七年级数学上册3.3.2+一元一次方程的解法(第2课时)提技能+题组训练(新版)湘教版
【金榜解析】2015版七年级数学上册3.2+等式的性质提技能+题组训练(新版)湘教版
3.2 等式的性质提技能·题组训练等式的性质1.若a=b,则在①a-=b-,②a=b,③-a=-b,④3a-1=3b-1中,正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.第②个不正确.因为在a=b的两边乘的不是同一个数,①③④均正确.2.下列说法正确的是( )A.在等式ab=ac两边都除以a,可得b=cB.在等式a=b两边都除以c2+1,可得=C.在等式=两边都除以a,可得b=cD.在等式2x=2a-b两边都除以2,可得x=a-b【解析】选B.选项A中,a可能为0,故A不正确;因为c2+1>0,故B正确;C选项中由=得b=c,两边应是同乘以a,故C不正确;选项D中两边都除以2应是x=a-b,故D不正确.3.若m+3n=4n,那么m= ,依据等式性质,等式两边都.【解析】等式的左边减去3n,由m+3n变为m,所以等式的右边也减3n,即4n-3n=n,所以m=n,依据等式性质1.答案:n 1 减3n4.如果x+8=10,那么x=10+ .【解析】等式两边都加-8,得x=10+(-8).答案:(-8)【变式训练】如果4a+3b=5,那么4a=5 .【解析】由左边知等式两边应同减3b,所以4a=5-3b.答案:-3b5.把方程2x+y=3改写成用含x的式子表示y的形式,得y= .【解析】根据等式性质1,两边都减去2x,得y=3-2x.答案:3-2x【互动探究】把方程2x+y=3改写成用含y的式子表示x的形式,得x= .【解析】根据等式性质1,两边都减去y,得2x=3-y,根据等式性质2,两边都除以2,得x=.答案:6.将等式5m-2=3m-2变形,过程如下:因为5m-2=3m-2,所以5m=3m(第一步),所以5=3(第二步).(1)上述过程中,第一步的依据是什么?(2)第二步得出的结论是错误的,为什么?(3)试一下,你能求出此方程的解吗?【解析】(1)等式性质1.(2)等式的两边不能同时除以m,根据等式性质2,等式的两边都除以同一个数(或同一个式子)时,除数或除式不能为0,而这里不能确定m是否为0,所以得出的结论是错误的.(3)根据等式性质1,两边都加上2,得5m-2+2=3m-2+2,即5m=3m,两边同减去3m,得5m-3m=3m-3m,即2m=0,根据等式性质2,两边同除以2,得m=0.【易错提醒】(1)利用等式性质2时,要保证所除以的数或式子不为0.(2)不能随意同除以一个含有字母的整式,因为此整式有可能为0.利用等式的性质解简单的一元一次方程1.解方程-x=5时,应在方程两边( )A.同乘-B.同乘-5C.同除以D.同除以5【解析】选B.方程两边应除以-,即同乘-5.2.下列四组变形中,正确的是( )A.由5x+7=0得5x=-7B.由2x-3=0得2x-3+3=0C.由=2得x=D.由5x=7得x=35【解析】选A.选项A,利用等式性质1,两边都减去7,得5x=-7.3.下列方程的变形,符合等式性质的是( )A.6x-3=8,得6x=8-3B.5x+2=1,得5x=1+2C.由-9x=7,得x=9+7D.由-x=1,得x=-5【解析】选D.A中等式的左边加3,右边减3,所以不正确;B中等式的左边减2,右边加2,所以不正确;C中等式的左边除以-9,右边加9,所以不正确;D中等式的左右两边都乘以-5,所以正确.4.方程x+1=0的解是.【解析】等式的两边同减1,得x=-1.答案:x=-15.在等式3x=x+1两边都,得3x-x= ,化简得2x= ,解得x= .【解析】等式的两边减去x,得3x-x=x+1-x,化简得,2x=1,解得x=.答案:减去x x+1-x 16.利用等式的性质解一元一次方程:(1)x+1=2.(2)-=3.(3)5=x-4.(4)5(y-1)=10.(5)--3=5.【解析】(1)x+1=2,方程两边都减1,得x+1-1=2-1,x=1.(2)-=3,方程两边同乘-3,得-×(-3)=3×(-3),x=-9.(3)5=x-4,方程两边都加4,得5+4=x-4+4,化简,得9=x,即x=9.(4)5(y-1)=10,方程两边同除以5,得=,化简,得y-1=2,两边都加1,得y-1+1=2+1,即y=3.(5)--3=5,方程两边都加3,得--3+3=5+3,化简,得-=8,方程两边同乘-2,得-×(-2)=8×(-2),即a=-16.7.若2m+3与-5互为相反数,试求m的值.【解析】因为2m+3与-5互为相反数,所以2m+3=5,2m=5-3,2m=2,m=1,所以m的值为1. 【错在哪？】作业错例课堂实拍用等式的性质把3a-5b=2a-5b变形.(1)找错:从第_______步开始出现错误.(2)纠错: ______________________________________________________答案: (1)②(2)等式两边都加5b,得3a=2a,等式两边都减去2a,得a=0.昨天我所在学校期中考试成绩，有个别同学考的不太理想，跟我发微信，自己在期中考试前已经非常努力的做题了，但最后的成绩却很差。
七年级数学上册 第3章 一元一次方程 3.3 解一元一次方程(二)去括号与去分母
时乘以10，得：5(3x+1)-2=(3x-2)-2(2x+3)。相传有个人因为不讲究说话的艺术(yìshù)，结果引起误会，把好 事办坏了
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例
题
2、去分母(fēnmǔ)的依据是等式性质二 ， 去分母时不能漏乘 没有分母的项；
小
3、去分母与去括号这两步分开写，
结 不要(bùyào)跳步，防止忘记变号。
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对应 训练 (duìyìng)
解 方 程 3xx132x1
2
3
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拍大腿，连连说：“这，这，我说的不是他们！”最后剩下的3人 一听，心想：“那定是说我们了！”于是，一个个也抬腿告 辞了。学生思考并用方程解决。
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内容(nèiróng)总结
3.3.2 解一元一次方程（二） ——去分母。分析：你认为本题用算术方法解方便，还是用方程方法解方便。3、去分母与去括号
32 7
你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流(jiāoliú) 一下，看谁的解法好。
总结(zǒngjié)：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果 能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计 算更方便些。
