x2，②y＝﹣，③y＝﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）abc＞0；（3）b2﹣4ac＞0；（4）5a+c＝0；（5）若m≠2，则m（am+b）＞2（2a+b），其中正确的结论有（填序号）．20．若抛物线y＝2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为．三．解答题21．已知二次函数（k为常数），求k的值．22．已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？23．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围；（2）若这个函数是一次函数，求m的值；（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？24．画出函数y＝﹣x2+1的图象．25．已知函数y＝（m2+m）．（1）当函数是二次函数时，求m的值；；（2）当函数是一次函数时，求m的值．．26．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？27．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中，m＝．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有个不相等的实数根；②方程x2﹣2|x|＝2有个不相等的实数根；③关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根时，a的取值范围是．参考答案与试题解析一．选择题1．解：A、y＝x2+，含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；B、y＝2﹣x2，是二次函数，故此选项正确；C、y＝含有分式，故不是二次函数，故此选项错误；D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误．故选：B．2．解：A、y＝2x﹣1是一次函数，故A不是二次函数，B、y＝是反比例函数，故B不是二次函数，C、y＝既不是反比例函数也不是二次函数，故C不是二次函数；D、y＝﹣x2+2x，是二次函数，符合题意．故选：D．3．解：A、y＝1﹣x2，是二次函数，不合题意；B、y＝2（x﹣1）2+4，是二次函数，不合题意；C、y＝+x，不是整式，故不是二次函数，故此选项正确；D、y＝（x﹣1）（x+4），是二次函数，不合题意；故选：C．4．解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，则y＝k1x﹣k2x2，所以y是关于x的二次函数，故选：C．5．解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：A．6．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；故选：A．7．解：∵C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，∴两函数图象关于x轴对称，∴阴影部分面积即是半圆面积，∴阴影部分的面积S＝＝2π．故选：B．8．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，∴点A（3，0）关于直线x＝1对称点为（﹣1，0），∴当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．故①正确；∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故③错误；∵当x＝1时，函数有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确；∵b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故⑤错误；综上，正确的有①②④．故选：B．9．解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴二次函数y＝ax2+bx的图象：开口方向向下，对称轴在y轴右侧，10．解：∵点P（a，b），当b＝15时，则15＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+15＝0，∵Δ＝36﹣4×15＜0，∴点P的个数为0；当b＝9时，则9＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+9＝0，∵Δ＝36﹣4×9＝0，∴a有两个相同的值，∴点P的个数为1；当b＝3时，则3＝a（6﹣a），整理得a2﹣6a+3＝0，∵Δ＝36﹣4×3＞0，∴有两个不相等的值，∴点P的个数为2；故甲错，乙对，丙错，故选：C．二．填空题11．解：∵函数y＝（m+2）x2+2x﹣1是二次函数，∴m+2≠0，∴m≠﹣2．故答案为：≠﹣2．12．解：根据二次函数的定义，m2+1＝2且m﹣1≠0，解得m＝±1且m≠1，所以，m＝﹣1．故答案为：﹣1．13．解：根据题意，把解析式转化为顶点形式为：y＝x2﹣（b﹣2）x+3b＝（x﹣）2+3b﹣（）2，顶点坐标为（，3b﹣（）2），∵顶点在y轴上，∴＝0，∴b＝2．14．解：由题意得：|m|＝2，且m﹣2≠0，解得：m＝﹣2．故答案为：﹣2．15．解：由抛物线的开口方向和大小可知，a＞b＞0，c＜d＜0，∴a＞b＞d＞c，故答案为：a＞b＞d＞c．16．解：∵函数y＝（m﹣4）\;x4{{m}^{2}﹣5m+6}$+3x是关于x的二次函数，∴m2﹣5m+6＝2且m﹣4≠0，解得：m＝1，故答案为：1．17．解：根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，故m＞n，故答案为＞．18．解：①y＝﹣3x2，②y＝﹣x2，③y＝﹣x2中，二次项系数a分别为﹣3、﹣、﹣1，∵|﹣3|＞|﹣1|＞|﹣|，∴抛物线②y＝﹣x2的开口最宽，抛物线①y＝﹣3x2的开口最窄．故答案为：①③②．19．解：由对称轴为直线x＝2，得到﹣＝2，即b＝﹣4a，∴4a+b＝0，（1）正确；∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，所以（2）错误；因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故（3）正确；∵图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，即c＝﹣a+b＝﹣a﹣4a＝﹣5a，∴5a+c＝5a﹣5a＝0，故（4）正确；∵当x＝2时函数取得最大值，且m≠2，∴am2+bm+c＜4a+2b+c，即m（am+b）＜2（2a+b），故（5）错误；故答案为：（1）（3）（4）20．解：y＝2x2﹣px+4p+1可化为y＝2x2﹣p（x﹣4）+1，分析可得：当x＝4时，y＝33；且与p的取值无关；故不管p取何值时都通过定点（4，33）．三．解答题21．解：根据题意知，解得k＝﹣1．22．解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，∴m2+2m＝0，m≠0，解得：m＝﹣2；（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，∴m2+2m≠0，解得：m≠﹣2且m≠0．23．解：（1）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是二次函数，即m2﹣m≠0，即m≠0且m≠1，∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；（2）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是一次函数，即m2﹣m＝0且m﹣1≠0∴m＝0∴当m＝0，函数是一次函数；（3）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m是正比例函数，即m2﹣m＝0且2﹣2m＝0且m﹣1≠0∴m不存在∴函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m不可能是正比例函数．24．解：列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣8﹣3010﹣3﹣8…描点、连线如图．25．解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝1．26．解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0．27．解：（1）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2|x|得y＝0，即m＝0，故答案为：0；（2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有3个不相等的实数根；②如图，∵y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝2有两个交点，∴x2﹣2|x|＝2有2个不相等的实数根；③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个不相等的实数根，∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．。
沪科版-数学-九年级上册- 二次函数 单元测试1
二次函数 水平测试（90分钟 120分）一、选择题（每题3分，共30分）1，抛物线y ＝(x －2)2+3的对称轴是（ ）A.直线x ＝－3B.直线x ＝3C.直线x ＝－2D.直线x ＝2 2，在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2，y ＝14x 2，y ＝－14x 2的共同特点是（ ） A.关于y 轴对称，开口向上 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 C.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小 D.关于y 轴对称，顶点是原点3，把抛物线y ＝3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）A.y ＝3(x +3)2＝2B.y ＝3(x +3)2+2C.y ＝3(x －3)2－2D.y ＝3(x －3)2+24，把抛物线y ＝x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y ＝x 2－3x +5，则有（ ）A.b ＝3，c ＝7B.b ＝－9，c ＝－15C.b ＝3，c ＝3D.b ＝－9，c ＝215，已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图像如图1所示，则下列关系成立且能最精确表述的是（ ） A.0＜－2b a ＜1 B.0＜－2b a ＜2 C.1＜－2b a ＜2 D.－2ba＝16，函数y ＝ax 2+bx +c 的图像如图2所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c －3＝0 的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根 7，当k 取任意实数时，抛物线y ＝45(x －k )2+k 2的顶点所在曲线是（ ） A.y ＝x 2 B.y ＝－x 2 C.y ＝x 2(x ＞0) D.y ＝－x 2(x ＞0)8，已知四点A (1，2)，B (3，0)，C (－2，20)，D (－1，12).则下列说法正确的是（ ） A.存在一个二次函数y ＝x 2－5x +6，它的图象同时经过这四个点 B.存在一个二次函数y ＝x 2+2，它的图象同时经过这四个点 C.存在一个二次函数y ＝－x 2－5x +6，它的图象同时经过这四个点 D.不存在二次函数，使得它的图象同时经过这四个点 9，已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y ＝12x上，点N 在直线y ＝x +3上，设点M 的坐标为（a ，b ）.则二次函数y ＝－abx 2+(a+b )x （ ）A.有最小值，且最小值是92 B.有最大值，且最大值是－92 C.有最大值，且最大值是92 D.有最小值，且最小值是－9210，现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y ＝－x 2+4x 上的概率为（ ）3xy图2A.118B.112C.19D.16二、填空题（每题3分，共30分）11，抛物线y＝(x—1)2+3的顶点坐标为＿＿＿.12，二次函数y＝－4x2+2x+12的对称轴是直线＿＿＿.13，已知点P(5，25)在抛物线y＝ax2上,则当x＝1时，y的值为＿＿＿. 14，函数y＝x2+2x－8与x轴的交点坐标是＿＿＿.15，用配方法将二次函数y＝12x2－6x+21化成y＝a(x－h)2+k的形式，那么y＝＿＿＿.16，将y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是＿＿＿.17，请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为－1，且经过点(1，3)的抛物线的解析式＿＿＿.18，写出二次函数y＝x2+4x与y＝－12(x－3)2+2的不同点＿＿＿（至少现出5个）.19，已知二次函数y＝kx2+(2k－1)x－1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1＜x2)，则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当x1＞x2时，y＞0；③方程kx2+(2k－1)x－1＝0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1＜－1，x2＞－1；⑤x2－x1.其中所有正确的结论是＿＿＿（只需填写序号）.20，小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表：若输入的数据是x时，输出的数据是y，y是x的二次函数.则y与x的函数表达式为＿＿＿.三、解答题（每小题7分，共42分）21，利用二次函数的图像求下列一元二次方程的近似根.（1）x2－2x－1＝0；（2）x2+5＝4x.22，已知二次函数y＝－x2+4x.（1）用配方法把该函数化为y＝a(x－h)2 + k(其中a、h、k都是常数且a≠0)的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）函数图象与x轴的交点坐标.23，市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克.由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图3所示的一次函数关系.（1）试求出y与x的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出）.24，汽车行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析交通事故的一个重要因素.在一个限速40千米/时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米.查有关资料知：甲车的刹图3车距离S 甲 (米)与车速x (千米/时)之间有下列关系：S 甲＝0.1x +0.01x 2；乙车的刹车距离S 乙 (米)与车速x (千米/时)的关系如图4所示.请你从两车的速度方面分析相碰的原因.25，某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的形状如图5(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系式是y ＝－x 2+2x +54，请回答下列问题.（1）柱子OA 的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外.(1)图5/时)26，已知抛物线y＝12x2－x+k与x轴有两个交点.（1）求k的取值范围；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标.27，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.如图6的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？s(万元)432四、综合创新（每小题9分，共18分）28，如图7，已知抛物线y＝12x2+mx+n(n≠0)与直线y＝x交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OB，BC∥x轴．（1）求抛物线的解析式.（2）设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(点E在点D的上方)，DED、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF 的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值.参考答案一、1，D；2，D；3，D；4，C；5，C；6，C；7，A；8，A；9，A；10，B. 二、11，（1，3）；12，x＝－12；13，1；14，(2，0)、(－4,0)；15，y＝－12(x－6)2+3；16，y＝3x2+18x+25；17，y＝x2+3x－1等；18，①开口方向不同；②开口大小不同；③前者经过原点，后者不经过原点；④对称轴不同；⑤顶点不同；⑥与x轴的交点不同；⑦图象经过的象限不同；⑧二次项系数不同；⑨前者有最小值，后者有最大值；⑩解析式的右端，前者是二次二项式，后者是二次三项式.等等；19，①③④；20，y＝x2+1.三、21，(1)x1≈2.4，x2≈－0.4；(2)无实数根；22，（1）y＝－x2+4x＝－(x2－4x+4－4)＝－(x－2)2+4，所以对称轴为：x＝2，顶点坐标：(2，4).（2）y＝0，－x2+4x＝0，即x(x－4)＝0，所以x1＝0，x2＝4，所以图象与x轴的交点坐标为：(0，0)与(4，0)；23，（1）设y＝kx+b，由图象可知，30400 40200. k bk b+=⎧⎨+=⎩，解之，得201000.kb=-⎧⎨=⎩，即y＝－20x+1000（30≤x ≤50）.（2）p ＝(x －20)y ＝(x －20)(－20x +1000)＝－20x 2+1400 x －20000.因为a ＝－20＜0，所以p 有最大值.即当x ＝－()1400220⨯-＝35时，p 最大值＝4500.即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元.（3）31≤x ≤34或36≤x ≤39；24，解方程0.01x 2+0.1x ＝12,得x 1＝30，x 2＝－40(舍去)，故甲车的速度是30千米/时，未超过限速,由图像知：S 乙＝14x ，由110124x << 得40＜x ＜48.故乙车超速，原因在乙车超速行驶；25，(1)当x ＝0时，y ＝54，故OA 的高度为1.25米. (2)∵y ＝－x 2+2x +54＝－(x －1)2+2.25，∴顶点是(1，2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米. (3)解方程－x 2+2x +54＝0,得1215,22x x =-=.