河南省洛阳市2015高三第二次统一考试数学理试卷
215年高考模拟试题_2015届河南省六市高三第二次联考数学(文)试题 (解析版)
河南省六市2015年高中毕业班第二次联考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的代号为A 、B 、C 、D 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若全集{}{}21,0,1,2|2U P x Z x =-=∈<，则U C P =A ．{}2B ．{}0,2C ．{}1,2-D ．{}1,0,2-2．某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图，如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人3．设a 是实数，若复数112a i i -+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则a 的值为 A ．1- B ．0C ．1D ．24．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-，如果向量a xb +与b -垂直，则实数x 的值为 A ．25-B ．233C ．323D ．2 5．设0.3222,0.3,log(0.3)(1)a b c x x ===+>，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a << 6．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为7．当实数,x y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2200y x y x 时，恒有3ax y +≤成立，则实数a 的取值范围是A ．0a ≤B ．0a ≥C ．02a ≤≤D ．3a ≤8．已知(,)A A A x y 是单位圆（圆心在坐标原点O ）上任意一点，将射线OA 绕O 点逆时针旋转30︒ 到OB ，交单位圆于点(,)B B B x y ，则A B x y -的最大值为A ．B C ．1 D ．129．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，当[0,]2x π∈时，满足()1f x =的x 的值为A ．6πB ．4πC ．524π D ．3π 10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作圆22214x y a +=的切线，切点为E ，直线EF 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率是A ．2B C D ．11．在可行域内任取一点，规则为如图所示的流程图，则能输出数对(,)s t 的概率是A ．B ．34 C ．4πD ．6π12．若偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =在10[0,]3上根的个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。
河南省八市重点高中高三数学第二次联考试卷 文(扫描版)
河南省八市重点高中2015届高三数学第二次联考试卷文（扫描版）数学（文科）·答案13、5 14、相交或相切 15、②③ 16、[02]，三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17. （本小题满分10分）（I ）当3m =时, }54|{≤≤=x x B ,故可由求得}54|{≤≤=x x B A ，}52|{≤≤-=x x B A ;………………………………（4分）（II ）,A B B =B A ∴⊆，下分B =∅与B ≠∅两种情况来解．当∅=B 时，112+<-m m ，得.2<m …………………………………………（6分）当∅≠B 时，得⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≤-+≥-21512112m m m m ，即23m ≤≤． ………………………………（9分）综上，m 的取值范围：{|3}m m ≤…………………………………………………（10分）18. （本小题满分12分）（I ）证：由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a a n n +-=+…………………………………（3分）所以{}n a n 是以111a =为首项，1为公差的等差数列． ……………………………（5分）（II ）解：由（I 所以2n a n =，从而3n b n =⋅………………………………………………………（7分）1231323333n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅① 234+13132333-133n n n S n n =⨯+⨯+⨯++⋅+⋅（）② ①－②得： 132333332+⋅-++++=-n n n n S …………………………………（9分） 1331)31(3+⋅---⨯=n n n………………………………………………………………（11分）所以+1(21)334n n n S -⋅+= …………………………………………………………（12分）19. （本小题满分12分）解：（I ）存在，N 点为AB 一个靠近A 点的三等分点，即13AN AB =.…………（1分）证明如下：连结1BC111111//2AM AD AN AC A C MC A C NB ∴===， 1//MN BC ∴，……………………………………………………………………………（3分） 又MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，//MN ∴平面11BB C C .…………（4分）（II ）由题意，1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ,∴1A D BC ⊥.又1,BC AC AC A D D ⊥=,∴BC ⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面11AAC C ，1AC BC ∴⊥，又111,AC BA BA BC B ⊥=，∴1AC ⊥平面1,ACB 又1AC ⊂平面1,ACB 11AC AC ⊥， ∴平行四边形11AC CA 为菱形. ………………………………………………………（6分）又1,A D AC D ⊥为AC 的中点，11,A A AC AC BC a ∴==== BC ⊥平面11AAC C ，190BCA BCA ︒∴∠=∠=，1,A B AB ∴==取1AA 中点H，则BH ==. 12117S 2AA B AA BH ∆==，…………………………………………………………（8分）设点C 1到平面A 1ABB 1的距离为h ,1//C C 平面A 1ABB 1，11112211113173323C AAB C A AB A CAB ABC V V V S A D a a a h ---∆∴====⨯⨯=⨯， 解得h =.………………………………………………………………………（11分） 故C 1到平面A 1ABB 1的距离为h =………………………………………………（12分）20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2cos 22sin 12B C A ++=得， 222cos 11cos()2cos cos 1A B C A A -+-+=+=， ………………………（2分） 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），A 为ABC ∆的内角3A π∴=，………………………………………………………………………（4分） 由余弦定理得，2222cos 3BC AB AC AB AC A =+-=，即BC =. ……………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由条件得，2224,2AB AC BC C π=+=∴=， 以C 点为坐标原点，,CA CB 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，则P 点坐标为(,)x y ，直线AB的方程为11x =， 点P 到直线AB的距离h =， 因为点P 在直线AB的左下方，0y +-≤，即h =，(12y d h x y x y x =++=++=++，…………………（9分）即(22y x d =-，因为点P 在ABC ∆内运动（含边界），由线性规划知识得，当直线(22y x d =-+经过点(0,0)C ，d，……………………………………………………………………（10分）当直线(22y x d =-经过点B ，d，……………………………………………………………………（11分）所以d的取值范围d ∈……………………………………………………（12分）21. （本小题满分12分）（Ⅰ）设圆C 的半径为r，则2r ，∴圆C 方程为：422=+y x …………………………………………………………（1分）因为点)3,1(G ,所以103122=+=OG , 622=-=OM OG GM所以以G 点为圆心，线段GM 长为半径的圆G 方程：6)3()1(22=-+-y x （1）又圆C 方程为：422=+y x （2）由)2()1(-得直线MN 方程：043=-+y x ………………………………………（4分）（Ⅱ）(方法一)设直线l 的方程为：bx y +-= 联立422=+y x 得：042222=-+-b bx x ，…………………………………（5分）设直线l 与圆的交点),(),,(2211y x Q y x P ，由0)4(8)2(22>---=∆b b ，得82<b ，………………………………………（7分）24,22121-=⋅=+b x x b x x （3） 因为PRQ ∠为钝角，所以0RP RQ ⋅<,即满足1212(1)(1)(1)(1)0x x y y --+++<，且RP 与RQ 不是反向共线，又b x y b x y +-=+-=2211,，所以212121212(1)(1)(1)(1)2(2)()220x x y y x x b x x b b --+++=-+++++<（4）由（3）（4）得22b <，满足0>∆，即b <<………………………（10分）当RP 与RQ 反向共线时，直线b x y +-=过（1，-1），此时0=b ，不满足题意， …………………………………………………………（11分）故直线l 纵截距的取值范围2,0)(0,2]……………………………（12分）（方法二）设直线l 的方程为：2y x m =-+，取PQ 中点M ，则OM PQ ⊥， 点M 坐标为(,)M m m .若使PRQ ∠为钝角，需满足点R 在以PQ 为直径的圆内，且点,,P Q R 不共线即1,2MR PQ <即222,MR OP OM <-即2222(1)(1)4()m m m m -++<-+， 解得：212m <，……………………………………………………………………（9分）当,,P Q R此时0m =，不满足题意，所以2,0)(0,2]………………………（11分） 故直线l 纵截距的取值范围2,0)(0,2]……………………………（12分）22. （本小题满分12分） （Ⅰ）当1a =时，函数()12ln f x x x =--，22'()1x f x x x -=-=……………………（1分）由'()0f x >得2x >，由'()0f x <得02x <<……………………………………（3分）故()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞ ………………………（4分）（Ⅱ）①当0a ≤时，由(0,1)x ∈，得10x -<，2ln 0x ->，得()(1)2ln 0f x a x x =-->恒成立，即0a ≤符合题意；…………………………（6分）②当0a >时， 当2a ≤时，即1a ≥时，由'()0f x <得0x a<<， 即()f x 在区间(0,1)上单调递减，故()(1)0f x f >=，满足对(0,1)x ∀∈，()0f x >恒成立，故此时()f x 在区间(0，1)上无零点,符合题意……………………………………（8分）当2a >时，即201a <<时，由'()0f x >得2x a >，由'()0f x <得20x a<<， 即()f x 在区间2(0,)a 上单调递减，在区间2(,1)a上单调递增； ……………………………………………………………（9分） 令()a g a e a =-，当2a >时，2'()110a g a e e =->->恒成立. 故函数()a g a e a =-在区间(2,)+∞上单调递增, 2()(2)20g a g e ∴>=->, 即1122,01a a e a e a a >>∴<<<<,而111()(1)2ln 0a a a a a f a a e e e e=--=+>, 故当2a >时，12()()0a f f e a <,即012(,)a x e a∃∈,使得0()0f x =成立, 所以2a >时, ()f x 在区间(0，1)上有零点,不符合题意. ……………………（11分）综上，a 取值范围是{|2}a a ≤……………………………………………………（12分）。