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典例解析(jiě xī)
例 题 2 ： 解 方 程 3 x 1 2 3 x 2 2 x 3
七年级数学上册 3.3 一元一次方程的解法典型例题素材
《一元一次方程的解法》典型例题例1 解方程：89210+-=+-x x例2 解方程：)2(3)3(2+=-x x例3 解方程：7722121-=--x x例4 解方程：6233)5(54--+=--+x x x x例5 解方程：5303.02.05.05.01.24.0=--+x x例6 下面解题过程正确吗？如果正确，请指出每一步的依据；如果不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解答．(1)解方程413x x += 两边都乘以12，得 134=-x x ∴1=x (2)解方程83243212x x --+= 去分母，得 x x 326220--+=移项，得 202623--=-x x合并同类项，得 16-=x例7 如果一个正整数的2倍加上18等于这个正整数与3之和的n 倍，试求正整数n 的值．例8 解方程234=-+-x x例9 解方程.132=-+-x x参考答案例1 分析 这个方程可以先移项，再合并同类项．解 移项，得.28910-=+-x x合并同类项，得6=-x把系数化为1，得6-=x说明：初学解方程者应该进行检验，就是把求得的方程的解代入原方程中，看方程的左右两边是否相等，如果相等则是方程的解，否则就不是方程的解．则说明我们的解题过程有误．当熟练之后可以不进行检验，以后我们会知道一元二次方程不会产生增根．例2 分析 这个方程含有括号，我们应先去掉括号，然后再进行合并同类项等．解 去括号，得.6362+=-x x移项，得6632+=-x x合并同类项，得12=-x把系数化为1，得.12-=x说明：在去括号时要注意符号的变化，同时还应该注意要用括号前的数去乘括号内的每一项，避免出现漏乘的现象．例3 分析 该方程中含有分母，一般我们是要先去掉分母，然后再按其他步骤进行．解 去分母，得217)2(3)2(21⨯-⨯=--x x去括号，得1476221-=+-x x移项，得2211476---=--x x合并同类项，得1707-=-x把系数化为1，得.7224=x说明：初学者在去括号时，如果分子是两项的，应该用括号把分子括上以避免出现符号的错误．例4 分析 在这个方程中既有括号又有分母，先做哪一步这应因题而定．解 去分母，得)2(5)3(10)5(30)4(6--+=--+x x x x去括号，得105301015030246+-+=+-+x x x x移项，得150241*********--+=+--x x x x合并同类项，得13429-=-x把系数化为1，得.29184=x 说明：要灵活应用解方程的步骤，在熟练之后这些解方程的步骤可以省略不写．例5 分析 在这个方程中既有小数又有分数，一般是先把分子分母中的小数都化成整数再进行计算．解 原方程可化为：53320505214=--+x x 去分母，得9)2050(5)214(3=--+x x去括号，得91002506312=+-+x x移项并合并同类项，得196112=x把系数化为1，得431=x说明：在解方程时解方程的步骤可以灵活使用，如在去括号后发现项比较多时，并有同类项可以合并，也可以先合并一次同类项然后再移项．例6 分析 第(1)小题方程中有两项有分母，另一项没有分母，在去分母时应注意不要漏乘没有分母的项．第(2)小题的各项，尤其是右边两项比较复杂，去分母时必须小心谨慎，防止出错． 解 (1)错，错在去分母时漏乘了方程中间的“1”，正确解答如下：去分母，得 x x 3124+=移项 12 1234==-x x x(2)错，错在将方程的两边乘以8后，832x --这一项应化为)32(x --而不是x 32--，正确解答如下：去分母，得 )32()3(220x x --+=去括号，得 x x 326220+-+=移项，得 516 165=-=-x x 说明：对于比较复杂的方程，求出解后要检验一下看是不是原方程的解，这样有利于减少解方程的错误．在解方程的过程中，认真、细致是解题的关键．例7 解 设已知的正整数为a ，依题意得)3(182+=+a n a ，即n a n 318)2(-=-， ∴.2)6(3--=n n a 因为a 和n 都是正整数，所以.62<<n当3=n 时，9=a ，36)39(31892=+⨯=+⨯；当4=n 时，3=a ，24)33(41832=+⨯=+⨯；当5=n 时，1=a ，.20)31(51812=+⨯=+⨯答：3=n ，或4=n ，或.5=n说明：本例的解法用到了分类讨论．例8 分析 对于4-x 来说，当4>x 时，44-=-x x ，当4<x 时，x x -=-44，这二者之间的区别显然是很大的，不能混为一谈．同样，3-x 这个式子在3>x 时与在3<x 时也有很大区别．注意到以上情况，是因为我们感到只有把题目中的绝对值符号去掉，才能解出方程．因此，对本题，可以分为434≤≤>x x 、和3<x 三种情况去掉绝对值符号来解．解 当4>x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x ， 解得.29=x 当43≤≤x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x ，这个方程无解．当3<x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x解得.25=x 所以，原方程的解是29=x ，或.25=x 说明：①从上面解题过程可以看出，带绝对值符号的方程，可以转化为不带绝对值符号的方程来解，而分类思想是实现这样的转化的法宝．②上面解题过程有读者不易察觉的一步，这就是检验．本题检验的具体做法是：在以4>x 为前提，求得29=x 之后，要看一看29是否与4>x 相符．在以3<x 为前提，解出25=x 之后，再看一看25与3<x 是否相符． ③解带有绝对值符号的方程，检验一步不要求书写，但不能以为这一步可有可无．例9 分析 对这类方程的常规解法，用分类讨论去绝对值． 从绝对值的几何意义出发，2-x 和3-x 分别表示数轴上表示x 的点到表示2的点与表示3的点之间的距离．如图所示，设数轴上表示2的点为A ，表示3的点为B ，那么示x 的点不会在点A 的左边或点B 的右边．解 方程132=-+-x x 的几何意义是数轴上表示x 的点到表示2的点的距离与表示3的点的距离之和为1．设数轴上表示2的点为A ，表示3的点为B ，则线段AB 上的点都符合要求，线段AB 之外的点均不符合要求．所以，这个方程的解是32≤≤x ．说明：从解方程来说，上面解法并不很重要，但从体会数学中的数形结合思想来说，则值得同学们拍案叫绝．这也是解不定方程的实例．。
3.解带括号的方程课件湘教版数学七年级上册
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
3.当x为何值时，代数式2(x2－1)－x2的值比代数式x2＋3x－2的值大6.