∴B 点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭. ∴OB ＝52.故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外；26，（1）根据题意得：方程12x 2－x +k ＝0有两个不等的实数根，即此求根公式中根号里面的因式大于0，即1－2k ＞0，∴k ＜12，∴k 的取值范围是k ＜12；（2）设A （x 1，0）、B （x 2，0），则由求根公式求得x 1+ x 2＝2，x 1x 2＝2k ，∴AB ＝12x x -，由y ＝12x 2－x +k ＝12（x －1）2+k －12得顶点D （1，k －12），当△ABD 是等腰直角三角形时得；12k -＝12，解得k 1＝－32，k 2＝12，∵k ＜12，∴k ＝12舍去，∴所求抛物线的解析式是y ＝12x 2－x －32；（3）设E （0，y ），则y ＞0，令y ＝0得12x 2－x －32＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3，∴A （－1，0）、B （3，0），令x ＝0得：y ＝－32，∴C （0，－32），（i ）当△AOE ∽△BOC 时得：AO OE BO OC =，∴1332y = 解得y ＝12，∴E 1（0，12）；（ii ）当△AOE ∽△COB 时得：AO OE OC BO=，∴1332y=，解得y ＝2，∴E 2（0，2），∴当△AOE 和△BOC 相似时，E 1（0，12）或E 2（0，2）； 27，（1）设s 与t 的函数关系式为s ＝at 2+bt +c ，由题意得 1.5422255 2.5a b c a b c a b c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩（或1.54220a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩），解得1220a b c ⎧=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎩ ∴s ＝2122t t -；（2）把s=30代入s ＝2122t t -，得30＝2122t t -，解得t 1＝10，t 2＝－6（舍），答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元；（3）把t ＝7代入，得s ＝212172710.522⨯-⨯== ，把t ＝8代入，得s =21828162⨯-⨯=，16－10.5＝5.5，答：第8个月公司获利润5.5万元..四、28，(1)∵抛物线212y x mx n =++与y 轴交于点C ，∴C(0，n ) ∵BC ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为n ，∵B 、A 在y =x 上，且OA =OB ∴B (n ，n )，A (-n ，-n )，∴221212n mn n n n mn n n⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 解得n =0(舍去)，n =-2；m =1，∴所求解析式为：2122y x x =+-；(2)作DH ⊥EG 于H ，∵D 、E 在直线y =x 上，∴∠EDH =45°，∴DH =EH ，∵DE∴DH =EH =1，∵D (x ，x ) ∴E (x +1，x+1)，∴F 的纵坐标：2122x x +-，G 的纵坐标：21(1)(1)22x x +++-，∴DF =x -(2122x x +-)=2-212x ，EG =(x +1)- hslx3y3h 21(1)(1)22x x +++-hslx3y3h=2－21(1)2x +，∴22111[22(1)]1222y x x =-+-+⨯，2132y x x =--+，213()324y x =-++，∴x 的取值范围是-2<x <1 当x ＝－12时，y 最大值＝334.。
上海所在城市九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(有答案解析)
一、选择题1．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．如图等边ABC 的边长为4cm ，点P ，点Q 同时从点A 出发点，Q 沿AC 以1cm/s 的速度向点C 运动，点P 沿A B C --以2cm/s 的速度也向点C 运动，直到到达点C 时停止运动，若APQ 的面积为()2cm S ，点Q 的运动时间为()s t ，则下列最能反映S 与t 之间大致图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．若飞机着陆后滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，则函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如果二次函数2112y x ax =-+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程4311x ax x ++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（ ）． A ．9 B ．8 C ．4 D ．35．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（ ） A ．当1x >时，12y y < B ．当1x <时，12y y > C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >6．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x时，0y >，其中正确的是（ ）A ．①②⑤B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤8．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b +<C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根D ．930a b c ++<9．如果将抛物线23y x =+先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)1y x =++ C ．21y x =+D ．2(1)1y x =-+10．把函数2(1)2y x =-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．2(1)3y x =-+11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）A ．0b <B ．0c >C ．0a b c ++=D ．240b ac -<12．在平面直角坐标系中，将函数22y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（ ） A ．22(1)5y x =-++ B ．22(1)5y x =--+ C ．22(1)5y x =-+-D ．22(1)5y x =---第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，则不等式2ax mx c n -+<的解集是_____________．14．对于抛物线243y x x =-+，当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解，则t 的取值范围是 ______．15．小明从如图所示的二次函数()20y ax bx c a =++≠图象中，观察得出了下面五条信息：①32a b =；②240b ac -=；③ 0ab >；④0a b c ++<；⑤20b c +>．你认为正．确．信息的有_______________．（请填序号）16．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,3)-，这个二次函数的解析式可以是_______________________．17．已知自变量为x 的二次函数4()()y ax b x b=++经过(,4),(2,4)m m +两点，若方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，则其另一个根为__________．18．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a +b =0；②b 2-4ac ＜0；③当y ＞0时，x 的取值范围是 -1＜x ＜3；④当 x ＞0时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有a+b≥at 2+bt ．其中结论正确的是_________．19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0ac <；②20b a -=；③0a b c -+=；④当1x >时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论是______．（填序号）20．若函数21y mx x =++的图象与x 轴只有一个公共点，则m 的值是_______．参考答案三、解答题21．（1）若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值； （2）已知点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴．22．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李林从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x （单位：千米），乘坐地铁的时间1y （单位：分钟）是关于x 的一次函数，其关系如下表： 地铁站ABCDEx （千米） 8 9 10 11.5 13 1y （分钟）1820222528（1）求1y 关于x 的函数表达式．（2）李林骑单车的时间2y （单位：分钟）也受x 的影响，其关系可以用22121178y x x -+=来描述，请问：李林应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短?并求出最短时间．23．如图，□ABCD 中，AB=c ，AC=b ，BC=a ．（1）若四边形ABCD 是正方形，求抛物线2y ax bx c =+-的对称轴； （2）若抛物线2y ax bx c =+-的对称轴为直线34x =-，抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -．且1b c =+，求四边形ABCD 的面积．24．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过原点，点11,8⎛⎫ ⎪⎝⎭和动点P 都是该抛物线上点．（1）求该抛物线的解析式．（2）若y 轴上点()0,A m ，()()0,0B m m ->，//BC x 轴，过点P 作PC BC ⊥于C ，设点(),P x y 满足AP PC =，求m 的值．25．某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系如图所示． （1）求每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系式； （2）设果园的总产量为w (千克)，求w 与x 之间的函数表达式；（3）试说明（2）中总产量w (千克)随增种果树x (棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x 为多少棵时获得最大产量，最大产量w 是多少？26．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表： x…3-2-1- 0 1 … 2y ax bx c =++ …524924m…（1）直接写出c ，m 的值； （2）求此二次函数的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③． 【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点， 方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <， 抛物线与y 轴交于正半轴0c >， 对称轴直线为1x =-， ∴102ba-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键2．D解析：D 【分析】当点P 在AB 边运动时，S=12AQ×APsinA ，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，S=12×AQ×PCsinC ，即可求解． 【详解】解：当点P 在AB 边运动时，21133sin 222S AQ AP A t t t =⨯=⨯⨯⨯=， 图象为开口向上的抛物线， 当点P 在BC 边运动时，如下图，1133sin 2(6)(6)2222S AQ PC C t t t t =⨯⨯=⨯⨯-⨯=-，图象为开口向下的抛物线， 故选：D ． 【点睛】本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．3．C解析：C 【分析】根据关系式可得图象的开口方向，可求出函数的顶点坐标，根据s 从0开始到最大值时停止，可得t 的取值范围，即可得答案． 【详解】∵滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，-1.5＜0， ∴图象的开口向下，∵s=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600， ∴顶点坐标为（20，600）， ∵s 从0开始到最大值时停止， ∴0≤t≤20， ∴C 选项符合题意， 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．4．C解析：C 【分析】由二次函数的性质可先确定出a 的范围，再由二次函数的性质可确定出a 的范围，解分式方程确定出a 的取值范围，从而可确定出a 的取值，可求得答案． 【详解】 解：∵二次函数2112y x ax =-+， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝a ， ∴当x ＜a 时，y 随x 的增大而减小， ∵当x≤1时，y 随x 的增大而减小， ∴a≥1， 解分式方程4311x ax x ++=--可得x ＝72a -， ∵关于x 的分式方程4311x ax x++=--有正整数解， ∵x≠1，∴满足条件的a 的值为1，3，∴所有满足条件的整数a 的值之和是1＋3＝4， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a 的值是解题的关键．5．D解析：D 【分析】当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解． 【详解】 解：当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x， 把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3， ∴m ＝4，∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4）， 抛物线的对称轴为：x ＝3，如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．6．D解析：D 【分析】先假设0c <，根据二次函数2y ax bx c =++图象与y 轴交点的位置可判断A ，C 是否成立；再假设0c >，0b <，判断一次函数y cx b =-的图象位置及增减性，再根据二次函数2y ax bx c =++的开口方向及对称轴位置确定B ，D 是否成立．【详解】解：若0c <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而减小，此时二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴，故A ，C 错；若0c >，0b <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而增大，且图象与y 的交点在y 轴正半轴上，此时二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点也在y 轴正半轴，若0a >，则对称轴bx 02a =->，故B 错；若0a <，则对称轴02b x a=-<，则D 可能成立． 故选：D ． 【点睛】本题考查一次函数图象与二次函数图象的综合判断问题，解答时可假设一次函数图象成立，分析二次函数的图象是否符合即可．7．B解析：B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断出c 的大小，然后根据对称轴判断b 的大小，然后根据特殊值求出式子的大小即可；【详解】∵对称轴在y 轴的右侧，∴a 、b 异号，∵开口向下，∴0a <，0b >，∵函数图像与y 轴正半轴相交，∴0c >，∴0abc <，故①正确；∵对称轴12b x a=-=， ∴20a b +=，故②正确；∵20a b +=，∴2b a =-，∵当1x =-时，0y a b c =-+＜，∴()23＜0a a c a c --+=+，故③错误；根据图示，当1m =时，有最大值；当1m ≠时，有2am bm c a b c ++≤++，∴()(a b m am b m +≥+为实数），故④正确；根据图示，当13x 时，y 不只是大于0，故⑤错误；故正确的答案是①②④；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．8．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；对称轴为x=-2b a=1，得2a=-b ，∴2a+b=0，故B错误；由图像可得二次函数的图象与x轴有两个交点，故230+++=有两个相等的实数ax bx c根的说法错误，故C错误；∵对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点得横坐标小于2，∴当x=3时，y=9a+3b+c＜0，故D正确；【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．9．B解析：B【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【详解】解：抛物线y=x2+3的顶点坐标为（0，3），向下平移2个单位，再向左平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-1，1），所以，平移后的抛物线的解析式为y=(x+1)²+1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．10．C解析：C【分析】先求出y=（x-1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y=（x-2）2+2．故选：C．