河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试(数学理)word版

河北省唐山市2011-2012学年高三上学期摸底考试数学理说明：一、本试卷包括三道大题，22道小题，共150分。

其中第一道大题为选择题。

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。

如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。

参考公式： 样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x n S n -++-+-=Sh V 31= 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．复数1ii -的共轭复数为（ ）A ．1122i -+B ．1122i +C ．1122i --D ．1122i- 2．已知x ，y 满足0,10,240,y x y z x y x y ≥⎧⎪--≥=+⎨⎪+-≤⎩则的最小值为 （ ）A ．2B ．6.5C ．4D ．83．如右图，该程序框图运行后输出的结果是 （ ） A ．63 B ．31 C ．15 D ．74．等差数列{}n a 的前n 项和为2410713,,,42n S a S a ==则=（ ）A ．12B ．12-C ．14D ． 14-5．球O 的一个截面面积为π，球心到该截面的距离为3，则球的表面积是 （ ）A ．2πB ．4πC ． 8πD ． 16π6．已知22:(1)1;:,10,p a q x R ax ax -≤∀∈-+≥则p 是q 成立的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知点P 为圆224470x y x y +--+=上一点，且点P 到直线0x y m -+=距离的最小值为21-，则m 的值为 （ ）A ．-2B ．2C ．2±D ．2±8．曲线214y y x x x ==-=与直线及所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．2ln 2-B ．42ln 2-C ．4ln 2-D ．2ln 29．已知向量(1,1),(1,)a x b y =-=，且a b ⊥，则22x y +的最小值为（ ）A ．14B ．13 C ．12 D ．110．五名志愿者去四个不同的社区参加创建文明城市的公益活动，每个社区至少一人，且甲、乙不能分在同一社区，则不同的分派方法有 （ ） A ．240种 B ．216种 C ．120种 D ．72种11．若函数22()(sin cos )2cos [0,]2f x x x x m π=++-在上有零点，则m 的取值范围为 （ ） A ．[1,22]+B ．[-1，2]C ．[1,22]-+D ．[1，3]12．已知()f x 是奇函数，且(2)(),f x f x -=∈当x [2,3]时，2()l o g (1),[1,2]f x x x =-∈则当时，()f x = （ ）A ．2log (4)x --B ．2log (4)x -C ．2log (3)x --D ．2log (3)x -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上。

13．二项式61()x x -的展开式中，3x 项的系数为 。

14．一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2的 正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体 积为 。

15．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P 是C1与 C2的一个公共点，12PF F ∆是一个以PF1为底的等腰三角形，1||4,PF =C1的离心率为3,7则C2的离心率为 。

16．已知数列{}n a 的前n 项和为*,21,n n n S S a n N =-∈，数列{(1)}n n a +的前n 项和为 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，BC=1，22cos ,cos sin ,3B A C ==求sin A AC 及的值。

18．（本小题满分12分）某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名。

现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩。

（I ）求抽取的男生与女生的人数？（II ）求男生甲和女生乙至少有1人被抽到的概率；（III ）从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2； 表 1成绩分组 (]60,70(]70,80(]80,90(]90,100人数 3m86表2成绩分组(]60,70(]70,80(]80,90(]90,100人数 2 5 n 5分别估计男生和女生的平均分数，并估计这450名学生的平均分数。

（精确到0.01）19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，30,2,3BAD AB AD∠=︒==，E是SC的中点。

（I）求证：SA//平面BDE；（II）求证：AD SB⊥；（III）若SD=2，求二面角E—BD—C的余弦值。

20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>经过点M（-2，-1），离心率为22。

过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。

（I）求椭圆C的方程；（II）PMQ∠能否为直角？证明你的结论；（III）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。

21．（本小题满分12分）已知函数2()(),.xf x x a e a R=-∈（I）求()f x的单调区间；（II）若对于任意的(],1x∈-∞，都有()4,f x e≤求a的取值范围。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知ABC∆，过顶点A的圆与边BC切于BC的中点P，与边AB、AC分别交于点M、N，且CN=2BM，点N平分AC。