解：依题意得 2( x2－1 )－x2－( x2＋3x－2 ) ＝6，
去括号，得 2x2－2－x2－x2－3x＋2＝6，
移项、合并同类项，得
－3x＝6，
系数化为1，得
x＝－2.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
解含有括号的一 元一次方程
去括号 移项 合并同类项 ④系数化1
怎么解这个带 有括号的方程？
解：去括号，得
6x + 288-24x = 108
移项，得6x-24x=108-88合并同类项，得 -18x=-180
方程两边同除以-18，得 x=10
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
探究 解含有括号的一元一次方程
小组讨论2：通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号的一元一次方 程的一般步骤吗？
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
讨论3：小组间相互讨论说说去括号的过程需要注意些什么呢？
① 如果括号前面是“ + ”号，括号里各项不变号； ② 如果括号前面是“ – ”号，括号里各项都改变符号； ③ 在去括号时，括号前面的因数要与括号里面的每一项都要相乘.
学习目标
练一练
自主学习
合作探究
当堂检测
叉，三头六臂是哪吒，三十六头难分辨，手臂缠绕百零八，试向看官问一句，
几个夜叉几哪吒？”
哪吒 设有x个哪吒，则有_(_3_6_-_3_x_)_个夜叉，
夜叉
湘教版七年级上册数学一元一次方程的应用例题与解析
湘教版七年级上册数学3.2 一元一次方程的应用1．列一元一次方程解应用题列方程解应用题，就是把生活实践中的实际问题，抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决．列一元一次方程解应用题的步骤是：(1)审题设元：弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y)表示问题中的未知数；(2)找等量关系：分析题意，找出相等关系(可借助于示意图、表格等)；(3)列方程：根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；(4)解方程：解这个方程，求出未知数的值；(5)检验作答：检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案(包括单位名称)．解技巧利用一元一次方程巧解应用题读懂题目，搜集整理相关信息，弄清题目中的已知数和未知数，是用一元一次方程正确解决相关应用问题的前提．根据不同的实际问题，确定恰当的等量关系是解决较复杂问题的关键．对比较贴近生活实际的应用问题，其数量关系不仅多，而且比较隐蔽，因此，对这类应用问题要善于挖掘多种数量关系之间的内在联系．设未知数一般是问什么就直接设什么．如果直接设未知数有困难，就间接设未知数；设未知数时，必须写清楚未知数的单位，并且要保证前后单位统一．【例1】甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？分析：抽调后甲队人数＝甲队原有人数＋调入人数，抽调后乙队人数＝乙队原有人数－调出人数．在本题中抓住“2倍”便可发现相等关系：抽调后甲队人数＝抽调后乙队人数×2.解：设需从乙队抽调x人到甲队．根据题意列方程，得32＋x＝2(28－x)．解这个方程，得x＝8.答：需从乙队抽调8人到甲队．2．形积问题(1)常用的体积公式长方体的体积＝长×宽×高；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；圆柱体的体积＝底面积×高＝πr2h；圆锥体的体积＝13×底面积×高＝13πr 2h. (2)常用的面积、周长公式长方形的面积＝长×宽；长方形的周长＝2×(长＋宽)；正方形的面积＝边长×边长；正方形的周长＝边长×4；三角形的面积＝12×底×高； 平行四边形的面积＝底×高；梯形的面积＝12×(上底＋下底)×高； 圆的面积＝πr 2，圆的周长＝2πr.(3)形积变化中的等量关系形积变化问题中，图形的形状和体积会发生变化，但应用题中一定有相等关系．分以下几种情况：①形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前图形的体积＝变化后图形的体积． ②形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即为相等关系．(4)应用题中相等关系的找法①认真分析题意，找出已知数和未知数；②抓住题目中反映相等关系的关键词．如：相等、等于、多、少……；③掌握基本问题的常用关系式．如路程＝速度×时间，总价＝单价×数量……；④通过画图、列表等方法找相等关系．【例2－1】 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示．小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示．小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？分析：饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽．根据题意可设长方形的长为x ，则长方形的周长为2x ＋2×10，梯形的周长为10＋10＋10＋6＋10＋6＝52.则2x ＋20＝52，从而解得x ＝16.解：设小明所钉长方形的长为x ，根据题意，得2x ＋2×10＝10＋10＋6＋10＋6＋10，整理得2x ＋20＝52，解得x ＝16.由于饰物变化前后长度为10的边没有变化，所以长方形的一边长为10厘米．答：长方形的长为16厘米，宽为10厘米．【例2－2】 用一个底面半径是40毫米，高为120毫米的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100毫米的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，则大玻璃杯的液面离杯口还有10毫米，则大玻璃杯的高度是多少？分析：根据“小圆柱体的体积×10＝大圆柱形玻璃杯中水的体积”列方程求解． 