2022年河南省洛阳市高考数学第二次统一考试试卷(理科)-
数学模拟试卷（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。
）1. 设集合A={x|y=ln(1−x)}，B={x|(12)x<2}，则A∩B=( )A. {x|−1<x<1}B. {x|x<−1}C. {x|x<1}D. {x|−1<x≤1}2. 已知复数z=(1+i1−i)2+i，则在复平面内z对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x22p +y2p=1的一个焦点，则p=( )A. 2B. 3C. 4D. 84. 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(cos15°+ sin15°,cos15°−sin15°)，则tanα=( )A. √33B. 1C. √3D. 25. 等差数列{a n}中，a1=2020，前n项和为S n，若S1212−S1010=−2，则S2022=( )A. 1011B. 2022C. −1011D. −20226. 下列说法中正确的是( )A. 命题“p且q”为真命题，则p，q恰有一个为真命题B. 命题“p：∀x∈R，x2+1≥0”，则“￢p：∀x∈R，x2+1<0”C. △ABC中，A=B是sinA=sinB的充分不必要条件D. 设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S3>S2”的充要条件7. 已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+π3)，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是( )A. 先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度B. 先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度第1页，共4页第2页，共4页 C. 先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度 D. 先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度 8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°9. 已知函数y =f(x)的图象如图所示，则此函数可能是( )A. f(x)=e x −e −x x 2+|x|−2B. f(x)=e −x −e xx 2+|x|−2C. f(x)=x 2+|x|−2e x −e −xD. f(x)=x 2+|x|−2e −x −e x10. “迎冬奥，跨新年，向未来”，中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U 型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为( )A. 576B. 288C. 144D. 4811. 设曲线y =x 3−6kx 在x =k 处切线的斜率为f(k)，则( )A. f(213)<f(log 214)<f(log 29)B. f(213)<f(log 29)<f(log 214) C. f(log 29)<f(log 214)<f(213) D. f(log 29)<f(213)<f(log 214) 12. 已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，点P 在C 上，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若|OE|=λ|ON|，则双曲线C 的离心率为( )A. 2λ+1λ−1B. 2C. 1+λλ−1D. 1+2λ1+λ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）第3页，共4页13. 已知向量a ⃗=(1,−1)，b ⃗⃗=(m,2)，若a ⃗⊥(a ⃗+b⃗⃗)，则实数m = ______ ． 14. 已知函数f(x)=x 3−f′(1)x 2−2，则f(2)=______．15. 已知三棱锥P −ABC 中，AB =4，BC =3，PA =AC =5，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．16. 过抛物线C ：x 2=4y 的焦点F 作斜率为√3的直线l ，交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A ，B 处的两条切线交于点M ，则|MF|=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。
河南省开封市2015届高三第二次模拟考试数学(理)试题及答案
河南省开封市2015届高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分, 其中第Ⅱ卷第（22）- （24）题为选考题,其他题为必考题。
考生作答时, 将答案答在答题卡上, 在本试卷上答题无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1．答题前,考生务必先将自己的姓名, 准考证号填写在答题卡上, 认真核对条形码上的姓名、准考证号, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0 ．5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写, 字体工整,笔迹清楚。
3 ．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面清洁,不折叠, 不破损。
5．做选考题时,考生按照题目要求作答, 并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式:样本数据x1 , x2,…x n 的标准差锥体体积公式其中x 为样本平均数其中S 为底面面积,h 为高柱体体积公式球的表面积, 体积公式其中S 为底面面积,h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题: 本大题共12 小题, 每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U = R,集合M= {x | y = lg（x2- 1）} , N= { x|0 < x < 2} ,则N ∩（瓓UM ）= A．{ x | - 2 ≤x < 1} B．{ x | 0 < x ≤1}C．{ x | - 1 ≤x ≤1} D．{ x | x < 1}2．若（ 1 + 2 ai ）i = 1 - b i ,其中 a 、 b ∈R,i 是虚数单位,则| a + b i | =A．12+ i B．5 C．54D．523．下列有关命题的说法正确的是A．命题“x ∈R,均有x2- x + 1 > 0”的否定是:“x0∈R, 使得20010x x”；B．在△ABC 中,“s i nA > s i nB”是“A > B”成立的充要条件;C．线性回归方程y = bx+ a 对应的直线一定经过其样本数据点（x 1 , y1）、（x2 , y2）、，, （x n, y n）中的一个;D．在 2 ×2 列联表中,ad - b c 的值越接近0 ,说明两个分类变量有关的可能性就越大．4 ．已知 a > b > 0 ,椭圆C1 的方程为22221x ya b,双曲线C2 的方程为22221x ya b,C1 与C2的离心率之积为32, 则C1、C2的离心率分别为A．12，3 B．26,22C．64，2 D．1,2,345 ．某几何体的三视图如图所示, 正视图、侧视图、俯视图都是边长为1 的正方形, 则此几何体的外接球的表面积为A．3π B．4πC．2π D．5 26 ．函数f（x）= s i n（ωx + φ）（x ∈R ）（ω> 0 , | φ| <2）的部分图象如图所示, 如果x1、x2∈(,)63,且f（x1）= f（x2）, 则f（x1 + x2）等于A．12B．22C．32D．17 ．给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与输出的y 值相等, 则这样的x 值的个数是A．1 B．2 C．3 D．4 8 ．有5 盆不同菊花, 其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花1 盆,现把它们摆放成一排, 要求 2 盆黄菊花必须相邻,2 盆白菊花不能相邻, 则这5 盆花不同的摆放种数是A．12 B．24C．36 D．489 ．若s i nθ+ cosθ= 2 , 则ta n（θ+3）的值是A．1 B．- 3 - 2C．- 1 + 3 D．- 2 - 310 ．三棱锥S—ABC 中,∠SBA = ∠SCA = 90° ,△ABC 是斜边AB = a 的等腰直角三角形,则以下结论中:①异面直线SB 与AC 所成的角为90° ;②直线SB ⊥平面ABC ;③平面SBC ⊥平面SAC;④点 C 到平面SAB 的距离是12a ．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411．设实数x 、y 满足26260,0xy x yx y , 则z = m a x{2x + 3y - 1 , x + 2y + 2} 的取值范围是A ．[ 2 ,5] B ．[ 2 ,9] C ．[ 5 ,9] D ．[ - 1 ,9]12 ．已知函数y = f （x - 1）的图象关于点（ 1 ,0）对称,且当x ∈（- ∞,0）时, f （x ）+ xf' （x ）< 0 成立（其中f' （x ）是f （x ）的导函数）,若a = （30 ．3）·f （30 ．3）,b = （log π 3）·f （log π 3）,c = （log 319）·f （log 319）,b ,c 的大小关系是A ．a > b > cB ．c > a > bC ．c > b > aD ．a > c > b第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第（13）题～第（21）题为必考题, 每个试题考生都必须做答,第（22）题～第（24）题为选考题, 考试根据要求做答。
河南省洛阳市——高中三年级第二次统一考试 数学理
河南省洛阳市2008届高三第二次模拟考试 理科数学试题 一、选择题 1、如果函数y=f(x)的定义域为[0，9]，那么函数y=f(x2)的定义域是 ( ) A、[0，9] B、[0，3] C、[－3，0] D、[－3，3] 2、设复数z=1+2i，则z2－2z= ( ) A、－3 B、3 C、－3i D、3i 3、设命题p：x<－1或x>1；命题q：x<－2或x>1，则¬p是¬q的 ( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、若cos(α－β) cosα+sin(α－β) sinα=－45，又β∈(π，3π2)，则cosβ2= ( )
A、1010 B、－1010 C、31010 D、－31010 5、a,b是两条异面直线，A是不在a,b上的点，则下列结论正确的是 ( ) A、过A有且只有一个平面平行于a,b B、过A至少有一个平面平行于a,b C、过A有无数个平面平行于a,b D、过A且平行于a,b的平面可能不存在
6、若直线ax+2by－2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2－4x－2y－8=0的周长，则1a+2b 的最小值为 ( ) A、1 B、5 C、3+22 D、42 7、P是△ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是△ABC的（ ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心
8、已知两定点A(－1，0)、B(1，0)，动点C(x，y)满足(x－1)2+y2 =12|x－4|，则下列结论正确的是( ) A、|AC|+|BC|=8 B、|AC|+|BC|=6 C、|AC|+|BC|=4 D、|AC|+|BC|不是定值
9、若不等式组x－y≥02x+y≤2y≥0x+y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( ) A、a≥43 B、010、已知正态总体N(0，σ2)在区间(－1.96，1.96)内取值的概率为0.95，则该正态总体在(–∞, 1.96)内取值的概率为 ( ) A、0.965 B、0.975 C、0.985 D、0.995