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．11．C解析：C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【详解】A ．因为抛物线的开口向下，则a<0；又因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，则-2b a>0，所以b>0，故A 错误；B ．抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴，则c<0，故B 错误；C ．抛物线与x 轴一个交点为（1，0），则x=1时，0y a b c =++=，故C 正确；D ．抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ∆=->，故D 错误，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与×轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键. 12．B解析：B【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2； 由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-2（x-1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2+5．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．二、填空题13．【分析】根据AB 两点的横坐标可得−1<x<3时ax2+c<mx+n 即可得出ax2−mx+c<n 的解集【详解】∵抛物线与直线交于A(−1p)B(3q)抛物线开口向上∴−1<x<3时ax2+c<mx+n解析：13x【分析】根据A 、B 两点的横坐标可得 −1<x<3 时， ax 2+c<mx+n ，即可得出 ax 2−mx+c<n 的解集．【详解】∵抛物线与直线交于 A(−1，p) ， B(3，q) ，抛物线开口向上，∴ −1<x<3 时， ax 2+c<mx+n ，∴ ax 2−mx+c<n 的解集为 −1<x<3 ．故答案为： −1<x<3【点睛】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的上下关系找出不等式的解集是解题关键． 14．﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题确定二次函数在上的取值范围即可求解【详解】解：当时关于x 的一元二次方程有解∴即在图象上和在相交∵当x=2时有最小解析：﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系，将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题，确定二次函数 21=43y x x -+在712x -<<上的取值范围即可求解． 【详解】 解：当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解， ∴243x x t -+= 即在图象上21=43y x x -+和2=y t 在712x -<<相交， ∵()21=21y x -- 当x=2时，1y 有最小值﹣1当x ＝﹣1是，1y 有最大值8 即当712x -<<是，﹣1≤y 1＜8 ∴﹣1≤t ＜8故答案为：﹣1≤t ＜8【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数交点的问题，解题的关键是正确理解题意，将方程转化为二次函数与一次函数相交的问题． 15．①③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系然后再根据对称轴与抛物线与x 轴的交点情况进行判断即可；【详解】∵抛物线开口向下∴a ＜0∴对称轴∴故①正确；∵抛物 解析：①③④⑤【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后再根据对称轴与抛物线与x 轴的交点情况进行判断即可；【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴对称轴123b x a =-=-，∴32a b =，故①正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴24b ac -＞0，故②错误；∵对称轴123b x a =-=-，a ＜0， ∴32a b =＜0， ∴ab ＞0，故③正确；当1x =时，y ＞0，即，y ＜0，∴a b c ++＜0，故④正确；当1x =-时，y ＞0，即，a b c -+＞0，∴222a b c -+＞0， ∵32a b =， ∴322b b c -+＞0，∴2b c +＞0，故⑤正确；故答案是①③④⑤．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．16．【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3取a=-1b=0即可得出结论【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线开口向下∴a ＜0∵抛物线与y解析：23=--y x【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），∴c=-3．取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x 2-3．故答案为：y=-x 2-3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a ＜0，c=-3是解题的关键．17．x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（04）可得两点的坐标进而求得对称轴根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根【详解】解：∵当x=0时=4∴m=0或m=﹣2∴二次函数经过或∴对称轴为直线解析：x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（0，4），可得(,4),(2,4)m m +两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根．【详解】解：∵当x=0时，4()()y ax b x b =++=4，∴m=0或m=﹣2，∴二次函数4()()y ax b x b =++经过(0,4),(2,4)或(2,4),(0,4)-，∴对称轴为直线x=1或x=﹣1，∵方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，∴方程的另一个根为x=﹣1或﹣5，故答案为：x=﹣1或﹣5．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键． 18．①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（30）∵对称轴为x=−＝1从而可知：2a+b=0故①正确；∵抛物线与x解析：①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（3，0）∵对称轴为x=−2b a＝1， 从而可知：2a+b=0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点（-1，0），（3，0）∴△=b 2-4ac ＞0，而②b 2-4ac ＜0，故②错误；由图象可知：当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，故③正确；由图象可知：当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故④错误；若t 为任意实数，x=1时，函数取得最大值，故a+b+c≥at 2+bt+c ，∴a+b≥at 2+bt ，故⑤正确，所以，结论正确的是①③⑤．故答案为：①③⑤．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．19．①③【分析】由抛物线的开口方向判断的符号由抛物线与轴的交点判断的符号然后根据对称轴抛物线的增减性进行推理进而对所得结论进行判断【详解】解：①图象开口向上与轴交于负半轴能得到：故①正确；②对称轴为直线解析：①③【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴、抛物线的增减性进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①图象开口向上，与y 轴交于负半轴，能得到：0a >，0c <，0ac ∴<，故①正确； ②对称轴为直线1x =，12b a∴-=， 2b a ∴=-，20b a ∴+=，故②错误；③由图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+=，故③正确；④由图象可知，在对称轴的右侧，从左往右图象逐渐上升，所以当1x >时，y 随x 的增大而增大，故④错误．故答案为：①③．【点睛】主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．0或【分析】需要分类讨论：①若则函数为一次函数；②若则函数为二次函数由抛物线与轴只有一个交点得到根的判别式的值等于0且m 不为0即可求出m 的值【详解】解：①若则函数是一次函数与x 轴只有一个交点；②若则 解析：0或14【分析】需要分类讨论：①若0m =，则函数为一次函数；②若0m ≠，则函数为二次函数．由抛物线与x 轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m 不为0，即可求出m 的值．【详解】解：①若0m =，则函数1y x =+，是一次函数，与x 轴只有一个交点；②若0m ≠，则函数21y mx x =++，是二次函数．根据题意得：140m ∆=-=， 解得：14m =． 故答案为：0或14． 【点睛】 本题考查抛物线与x 轴的交点，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．（1）94a =；（2）2x = 【分析】（1）由根的判别式进行计算，即可求出答案；（2）先求出k 的值，然后代入计算，即可求出对称轴．【详解】解：（1）抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点， 0∴∆=，即940a -=， ∴94a =． （2）点()3,0在抛物线()233y x k x k =-++-上， ()203333k k ∴=-⨯++-，9k ∴=，∴抛物线的解析式为：23129y x x =-+-，∴对称轴为：1222(3)x =-=⨯-． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出参数的值．22．（1）122y x =+；（2）应在B 站出地铁，时间最短，为79min 2． 【分析】（1）根据数据表，运用待定系数法解答即可； （2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y ，则y=12y y +列出y 与x 的二次函数解析式，最后运用二次函数求最值解答即可．【详解】解：（1）设1y kx b =+，将(8,18)，(9,20)代入得：188209k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩， 所以122y x =+；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y ，则22121122117898022y y x x x x x +=++-+=-+2179(9)22x =-+ 则当9x =时，12y y +取最小值792， 则应在B 站出地铁，时间最短，为79min 2． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，根据题意，确定二次函数的解析式是解答本题的关键．23．(1)x=2-；（2） ABCD 2S =四边形． 【分析】（1）由正方形推出a ，利用对称轴公式求对称轴（2）对称轴为直线34x =-利用公式得b=32a ，抛物线与x 轴交点为(),0c -代入得20ac bc c --=，1bc =+求出a b c 、、的值，由=a c 推出四边形ABCD 为菱形，利用菱形面积公式求出即可【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，，a2y ax bx c =+-=a (x 2对称轴为x=222b a a -==- (2) 对称轴为直线34x =-，∴利用对称轴公式得b=32a 抛物线2yax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -代入抛物线20ac bc c --=由c>0、b>0、a>0， 10ac b --=∴10132ac b b c b a ⎧⎪--=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得232a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩（负值已舍去），∵ABCD ，=2a c =∴四边形ABCD 为菱形连BD 交AC 于O ，BO ⊥AO ，AO=OC=1.5在RtΔABO 中，由勾股定理2272OB AB AO =-=，AD=2OB=7 ∴ABCD 137732S =⨯⨯=四边形【点睛】本题考查正方形的性质与菱形的性质，掌握正方形的性质与菱形性质和菱形面积求法，会用正方形的性质推出a b c 、、之间关系，进而求对称轴，会利用对称轴推出a b 、关系，利用点C 在抛物线上，确定a b c 、、之间关系会解方程组解决问题24．（1）218y x =；（2）m=2 【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）分别求出PC ，PA 的长，根据PC=PA 列方程求解即可．【详解】解：（1）由于该抛物线经过原点（0，0），对称轴为y 轴，∴c=0，b=0∴该抛物线的解析式为2y ax =，把点（1，18）代入得，18a = ∴该抛物线的解析式为218y x =； （2）∵()0,A m ，B(0，-m)，P(x ，y)且//BC x 轴，PC BC ⊥，P 在抛物线上，∴C （x ，-m ），P （x ，21x 8） ∴PC=218x m + 作AM ⊥PC 于M ，则222PA AM PM =+∴221()8PA x x m =+- ∵PA=PC ∴22PA PC = 即2222211()()88x m x x m +=+-整理得，2202m x x -= ∴2(1)02m x -= ∵0x ≠∴102m -= 解得，m=2．【点睛】 此题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，求出PC ，PA 的长是解答此题的关键．25．（1）1802y x =-+；（2）215048002w x x =-++ ；（3）当x=50时，w 的最大值为6050．【分析】（1）由图像可得坐标()()12,74,28,66，设y kx b =+，然后代入求解即可；（2）根据（1）及题意可直接进行求解；（3）由（2）及二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1））由图像可得坐标()()12,74,28,66，则设y kx b =+，把点()()12,74,28,66代入得：12742866k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1280k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴1802y x =-+； （2）由（1）及题意得：()()16060802w x y x x ⎛⎫=+⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭215048002x x =-++； （3）由（2）得：()221150480050605022w x x x =-++=--+， ∴102a =-<，开口向下，对称轴为直线50x =， ∴当50x ≤时，y 随x 的增大而增大，当50x ≥时，y 随x 的增大而减小，∴当50x =时，w 取最大，最大值为6050．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．26．（1）4c =，52m =；（2）219(1)22y x =-++或2142y x x =--+ 【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可求得c 的值，根据抛物线的对称性即可求得m 的值；（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【详解】解：（1）根据图表可知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（0，4），（-2，4）， ∴对称轴为直线2012x -+==-，c=4， ∵（-3，52）的对称点为（1，52），∴m=52；（2）∵对称轴是直线x=-1，∴顶点为（-1，92），设y=a（x+1）2+92，将（0，4）代入y=a（x+1）2+92得，a+92=4，解得a=-12，∴这个二次函数的解析式为y=-12（x+1）2+92．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．。
第21章 二次函数与反比例函数数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)
第21章二次函数与反比例函数数学九年级上册-单元测试卷-沪科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、若是反比例函数，则a的取值为（）A.1B.﹣1C.±1D.任意实数2、某直角三角形的面积为3，两直角边分别为x、y，则y关于x的函数解析式及x的取值范围分别是（）A.y= ， x≠0B.y= ， x＞0C.y= ， x≠0 D.y= ， x＞03、下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A. B. C. D.4、已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（）A.3B.4C.5D.65、小明为了研究关于的方程的根的个数问题，先将该等式转化为，再分别画出函数的图象与函数的图象（如图），当方程有且只有四个根时，的取值范围是（）A. B. C. D.6、将抛物线y＝x2先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，则新的函数解析式为（）.A. B. C. D.7、二次函数y=（x﹣2）2+3的最小值是（）A.2B.3C.﹣2D.﹣38、若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象上，则y1， y2， y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y2＜y3＜y1C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y39、已知四点，，，，若一个二次函数的图象经过这四点中的三点，则这个二次函数图象的对称轴为（）A. B. C. D.10、如图，点A、M是第一象限内双曲线（k为常数，，）上的点（点M在点A的左侧），若M点的纵坐标为1，且△OAM为等边三角形，则k的值为（）A. B. C. D.11、已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB,AC 相交于D点，双曲线y=（x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB•AC=160，有下列四个结论：①菱形OABC的面积为80；②E点的坐标是（4，8）；③双曲线的解析式为y=（x＞0）；④，其中正确的结论有（）个。