解：设大玻璃杯的高度是x 毫米，根据题意，得π·1002(x －10)＝π·402×120×10.解这个方程，得x ＝202.答：大玻璃杯的高为202毫米．【例2－3】 内直径为20 cm 的圆柱形水桶中的全部水倒入一个长、宽、高分别为30 cm,20 cm,80 cm 的长方形铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．(π取3.14)分析：由于水的体积不变，可知两个容器的容积相同．所以本题的相等关系是：圆柱的体积＝长方体的体积．解：设圆柱形水桶高x cm.根据题意，得π⎝ ⎛⎭⎪⎫2022·x ＝30×20×80.解得x ＝480π≈152.87. 答：圆柱形水桶高约为152.87 cm.3.行程问题(1)相遇问题相遇问题是比较重要的行程问题，其特点是相向而行．相遇问题中的相等关系：①甲、乙的速度和×相遇时间＝总路程；②甲行的路程＋乙行的路程＝总路程，即s 甲＋s 乙＝s 总．(2)追及问题追及问题的特点是同向而行．追及问题有两类：①同时不同地，如下图：等量关系：乙的行程－甲的行程＝行程差；速度差×追及时间＝追及距离，即s乙－s甲＝s差．②同地不同时，如下图：等量关系：甲的行程＝乙的行程，即s甲＝s乙．解技巧巧解追及问题追及问题常从以下几个方面寻找等量关系列方程：①从时间考虑，若同时出发，追上时两人所用时间相等；②从路程考虑，直线运动，两人所走距离之差等于需要赶上的距离；③从速度考虑，两人的相对速度等于他们的速度的差．(3)环形跑道问题一般情况下，在环形跑道上，两人同时出发，第n次相遇有两种情况：相向而行，路程和等于n圈长；同向而行，路程差等于n圈长．(4)航行问题航行问题主要包括轮船航行和飞机航行，对于航行问题，需注意以下几点：a．顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水流(风)速度；b．逆水(风)速度＝静水(风)速度－水流(风)速度；c．顺水(风)速度－逆水(风)速度＝2倍水(风)速度；d．基本关系式：往路程＝返路程．【例3－1】 A，B两地相距112千米，甲、乙两人驾车同时从A，B两地相向而行，甲比乙每小时多行4千米，经过两小时后两人相遇，求甲、乙两人每小时各行多少千米？分析：本题属于相遇问题，其中的等量关系有：甲速度＝乙速度＋4，甲行程＋乙行程＝A，B两地距离(112千米)．解：设乙每小时行x千米，则甲每小时行(x＋4)千米．根据题意，得2(x＋4)＋2x＝112.解这个方程，得x＝26.当x＝26时，x＋4＝30.答：甲每小时行30千米，乙每小时行26千米．【例3－2】李成在王亮的前方10米处，若李成每秒跑7米，王亮每秒跑7.5米，同时起跑，问王亮跑多少米可以追上李成？分析：本题是追及问题，属于同时不同地的类型，可根据“王亮跑的路程－李成跑的路程＝10”，列方程求解．解：设x 秒时王亮追上李成，根据题意，得7.5x －7x ＝10，解得x ＝20.所以7.5×20＝150(米)．答：王亮跑150米可追上李成．【例3－3】 甲、乙两车自南向北行驶，甲车的速度是每小时48千米，乙车的速度是每小时72千米，甲车开出25分钟后，乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？分析：本题是追及问题中同地不同时类型．其相等关系：甲行程＝乙行程．解：设x 小时后乙车追上甲车，根据题意，得48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2560＝72x . 解这个方程，得x ＝56. 答：56小时后，乙车追上甲车． 【例3－4】 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．(1)如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？(2)如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？分析：(1)属于相遇问题，相等关系：甲的行程＋乙的行程＝环形跑道一圈的长－8米；(2)属于追及问题，相等关系：乙走的路程＝甲走的路程＋两地间的距离．解：(1)设经过x 秒，甲、乙两人首次相遇．根据题意得8x ＋6x ＝400－8，解这个方程，得x ＝28.答：经过28秒两人首次相遇．(2)设经过x 秒，甲、乙两人首次相遇，根据题意得8x ＝6x ＋400－8，解这个方程，得x ＝196.答：经过196秒两个人首次相遇．4.储蓄问题顾客存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，存入银行的时间叫期数，每个期数内的利息与本金的比叫利率，根据利率的定义，每个期数内，利息本金＝利率，利息＝本金×利率×期数，本金与利息的和叫本息和，本息和＝本金＋利息．月利率一般用千分之几表示．【例4】 王老师在银行里用定期一年整存整取的方式储蓄人民币6 000元，到期得到本息和6 120元，请你求出这笔储蓄的月利率(不计复利，即每月利息不重计息)．分析：根据本息和与利息的关系，有：利息＝本金×利率×期数，本息和＝本金＋利息． 解：设这笔储蓄的月利率是x ，那么存了一年是12个月，根据题意，得6 000＋6 000×12×x ＝6 120，解得x ≈0.001 667＝1.667‰.答：这笔储蓄的月利率是1.667‰.5.商品销售问题(1)与打折有关的概念①进价：也叫成本价，是指购进商品的价格．②标价：也称原价，是指在销售商品时标出的价格．③售价：消费者最终取得商品的价格，或说是商家卖出商品的价格，也叫成交价． ④利润：商家通过买卖商品所得的盈利，一般以“获利”、“盈利”、“赚”等词表示所得利润．⑤利润率：利润占进价的百分比．⑥打折：出售商品时，将标价乘以十分之几或百分之几十卖出，即为打几折卖出． 打几折，就是百分之几十或十分之几．如打8折就是以原价的80%卖出，即为原价×80%或原价×0.8.(2)利润问题中的关系式①售价＝标价×折扣；售价＝成本＋利润＝成本×(1＋利润率)．②利润＝售价－进价＝标价×折扣－进价．③利润＝进价×利润率；利润＝成本价×利润率；利润率＝利润进价＝售价－进价进价. 【例5－1】 某种商品的进价是400元，标价是600元，商店要求以利润不低于5%打折销售，那么售货员最低可以打几折出售此商品？