2020届河南省洛阳市高三第二次统一考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届河南省洛阳市高三第二次统一考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（）．A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞ 答案：D根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B 和A B ，分析选项即可得到答案.解： 根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭ 则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D点评：此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,2．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（）．A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i - 答案：A先化简求出z ，即可求得答案.解：因为(1)2z i -=， 所以()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+所以111z i i -=+-=故选：A点评：此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（）．A ．1225-B ．2425-C ．165D ．85答案：B根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值.解：因为终边上有一点(3,4)P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭ 故选：B点评：此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.4．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．30 38 27 23 88A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5答案：B根据表格和折线统计图逐一判断即可.解：A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确；故选：B点评：此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.5．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（） A ．8B ．4C ．2D ．1答案：B 根据抛物线定义得62p AF =+，即可解得结果. 解：因为262p AF p ==+，所以4p =. 故选B点评： 本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.6．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥答案：C 根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.解：第一次循环：0,1S i ==第二次循环：1,2S i ==第三次循环：3,3S i ==第四次循环：6,4S i ==第五次循环：10,5S i ==第六次循环：15,6S i ==第七次循环：21,7S i ==第八次循环：28,8S i ==所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8.故选：C点评：此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.7．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（）．A ．()ln f x x x =B ．()x xf x e e -=- C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =- 答案：B奇函数满足定义域关于原点对称且()()0f x f x +-=，在(0,1)上()'0f x ≥即可.解：A ：因为()ln f x x x =定义域为0x >，所以不可能时奇函数，错误；B ：()x x f x e e -=-定义域关于原点对称，且()()0x x x x f x f x e e e e --+-=-+-=满足奇函数，又()'0x x f x e e -=+>，所以在(0,1)上()'0f x ≥，正确；C ：()sin 2f x x =定义域关于原点对称，且()()sin 2sin 20f x f x x x +-=+-=满足奇函数，()'2cos2f x x =，在(0,1)上，因为()()'0'122cos20f f =⨯<，所以在(0,1)上不是增函数，错误；D ：3()f x x x =-定义域关于原点对称，且()()33()0f x f x x x x x +-=-+-+=， 满足奇函数，()2'31f x x =-在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误； 故选：B点评：此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.8．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（）． A ．3-B ．6-C ．4D ．9 答案：B根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.解：根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD =在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-则DC =则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=-故选：B点评：此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.9．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（）．A ．3B ．10C ．15D ．6 答案：C 设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，得出11,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出,,AC MQ MP 和MNP ∠的余弦值再求其正弦值即可. 解：根据题意画出图形:设M,N,P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，则11,AB BC 的夹角为MN 和NP 夹角或其补角 可知1152MN AB ==，11222NP BC ==. 作BC 中点Q ，则PQM 为直角三角形； 11,2PQ MQ AC == ABC 中，由余弦定理得22212cos 4122172AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭AC ∴=MQ = 在MQP △中，2MP == 在PMN 中，由余弦定理得222222cos 222MN NP PM MNP MH NP +-+-∠====⋅⋅所以sin MNP ∠===故选：C点评：此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目. 10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（）．ABCD答案：A直线l 的方程为b x y c a=-，令1a =和双曲线方程联立，再由2AF FB =得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.解：由题意可知直线l 的方程为b x y c a=-,不妨设1a =. 则x by c =-，且221b c =- 将x by c =-代入双曲线方程2221y x b -=中，得到()4234120b y b cy b +--= 设()()1122,,,A x y B x y则341212442,11b c b y y y y b b +=⋅=-- 由2AF FB =，可得122y y =-，故32442242121b c y b by b ⎧-=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩则22481b c b =-，解得219=b则c ==所以双曲线离心率3c e a == 故选：A点评：此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(x f f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >- 答案：D 先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可.解：构造函数()()33x f x g x =， 则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数； 又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D点评：此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.12．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（）．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确;反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C 到平面PAB 的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.解：画出图形：若O 为ABC 的外心，则2OA OB OC ===，PO ⊥平面ABC ,可得PO OC ⊥,即222PC PO OC =+=，①正确;ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥,由PO OC ⊥可得PC AC ====，矛盾，②错误;若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ可得2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d由C PAB P ABC V V --=可得1111223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅即有2242AC BC AC BC +⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d 2sin 22dθ=即θ的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，③正确； 取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN由中位线定理可得平面//OKN 平面PAC可得M 在线段KN 上，而122KN PC ==，可得④正确； 所以正确的是：①③④故选：C点评：此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.二、填空题13．已知230x dx n =⎰，则12(1)n x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式2x 的系数为__________． 答案：8-先根据定积分求出n 的值，再用二项展开式公式即可求解.解：因为2234400112444x dx x ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭⎰所以4n =4(1)x +的通项公式为41441r r r r rr T C x C x -+=⨯⋅= 当2r时，422234416r r r T C x C x x -=⨯⋅==当3r =时，333444T C x x ==故12(1)n x x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为4(2)68+-⨯=- 故答案为：8- 点评：此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.14．