求证：AM=7BM。

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy中，曲线C1的参数方程为36,21,2x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为10cos.ρθ=曲线C1与C2交于A、B两点，求|AB|。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()|||3|f x x x=+-，若不等式()f x a x>-恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案一、选择题： A 卷：BADBA ACCDD ACB 卷：CAADD ADBCB AC二、填空题：（13）x －y ＋1－ π4＝0（14）4 （15）3 （16）n ·2n三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由cosA ＝sinC ，得cosA ＝cos( π2－C)， 因为A ∈(0， π 2)， π 2－C ∈(－ π 2， π2)， 所以A ＝ π 2－C ，或A ＝C － π2，若A ＝ π 2－C ，则A ＋C ＝ π 2，B ＝ π2，这与cosB ＝223矛盾． 所以A ＝C － π 2＝π－(A ＋B)－ π2，即2A ＝ π2－B ，………………………………………………………………………5分 所以cos2A ＝sinB ＝1－cos2B ＝ 13， 即1－2sin2A ＝ 13，因为sinA ＞0，所以sinA ＝33．…………………………………………………8分 （Ⅱ）由正弦定理，有AC sinB ＝BCsinA ，所以AC ＝BC ·sinB sinA ＝33．………………………………………………………12分 （18）解：（Ⅰ）由抽样方法知，被抽取的男生人数为250×45450＝25，被抽取的女生人数为200×45450＝20．……………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，m ＝25－(3＋8＋6)＝8，n ＝20－(2＋5＋5)＝8，据此估计 男生平均分为65×3＋75×8＋85×8＋95×625＝81.8， 女生平均分为65×2＋75×5＋85×8＋95×520＝83；这450名学生的平均分数为81.8×25＋83×2045≈82.33．………………………12分 （19）解：（Ⅰ）连结AC 交BD 于F ，连结EF ，由ABCD 是平行四边形，知F 为AC 的中点， 又E 为SC 的中点，所以SA ∥EF ， ∵SA ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，∴SA ∥平面BDE ．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由AB ＝2，AD ＝3，∠BAD ＝30︒，及余弦定理得 取BD2＝AB2＋AD2－2AB ·ADcos ∠BAD ＝1， ∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD ⊥BD ． ∵SD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥SD ，∴AD ⊥平面SBD ，又SB ⊂平面SBD ，∴AD ⊥SB ．…………………………………………………………………………8分（Ⅲ）取CD 的中点G ，连结EG ，则EG ⊥面BCD ，且EG ＝1． 设三棱锥C —BDE 的高为h ，在△BDE 中，BD ＝1，DE ＝BE ＝ 1 2SC ＝2，EF ＝72． 在Rt △BCD 中，BD ＝1，BC ＝3，∠CBD ＝90︒． ∵VC —BDE ＝EE —BCD ，∴ 1 3· 1 2·BD ·EF ·h ＝ 1 3· 12·BD ·BC ·EG ，∴h ＝BC ·EG EF ＝2217．…………………………………………………………12分 （20）解：（Ⅰ）由题设，得4a2＋1b2＝1， ① 且a2－b2a ＝22，②由①、②解得a2＝6，b2＝3，椭圆C 的方程为x26＋y23＝1．………………………………………………………4分 （Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．ACBDESFG设直线MP 的方程为y ＋1＝k(x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x ＋8k2－8k －4＝0，－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝8k2－8k －41＋2k2，x1＝－4k2＋4k ＋21＋2k2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k(x ＋2)，同理得x2＝－4k2－4k ＋21＋2k2．…………………………………………………………8分因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，故kPQ ＝y1－y2x1－x2＝k(x1＋2)＋k(x2＋2)x1－x2＝k(x1＋x2＋4)x1－x2＝8k1＋2k28k 1＋2k2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．……………………………………………………12分 （21）解：（Ⅰ）f '(x)＝2(x －a)ex ＋(x －a)2ex ＝(x －a)[x －(a －2)]ex ．…………………………2分 令f '(x)＝0，得x1＝a －2，x2＝a ． 当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下：x (－∞，a －2) a －2 (a －2，a) a (a ，＋∞)f '(x) ＋ 0－＋f(x) ↗极大值 ↘极小值 ↗所以f(x)的单调递增区间是(－∞，a －2)，(a ，＋∞)，单调递减区间是(a －2，a)．………………………………………………………7分 （Ⅱ）当x ∈(－∞，1]时，由（Ⅰ）知，f(x)在(－∞，a －2)单调递增，在(a －2，a)单调递减，在(a ，1)单调递增，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a －2)或f(1)． 当a ∈[－1，3]，f(a －2)＝4ea －2≤4e ；f(1)＝(a －1)2e ≤4e ，所以f(x)≤4e ．……………………………………………………………………12分 （22）证明：由切割线定理，有BP2＝BM ·BA ，CP2＝CN ·CA ．…………………………2分 因为P 是BC 的中点，所以BM ·BA ＝CN ·CA ，又点N 平分AC ，所以BM ·(BM ＋AM)＝2CN2，………………………………6分 因为CN ＝2BM ，所以BM ·(BM ＋AM)＝8BM2，所以AM ＝7BM ．…………………………………………………………………10分 （23）解：在ρ＝10cos θ的两边同乘以ρ，得ρ2＝10ρcos θ，则曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝10x ，……………………………………3分 将曲线C1的参数方程代入上式，得(6＋32t)2＋ 1 4t2＝10(6＋32t)，整理，得t2＋3t －24＝0，设这个方程的两根为t1，t2，则t1＋t2＝－3，t1t2＝－24，所以|AB|＝|t2－t1|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝311．………………………………10分 （24）解：不等式f(x)＞a －x 即a ＜f(x)＋x ．f(x)＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ＜0，x ＋3，0≤x ＜3，3x －3，x ≥3．……………………………………………………3分当x ＜0时，f(x)＋x 的取值范围是(3，＋∞)；当0≤x ＜3时，f(x)＋x 的取值范围是[3，6)； 当x ≥3时，f(x)＋x 的取值范围是[6，＋∞)． 所以f(x)＋x 的取值范围是[3，＋∞)，因此，使不等式f(x)＞a －x 恒成立的a 的取值范围是(－∞，3)． (10)。