上海上海大学附属中学实验学校九年级数学上册第二单元《二次函数》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．设函数()()24310y kx k x k =+++<，若当x m <时，y 随着x 的增大而增大，则m的值可以是（ ） A ．1 B ．0C ．1-D ．2-2．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a +b ＝0；②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2； ④9a +3b +c ＝0， 其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④3．函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋a ，在第一象限内y 随x 的减小而减小，则它们在同一直角坐标系中的图象大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如果二次函数2112y x ax =-+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程4311x ax x ++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（ ）． A ．9 B ．8 C ．4 D ．35．点()13,P y 、Q ()24,y 是二次函数245y x x =-+的图象上两点，则1y 与2y 的大小关系为（ ） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法确定6．已知函数235y x =-+经过A （m ，1y ）、B （m−1，2y ），若12y y >．则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≤B ．12m <C ．102m <<D ．12m <<7．如图所示，一段抛物线：()233044y x x x =-+≤≤记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180°得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180°得到3C ，交x 轴于3A ；⋅⋅⋅如此进行下去，直至得到506C ，则抛物线506C 的顶点坐标是（ ）A ．()2020,3B ．()2020,3-C ．()2022,3D ．()2022,3-8．关于抛物线223y x x =-+-，下列说法正确的是（ ） A ．开口方向向上 B ．顶点坐标为()1,2- C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是直线1x =-9．若二次的数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x 7-6- 5- 4-3-2-y27- 13-3-353A ．5B ．3-C ．13-D ．27-10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）A ．0b <B ．0c >C ．0a b c ++=D ．240b ac -<11．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间满足函数解析式y 112=-x 223+x 53+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（ ） A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米12．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（ ） A ．图象开口向上B ．对称轴是直线2x =-C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小二、填空题13．在ABC 中，A ∠，B 所对的边分别为a ，b ，30C ∠=︒．若二次函数2()()()y a b x a b x a b =+++--的最小值为2a-，则A ∠=______︒． 14．如图，直线y ＝x ＋4与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，点O 为坐标原点，点C 是点A 关于y 轴的对称点，动点D 在线段AC 上，连接BD ，作以BD 为直角边的等腰Rt △BDE ，则线段OE 的最小值为_________．15．对于抛物线243y x x =-+，当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解，则t 的取值范围是 ______．16．若抛物线22y x x c =++与坐标轴有两个交点，则c 应满足的条件是_______． 17．二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，则一元二次方程28x bx c ++=-的根是____________．18．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．19．已知自变量为x 的二次函数4()()y ax b x b=++经过(,4),(2,4)m m +两点，若方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，则其另一个根为__________．20．如图，在平面直角坐标系中抛物线y ＝x 2﹣3x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan ∠DCB ＝3，则点D 的坐标为_____．三、解答题21．某超市进了一款新型玩具，预计平均每天售出20个，每个玩具盈利25元．为了增加盈利，超市老板决定采取降价措施．销售价格每降低1元，超市平均每天多售出2个玩具．（1）若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具售价应降低多少元？ （2）若使超市卖玩具平均每天的盈利最多，每个玩具售价应降低多少元？ 22．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中自变量x 和函数值y 的部分对应值如表：（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）作该二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为 ．23．已知二次函数21122y x kx k =++-． （1）求证：不论k 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴总有公共点；（2）若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点A ，B ，且A 点坐标为()3,0，求B 点坐标．24．已知二次函数y ＝﹣x 2+4x ．（1）下表是y 与x 的部分对应值，请补充完整； x … 0 1 2 3 4 … y……（3）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ()0,3-，A 点的坐标为(-1，0)．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标，并求出四边形ABPC 的最大面积；（3）若Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA+QC 最小，求出Q 点的坐标，并求出此时△QAC 的周长．26．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表： x…3-2-1- 0 1 … 2y ax bx c =++ …524924m…（1）直接写出c ，m 的值； （2）求此二次函数的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】当k ＜0时，抛物线对称轴为直线432k x k+=-，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，根据题意，得m≤-432k k +，而当k ＜0时，-432k k +=-2-32k ＞-2，可确定m 的范围， 【详解】 对称轴：直线433222k x k k+=-=--， 0k <，3222k∴-->-， x m <时，y 随x 的增大而增大，322m k∴≤--， 2m ∴≤-，∴m 的值可以是-2，故选D ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数图象的对称轴是解题的关键．2．A解析：A 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图示知，对称轴是直线x ＝3122ba-=-，则2a+b ＝0，故说法正确； ②由图示知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，故说法正确；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1<y 2，故说法错误；④由图示知，当x ＝3时，y ＝0，即9a+3b+c ＝0，故说法正确． 综上所述，正确的说法是①②④． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．3．B解析：B 【分析】先根据二次函数y ＝ax 2的增减性确定出 a >0，然后判断出二次函数的开口方向，再根据一次函数的性质确定出一次函数图象经过的象限与 y 轴的交点，然后判断即可． 【详解】解：∵函数y ＝ax 2在第一象限内y 随x 的减小而减小， ∴a ＞0，∴y ＝ax 2的图象经过原点且开口方向向上，y ＝ax ＋a 经过第一三象限，且与y 轴的正半轴相交．A ． 二次函数开口向上，一次函数与y 轴的负半轴相交，不符合题意B ．二次函数开口向上，一次函数与y 轴的正半轴相交，符合题意C ．二次函数开口向下，一次函数与y 轴的负半轴相交，不符合题意D ．二次函数开口向下，一次函数与y 轴的正半轴相交，不符合题意 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，是基础题，根据二次函数的增减性确定出 a 是正数是解题的关键．4．C解析：C 【分析】由二次函数的性质可先确定出a 的范围，再由二次函数的性质可确定出a 的范围，解分式方程确定出a 的取值范围，从而可确定出a 的取值，可求得答案． 【详解】 解：∵二次函数2112y x ax =-+， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝a ， ∴当x ＜a 时，y 随x 的增大而减小， ∵当x≤1时，y 随x 的增大而减小， ∴a≥1， 解分式方程4311x ax x ++=--可得x ＝72a -，∵关于x 的分式方程4311x ax x++=--有正整数解， ∵x≠1，∴满足条件的a 的值为1，3，∴所有满足条件的整数a 的值之和是1＋3＝4， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a 的值是解题的关键．5．B解析：B 【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y 1与y 2的大小关系． 【详解】解：∵二次函数y=x 2-4x+5的图象的对称轴是x=2， 在对称轴的右面y 随x 的增大而增大，∵点P （3，y 1）、Q （4，y 2）是二次函数y=x 2-4x+5的图象上两点， 2＜3＜4， ∴y 1＜y 2． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键6．B解析：B 【分析】由235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0知，要使12y y >，需使A 点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m 的不等式解之即可 ． 【详解】解：∵235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0且12y y >∴1m m <-，下面解此不等式．第一种情况，当m ＜0时，得1m m -<-，解得m ＜0；第二种情况，当01m ≤<时，得1m m <-，解得12m <； 第三种情况，当m 1≥时，得1m m <-，解得，无解；综上所述得12m <．故选：B ． 【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．7．D解析：D 【分析】 解方程2334x x -+＝0得A 1（4，0），再利用旋转的性质得A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），依此规律得到A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），且抛物线C 506的开口向上，利用交点式，设抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024），然后确定此抛物线顶点坐标即可． 【详解】当y ＝0时，2334x x -+＝0，解得x 1＝0，x 2＝4， ∴A 1（4，0），∵将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2，将C 2绕A 2旋转180得到C 3， ∴A 2（4×2，0），A 3（4×3，0），∴A 505（4×505，0），A 506（4×506，0），即A 505（2020，0），A 506（2024，0）， ∵抛物线C 506的开口向上，∴抛物线C 506的解析式为y ＝34（x−2020）（x−2024）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2022，当x ＝2022时，y ＝34（2022−2020）（2022−2024）＝−3， ∴抛物线C 506的顶点坐标是（2022，−3）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的几何变换和二次函数的性质．8．B解析：B 【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线y=-x 2+2x-3=-（x-1）2-2， ∴该抛物线的开口向下，故选项A 错误； 顶点坐标为()1,2-，故选项B 正确；当y=0时，△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，则该抛物线与x 轴没有交点，故选项C 错误； 对称轴是直线x=1，故选项D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的额性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．D解析：D 【分析】首先观察表格可得二次函数2y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，则可求得此抛物线的对称轴，然后由对称性求得答案． 【详解】 解：二次函数2y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，∴此抛物线的对称轴为：直线4(2)32x -+-==-， ∴横坐标为1x =的点的对称点的横坐标为7x =-， ∴当1x =时，27y =-．故选：D ． 【点睛】此题考查了二次函数的对称性，根据表格中的数据找到对称轴是解题的关键．10．C解析：C 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】A ．因为抛物线的开口向下，则a<0；又因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，则-2ba>0，所以b>0，故A 错误；B ．抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴，则c<0，故B 错误；C ．抛物线与x 轴一个交点为（1，0），则x=1时，0y a b c =++=，故C 正确；D ．抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ∆=->，故D 错误， 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与×轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键.11．C解析：C【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】解：当y =0时，即y 112=-x 223+x 53+=0， 解得：x =﹣2（舍去），x =10．∴该生此次实心球训练的成绩为10米．故选：C ．【点睛】 本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．12．C解析：C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵2(2)7y x =---，∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x <时，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、D 都不正确，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．二、填空题13．75【分析】根据二次函数的性质当时y 有最小值为由此得到=整理得a=b 从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题【详解】∵ab 是的边∴a+b ＞0；∴有最小值且当x=时取得最小值y=根据题意得=整理得a=b解析：75【分析】 根据二次函数的性质，当1x 2=-时，y 有最小值为534a b -+，由此得到534a b -+=2a -，整理得a=b ，从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题. 【详解】∵a ，b 是ABC 的边，∴a+b ＞0；∴2()()()y a b x a b x a b =+++--有最小值，且当x=()12()2a b a b +-=-+时，取得最小值， y=534a b -+，根据题意，得534a b -+=2a -， 整理，得a=b ， ∴ABC 是等腰三角形，∵30C ∠=︒，∴180180307522C A -∠-∠===︒， ∴∠A 的度数为75︒，故填75.