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答） 答案：23由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝23，得解． 解：①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9， ②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为3353C C -=9， ③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为45C =5，综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝23， 故答案为：23． 点评：本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题． 15．已知函数()244f x x x =--.若()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立.则实数m 的取值范围是__________．答案：10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭首先解不等式()1f x <，再由()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，即()()1,21,5m m --⊆-得到不等组，解得即可. 解： 解：()244f x x x =--且()1f x <，即2441x x --<解得15x -<<，即()1,5x ∈-因为()1f x <在区间()1,2m m --上恒成立，()()1,21,5m m ∴--⊆-111225m m m m -≤-⎧⎪∴-<-⎨⎪-≤⎩解得103x≤<即10,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭点评：本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.16．在ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，3BD =，2CD =，则ABC 面积的最大值为__________． 答案：15 由角平分线定理得AB BDAC CD=,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出ABC 面积的最大值. 解： 画出图形：因为3BD =，2CD =，由角平分线定理得32AB BD AC CD ==, 设2,2,0,2AC x BAC παα⎛⎫=∠=∈ ⎪⎝⎭，则3AB x =由余弦定理得：22249232cos 25x x x x α=+-⋅⋅⋅即2132512cos 2x α=-2175sin 232sin 23sin 221312cos 2ABC S x x x αααα∆=⋅⋅⋅=⋅=-()222222tan 75752sin cos 1tan 1tan 1312cos sin 13121tan αααααααα⋅⨯+==--⨯--⋅+ 2150tan 151125tan 125tan 225tan tan tan 150αααααα⋅===++⋅当且仅当125tan tan αα=，即1tan 5α=时取等号所以ABC 面积的最大值为15 故答案为：15 点评：此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目. 三、解答题17．已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和. 答案：（1）3(1,2,)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n -=+=；（2）3(1)212nn n ++-试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d===3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则 q 3===8，∴q=2，∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1，∴bn=3n+2n ﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2n ﹣1，∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1），数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×=2n﹣1，∴数列{bn}的前n 项和为；【考点】1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．18．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将ACD 折起，使点D 到达点P 位置（P ∉平面ABC ）．（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：MH ∥平面ABP ； （2）若直线AB 与直线MN 所成角为4π，求二面角A PC B --的余弦值． 答案：（1）见解析（2）217(1)根据中位线证明平面MNQ 平面PAB ，即可证明MH ∥平面ABP ；（2）以QM ，QC ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.解：（1）证明：连接QM ，∵M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点， ∴QMAB ，又∵QM ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，∴QM平面PAB ，同理，QN ∥平面PAB ，∵QM ⊂平面MNQ ，QN ⊂平面MNQ ，QM QN Q =，∴平面MNQ 平面PAB ， ∵MH ⊂平面MNQ ， ∴MH ∥平面ABP ．（2）连接PQ ，在ABC 和ACD 中，由余弦定理可得，2222222cos 2cos AC AB BC AB BC ABCAC AD CD AD CD ADC ⎧=+-⋅⋅∠⎨=+-⋅⋅∠⎩， 由ABC ∠与ADC ∠互补，2AD AB CD ===，4BC =，可解得23AC =， 于是222BC AB AC =+， ∴AB AC ⊥，QM AC ⊥， ∵QMAB ，直线AB 与直线MN 所成角为4π，∴4QMN π∠=，又1QM QN ==， ∴2MQN π∠=，即QM QN ⊥，∴QM ⊥平面APC ， ∴平面ABC ⊥平面APC ， ∵Q 为AC 中点，PQ AC ⊥， ∴PQ ⊥平面ABC ，如图所示，分别以QM ，QC ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,3,0)B -，(0,3,0)C ，(0,0,1)P ，(2,3,1)PB =--，(0,3,1)PC =-．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，∴00n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即23030x z z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩．令1y =，则3x =3z =PBC 的一个法向量为(3,1,3)n =．又平面APC 的一个法向量为(1,0,0)m =，∴21cos ,||||7m n m n m n ⋅<>==⋅， ∴二面角A PC B --的余弦值为21． 点评：此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.19．某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表 质量指标 [15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]合计 频数2184814162100（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？ 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．答案：（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出2K 的观测值即可判断. 解：（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：0.03250.08050.03250.03650.9⨯+⨯+⨯+⨯=．设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件A ，事件A 发生的概率为p ，则由样本可估计0.9p =．那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件A 恰好发生2次，其概率为：2235(1)0.0081C p p -=．（2）22⨯列联表：2K的观测值2200(9049610) 2.76518614100100k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵2.765 2.706>，()22.7060.100P K >=，∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关． 由（1）知甲生产线的合格率为0.9，乙生产线的合格率为184814160.96100+++=，∵0.960.9>，∴保留乙生产线较好． 点评：此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.20．设函数()()ln xf x a x e bx c x =-+-. （1）若3a =，0c时，()f x 在(0,)+∞上单调递减，求b 的取值范围；（2）若2a =，4b =，4c =，求证：当1x >时，()168ln 2f x <-． 答案：（1）(,]e -∞-（2）见解析(1)()f x 在(0,)+∞上单调递减等价于()f x 0'≤在(0,)+∞恒成立，分离参数即可解决.(2)先对()f x 求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可. 解：（1）3a =，0c时，()(3)x f x x e bx =-+，()(3)(2)x x x f x e x e b x e b '=-+-+=-+，∵()f x 在(0,)+∞上单调递减． ∴(2)0xx e b -+≤，(2)xb x e ≤-． 令()(2)xg x x e =-，()(2)(1)x x x g x e x e x e '=+-=-，01x <<时，()0g x '<；1x >时，()0g x '>，∴()g x 在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数． ∴min ()(1)e g x g ==-，∴b e ≤-． ∴b 的取值范围为(,]e -∞-．（2）若2a =，4b =，4c =时，()(2)44ln xf x x e x x =-+-，44()(2)4(1)x x x f x e x e x e x x ⎛⎫'=-+-+-=-- ⎪⎝⎭， 令4()xh x e x=-，显然()h x 在(1,)+∞上为增函数． 又(1)40h e =-<，2(2)20h e =->，∴()h x 有唯一零点0x ． 且0(1,2)x ∈，01x x <<时，()0h x <，()0f x '>；0x x >时，()0h x ≥，()0f x '<，∴()f x 在()01,x 上为增函数，在()0,x +∞上为减函数． ∴()()0max 0000()244ln xf x f x x e x x ==-+-．又()00040x h x e x =-=，∴004x e x =，004x x e =，00ln ln 4x x +=． ∴()()000000082444ln 444ln 4x f x ex x x x x =-+-=-+-- 001844ln 4x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭． 18244ln 4168ln 22⎛⎫<+--=- ⎪⎝⎭，()012x <<． ∴当1x >时，()168ln 2f x <-． 点评：此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.21．已知点A 、B 分别在x 轴、y 轴上运动，||3AB =，2BM MA =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率存在的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，(0,1)E ，求22||||EP EQ +的取值范围．