分析：利润问题的相等关系是：商品售价－商品进价＝商品利润．其中商品利润＝进价×利润率，即400×5%.而商品售价＝标价×打折数．解：设最低可以打x 折出售．根据题意，得600×0.1x －400＝400×5%，解得x ＝7.答：售货员最低可以打7折出售此商品．【例5－2】某书城开展学生优惠售书活动，凡一次购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．李明购书后付了212元，若没有任何优惠，则李明应该付多少元？分析：先判断属于哪一种优惠，再根据情况确定相等关系．当购书是200元时，应该付200×0.9＝180元，李明支付了212元，说明超过了200元，相等关系是：不超过200元的部分应付款＋超过部分应付款＝实际付款．解：因为200×0.9＝180＞212，所以购书超过了200元．设应该付x元，根据题意，得200×0.9＋(x－200)×0.8＝212.解方程，得x＝240.答：若没有任何优惠，则李明应该付240元．【例5－3】一件上衣，按成本加5成(即50%)作为售价，后因清仓处理，按售价的8折出售，降价后每件卖72元，问这批上衣每件成本是多少元？降价后每件是赔还是赚，赔或赚多少元？解：设一件上衣的成本为x元，根据题意，得(1＋50%)x×80%＝72，解得x＝60.所以72－x＝72－60＝12.答：一件上衣的成本为50元，降价后每件仍可赚12元．6．几种复杂问题的应用含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下几种：(1)按比例分配问题按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分别求几个未知数的问题．比例分配问题中的相等关系是：不同成分的数量之和＝全部数量．(2)工程问题工程问题中的相等关系是：工作量＝工作效率×工作时间；甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作的工作效率；甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的总工作量．(3)资源调配问题资源调配问题一般采取列表法分析数量关系，利用表格，可以清晰地表达出各个数量之间的关系．其中的相等关系要根据题目提供的等量关系确定．(4)配套问题配套问题是一种常见的应用题类型，在生活实践中有着广泛的应用，其量与量间的关系类似于工程问题，其特殊的等量关系是各种零件的数量比等于一套组合件中各种零配件的数量比，其解法一般分直接解法和间接解法两种．【例6－1】某会议厅主席台上方有一个长12.8 m的长条形(矩形)会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空∶字宽∶字距＝9∶6∶2，如图所示．根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少．分析：根据比例关系，设边空、字宽、字距分别为9x,6x,2x，由等量关系“横框长度＝边空长度＋字宽长度＋字距长度”列出一元一次方程即可求解．解：设边空、字宽、字距分别为9x cm,6x cm,2x cm，则9x×2＋6x×18＋(18－1)×2x＝1 280，解得x＝8.所以边空为72 cm，字宽为48 cm，字距为16 cm.【例6－2】学校派七年级一、二班去植树，一班40人，二班52人，现从三班调来43人支援一班和二班，使二班的人数是一班的2倍，问应调入一班和二班各多少人？分析：可设到一班x人，借助于表格分析题中的数量关系如下：解：－x)＝(40＋x)×2，解得x＝5.所以43－x＝38.答：应调到一班5人，调到二班38人．。
2024七年级数学上册第3章一次方程组全章整合与提升习题课件新版湘教版.pptx
根据以上译文，提出以下两个问题，请解答.
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子；
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解：(1)设每头牛值 x 两银子，每只羊值 y 两银子，
5x＋2y＝19，
x＝3，
根据题意，得ቊ
解得ቊ
y＝2.
2x＋5y＝16，
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二元一次方程及其解
5. [2024·杭州月考]下列方程中是二元一次方程的是(
1
A. xy －1＝0
B. 2 x ＋3 y ＝4
1
C. ＝ 2－ x
y
D. x2－2 x ＝0
2
3
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B
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)
23
解：设 x ＋ y ＝ m ， x － y ＝ n ，则原方程组可化为
m n
x＋y＝8，
m＝8，
＋ ＝6，
൝2 3
解得ቊ
所以ቊ
x − y＝6，
n＝6，
4m − 5n＝2，
x＝7，
x＝7，
解得ቊ
所以原方程组的解为ቊ
湘教版七年级数学上3.3一元一次方程的解法课件(共16张PPT)
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15
新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本
身更重要.
—— 华罗庚
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16
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2021/6/282021/6/28Monday, June 28, 2021
解:
去分母，得
5
+ 3 2
x
×
6
=
3
5 3
xLeabharlann ×6(5+3x)×3 = (3+5x)×2
去括号，得 15+9x = 6+10x
移项，得 9x -10x = 6-15
化简，得
-1x = -9
方程两边同除以 1， x = 9
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（3）
2
x
6
1
-
5 x 1 8
= 1.