【点睛】 本题考查了二次函数的最小值，等腰三角形的判定和性质，灵活利用二次函数的最小值构造等式是解题的关键.14．【分析】作交x 轴于点F 证明△DBO ≌△EDF 得设设D （t0）则根据勾股定理得进一步可得结论【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形∴作交x 轴于点F 如图∴∠EFO=∠DOB=90°又∠∴解析：22【分析】作EF AC ⊥交x 轴于点F ，证明△DBO ≌△EDF 得FE OD FD BO ==，，设设D （t ，0），则(4,)E t t +，根据勾股定理得222(2)8OE t =++，进一步可得结论．【详解】解：∵△BDE 是以BD 为直角边的等腰直角三角形，∴BD DE =作EF AC ⊥交x 轴于点F ，如图，∴∠EFO=∠DOB=90°又∠90OBD BDO BDO FDE +∠=∠+∠=︒∴∠DBD FDE =∠在△DBO 和△EDF 中DBO EDF DOB EFD DB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBO ≌△EDF∴FE OD FD BO ==，对于y=x+4，当x=0，则y=4，当y=0，则x=-4，∴()40A -，，4(0)B ，， ∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴0(4)C ，设D （t ，0），则(4,)E t t +∴22224)2((2)8OE t t t =++=++∴当t=-2时，取最小值，即OE ==，故OE的最小值为故答案为：【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，运用勾股定理得出22224)2((2)8OE t t t =++=++是解答此题的关键．15．﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题确定二次函数在上的取值范围即可求解【详解】解：当时关于x 的一元二次方程有解∴即在图象上和在相交∵当x=2时有最小 解析：﹣1≤t ＜8【分析】结合直角坐标系，将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题，确定二次函数 21=43y x x -+在712x -<<上的取值范围即可求解． 【详解】 解：当712x -<<时，关于x 的一元二次方程2430x x t -+-=有解， ∴243x x t -+= 即在图象上21=43y x x -+和2=y t 在712x -<<相交， ∵()21=21y x --当x=2时，1y 有最小值﹣1当x ＝﹣1是，1y 有最大值8 即当712x -<<是，﹣1≤y 1＜8 ∴﹣1≤t ＜8故答案为：﹣1≤t ＜8【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数交点的问题，解题的关键是正确理解题意，将方程转化为二次函数与一次函数相交的问题． 16．或【分析】根据抛物线与轴有两个交点可知二次函数过原点或与轴相切故分两种情况解答：①将代入解析式；②△【详解】解：抛物线与坐标轴有两个交点①将代入解析式得；②△解得故答案为：或【点睛】本题考查的是抛物解析：0c 或18【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可知二次函数过原点或与x 轴相切．故分两种情况解答：①将(0,0)代入解析式；②△0=．【详解】 解：抛物线22y x x c =++与坐标轴有两个交点， ①将(0,0)代入解析式得0c； ②△180c =-=， 解得18c =． 故答案为：0c 或18． 【点睛】 本题考查的是抛物线与x 轴的交点及根的判别式，熟知抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．17．【分析】根据题目中的函数解析式可知当时从而可得到一元二次方程的根本题得以解决【详解】由图象可知当时即时∴一元二次方程的根是故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系解答本题的关键是明确 解析：122x x ==-【分析】根据题目中的函数解析式可知，当8y =-时，2x =-，从而可得到一元二次方程28x bx c ++=-的根，本题得以解决．【详解】由图象可知，当8y =-时，2x =-，即2x =-时，28x bx c ++=-，∴一元二次方程28x bx c ++=-的根是122x x ==-，故答案为：122x x ==-．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．(2-1)或（2-1）或（2+1）【分析】当y=0时求得x 的值确定AB 的长设点P 坐标为根据三角形面积公式列方程求解即可【详解】解：当y=0时解得：∴AB=2设点P 坐标为∴∴当时解得x=2此时P 点坐标解析：(2，-1)或（1），或（，1）．【分析】当y=0时，求得x 的值，确定AB 的长，设点P 坐标为2(,43)x x x -+，根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：当y=0时，243=0x x -+解得：121,3x x ==∴AB=2设点P 坐标为2(,43)x x x -+， ∴214312APB S AB x x ∆=-+= ∴2431x x -+=当2431x x -+=-时，解得x=2，此时P 点坐标为(2，-1)当2431x x -+=时，解得122x x =P 点坐标为（，1），或（，1）综上，P 的坐标为：(2，-1)或（1），或（，1）故答案为：(2，-1)或（，1），或（，1）．【点睛】本题考查二次函数与图形，利用数形结合思想列方程求解是解题关键．19．x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（04）可得两点的坐标进而求得对称轴根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根【详解】解：∵当x=0时=4∴m=0或m=﹣2∴二次函数经过或∴对称轴为直线解析：x=﹣1或﹣5【分析】根据题意该函数一定过点（0，4），可得(,4),(2,4)m m +两点的坐标，进而求得对称轴，根据解析式与方程的关系即可求得方程另一个根．【详解】解：∵当x=0时，4()()y ax b x b =++=4，∴m=0或m=﹣2，∴二次函数4()()y ax b x b =++经过(0,4),(2,4)或(2,4),(0,4)-，∴对称轴为直线x=1或x=﹣1，∵方程4()()0ax b x b++=的一个根为3x =，∴方程的另一个根为x=﹣1或﹣5，故答案为：x=﹣1或﹣5．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解是解答的关键． 20．（）【分析】根据抛物线y ＝x2﹣3x+2与x 轴交于AB 两点与y 轴交于点C 得A （10）B （20）C （02）过点B 作BM ⊥BC 交CD 延长线于点M 过点M 作MG ⊥x 轴于点G 易证等腰直角三角形OCB ∽等腰直角解析：（715,24） 【分析】 根据抛物线y ＝x 2﹣3x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，得A （1，0），B （2，0），C （0，2），过点B 作BM ⊥BC 交CD 延长线于点M ，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，易证等腰直角三角形OCB ∽等腰直角三角形GBM ，可得M （8，6），再求得直线CM 的解析式为y ＝12x +2，联立直线和抛物线，解方程组即可得点D 的坐标． 【详解】 解：∵抛物线y ＝x 2﹣3x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，∴解得A （1，0），B （2，0），C （0，2），∴OB ＝OC∴∠OBC ＝45°，如图，过点B 作BM ⊥BC 交CD 延长线于点M ，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，∴∠COB ＝∠MGB ＝90°∴∠CBO +∠MBG ＝90°∴∠MBG ＝45°∴MG ＝BG∴等腰直角三角形OCB ∽等腰直角三角形GBM ∴BC BM ＝OC BG ∵tan ∠DCB ＝MB BC ＝3 ∴123BG= ∴BG ＝6∴MG ＝6 ∴M （8，6）设直线CM 解析式为y ＝kx +b ，把C （0，2），M （8，6）代入，解得k ＝12，b ＝2 所以直线CM 的解析式为y ＝12x +2 联立212232y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得1102x y =⎧⎨=⎩，2272154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴D （715,24）故答案为（715,24）． 【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．三、解答题21．（1）若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低5元或10元；（2）若使超市卖玩具平均每天盈利最多，每个玩具售价应降低7.5元【分析】（1）设若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低x 元，根据题意列出方程()()20225600x x +-=，求解即可；（2）设超市卖玩具平均每天盈利y 元，每个玩具售价降低x 元，则()()20225y x x =+-，利用二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）设若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低x 元根据题意得，()()20225600x x +-=解这个方程得，1x 5=，210x =答：若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低5元或10元（2）设超市卖玩具平均每天盈利y 元，每个玩具售价降低x 元根据题意得，()()20225y x x =+-∴()227.5612.5y x =--+ ∵20-<∴若使超市卖玩具平均每天盈利最多，每个玩具售价应降低7.5元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用、二次函数的应用，理解题意并列出方程是解题的关键．22．（1）y ＝x 2﹣4x+5．（2）见解析；（3）y ＝﹣x 2+4x ﹣5．【分析】（1）当x=1或3时，y 均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为（2，1），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a 的值，也就求得了二次函数的值；（2）描点、连线画出函数图象即可；（3）根据关于x 轴对称的点的坐标特征即可求得．【详解】解：（1）由图表可知抛物线y ＝ax 2+bx+c 过点（1，2），（3，2），∴对称轴为x ＝132+＝2； ∴顶点坐标为：（2，1），∴设y ＝a （x ﹣2）2+1，将（0，5）代入可得：4a+1＝5，解得：a ＝1，∴二次函数的解析式为：y ＝（x ﹣2）2+1，即y ＝x 2﹣4x+5，所求二次函数的关系式为y ＝x 2﹣4x+5．（2）描点、连线画出函数图象如图：；（3）∵新图象与二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称，∴﹣y ＝x 2﹣4x+5，∴新图象的函数关系式为y ＝﹣x 2+4x ﹣5，故答案为y ＝﹣x 2+4x ﹣5．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23．（1）见解析；（2）B （1-，0）【分析】（1）令y=0得到关于x 的一元二次方程，再用k 表示出该方程的判别式，可判断出其根的情况，可证得结论；（2）把A 点坐标代入可求得抛物线的解析式，再令0y =，可求得方程的解，可得出B 点坐标．【详解】（1）证明：令0y =可得：211022x kx k ++-=， ∵12a =，b k =，12c k =-，∵22114422b ac k k ⎛⎫=-=-⨯⨯- ⎪⎝⎭221k k =-+ ()210k =-≥，∴不论k 为任何实数，方程211022x kx k ++-=， 二次函数21122y x kx k =++-的图象与x 轴总有公共点； （2）解：∵A （3，0）在抛物线21122y x kx k =++-上， ∴21133022k k ⨯++-=，解得1k =-， ∴二次函数的解析式为21322y x x =--， 令0y =，即213022x x --=， 解得3x =或1x =-，∴B 点坐标为（1-，0）．【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标为对应一元二次方程的两根是解题的关键．24．（1）3，4，3；（2）见解析；（3）x ＜0或x ＞4．【分析】（1）把x ＝1，x ＝2，x ＝3分别代入函数解析式，求出y 的值即可；（2）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（3）根据函数图象即可得出结论．【详解】解：（1）∵当x ＝1时，y ＝﹣1+4×1＝3；当x ＝2时，y ＝﹣4+4×2＝4；当x ＝3时，y ＝﹣9+4×3＝3．故答案为：3，4，3；（2）如图所示；（3）如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞4．【点睛】本题考查了二次函数的图象，函数与方程、不等式的关系，熟知画二次函数图象的一般步骤列表、描点、连线，理解函数与方程、不等式的关系是解题关键．25．（1）二次函数的解析式为223y x x =--；（2）375(,)28P ，四边形ABPC 的面积的最大值为758；（3）Q(1，-2)，三角形QAC 1032+ 【分析】（1）根据待定系数法把A 、C 两点坐标代入2y x bx c =++可求得二次函数的解析式；（2）由抛物线解析式可求得B 点坐标，由B 、C 坐标可求得直线BC 解析式，可设出P 点坐标，用P 点坐标表示出四边形ABPC 的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P 点坐标；（3）求出点A 关于直线x=1对称点B ，再求直线BC 与对称轴交点Q ，将AQ+CQ 转化为BC ，在RtΔAOC 中求AC ，在RtΔBOC 中求BC 即可．【详解】（1）()()1,0,0,3A C --在曲线上，∴103b c c -+=⎧⎨=-⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的解析式为223y x x =--；（2）在223y x x =--中，令y=0，得x=3或x=-1，∴B(3，0)，且C(0，-3)，设BC 的直线为y=kx+b ， 330b k b =-⎧⎨+=⎩，解得31b k =-⎧⎨=⎩， ∴经过点B ，C 的直线为y=x-3，设点P 的坐标为()2,23x x x --，如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，与直线BC 交于点E ，则(),3E x x -，∵23375(x )228ABC BCP ABPC S S S ∆∆=+=--+四边形， ∴当32x =时，四边形ABPC 的面积的最大值为758； （3） ∵点A 关于直线x=1对称点B （3，0），∴直线BC 与对称轴的交点为Q ，则Q 为QA+QC 最小时位置，有（2）BC 的直线为y=x-3，当x=1，y=1-3=-2，∴Q(1，-2)，()221310AC =+-=，2232AQ CQ CB OC OB +==+=，∴三角形QAC 的周长为1032+．【点睛】本题考查了待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理，掌握这些知识与方法，会用它们解决问题是关键．26．（1）4c =，52m =；（2）219(1)22y x =-++或2142y x x =--+ 【分析】 （1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可求得c 的值，根据抛物线的对称性即可求得m 的值；（2）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【详解】解：（1）根据图表可知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（0，4），（-2，4），∴对称轴为直线2012x -+==-，c=4， ∵（-3，52）的对称点为（1，52）， ∴m=52； （2）∵对称轴是直线x=-1，∴顶点为（-1，92）， 设y=a （x+1）2+92， 将（0，4）代入y=a （x+1）2+92得， a+92=4， 解得a=-12， ∴这个二次函数的解析式为y=-12（x+1）2+92． 【点睛】 本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．。
1沪科版九年级数学二次函数和反比例函数测试卷
九年级数学试卷一、选择题（本题共 10 小题，每题 4 分，满分 40 分）1. 下面的函数是二次函数的是A ． y 3x 1B ． y x 22xC ． yx D． y21 x 22x2. 抛物线 y 3x 2 ， y3x 2 ， y1共有的性质是3A ．张口向上B ．对称轴是 y 轴C ．极点坐标都是（ 0， 0）D ．在对称轴的右边 y 随 x 的增大而增大3. 把抛物线 y x2向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的剖析式为A ． y(x 1)23 B ． y( x 1)2 3 C ． y ( x 1)23 D ． y( x 1)2 34. 抛物线 y1 x2 x 4 的对称轴是 A.x=-2B.x=2 C． x=-4D.x=-445. 以下抛物线与 x 轴只有一个公共点的是 A ． y1( x 2) 2B ． y 3x21 C. y 4x22x 1 D. y1( x 3)2 32c 26. 二次函数 yax2bx c 的图象如图，则点( , ) 在baA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7. 关于任意实数 t ，抛物线 y x 2 ( 2 t) xt 总经过一个固定的点，这个点是A. （ 1， 0） B （-1 ， 0） C.-1 ， 3）D.（1，3）8. 在反比率函数y44 的是的图象中，阴影部分的面积不等于xA ．B ．C ．D ．8．在同素来角坐标系中，函数 yax 2b 与 yax b(ab0) 的图象大体如图（）yyyyOxOxOOxxABC D9．二次函数 yax 2 bx c 的图象如图，则以下关于a ，b ，c 间的函数关系判断正确的选项是（）A ．ab0 B． bc 0C．a b c 0 D ．a b c09.函数y ax b和 y ax2bx c 在同素来角坐标系内的图象大致是10．为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V （ m3）必然的污水办理池，池的底面积 S（m2）与其深度 h（m）满足关系式： V=Sh （V≠0），则 S 关于 h 的函数图象大体是A．B．C．D．二、填空题（本题共 4 小题，每题5分，满分20分）13.在对物体做功必然的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上搬动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象以下列图，P(5，1)在图象上，则当力达到10 牛时，物体在力的方向上搬动的距离是_______米．14.如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠0）的图象的一部分，给出以下命题：① abc ＜ 0；②b＞ 2a；③ a+b+c= 0④ ax 2+bx+c=0 的两根分别为﹣3和1；⑤ 8a+c ＞ 0．其中正确的命题是．第 14题图第13题图三．（本题共 2小题，每题 8分，满分 16分）15.已知： y 与x2成反比率，且当 x=2 时， y=4. 求 x=1.5 时的 y 值.【解】四、（本题共 2小题，每题8分，满分16分）17. 已知函数y 1( x 1) 2 3 ，求（1）抛物线的极点坐标及对称轴。