答案：（1）2214x y +=（2）2564,25⎛⎤ ⎥⎝⎦(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出,EP EQ ，得到EP EQ ⊥，所以222||||||EP EQ PQ +=，代入韦达定理即可求解.解：（1）设()0,0A x ，()00,B y ，则22009x y +=，设(,)M x y ，由2BM MA =得()00003222(0)3x xx x x y y y y y ⎧⎧==-⎪⎪⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎩⎩．又由于223(3)92x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简得M 的轨迹C 的方程为2214x y +=．（2）设直线PQ 的方程为35y kx =-， 与C 的方程联立，消去y 得()222464140525kx kx +--=， >0∆，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12224520k x x k +=+，1226425100x x k -⋅=+， 由已知()11,1EP x y =-，()22,1EQ x y =-，则()()12121212881155EP EQ x x y y x x kx kx ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()212128641525k x x k x x =+-++()2226482464125100552025k k k k k -=+⨯-⨯+++ 222264641926425625100k k k k---++=+ 0=，故直线EP EQ ⊥．()()222221212||||||14EP EQ PQ k x x x x ⎡⎤+==++-⎣⎦()()()()22222222641254246414520251002514k k k k k k k ++⎡⎤-⎛⎫=+-⨯=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥+⎣⎦()()242264429252514k k k ++=+，令214k t +=，则22222116442925444276625||2525t t t t PQ t t ⎡⎤--⎛⎫+⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎡⎤-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦== 24133176427252727t ⎡⎤⎛⎫=⨯--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 由于2141t k =+≥，101t<≤， 22564||25PQ ≤<． 所以，22||||EP EQ +的取值范围为2564,25⎛⎤ ⎥⎝⎦． 点评：此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.22．平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(0)3πθρ=>，直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点6,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线2C 交于点A ，曲线1C 与曲线2C 交于点B ，求PAB △的面积． 答案：（1）22cos 20ρρθ--=．60x -=（2）32(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标ρ的几何意义求解||AB ，再求点P 到直线AB 的距离即可算出三角形面积.解：解：（1）曲线221:(1)3C x y -+=，即22220x y x +--=．∴22cos 20ρρθ--=．曲线1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=．直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos 6θρθ+=， ∴直线l的直角坐标方程为60x +-=． （2）设,3A A ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,3B B ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴sin 336A ππρ⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得3A ρ=． 又22cos 203B B πρρ--=，∴2B ρ=（1B ρ=-舍去）．∴||321AB =-=．点P 到直线AB 的距离为6sin 336ππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭， ∴PAB △的面积为131322⨯⨯=． 点评：此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.23．已知函数()|3||1|f x x x =-+-．（1）若不等式()f x x m ≤+有解，求实数m 的取值范围；（2）函数()f x 的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a b c n ++=，证明：48ab bc ac abc ++≥． 答案：（1）[1,)-+∞（2）见解析(1)分离m 得到()()31g x f x x x x x =-=-+--，求()g x 的最小值即可求得m 的取值范围；（2）先求出n ，得到2a b c ++=，利用乘"1"变化即可证明不等式.解： 解：（1）设34,1()()312,134,3x x g x f x x x x x x x x x -+≤⎧⎪=-=-+--=-+<<⎨⎪-≥⎩，∴()g x 在(,3]-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增．故min ()(3)1g x g ==-．∵()m g x ≤有解，∴1m ≥-．即m 的取值范围为[1,)-+∞．（2）()|3||1||(3)(1)|2f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立． ∴2n =，即2a b c ++=． ∵11444()114a a b b c c a b c a b c b c a c a b ⎛⎫++++=++++++++ ⎪⎝⎭ 44616a b a c b c b a c a c b=++++++≥． 当且仅当12a =，12b =，1c =时等号成立． ∴1148a b c ++≥，即48ab bc ac abc ++≥成立． 点评：此题考查不等式的证明，注意定值乘"1"变化的灵活应用，属于较易题目.。
河南省洛阳市高三第二次统一考试(3月)——数学理数学
河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）试题第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．设复数满足（为虚数单位），则（）A．B．C．D．3．已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（）A．B．C．D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．1 B．C．D．5．甲乙和其他名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这名同学的站队方法有（）A．种B．种C．种D．种6．已知圆的方程为，直线的方程为，过圆上任意一点作与夹角为的直线交于，则的最小值为（）A．B．C．D．7．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，表示估计的结果，刚图中空白框内应填入（）A ．B ．C ．D ．8．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为，则该圆锥的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．9如图，、是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．10设函数，若，满足不等式()()22220f a a f b b -+-≤，则当时， 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ．12．已知函数()()()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥，关于的方程()()()22120f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦，有个不同的实数解，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本题共4个小题．每小题5分，共20分．13．已知角的始边与轴非负半轴重台，终边在射线上，则______．14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：.该数列的特点是：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则______．15．如图，扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且，若，，则的取值范围是______．16．已知椭圆的左、右顶点分别为、，为椭圆的右焦点．圆上有一动点，不同于，两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是______．三、解答题：本文题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列中，，其前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记，若数列为递增数列，求的取值范围．18．某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？(2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值．19．已知三棱锥，平面，，，，，分别是，的中点．(1)为线段上一点．且，求证：.(2)求直线与平面所成角的正弦值．20．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设，是轨迹上的两点，且，，记，求的最小值．21．已知函数，．(1)若，，求的单凋区间；(2)若函数是函数的图像的切线，求的最小值；(3)求证：．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题计分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22．(本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标．23．选修4—5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为．(1)求的最大值；(2)已知，，，且，求的最小值及此时，，的值．洛阳市2016—2017学年高中三年级第二次统一考试数学试卷参考答案(理)一、选择题1-5:BDBCC 6-10:DCBAB 11、12:AC 二、填空题13． 14． 15． 16． 17．解：(1)∵，∴，∴()()11221n n n a n a n a ++=+++， 即，∴， ∴ ∴. （2）.()21131n n n b b n λ++-=-+()()232321n n n n λλ--=⋅-+.∵数列为递增数列，∴，即.令，则112321631232321n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+. ∴为递增数列，∴，即的取值范围为．18．解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件，则事件的概率为．