解:
去分母，得
3
如果设一听果奶饮料x元，那么可列出方程 4（x+0.5）+x=10-3 想一想
怎样解所列的方程？
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一般地，解一元一次方程的基本程序是： 去分母
去括号 移项
合并同类项
两边同除以未知数的系数
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例1 解方程： 3(2x -1) = 3x + 1.
解 去括号，得 6x-3 = 3x+1
解: 整理，得 0.5(3x-1)- 0.2(2-x) = x
去括号，得 1.5x-0.5-0.4+0.2x= x
移项，得 1.5x+0.2x -x = 0.5+0.4
七年级数学上册 第三章 一元一次方程 3.2 解一元一次方程(一)—合并同类项与移项 第2课时 用移
3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项情景导入归纳导入类比导入悬念激趣问题1：上节课我们学习了利用等式的基本性质解方程，哪位同学能叙述一下等式的基本性质呢？问题2：上周在我校举办了全市的数学优质课评选，共有50名教师听课，已知男教师比女教师的4倍少5人，请问听课的教师中有多少名男教师，多少名女教师？(要求：只列方程)[说明与建议] 说明：此环节为本节课新知的学习做好铺垫，体会等式的基本性质在解方程的过程中的作用．同时让学生体会到数学来源于生活，激发学生探究新知的兴趣．建议：学生叙述等式的基本性质要准确，问题2可引导学生发散思维，一题多解．通过上节课的学习，同学们知道：可以利用等式的基本性质解方程，比如：5x －2＝8.方程两边同时加上2，得5x －2＋2＝8＋2. 也就是5x ＝10.方程两边同时除以5，得x ＝2.此种解法过程比较繁琐，还有没有更加简便的方法呢？[说明与建议] 说明：本环节既回顾了上节所学：等式的基本性质及解方程，又引出了新的问题，为下面的学习设置了疑问，激发学生的学习兴趣．建议：此方程可由学生独立完成，回顾上节课解题过程，让学生总结此种方法的不便之处，教师适时提出问题，引出新课．教材母题——教材第89页例3 解下列方程：(1)3x ＋7＝32－2x ；(2)x －3＝32＋1.【模型建立】利用合并同类项与移项解一元一次方程，要注意以下几点：(1)移项时，从方程的一边移到另一边的项要变号．(2)方程中的项包括它前面的符号．(3)不要把移项和加法交换律混淆．(4)在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，不含未知数的项放在等号的右边．【变式变形】1．下列变形符合移项法则的是(C )A ．由5＋3x ＝2，得3x ＝2＋5B ．由－10x －5＝－2x ，得－10x －2x ＝5C ．由7x ＋9＝4x －1，得7x －4x ＝－1－9D ．由5x ＋2＝9，得5x ＝9＋22．一元一次方程t －3＝12t 化为t ＝a 的形式为__t ＝6__．3．当k ＝__－12__时，方程5x －k ＝3x ＋8的解是x ＝－2.4．如果5a 3b －m 与a 3b 6m －7是同类项，那么m 的值为( D ) A ．－1 B ．2 C ．－2 D ．15．解方程：(1)－9x －4x ＋8x ＝－3－7； (2)3x －4＝8－x ； (3)－3m ＋1＝9－m ； (4)0.6x －4.1＝3.9－1.4x.[答案：(1)x ＝2 (2)x ＝3 (3)m ＝－4 (4)x ＝4][命题角度1] 用合并同类项解一元一次方程用合并同类项法解一元一次方程的步骤：(1)合并同类项；(2)系数化为1.如素材二变式变形第5(1)题．[命题角度2] 用合并同类项与移项解一元一次方程利用合并同类项与移项解一元一次方程，要注意以下几点：(1)移项时，从方程的一边移到另一边的项要变号．(2)方程中的项包括它前面的符号．(3)不要把移项和加法交换律混淆．(4)在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，不含未知数的项放在等号的右边．如素材二变式变形第5(2)(3)(4)题．[命题角度3] 利用一元一次方程解决和差倍分问题解这类题的关键是根据题意找出题目中的和差倍分的等量关系．增长量＝原有量×增长率．注意：要恰当地设未知数，这样可以简化运算．题目中等量关系可能不止一个，有时会有多个，要根据具体情况恰当地选择等量关系．解完方程后要检验，避免出现不符合实际的答案．例 如果甲、乙、丙三个村合修一条水渠，计划出工60人，甲村出工人数是乙村出工人数的13，丙村出工人数是乙村出工人数的2倍，求乙村出工人数．解：设乙村出工人数为x ，则甲村出工人数为13x ，丙村出工人数为2x.根据题意，得x ＋13x ＋2x ＝60.合并同类项，得103x ＝60.系数化为1，得x ＝18.答：乙村出工的人数为18.[命题角度4] 利用一元一次方程解决盈亏问题 盈亏问题的等量关系：(1)“盈”是分配中的多余情况，“亏”是分配中的缺少情况； (2)一般会给出两个条件：什么情况下会“盈”，盈多少？什么情况下会“亏”，亏多少？这两个条件都可以用来列式子，然后利用相等关系列方程．例 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多做了9个；如果每人做4个，那么比计划少做了15个．小组成员共有多少名？解：设小组成员共有x 名，由题意，得5x －9＝4x ＋15. 移项，得5x －4x ＝15＋9. 合并同类项，得x ＝24. 答：小组成员共有24名．[命题角度5] 利用一元一次方程解决比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c，设其中一份为x ，由已知部分量在总量中的比例，可得表示各部分份量的式子，相等关系：各部分量之和＝总量．例 已知a∶b∶c＝2∶3∶4，a ＋b ＋c ＝27，求a －2b －2c 的值． 解：因为a∶b∶c＝2∶3∶4，所以设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m. 代入a ＋b ＋c ＝27，得2m ＋3m ＋4m ＝27， 即9m ＝27，所以m ＝3. 所以a ＝6，b ＝9，c ＝12.所以a －2b －2c ＝6－2×9－2×12＝－36. [命题角度6] 利用一元一次方程解决日历问题 日历中的相等关系：(1)日历中同一行中相邻的两数相差1，同一列中相邻的两数相差7.(2)用字母表示相邻三个数时，有多种表示方法，一般设中间一个数为a ，利用相反数的性质，能使计算过程简便．