二次函数(10大题型)(50道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(沪教版)
二次函数（10大题型）（50道压轴题专练）压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题1．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)-．若关于x 的一元二次方程2(0)ax bx c p p ++=<有整数根，则p 的值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个2．已知抛物线221(0)y x bx b b =-++->，当46x ££时，y 的值恒大于等于9．则b 的取值范围为 ．3．在平面直角坐标系中，抛物线2221y x mx m =-++存在两点()11,A m y -，()22,B m y +．(1)请比较1y 与2y 的大小，并说明理由；(2)记抛物线在A ，B 之间的部分为图象F （包括A ，B 两点）；y 轴上一动点()0,C a ，过点C 作垂直于y 轴的直线l 与F 有且仅有一个交点，求a 的取值范围；(3)若点()32,M y 也是抛物线上的点，记抛物线在A ，M 之间的部分为图象G （包括M ，A 两点），记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t ，若21t y y ³-，求m 的取值范围．4．问题：已知抛物线L ：22y x x =-，抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L 的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．(1)解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是 ① ；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是 ② ；然后求出抛物线L 的顶点是 ③ ；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为 ④ ；最后写出抛物线W 的表达式是 ⑤ ．(2)用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W 的表达式．(3)如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x bx =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．点D CD x ∥轴，2CD =．(1)求这条抛物线的函数解析式及顶点E 的坐标；(2)在x 轴上有一点F ，若以点F 、B 、C 为顶点的三角形与BCD △相似，求点F 坐标；(3)点Q 是二次函数图象上一点，过点Q 向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H ，若3HE HQ =，求点Q 的坐标．压轴题型二 二次函数的最值问题1．如图，在平面直角坐标系中，E 、F 、C 三点的坐标分别为1(4，1)、(3,1)、(3,0)，点A 为线段EF 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB AC ^交y 轴于点B ，点A 从E 运动到F 时，点B 随之运动．设点B 的坐标为(0,)b ，则b 的最小值为（ ）A ．94-B ．94C ．54-D ．542．如图，在ABC V 中，AB AC ==4BC =，D 为边AB 上一动点（不与点B 重合），以CD 为边作正方形CDEF ，连接BE ，则当BDE V 的面积最大时，AD 的长为 ．3．已知抛物线2421y x mx m =-++，m 为实数．(1)如果该抛物线经过点()4,3，求此抛物线的顶点坐标．(2)如果当2321m x m -+≤≤时，y 的最大值为4，求m 的值．(3)点()0,0O ，点()1,0A ，如果该抛物线与线段OA （不含端点）恰有一个交点，求m 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）经过点()1,0A ，()3,0B ，动点P 在抛物线上，其横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 到y 轴的距离小于3，求点P 的纵坐标的取值范围；(3)若抛物线位于点P 右侧（包含点P ）部分的函数值最小为2m -，求m 的值．5．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），其中()()1,0,3,0A B -，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图所示，点P 是抛物线上位于第一象限内的一个动点，过点P 作PF CE ^，求PF 的最大值．压轴题型三 二次函数的平移问题1．如图，抛物线21445y x x =-+与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到2C ，2C 与x 轴交于点B 、D ，若直线y x k =+与1C 、2C 共有3个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．2554k -<<-B ．51k -£<-C ．95k -£<-D ．2954k -<<-2．二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于点,A B （A 在B 的左侧），将该函数图象向右平移()0m m >个单位后与x 轴交于点,C D （C 在D 的左侧），平移前后的函数图象相交于点E ，若90AED Ð=°，则m 的值为 ．3．已知抛物线L 的解析式为22y x mx n =-++（m ，n 为常数）．(1)若抛物线L 的顶点在第四象限，且221n m m =-+-，求m 的取值范围；(2)若抛物线L 经过点()1,1P ，将抛物线L 经过平移后得到抛物线S ，点P 的对应点为点()1,2Q t m -，其中1t ³．抛物线仍然经过点P ，求m 的最小值．4．已知抛物线213:4L y x bx c =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于(4,0)(1,0)A B -，两点．(1)求抛物线1L 的函数解析式及点C 的坐标；(2)平移抛物线1L 得到抛物线2L ，抛物线2L 经过点C ，且与x 轴交于()3,0M N ，两点，连接CB ，CN ．点P 是抛物线2L 上的点，连接PN ，若PNC BCN Ð=Ð，请求出所有符合条件的点P 的坐标．5．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点()3,0A -和点C ，与y 轴交于点B (0,3)，点P 是抛物线上点A 与点C 之间的动点（不包括点A ，点C ）． 备用图(1)求抛物线的解析式；(2)动点P 在抛物线上，且在直线AB 上方，求ABP V 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2.5个单位，点F 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点E ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若QFE △是以QE 为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点Q 的坐标．压轴题型四 二次函数的翻折问题1．函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象是由函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象x 轴上方部分不变，下方部分沿x 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）①20a b += ；②3c =； ③0abc >；④将图象向上平移1个单位后与直线5y =有3个交点．A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④2．函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象是由函数()220,40y ax bx c a b ac =++>->的图象轴上方部分不变，x 轴下方部分沿x 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是①20a b +=；②3c =；③0abc >； ④30a c +=；⑤将图象向上平移1个单位后与直线5y =有3个交点．3．已知二次函数图像的对称轴为y 轴，且经过点()1,5和111,24æö-ç÷èø．(1)求此二次函数的解析式；(2)若将该二次函数图像先向下平移4个单位，再沿x 轴翻折后与x 轴交于A ，B 两点，设顶点为P ，求AOP V 的面积．4．如图，二次函数2y x bx c =＋＋的图象过点(3520())A B ，-，-，．(1)求这个二次函数的解析式；(2)将一次函数21y x =＋的图象向下平移a 个单位长度，与二次函数的图象总有交点，求a 的取值范围；(3)过点()0N m ，作y 轴的垂线EF ，以EF 为对称轴将二次函数的图象位于EF 下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x 轴有交点，且交点都位于x 轴的正半轴，直接写出m 的取值范围．5．如图，函数()()21130y a x x =-++£的图象过原点，将其沿y 轴翻折，得到函数2y 的图象，把函数1y 与2y的图象合并后称为函数L 的图象.(1)a 的值为__________；函数2y 的解析式为_______________（注明x 的取值范围）；(2)对于函数L ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是_____________；(3)当直线y x b =+与函数L 的图象有3个公共点时，求b 的值.压轴题型五 二次函数与方程、不等式压轴题1．函数2y x bx c =++与y x =的图象如图所示，有以下结论：①240b c ->；②1b c +=-；③360b c ++=；④当13x <<时，()210x b x c +-+<，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知二次函数22y x x =-++，当3a x a ££+对应的函数值y 随x 的增大而增大，且对应的图象与直线4y =-有公共点时，a 的取值范围为 ．3．二次函数2y x bx c =++的图象经过点()1,0A ，B (0,3)，点C 与点B 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y mx n =+的图象经过A ，C 两点．(1)求二次函数解析式；(2)根据图象，写出满足不等式2x bx c mx n ++<+的解集_____；(3)二次函数2y x bx c =++，当13x ££时，对应的函数值y 的取值范围为_____．4．在平面直角坐标系中，设二函数1()(2)y x m x m =-++，其中0m ¹．(1)求证：函数1y 与x 轴有交点；(2)若函数2y mx n =+经过函数1y 的顶点，求实数n 的最大值；(3)已知点()1(3,),,P a Q x b -在函数1y 的图象上，若a b ³，求1x 的取值范围．5．在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++（a b 、为常数）的对称轴为直线1x =，且经过点()1,0-．(1)当132x -££时，二次函数的最大值是_____，最小值是______；(2)当1t x t -££时，若二次函数的最大值和最小值的差为3，求t 的值；(3)现有一点P 在抛物线上，横坐标为m ，过点P 作直线PQ 平行于x 轴，交抛物线于另一点Q ．抛物线上另有两点M N 、，横坐标分别为1-和4，M N 、两点之间的部分（不包括M N 、两点）记作图象G ．若图象G 上恰好有三个点到直线PQ 的距离为2，求出m 的取值范围．压轴题型六 二次函数的销售问题（含参问题）1．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．A ．50B ．90C ．80D ．702．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．3．为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第x 天（x 为整数）的售价为y （元/斤），日销售额为w （元）．据销售记录知：①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤；②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，(1)当1130x ££时，写出y 与x 的关系式；(2)当x 为何值时日销售额w 最大，最大为多少？(3)若日销售额不低于31680元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款m 元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买10800元的图书，求m 的最小整数值．4．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x （元），每天的销售量为y （件）．(1)求y 关于x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m 元（m >0）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m 的值．5．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 件．(1)①当售价上涨时，y 与x 的函数关系为______，自变量x 的取值范围是______；②当售价下降时，y 与x 的函数关系为______，自变量x 的取值范围是______；(2)每件商品的售价x 定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有()0a a >元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于60元时，每月的利润随x 的增大而减小，请直接写出a 的取值范围______．压轴题型七 二次函数的存在性问题1．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使PMN V 为正三角形，则称图形G 为点P 的T 型线，点P 为图形G 的T 型点，PMN V 为图形G 关于点P 的T 型三角形．若()0,2H -是抛物线2y x n =+的T 型点，则n 的取值范围是（ ）A ．1n ³-B ．1n £-C ．54n £-D ．54n ³-2．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知BAC V 的面积是6，若在抛物线上存在一点P （与点C 不重合），使ABP ABC S S =△△，则点P 的坐标为 ．3．如图所示，已知以M 为顶点的抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)连接AC ，在x 轴上方的抛物线上有一点D ，若ABD ACO Ð=Ð，求点D 的坐标；(3)若点P 为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P 作PQ BC ^，求PQ 的最大值；(4)在x 轴上是否存在一点N ，使得以A ，C ，N 为顶点的三角形与BCM V 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线()240y ax bx a =++¹与x 轴，y 轴分别交于()1,0A -，B (4,0)，C 三点．(1)试求抛物线的解析式；(2)若P 点在第一象限的抛物线上，连接PC PB 、，当PCB V 的面积最大时，求点P 的坐标．(3)点()3,D m 在第一象限的抛物线上，连接,BC BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足PBC DBC Ð=Ð？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．5．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =+-经过()()1,0,4,0A B -两点，与y 轴交于点C ，P 是抛物线上一动点，设点P 的横坐标为302m m æö<<ç÷èø，连接AC CP BC BP ，，，．(1)求抛物线的函数表达式及点C 的坐标．(2)当BCP V 的面积等于ABC V 的面积的35时，求m 的值．(3)在（2）的条件下，若M 为x 轴上一动点，N 是抛物线上一动点，是否存在以点C ，P ，M ，N 为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．压轴题型八 二次函数的角度问题1．已知抛物线 ²30y ax bx a =++<（）与x 轴交于()1,0A ，()3,0B - 两点， 与y 轴交于点C ．若点P 在抛物线的对称轴上，线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A ¢恰好也落在此抛物线上，则点P 的坐标为（ ）A ．()1,1-B ．()1,1--C ．()1,1- 或()1,2--D ．()1,1-- 或()1,2-2．如图，抛物线213222y x x =+-与x 轴交于点A 和点B 两点，与y 轴交于点C ，D 点为抛物线上第三象限内一动点，当2180ACD ABC ÐÐ=°＋时，点D 的坐标为 ．3．抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A (―2,0)，()60B ，两点，与y 轴交于点C ，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D 在BC 上方的抛物线上，当BCD △的面积最大时，求点D 的坐标；(3)是否存在点D ，使得BCD ABC Ð=Ð？若存在，求出点D 的坐标；若存在，请说明理由．4．抛物线22y x x c =-+经过点115,24P æö-ç÷èø，与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．(1)直接写出c 的值及点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，连接,AC BC ，点F 在抛物线上，满足FCB ACO Ð=Ð，求点F 的坐标；(3)如图2，向上平移直线BC 交抛物线于M ，N 两点，直线,MP NP 分别交y 轴的负半轴于D ，E 两点，求证：PD PE =．5．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，交y 轴于点C ，连接AC ，BC ，点()2,3D 在抛物线上．(1)求抛物线的表达式；(2)判断ABC V 的形状，并说明理由；(3)连接CD ，点M 在抛物线上，ACM BCD Ð=Ð，求点M 的坐标．压轴题型九 二次函数铅垂高、水平宽求面积最大值1．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()2,0,4,0A B -，交y 轴的正半轴于点C ，对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，则下列结论：①20a b +=；②0abc >；③2a b am bm +>+（m 为任意实数）；④若点(),Q m n 是抛物线上第一象限上的动点，当QBC △的面积最大时，1,m n a b c ==++，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，已知抛物线2y x =和直线21y x =+相交与点A ，B ．点P 是抛物线上一点，且在直线AB 的下方，连接AP ，BP ，当ABP V 的面积最大时，则点P 的坐标是 ．3．如图，在直角坐标系中，二次函数212y x bx c =++的图象与x 轴相交于点A (―2,0)和点()6,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求b 、c 的值；(2)若点P 是抛物线BC 段上的一点，当PBC △的面积最大时求出点P 的坐标，并求出PBC △面积的最大值．4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为()3,0，点P 是抛物线上一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P ，使得ABP V 的面积等于10．若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．(3)若点P 在直线BC 的上方，当点P 运动到什么位置时，BPC V 的面积最大？请求出点P 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线1y ax =+与抛物线23y x bx =+-交于点A 和点()4,5B ．(1)求a 和b 的值；(2)求点A 的坐标，并结合图象写出不等式231x bx ax +->+的解集；(3)点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A ，B 重合），请直接写出当PAB V 的面积最大时，点P 的坐标．压轴题型十 二次函数与相似相关压轴题1．抛物线()230y ax ax b a =++<，设该抛物线与x 轴的交点为()5,0A -和B ，与y 轴的交点为C ，若ACO CBO D D ∽，则tan CAB Ð的值为 （ ）A B C D 2．在同一平面内，直线1y kx =+与抛物线 214y x =交于A 、B 两点，设 ()()1122,,A x y B x y ，．（1） 12x x = ；（2）若点()01N -，，且AN 与BN 不垂直，则k 的取值范围是： ．3．如图1，平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于()1,0A ，()3,0B -两点，交y 轴于点()0,3C ，点M 是线段OB 上一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线BC 于点F ，交抛物线于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)当BCE V 面积最大时，求M 点的坐标；(3)如图2，是否存在以点C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC V 相似，若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系内，点(20)A -，，点(40)B ，，点4(0)C ，．连接AC BC ，．(1)求经过点A 、B 、C 三点的抛物线的表达式；(2)点D 在x 轴正半轴上，当以点D 、O 、C 为顶点的三角形与AOC △相似时，求点D 的坐标．(3)在（1）的抛物线上找一点E ，使得BE CE -的值最小并求点E 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++¹与x 轴交于()1,0A -、()4,0C 两点，与y 轴交于点B ．(1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标；(2)若点D 是抛物线上的一个动点，满足ABD △与BCD △的面积相等．求出点D 的坐标；(3)若点E 在第一象限内抛物线上，过点E 作EF x ^轴于点F ，交BC 于点P ，且满足BFP △与CEP △相似，求出点E 的横坐标．。
第21章二次函数与反比例函数单元测试卷++2021—2022学年沪科版数学九年级上册
二次函数与反比例函数单元测试卷班级： 姓名： 得分：一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，满分36分)1、下列函数表达式中，一定为二次函数的是( ) A 、y ＝3x －1B 、y ＝ax 2＋bx ＋cC 、s ＝2t 2－2t ＋1D 、y ＝x 2＋1x2、若反比例函数y ＝1－2kx的图象分布在第二、四象限，则k 的取值范围是( )A 、k ＜12B 、k ＞12C 、k ＞2D 、k ＜23、函数y ＝－x 2－4x －3图象顶点坐标是 （ ） A 、（2，－1）B 、（－2，1）C 、（－2，－1）D 、（2， 1）4、下列对二次函数y ＝x 2－x 的图象的描述，正确的是( )A 、开口向下B 、对称轴是y 轴C 、经过原点D 、在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小 5、已知函数y ＝12x 2－x －4，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( )A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＞－2D ．－2＜x ＜46、将抛物线y ＝2(x －3)2＋2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的表达式是( )A ．y ＝2(x －6)2B ．y ＝2(x －6)2＋4 C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x 2＋4 7、二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此抛物线的对称轴是直线 （ ）A 、1x =-B 、1x =C 、2x =D 、3x =8、如图1所示，过y 轴正半轴上的任意一点P 作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－6x (x <0)和y ＝8x(x >0)的图象交于点A 和点B ，若C 是x 轴上任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为( ) A 、6B 、7C 、8D 、14图1图29、如图2是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是( )A 、－1＜x ＜5B 、x ＞5C 、x ＜－1D 、x ＜－1或x ＞5 10、二次函数32-+=mx x y 的图象与x 轴的交点个数是（ ）A 、0个B 、1个C 、 2个D 、无法确定11、将进货价为70元的某种商品按每个100元出售时，每天能卖出20个，若这种商品的销售单价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大日销售利润，则应降价 （ ）A 、5元B 、10元C 、15元D 、20元12、关于x 的二次函数y ＝－kx 2－k 2与反比例函数y ＝kx在同一平面直角坐标系内的大致图象可以是( )二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)13、已知反比例函数y ＝3k －1x的图象经过点(1，2)，则k 的值为14、已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线15、已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在反比例函数y ＝6x的图象上，若x 1·x 2＝－3，则y 1y 2的值是16、若A (2，y 1)，B (2－5，y 2)是二次函数y ＝x 2－2x ＋1的图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系为y 1________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．17、某产品每件成本10元,经市场调研发现:该产品的日销售量y (件)与每件产品的销售价x (元)之间满足一次函数关系,下表列出了x ,y 的对应值:若销售该产品的日利润为w (元),则w 与x 之间的函数表达式是 18、若二次函数y = x 2 - 3x – 4的图象与x 轴交于A 、B 两点 ，与y 轴交于点C ，则△ABC 的面积为 .三、解答题(本大题共7小题，共66分) 19、（7分）已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点(-2,4)和(1,-2),试确定b ,c 的值.20、（7分）已知二次函数的图象经过点（-1,5），（0，-4）和（1,1），求这个二次函数的表达式.21、（8分）已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，-2）且与y 轴交与（0，25） （1）求函数的解析式.（2）当x 为何值时，y 随x 增大而增大.22、（10分）某校科技小组进行野外考察,为了安全地通过一片湿地,他们沿着前进路线铺了若干块木块,构筑出一条临时道路.木块对地面的压强p 是关于木板面积S 的反比例函数,其图象如图所示.(1)请直接写出p 关于S 的函数表达式. (2)当木板面积为0.2 m 2时,压强是多少Pa?(3)如果要求压强不超过6000 Pa,木板的面积至少是多少?23、（10分）如图，一次函数y 1＝ax ＋b 和反比例函数y 2＝kx的图象相交于A (－2，3)和B (m ，－1)两点．(1)试确定一次函数与反比例函数的表达式；(2)求△OAB 的面积；(3)结合图象，直接写出使y 1＞y 2成立的x 的取值范围．24、（12分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的销售量y (千克)与售价x (元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：(1)求y 与x 的函数表达式；(2)该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润W (元)最大？此时的最大利润为多少元？25、（12分）已知抛物线)0(32≠-+=a bx ax y 的对称轴为直线x=1，且抛物线经过点A （-1,0），它与x 轴的另一交点为B ，与y 轴的交点为C. （1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）在直线x=1上求点M ，使△AMC 的周长最小，并求出△AMC 的周长 .。
上海中国中学数学 二次函数单元综合测试(Word版 含答案)
上海中国中学数学 二次函数单元综合测试（Word 版 含答案）一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）1．在平面直角坐标系中，将函数2263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ．（1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值；（2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ；（4）设1112,,2,16816A m B m ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）0a =或3a =-；（2）118；（3）21136x -<<-；（4）18m <-或116m >- 【解析】【分析】（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值；（2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；（3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围；（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．【详解】解：（1）当1m =-时，()22613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得22611a a ++=解得0a =或3a =-（2）当0m >时，,(3)F m m -此时，0o y m =-<当0m ≤时，2223926=2()22y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭此时，229911=()22918m m m ---++ ∴0y 的最大值118=综上所述，0y 的最大值为118（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0 当抛物线顶点在x 轴上时，22=4(6)42()=0b ac m m -=--⨯⨯-△解得：m=0（舍去）或29m =- 由题意可知抛物线的对称轴为直线x=32m 且x ≥3m ∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是21136x -<<- （4）18m <-或116m >- 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 2．如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x 2+x+2 (2)存在，P 1（，4），P 2（，），P 3（，﹣）(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值3．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2142y x x =-+-. ①当点3,2B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值；②当33x -≤≤时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭、9,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.【答案】（1）1；（2）①2225- ；②max 432y =，min 12y =-；（3）31n -<≤-，514n <≤【解析】【分析】 （1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-12，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)5,(0)ax x y ax x -≥⎧=⎨-+<⎩， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则(5)510a -⨯-+=，∴1a =；（2）根据题意，二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214,(0)214,(0)2x x x y x x x ⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ①当m ＜0时，将B （m ，32）代入y=x 2-4x+12得m 2-4m+1322=， 解得：m=2当m≥0时，将B （m ，32）代入y=-x 2+4x-12得：-m 2+4m-12=32， 解得：或m=2．综上所述：m=2-或m=2+或m=2-②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+12，抛物线的对称轴为x=2，此时y 随x 的增大而减小， ∴当3x =-时，有最大值，即2143(3)4(3)22y =--⨯-+=， ∴此时y 的最大值为432． 当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-，抛物线的对称轴为x=2， 当x=0有最小值，最小值为12-， 当x=2时，有最大值，最大值y=72． 综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x 2+4x 12-的相关函数的最大值为432，最小值为12-； （3）如图1所示：线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x 2-4x-n 经过点M （12-，1）， ∴14+2-n=1，解得：n=54． ∴1＜n≤54时，线段MN 与二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n 的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤54． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值是解题的关键．4．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与坐标轴的交点为()30A -,，()10B ,，()0,3C -，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式．（2）若E 为第二象限内一点，且四边形ACBE 为平行四边形，求直线CE 的解析式． （3）P 为抛物线上一动点，当PAB ∆的面积是ABD ∆的面积的3倍时，求点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-；（2）33y x =--；（3）点P 的坐标为()5,12-或()3,12．