该厂有台机器就相当于次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为，则， ()4042160381P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314123213381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()2224122423381P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33412833381P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， 即的分布列为：设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为，即，，，…，，这个互斥事件的和事件，则∵，∴至少要名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于． (2)设该厂获利为万元，则的所有右能取值为：18,13,8， ()()721281P X P X +=+==， ()()813381P Y P X ====， ()()18481P Y P X ====． 即的分布列为：则()728114081813881818181E Y =⨯+⨯+⨯=． 故该厂获利的均值为． 19．(1)解：交于，∴，∴， 在中，，∴.22241216AC AD CD =+=+=，∴，为中点，，∴，∴． ∵面，∴， 又∵，，∴面， ∴面，∴． ∵，∴面，面， ∴.(2)以点为坐标原点，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系,则，，，，，，，． 设平面的法向量为， 则0,0,DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r r uuu r r 即 取．设，的夹角为，cos AC n AC n θ⋅==-⋅uuu r r uuu r r 所以直线与平面所成角的正弦值为．20．解：(1)设，的中点，连，则：，， ∴. 又, ∴∴，整理得.(2)设，，不失一般性，令， 则111122OFA S OF y y =⋅⋅=△，∵, ∴,解得③直线的方程为：211222121444y x y y y y y y ----，, 即2111244y x y y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+，令得，即直线恒过定点，当时，轴，，． 直线也经过点.∴121212OAB S OE y y y y =⋅-=-△. 由③可得,∴111182OAB S S y y y ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭△11382y y =+=≥当且仅当，即时，. 21．解：(1)时，，()()21120F x x x x'=+->，()()()22211212x x x x F x x x -++-'==， 解得，解得，∴的单调增区间为，单调减区间为区间为． (2)设切点坐标为设切点坐标为， ，切线斜率，又， ∴，∴020011ln 1a b x x x +=+-- 令()()211ln 10h x x x x x=+-->，，解得，解得，∴在上递减，在上递增． ∴，∴的最小值为． (3)法一：令， 由(1)知，∴. 又，∴ ∴521223ln x ex x x---≥≥，（两个等号不会同时成立） ∴． 法二：令， 显然在上递增，， ∴在上有唯一实根，且，， ∴在上递减，在上递增， ∴∴，22．解：(1)的普通方程为，的直角坐标方程为．(2)由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离()6d α=.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为． 23．解：(1)因为. 当或时取等号， 令所以或． 解得或 ∴的最大值为． (2)∵．由柯西不等式，()222111234234a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭,∴，等号当且仅当，且时成立． 即当且仅当，，时， 2的最小值为．。
河南省洛阳市高三第二次统一考试数学(文)试题Word版含答案
洛阳市2018届高三第二次统一考试数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1,},{|M y y x x R N x y ==-∈== ，则M N =（ ）A．[ B．[1- C ．φ D．(1- 2. 已知i 为虚数单位，a R ∈，如果复数21aii i--是实数，则a 的值为（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．43. 在边长为2的正三角形ABC ∆内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是（ ） A．1 BC．1 D4. 已知点1(,)2a 在幂函数()(1)af x a x =-的图象上，则函数()f x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．定义域内的减函数 D ．定义域内的增函数5. 已知焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，则该双曲线的离心率为（ ） ABD6. 定义12nn p p p +++为n 个正整数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n ，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++= （ ） A ．817 B ．919 C ．1021 D ．1123 7. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A ．172π B ．9π C ．192π D ．10π8. 已知:p 关于x 的不等式13x x m -+-<有解，:q 函数()(73)xf x m =-为减函数，则p 成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知函数()21cos 12x xf x x +=⋅-，则()y f x =的图象大致是（ ）10. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是1.99，则（ ） A ．98a = B ．99a = C ．100a = D ．101a =11. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，PC 为球O ，则球O 的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π12. 已知函数()()24,0,1ln ,0x x x f x g x kx x x x ⎧+≤==-⎨>⎩，若方程()()0f x g x -=在(2,2)x ∈-有三个实根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(1,lnB ．3(ln )2C ．3(,2)2D ．3(1,ln (,2)2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是 ．14.已知1,2,()3a b a b b ==+⋅= ，设a 与b 的夹角为θ，则θ等于 ． 15已知圆C 的圆心时直线20x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与圆22(2)(3)9x y -+-=相外切，若过点(1,1)P -的直线l 与圆C 交于两点，当最小时，直线l 的方程为. ． 16.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且113,222n n n a a S +==-，则5a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，已知扇形的圆心角23AOB π∠=，半径为C是AB 上一动点（不与点,A B 重合）.（1）若弦1)BC =，求BC 的长； （2）求四边形OACB 面积的最大值.18. 已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，PA ⊥平面,4,ABCD PA AB AC AB AC ===⊥，点,E F 分别在线段,AB PD 上. （1）证明：平面PDC ⊥平面PAC； （2）若三棱锥E DCF -的体积为4，求FDPD的值.19.已知药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该中药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：6666211111126,33,()()557,()84,66i i i i i i i i i x x y y x x y y x x ========--=-=∑∑∑∑621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和为62 6.00661ˆ()236.64,3167i i y ye =-=≈∑，分别为观察数据中温度和产卵数1,2,3,4,5,6i =，（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.1 ）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程0.2103ˆ0.06x ye =，且相关指数20.9952R =，试与（1）中的回归模型相比.①用2R 说明哪种模型的拟合效果更好；②用拟合效果更好的模型预测温度为035C 时该中药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分为121()()ˆˆˆ,()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，相关指数22121ˆ()()ni i nii y yR y y ==-=-∑∑20. 在直角坐标xOy 中，已知椭圆E 中心在原点，长轴长为8，椭圆E 的一个焦点为圆22:420C x y x +-+=的圆心.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设P 是椭圆E 上y 轴左侧的一点，过P 作两条斜率之积为12的直线12,l l ，当直线12,l l 都与圆C 相切时，求P 的坐标. 21.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）若曲线()y f x =与直线1ln 20x y ---=相切，求实数a 的值； （2）若不等式(1)()ln xx f x x e+≤-在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C 的方程是)4πρθ=-，直线l 的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，0απ≤<），设(1,2)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）当0α=时，求AB 的长度； （2）求22PA PB +的取值范围. 23.已知函数()1(0)2f x x a a a=-+≠. （1）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值； （2）当12a <时，函数()()21g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围.。