例 [利川校级一模] 图3－2－2是2014年6月的日历表，在日历表上可以用一个方框圈出3×3个位置相邻的数(如11，12，13，18，19，20，25，26，27)，若圈出的9个数的和为99，则方框中心的数为( A )图3－2－2A ．11B ．12C ．16D ．18P88练习1．解下列方程：(1)5x －2x ＝9； (2)x 2＋3x2＝7；(3)－3x ＋0.5x ＝10； (4)7x －4.5x ＝2.5×3－5.[答案] (1)x ＝3；(2)x ＝3.5；(3)x ＝－4；(4)x ＝1.2．某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年的总产值为550万元．前年的产值是多少？解：设前年的产值是x 万元，根据题意，得 x ＋1.5x ＋1.5x ×2＝550. x ＋1.5x ＋3x ＝550.合并同类项得5.5x ＝550. 系数化为1.得x ＝100.答：前年的产值是100元． P90练习1．解下列方程：(1)6x －7＝4x －5； (2)12x －6＝34x .[答案] (1)x ＝1；(2)x ＝－24.2．王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8 kg ，李丽平均每小时采摘7 kg.采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25 kg 给了李丽，这时两人的樱桃一样多．她们采摘用了多少时间？解：设她们采摘用了x 小时，根据题意，得8x －0.25＝7x ＋0.25. 8x －7x ＝0.25＋0.25. x ＝0.5.答：他们采摘用了0.5小时． P91习题3.2 复习巩固1．解下列方程： (1)2x ＋3x ＋4x ＝18； (2)13x －15x ＋x ＝－3；(3)2.5y ＋10y －6y ＝15－21.5；(4)12b －23b ＋b ＝23×6－1. [答案] (1)x ＝2；(2)x ＝3；(3)y ＝－1；(4)b ＝3.6.2．举例说明解方程时怎样“移项”，你知道这样做的根据吗？[答案] 例如解方程5x ＋3＝2x ，把2x 改变符号后移到方程左边，同时3改变符号移到方程右边，即5x －2x ＝－3.移项的根据是等式的基本性质．3．解下列方程： (1)x ＋3x ＝－16；(2)16y －2.5y －7.5y ＝5； (3)3x ＋5＝4x ＋1； (4)9－3y ＝5y ＋5.[答案] (1)x ＝－4；(2)y ＝56；(3)x ＝4；(4)y ＝12.4．用方程解答下列问题：(1)x 的5倍与2的和等于x 的3倍与4的差，求x ； (2)y 与－5的积等于y 与5的和，求y . [答案] (1)x ＝－3；(2)y ＝－56.5．小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新年龄的3倍，求现在小新的年龄． 解：设小新现在的年龄是x 岁，根据题意，得 3x －x ＝28；合并同类项，得2x ＝28. 系数化为1，得x ＝14.答：现在小新的年龄是14岁．6．洗衣机厂今年计划生产洗衣机25 500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1∶2∶14，计划生产这三种洗衣机各多少台？[答案] Ⅰ型，Ⅱ型，Ⅲ型各1500台，3000台，21 000台．7．用一根长60 m的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的1.5倍，长和宽各应是多少？[答案] 长18 m，宽12 m.综合运用8．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式．灌溉三块同样大的实验田，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式．后两种方式用水量分别是漫灌的25%和15%.(1)设第一块实验田用水x t，则另两块实验田的用水量各如何表示？(2)如果三块实验田共用水420 t，每块实验田各用水多少吨？解：(1)设第一块实验田用水x t，第二块实验田的用水量为0.25x t，第三块实验田用水0.15x t；(2)根据题意，得x＋0.25x＋0.15x＝420，1．4 x＝420，x＝300.300×0.25＝75(t)，300×0.15＝45(t)．答：三块实验田用水各300 t，75 t，45 t.9．某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产．它去年10月生产再生纸2050 t，这比它前年10月再生纸产量的2倍还多150 t．它前年10月生产再生纸多少吨？[答案] 950吨．10．把一根长100 cm的木棍锯成两段，要使其中一段长比另一段长的2倍少5 cm，应该在木棍的哪个位置锯开？[答案] 35 cm处．11．几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗．求参与种树的人数．[答案] 6人．拓广探索12．在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为30？如果能，这三个数分别是多少？[答案] 3，10，17.13．一个两位数的个位上的数的3倍加1是十位上的数，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是多少？[答案] 72.[当堂检测]第1课时用合并同类项解一元一次方程1．下面由（1）到（2）的变形是合并同类项的是（）A.（1）3x-2=6,（2）3x=82B.（1）-12x=8 ,（2）x=-3C.（1）2x–4x –3x = 6 ,（2）-5x = 6D.（1）2(3x+2) =4x,（2）6x+4 =4x2.下面变形正确的是（）A. 由3x- x +4x= 8 得：3+4x=8B. 由2x – 4x –x = 8+2 得：-3x =10C. 由– 6x-3x = 5 得： -3x = 5D. 13x +2x -8x = -3 -5 得：7x = -23. 方程4x-m=3的解是x=m,则：m 的值是（ ）A ．m=-1B ．m=1C ．m=-2D ．m=2 4. 小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x 张，根据题意，请你能帮小悦列出方程为__________________（不需要求解）. 5. 用合并同类项解方程： （1）4x –7x=4+2×3;(2)4x -2.5x +5x –1.5x=-8-7.参考答案： 1. C 2. B 3. B4. x+5（12-x ）=48 ;5. 解：（1）-3x=10,x=310 ; (2)5x=-15,x= -3 .