【解析】【分析】（1）本题考查二次函数解析式的求法，可利用待定系数法，将点带入求解；（2）本题考查二次函数平行四边形存在性问题，可根据题干信息结合平行四边形性质确定动点位置，进一步利用待定系数法求解一次函数解析式；（3）本题考查二次函数与三角形面积问题，可先根据题干面积关系假设动点坐标，继而带入二次函数，列方程求解．【详解】（1）∵抛物线2y ax bx c=++与坐标轴的交点为()30A-,，()10B,，()0,3C-，∴9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x=+-．（2）如图，过点E作EH x⊥轴于点H，则由平行四边形的对称性可知1AH OB==，3EH OC==．∵3OA=，∴2OH=，∴点E的坐标为()2,3-．∵点C的坐标为()0,3-，∴设直线CE的解析式为()30y kx k=-<将点()2,3E-代入，得233k--=，解得3k=-，∴直线CE的解析式为33y x=--．（3）∵2223(1)4y x x x=+-=+-，∴抛物线的顶点为()1,4D--．∵PAB∆的面积是ABD∆的面积的3倍，∴设点P为(),12t．将点(),12P t代入抛物线的解析式223y x x=+-中，得22312t t+-=，解得3t=或5t=-，故点P的坐标为()5,12-或()3,12．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，利用待定系数法求解解析式时还可以假设交点式，几何图形存在性问题求解往往需要利用其性质，假设动点坐标，列方程求解．5．定义：函数l与l'的图象关于y轴对称，点(),0P t是x轴上一点，将函数l'的图象位于直线x t=左侧的部分，以x轴为对称轴翻折，得到新的函数w的图象，我们称函数w是函数l的对称折函数，函数w的图象记作1F，函数l的图象位于直线x t=上以及右侧的部分记作2F，图象1F和2F合起来记作图象F．例如：如图，函数l的解析式为1y x=+，当1t=时，它的对称折函数w的解析式为()11y x x=-<．（1）函数l的解析式为21y x=-，当2t=-时，它的对称折函数w的解析式为_______；（2）函数l的解析式为1²12y x x=--，当42x-≤≤且0t=时，求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值；（3）函数l的解析式为()2230y ax ax a a=--≠．若1a=，直线1y t=-与图象F有两个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）()212y x x=+<-；（2）F的解析式为2211(0)211(0)2y x x xy x x x⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩；图象F上的点的纵坐标的最大值为32y=，最小值为3y=-；（3）当3t=-，3171t-<≤，3175t+<<时，直线1y t=-与图象F有两个公共点．【解析】【分析】（1）根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可；（2）先根据题意确定F的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可；（3）先求出当a=1时图像F的解析式，然后分14t-=-、点(),1t t-落在223()y x x x t=--≥上和点(),1t t-落在()223y x x x t=--+<上三种情况解答，最后根据图像即可解答．【详解】解：（1）()212y x x =+<-（2）F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩当4x =-时，3y =-，当1x =-时，32y =， 当1x =时，32y =-，当2x =时，1y =， ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =，最小值为3y =-. （3）当1a =时，图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ⎧=--≥⎨=--+<⎩∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4； a ：当14t -=-时，3t =-，∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点； b ：当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时，2123t t t -=--，解得1t =2t =c ：当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时，2123t t t -=--+，解得34t =-（舍），41t =14t -=，∴55t =1t <≤5t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点； 综上所述：当3t =-，312t <≤，352t <<时，直线1y t =-与图象F 有两个公共点. 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识，弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．6．如图1所示，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知C 点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为72，点P 是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ 是平行四边形，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q 为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．【答案】（1）2214433y x x=-+；（2）9个；（3）33,22或44，；（4）33【解析】【分析】（1）抛物线与y轴交于点C，顶点的横坐标为72，则472223cb，即可求解；（2）APC∆的面积PHA PHCS S S，即可求解；（3）当四边形OPAQ是正方形时，点P只能在x轴的下方，此时OAP为等腰直角三角形，设点(,)P x y，则0x y+=，即可求解；（4）求出直线AP的表达式为：2(1)(6)3y m x ，则直线OQ 的表达式为：2(1)3y m x ②，联立①②求出Q 的坐标，又四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，即可求解．【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点C ，顶点的横坐标为72，则472223cb，解得1434bc，故抛物线的抛物线为：2214433y x x=-+；（2）对于2214433y x x=-+，令0y=，则1x=或6，故点B、A的坐标分别为(1,0)、(6,0)；如图，过点P作//PH y轴交AC于点H，设直线AC的表达式为：y kx b=+由点A（6，0）、C （0，4）的坐标得460bk b，解得423bk，∴直线AC的表达式为：243y x=-+①，设点2214(,4)33P x x x，则点2(,4)3H x x，APC∆的面积221122146(44)212(16)22333PHA PHCS S S PH OA x x x x x，当1x=时，10S=，当6x=时，0S=，故使APC∆的面积为整数的P点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ是正方形时，点P只能在x轴的下方，此时OAP为等腰直角三角形，设点(,)P x y，则0x y+=，即2214433y x x x，解得：32x=或4，故点P的坐标为3(2，3)2或(4,4)-；（4）设点2214(,4)33P m m m，为点(6,0)A，设直线AP 的表达式为：y kx t=+，由点A，P的坐标可得260214433k tkm t m m，解之得：2(1)326(1)3k mt m∴直线AP的表达式为：2(1)(6)3y m x，//AP OQ，则AP和OQ表达式中的k值相同，故直线OQ的表达式为：2(1)3y m x②，联立①②得：2(1)3243ym x yx ，解得：446mm y x ，则点6(Q m ，44)m， 四边形OPAQ 是平行四边形，则AO 的中点即为PQ 的中点， 如图2，作QC x ⊥轴于点C ，PD x ⊥轴于点D ，∴OC AD =, 则有，66m m ，解得：33m，经检验，33m 是原分式方程得跟，则633m，故Q 的横坐标的值为33 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】 【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3）， 将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）； （2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35， ①∠MAN=∠ABD 时， （Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32），AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时， （Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时， ∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BD AM AN=，即3535AN =， 解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -），则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．8．如图，直线3yx与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）243y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)-- 【解析】 【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可． 【详解】解：（1）令y=0，则x+3=0， 解得x=-3， 令x=0，则y=3，∴点A （-3，0），C （0，3）， ∴OA=OC=3， ∵tan ∠CBO=3OCOB=， ∴OB=1， ∴点B （-1，0），把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，93003a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴该抛物线的解析式为：243y x x =++， ∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点(2,1)D --；（2）∵A （-3，0），B （-1，0）， ∴AB=-1-（-3）=2， ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴，∠BAC=45°， ∵B （-1，0），D （-2，-1）， ∴∠ABD=45°，①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ， ∴AB ACBP BA =，即2BP =解得BP=3， 过点P 作PE ⊥x 轴于E ，则BE=PE=23×22=23，∴OE=1+23=53，∴点P的坐标为（-53，-23）；②AB和BA是对应边时，△ABC∽△BAP，∴AB ACBA BP=，即2322BP =，解得BP=32过点P作PE⊥x轴于E，则BE=PE=3222=3，∴OE=1+3=4，∴点P的坐标为（-4，-3）；综合上述，当52,33P⎛⎫--⎪⎝⎭或(4,3)--时，以点P，A，B为顶点的三角形与ABC∆相似；【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．9．如图，已知顶点为M（32，258）的抛物线过点D（3，2），交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标； （3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258， 将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258， 解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝﹣12x 2+32x +2＝2，即点C 坐标为（0，2），同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝12（x +1）， 设点P （x ，﹣12x 2+32x +2），则点H （x ，12x +12）， 则△PAD 面积为：S ＝S △PHA +S △PHD ＝12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣12x 12-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣12a 2+32a +2），当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ，PQ ＝2﹣（﹣12a 2+32a +2）＝12a 2﹣32a ， 又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°，∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′，∴△COQ ′∽△Q ′FP ，'''Q C Q P CO FQ =，即213222'a a a Q F-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，∴OQ ′＝OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′＝22223213CO OQ +=+=， 此时a ＝13，点P 的坐标为（13，9313-+）． 【点睛】 此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．10．如图，经过原点的抛物线2y ax x b =-+与直线2y =交于A ，C 两点，其对称轴是直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点为D ，线段AC 与y 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式，并写出点D 的坐标；（2）若点E 为线段BC 上一点，且2EC EA -=，点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点，连接PE ，过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ，连接PF ，探究在P 点运动过程中，线段PE ，PF 有何数量关系？并证明所探究的结论；（3）设抛物线顶点为M ，求当t 为何值时，DMF ∆为等腰三角形？ 【答案】（1）214y x x =-；点D 的坐标为(4,0)；（2）5PF PE =，理由见解析；（3）512t =或98t = 【解析】【分析】（1）先求出a 、b 的值，然后求出解析式，再求出点D 的坐标即可；（2）由题意，先求出点E 的坐标，然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，得到2EF PE =，结合勾股定理，即可得到答案；（3）根据题意，可分为三种情况进行分析：FM FD =或DF DM =或FM MD =，分别求出三种情况的值即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax x b =-+经过原点， ∴0b =．又抛物线的对称轴是直线2x =，∴122a --=，解得：14a =．∴抛物线的解析式为：214y x x =-． 令2104y x x =-=， 解得：10x =，24x =．∴点D 的坐标为(4,0)．（2）线段PE 、PF 的数量关系为：5PF PE =．证明：由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ，如图①，AE EG GC +=，∴EG GC AE =-，∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-，∵2EC EA -=，∴1EG =，∴(1,2)E ，过点E 作EH x ⊥轴于H ，则2EH OB ==．∵PE EF ⊥，∴90PEF ∠=︒，∵BE EH ⊥，∴90BEH ∠=︒．∴PEB HEF ∠=∠．在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中，∵PEB HEF ∠=∠，90EHF EBP ∠=∠=︒，∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，∴12PE BE EF HE ==， ∴2EF PE =． 在Rt PEF ∆中，由勾股定理得：222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=，∴5PF PE =．（3）由2211(2)144y x x x =-=--， ∴顶点M 坐标为(2,1)-．若DMF ∆为等腰三角形，可能有三种情形：（I ）若FM FD =．如图②所示：连接MG 交x 轴于点N ，则90MNF ∠=︒， ∵(4,0)D ， ∴2222125MD MN ND =+=+=设FM FD k ==，则2NF k =-．在Rt MNF ∆中，由勾股定理得：222NF MN MF +=，∴22(2)1k k -+=，解得：54k =， ∴54FM =，34NF =， ∴1MN =，即点M 的纵坐标为1-；令1y =-，则2114x x -=-， ∴2x =，即ON=2，∴OF=114， ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵(1,2)E ，∴1,2BE BP t ==-，∴221(2)PE t =+-， ∴251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-， ∴98t =． （II ）若DF DM =．如图③所示：此时5FD DM == ∴45OF =， ∴(45,0)F ，由（I ）知，221(2)PE t =+-，251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=， ∴222(45)55(2)t t +-=+- ∴512t =． （III ）若FM MD =．由抛物线对称性可知，此时点F 与原点O 重合．∵PE EF ⊥，点P 在直线AC 上方，与点P 在线段OB 上运动相矛盾，故此种情形不存在．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。