2014-2015年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（0，2）2．（5分）已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=A．﹣4 B．4 C．﹣7 D．73．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．1084．（5分）已知双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，]6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤87．（5分）已知p：≤2x≤，q：﹣≤x+≤﹣2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．4010．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或311．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．212．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）＞e x+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=．14．（5分）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=．15．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．16．（5分）函数f（x）=的最大值与最小值之积等于．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【选修4—4】坐标系参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＜1}则M∩N=（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（0，2）【解答】解：集合M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}，N={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选：B．2．（5分）已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=A．﹣4 B．4 C．﹣7 D．7【解答】解：由（1+）2=a+bi得1+﹣4=a+bi，即﹣3﹣4i=a+bi，则a=﹣3，b=﹣4，解得a=1，b=2，则a+b=﹣3﹣4=﹣7，故选：C．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．108【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=18﹣a7，∴S12=（a1+a12）=6（a6+a7）=6×18=108．故选：D．4．（5分）已知双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列，则其离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列∴（2b）2=（2a）•（2c）∴b2=ac又∵b2=c2﹣a2∴c2﹣a2=ac∴e2﹣e﹣1=0∴e=又在双曲线中e＞1∴e=故选：A．5．（5分）已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cosα，sinα），则向量与向量的夹角范围为（）A．[0，]B．[，] C．[，]D．[，]【解答】解：||=，∴A点在以C为圆心，为半径的圆上，当OA与圆相切时对应的位置是OA 与OB所成的角最大和最小的位置OC与x轴所成的角为；与切线所成的为所以两个向量所成的最小值为；最大值为故选：D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【解答】解：循环前，S=1，n=1第一次循环：S=1+2=3，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=3+22=7，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=7+23=15，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=15+24=31，n=4+1=5，继续循环；第五次循环：S=31+25=63，n=5+1=6，继续循环；第六次循环：S=63+26=127，n=6+1=7，停止循环，输出S=127．故选：B．7．（5分）已知p：≤2x≤，q：﹣≤x+≤﹣2，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：≤2x≤，即为﹣2≤x≤﹣1，q：﹣≤x+≤﹣2，即为﹣2≤x≤﹣∴属于前者一定属于后者，但是属于后者不一定属于前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）已知x、y都是区间[0，]内任取的一个实数，则使得y≤sinx的取值的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：此题为几何概型，事件A的度量为函数y=sinx的图象在内与x轴围成的图形的面积，即，则事件A的概率为，故选：A．9．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r+1令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选：D．10．（5分）若f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），且f（）=﹣1则实数m的值等于（）A．±1 B．﹣3或1 C．±3 D．﹣1或3【解答】解：因为f（x）=2cos（ωx+φ）+m，对任意实数t都有f（t+）=f（﹣t），所以函数的对称轴是x=，就是函数取得最值，又f（）=﹣1，所以﹣1=±2+m，所以m=1或﹣3．故选：B．11．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A．B．C．D．2【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=﹣1．∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3∴1+x A=3∴x A=2，∴y A=±2，∴△AOF的面积为=．故选：B．12．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）＞e x+2014（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（2014，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2014，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2015﹣1=2014，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40．则a5+a7=160．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a1q+a1q3=20，a1q2+a1q4=40，解得a1=q=2∴a n=a1q n﹣1=2n，∴a5+a7=160，故答案为：160．14．（5分）若实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m=5．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x﹣1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x﹣y取得最小值，由可得，代入x﹣y=﹣1得∴m=5故答案为：515．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．16．（5分）函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．【解答】解：f（x）==，x=0时，f（0）=0，x≠0时，f（x）=，x＞0时，x+≥2，∴0＜f（x）≤，x＜0时，x+≤﹣2，∴﹣≤f（x）＜0，综上，∴﹣≤f（x）≤，∴函数f（x）=的最大值与最小值之积等于﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1，∴1+cos2A﹣sin2A=1﹣2（sin2A﹣cos2A）=1﹣2sin（2A﹣）=﹣1，即sin（2A﹣）=1，∵A为三角形内角，即0＜A＜π，∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，即A=，在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，解得：b=4或b=﹣2（舍去），=bcsinA=×4×2×=2；∴S△ABC（Ⅱ）已知等式，利用正弦定理===2R，变形得：=====2．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）恰有两条线路没有被选择的概率为：P==．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴ξ的分布列为：∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD•k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．【解答】（1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+e x（x﹣1）+e x=x（e x+1﹣ex），令y=e x+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，则y≥1．即e x+1﹣ex＞0恒成立，则f′（x）＞0得x＞0；f′（x）＜0得x＜0．故f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，h′（x）=+2ex﹣1﹣e x x﹣e x，当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．下面的三个选作题，考生选择一个题作答【选修4—1】几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【解答】（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2【选修4—4】坐标系参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为y=x+2﹣2；圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．圆心到直线的距离为=1，∴|PQ|=2=2．【选修4—5】不等式选讲24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．。
洛阳市2015届高三一练word答案数学文
洛阳市２０１４———２０１５学年高中三年级统一考试数学试卷参考答案（文）一、选择题ＤＢＡＡＣＤＡＢＢＡＣＤ二、填空题１３．２５００１４．槡３１５．１２１６．｛λ｜λ＞－３｝三、解答题１７．（１）由题意知，Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０）．线段Ｆ１Ｆ２的中点为坐标原点Ｏ，设点Ｏ关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的点Ｃ的坐标为（ｘ０，ｙ０），则ｙ０ｘ０＝１，ｘ０２＋ｙ０２－２＝０烅烄烆．Ｃ（２，２）．……３分半径为｜Ｆ１Ｆ２｜２＝１，……４分所以圆Ｃ的方程为（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＝１．……５分（２）切线长＝｜ＰＣ｜２－槡１，……６分当｜ＰＣ｜最小时，切线长取得最小值，当ＰＣ垂直于ｘ轴，即点Ｐ位于（２，０）处时，取｜ＰＣ｜ｍｉｎ＝２，……９分此时切线长取最小值２２－槡１＝槡３．……１０分１８．（１）当ｎ＝１时，ａ１＝１２³３２－３２＝３，……２分当ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝（１２³３ｎ＋１－３２）－（１２³３ｎ－３２）＝３ｎ，……５分且ａ１＝３＝３１，所以｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝３ｎ．……６分（２）ｂｎ＝ｌｏｇ３ａｎ８１＝ｎ－４，……８分令ｂｎ≥０，即ｎ－４≥０，得ｎ≥４，即｛ｂｎ｝从第四项开始各项均非负，所以当ｎ≥５时，Ｔｎ＝－ｂ１－ｂ２－ｂ３－ｂ４＋ｂ５＋ｂ６＋…＋ｂｎ＝３＋２＋１＋０＋（ｎ－４）［１＋（ｎ－４）］２＝１２ｎ２－７２ｎ＋１２．……１２分书书书洛阳市２０１４———２０１５学年高中三年级统一考试数学试卷参考答案（文）一、选择题ＤＢＡＡＣＤＡＢＢＡＣＤ二、填空题１３．２５００１４．槡３１５．１２１６．｛λ｜λ＞－３｝三、解答题１７．（１）由题意知，Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０）．线段Ｆ１Ｆ２的中点为坐标原点Ｏ，设点Ｏ关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的点Ｃ的坐标为（ｘ０，ｙ０），则ｙ０ｘ０＝１，ｘ０２＋ｙ０２－２＝０烅烄烆．｛．即Ｃ（２，２）．……３分半径为｜Ｆ１Ｆ２｜２＝１，……４分所以圆Ｃ的方程为（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＝１．……５分（２）切线长＝｜ＰＣ｜２－槡１，……６分当｜ＰＣ｜最小时，切线长取得最小值，当ＰＣ垂直于ｘ轴，即点Ｐ位于（２，０）处时，取｜ＰＣ｜ｍｉｎ＝２，……９分此时切线长取最小值２２－槡１＝槡３．……１０分１８．（１）当ｎ＝１时，ａ１＝１２³３２－３２＝３，……２分当ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝（１２³３ｎ＋１－３２）－（１２³３ｎ－３２）＝３ｎ，……５分且ａ１＝３＝３１，所以｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝３ｎ．……６分（２）ｂｎ＝ｌｏｇ３ａｎ８１＝ｎ－４，……８分令ｂｎ≥０，即ｎ－４≥０，得ｎ≥４，即｛ｂｎ｝从第四项开始各项均非负，所以当ｎ≥５时，Ｔｎ＝－ｂ１－ｂ２－ｂ３－ｂ４＋ｂ５＋ｂ６＋…＋ｂｎ＝３＋２＋１＋０＋（ｎ－４）［１＋（ｎ－４）］２＝１２ｎ２－７２ｎ＋１２．……１２分１（２）设ＣＤ＝ａ，在△ＡＣＥ中，ＣＥｓｉｎ∠ＣＡＥ＝ＡＥｓｉｎ∠ＡＣＥＣＥ＝２ａｓｉｎ１５°ｓｉｎ３０°＝（槡６－槡２）ａ．……８分在△ＣＥＤ中，ＣＤｓｉｎ∠ＣＥＤ＝ＣＥｓｉｎ∠ＣＤＥｓｉｎ∠ＣＤＥ＝ＣＥｓｉｎ∠ＣＥＤＣＤ＝槡３－１．……１０分ｃｏｓ∠ＤＡＢ＝ｃｏｓ（∠ＣＤＥ－９０°）＝ｓｉｎ∠ＣＤＥ＝槡３－１．……１２分２０．（１）证明：∵Ａ１Ｄ⊥ 平面ＡＢＣ，Ａ１Ｄ平面ＡＣＣ１Ａ１，∴平面ＡＣＣ１Ａ１⊥ 平面ＡＢＣ，且交线为ＡＣ．∵ＢＣ平面ＡＢＣ，且ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＢＣ⊥ 平面ＡＣＣ１Ａ１．∵ＡＣ１平面ＡＣＣ１Ａ１，∴ＢＣ⊥ＡＣ１，……３分又ＡＡ１＝ＡＣ，∴ＡＣＣ１Ａ１为菱形．∴ＡＣ１⊥Ａ１Ｃ．∵Ａ１Ｃ，ＢＣ平面Ａ１ＢＣ，且Ａ１Ｃ∩ＢＣ＝Ｃ，∴ＡＣ１⊥ 平面Ａ１ＢＣ，……５分，∵ＢＡ１平面Ａ１ＢＣ，∴ＢＡ１⊥ＡＣ１……６分（２）ＶＢ１－Ａ１ＤＢ＝ＶＤ－Ａ１Ｂ１Ｂ＝１２ＶＣ－Ａ１Ｂ１Ｂ＝１２ＶＣ１－Ａ１Ｂ１Ｂ＝１２ＶＢ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝１６ＶＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝１６³２³２³１２³槡３＝槡３３．……１２分２１．（１）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｐ２，由ｘ＝ｍｙ＋ｐ２，ｙ２＝２ｐｘ烅烄烆．消去ｘ得ｙ２－２ｐｍｙ－ｐ２＝０．所以ｙ１＋ｙ２＝２ｐｍ，ｙ１ｙ２＝－ｐ２．……２分∵→＝－３，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝－３．ｘ１ｘ２＝ｙ１２２ｐ²ｙ２２２ｐ＝ｐ２４，所以ｐ２４－ｐ２＝－３，ｐ２＝４．∵ｐ＞０，∴ｐ＝２．……４分（２）由（１）ｙ１＋ｙ２＝４ｍ，ｙ１ｙ２＝－４，则（ｙ１－ｙ２）２＝（ｙ１＋ｙ２）２－４ｙ１ｙ２＝１６（ｍ２＋１）．｜ＡＢ｜２＝（ｙ１－ｙ２）２＋（ｘ１－ｘ２）２＝（ｙ１－ｙ２）２＋（ｙ１２－ｙ２２４）２＝（ｙ１－ｙ２）２［１＋（ｙ１＋ｙ２４）２］＝１６（ｍ２＋１）２．……６分∴｜ＡＢ｜＝４（ｍ２＋１）．∵｜ＡＣ｜，｜ＣＤ｜，｜ＢＤ｜成等差数列，∴２｜ＣＤ｜＝｜ＡＣ｜＋｜ＢＤ｜＝｜ＡＣ｜＋｜ＢＣ｜－｜ＣＤ｜＝｜ＡＢ｜－｜ＣＤ｜．∴｜ＡＢ｜＝３｜ＣＤ｜．……９分又ＣＤ为圆ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０的直径，∴｜ＣＤ｜＝２．∴４（ｍ２＋１）＝６，ｍ＝±槡２２．……１１分即ｌ的方程为槡２ｘ±ｙ－槡２＝０．……１２分２２．（１）ｆ′（ｘ）＝ｋ＋４ｋｘ－４ｘ２－１＝－ｘ２－（ｋ＋４ｋ）ｘ＋４ｘ２＝－（ｘ－ｋ）（ｘ－４ｋ）ｘ２，（ｘ＞０，ｋ＞０）……１分①当０＜ｋ＜２时，４ｋ＞ｋ＞０，且４ｋ＞２，∴ｘ∈ （０，ｋ），ｆ′（ｘ）＜０，ｘ∈ （ｋ，２），ｆ′（ｘ）＞０．∴函数ｆ（ｘ）在（０，ｋ）上单调递减，在（ｋ，２）上单调递增；……３分② 当ｋ＝２时，４ｋ＝ｋ＝２，ｆ′（ｘ）＝－（ｘ－２）２ｘ２＜０恒成立，∴函数ｆ（ｘ）在（０，２）上单调递减；……４分③ 当ｋ＞２时，０＜４ｋ＜２，ｋ＞４ｋ＞０．∴ｘ∈ （０，４ｋ），ｆ′（ｘ）＜０，ｘ∈ （４ｋ，２），ｆ′（ｘ）＞０．∴函数在（０，４ｋ）上单调递减，在（４ｋ，２）上单调递增．……６分（２）由题意，ｆ′（ｘ１）＝ｆ′（ｘ２）（ｘ１，ｘ２＞０，且ｘ１≠ｘ２），即ｋ＋４ｋｘ１－４ｘ１２－１＝ｋ＋４ｋｘ２－４ｘ２２－１，化简得４（ｘ１＋ｘ２）＝（ｋ＋４ｋ）ｘ１ｘ２，而ｘ１ｘ２＜（ｘ１＋ｘ２２）２，∴４（ｘ１＋ｘ２）＜（ｋ＋４ｋ）（ｘ１＋ｘ２２）２，即ｘ１＋ｘ２＞１６ｋ＋４ｋ对ｋ∈［４，＋∞）恒成立．……８分令ｇ（ｋ）＝ｋ＋４ｋ，ｇ′（ｋ）＝１－４ｋ２＝（ｋ＋２）（ｋ－２）ｋ＞０对ｋ∈［４，＋∞）恒成立，∴ｇ（ｋ）≥ｇ（４）＝５．∴１６ｋ＋４ｋ≤１６５．∴ｘ１＋ｘ２＞１６５．即ｘ１＋ｘ２的取值范围是（１６５，＋∞）．……１２分。
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河南省洛阳市2015高三第二次统一考试
数学理试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上．
2．考试结束，将答题卷交回．
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要
求的．
1．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则复数z的实部与虚部之和为
A．0 B．1 C．22 D．4
2．集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x｜x∈A，且xB}，则
A－B＝
A．{x｜x＜－1} B．{x｜－1≤x＜0}
C．{x｜－1＜x＜0} D．{x｜x≤－1}
3．若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象的对称轴方程是
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
4．设等比数列{na}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{na}是递减数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数f（x）＝2x，g（x）＝lgx，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围是
A．[0，＋∞） B．（0，＋∞） C．[1，＋∞） D．（1，＋∞）
6．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋2a＝2()bc＋，
则cosA等于
A．45 B．－45 C．1517 D．－1517
7．6(1)(2)xx＋－的展开式中4x的系数为
A．－100 B．－15 C．35 D．220
8．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、
丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为
A．115 B．15 C．14 D．12
9．已知双曲线C：2221xab2y－＝（a＞0，b＞0），斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A，B两
点，若OAuur＋OBuuur与向量nr＝（－3，－1）共线，则双曲线C的离心率为
A．3 B．233 C．43 D．3
10．设函数f（x）＝x｜x－a｜,若对1x,2x∈[3，＋∞）,1x≠2x,不等式1212()()fxfxxx－－＞0恒成立，则实数a
的取值范围是
A．（－∞，－3] B．[－3，0） C．（－∞，3] D．（0，3]
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体
的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为
A．1 B．52
C．6 D．23
12．已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝3,AC＝3，若三棱锥D－
ABC体积的最大值为334，则球O的表面积为
A．36π B．16π
C．12π D．163π
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．
13．执行下面的程序，若输入的x＝2，则输出的所有x的值
的和为________________．
14．已知tanα，tanβ分别是2lg(652)xx－＋＝0的两个实根，
则tan（α＋β）＝
_________．
15．已知向量ar，满足｜ar｜＝2，｜br｜＝1，且对一切实数x，｜ar＋xbr｜≥｜ar＋br｜恒成立，则ar，
b
r
的夹角的大小为________________．
16．已知F1，F2分别是双曲线22233xya－＝（a＞0）的左，右焦点，P是抛物线28yax＝与双曲线的一个交点，
若｜PF1｜＋｜PF2｜＝12，则抛物线的准线方程为_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知正项数列{na}的前n项和为nS，对n∈N﹡有2nS＝2nnaa＋．
（1）求数列{na}的通项公式；。
（2）令111nnnnnbaaaa＋＋＝＋，设{nb}的前n项和为nT，求T1，T2，T3，„，T100中有理数的个数．
18．（本小题满分12分）
为了解某地高中生身高情况，研究小组在该地高中生中
随机抽出30名高中生的身高编成如右所示的茎叶图
（单位：cm）：
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，
身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个
子”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一
人是“高个子”的概率是多少?
（2）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地所有高中生（人数很多）中选3名，用ξ表示所选3人中
“高个子”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB．现
将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（1）若BE＝1，是否在折叠后的线段AD上存在一点P，且APuuur＝λPDuuur，使得CP∥平面ABEF?若存在，
求出λ的值；若不存在，说明理由；
（2）求三棱锥A－CDF的体积的最大值，并求此时二面角E－AC－F的余弦值．
20．（本小题满分12分）
设M是焦距为2的椭圆E：2221xab2y＋＝（a＞b＞0）上一点，A、B是其左、右顶点，直线MA与MB的斜
率分别为k1，k2，且k1k2＝－12．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知椭圆E：2221xab2y＋＝（a＞b＞0）上点N（0x，0y）处切线方程为00221xxyyab＋＝，若与椭圆E相
切于C（1x，1y），D（2x，2y）两点的切线相交于P点，且PCuuur·PDuuur＝0．求证点P到原点距离为
定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝xa－xlna（a＞1），g（x）＝b－232x，e为自然对数的底数．
（1）当a＝e，b＝5时，求整数n的值，使得方程f（x）＝g（x）在区间（n，n＋1）内有解；
（2）若存在1x，2x∈[－1，1]使得f（1x）＋g（2x）＋12≥f（2x）＋g（1x）＋e成
立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答
题卡上把所选题目的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）（选修4—1几何证明选讲）
如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点．点P在线段BA
延长线上，T是⊙O2上一点，PT⊥O2T，过P的直线交
⊙O1于C，D两点．
（1）求证：PTPC＝PDPT；
（2）若⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O
2
＝5，PT＝2425，求PA的长．
23．（本小题满分10分）（选修4－4坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：,3sin.x＝4cosy＝（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点M是曲线C1上任意一点,点N是曲线C2上任意一点,求｜MN｜的取值范围．
24．（本小题满分12分）（选修4—5不等式选讲）
已知a，b∈R＋，a＋b＝1，1x，2x∈R＋．
（1）求12122xxabxx＋＋的最小值；
（2）求证：122112((axbxaxbxxx＋)＋)≥．