第2课时 用移项、合并同类项解一元一次方程 1．列变形中属于移项的是（ ）A ．由5x －7y ＝2，得－2=－7y ＋5xB ．由6x －3＝x ＋4，得6x －3＝4＋xC ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －1＝x ＋92. 在解方程3x+5=-2x-1的过程中，移项正确的是（ ）C A ．3x-2x=-1+5 B ．-3x-2x=5-1 C ．3x+2x= -1-5 D ．-3x-2x=-1-53. 请把下列解方程：5x-2=7x+8的过程补完整． 解：移项得：5x-7x =___ 合并同类项得：___=10 系数化为一得：x =____4. 练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元．如果设水性笔的单价为x 元，那么由题意列方程是___________ .5. 解方程：（1）3x+3-4=6x+1 ; （2）12x-4-3x+3=12x+17. 参考答案： 1. C ； 2. C ；3. 8+2 -2x -54. 5（x-2）+3x=145.（1）x =-32 （2）x = -6[能力培优]专题一 利用合并同类项与移项解方程 1.解下列方程（1）12884x x +=-；（2）233234x x +=-．2. 已知方程4x ＋2m ＝3x ＋1和方程3x ＋2m ＝6x ＋1的解相同，求这个相同的解．3.规定新运算符号*的运算过程为b a b a 4131*-=,则求： （1）求5*(－5)；（2）解方程2*(2*x )＝1*x .4.关于x 的方程kx +2=4x +5 ()4≠k 有正整数解，求满足条件的k 的正整数值．专题二 列方程解和、差、倍分问题5.小明编了这样一道题：我是四月出生的，我的年龄的2倍加上8，正好是我出生那一月的总天数，那么你认为小明是几岁 （ ）A.18岁B.11岁C.19岁D.21岁6.某会议厅主席台上方有一个长12.8m 的长条形（矩形）会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空：字宽：字距=9：6：2，如图所示．根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少？7.（2012·长沙）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投资合作项目多51个. (1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个？(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元？ 专题三 列方程解盈余不足问题8.（2012·铜仁）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（）A．5（x+21－1）=6（x－1） B.5（x+21）=6（x－1）C. 5（x+21－1）=6xD. 5（x+21）=6x9.在“读书月”活动中，学校把一些图书分给某班学生阅读，若每个人分3本，则剩余20本；若每个人分4本，则还缺少25本.这个班有多少名学生？10.某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用同数量的60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为300元，问租用哪种客车更合算，租几辆车？专题四日历中的方程11.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数的和为144，那么最小的一个数为（）A．7 B．8 C．9 D．1012日历表中，任意圈出的同一竖列上相邻的３个数的和能否是２１？如果能，请求出这三个数，如果不能，请说明理由？13.日历表中，小亮圈出同一竖列上相邻的4个数的和是50，这四天分别是几号？知识要点：1.把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.2.移项的目标：将方程中的所有含未知数的项都集中到方程的左边，常数项都集中到方程的右边，便于合并同类项．3.移项的理论依据：移项相当于利用等式性质1，方程两边同时加上或减少同一个数或式．4.“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系，常用来列方程.方法技巧：1.两个方程同解问题解题思路：如果两个方程中只有一个方程含有参数，那么我们先求出不含参数的方程的解，然后将方程的解代入另一个方程得到一个关于参数的方程，从而求出参数的值；如果两个方程都含有参数，那么我们将参数看作已知数，分别解出这两个方程，然后根据两个解相等，列出一个关于参数的方程，从而求出参数的值．2.日历中同一竖列上相邻的两个日期之间相差7天；日历中同一横行上相邻的两个日期之间相差1天；日历中2×2个数之间交叉相加和相等.3.盈余不足问题常常利用“表示同一个量的两个不同的式子相等”来列方程.4.新定义运算的题目只要将新定义的符号按照题目指明的运算进行就ok，其他的运算不变.答案:1. 解：（1）12884x x +=-, 移项，得：12848x x -=--, 合并同类项，得：412x =-, 系数化为1，得：x ＝－3.（2）233234x x +=-,移项，得：232334x x -=--,合并同类项，得：1512x -=-, 系数化为1，得：x ＝60.2. 解：4x ＋2m ＝3x ＋1的解为：x ＝1－2m , 3x ＋2m ＝6x ＋1的解为：x ＝213m -, 所以1－2m ＝213m -, 解得m ＝12, 把m ＝12代入x ＝1－2m ，得x ＝0． 3. 解析：（1）5*(－5)＝115(5)34⨯-⨯-＝1235；（2）因为2*x ＝2134x -，所以2*（2134x -）＝2121()3434x --，1*x ＝1134x -.所以2121()3434x --＝1134x -,解得：158-=x .4. 解析：移项，得kx －4x =5-2,合并同类项，得（k －4）x =3, 因为k -4≠0，所以系数化为1，得34x k =-. 因为34k -为正整数，所以k -4=1或者k -4=3.解得75==k k 和. 5. B 解析：设小明x 岁，由题意得2x +8=30, 解得x =11.6. 解析：设边空、字宽、字距分别为9x （cm ）、6x （cm ）、2x （cm ），则： 9x ×2+6x ×18+2x （18﹣1）=1280, 解得：x =8．答：边空为72cm ，字宽为48cm ，字距为16cm ．7. 解析：（1）设湖南省签订的境外投资合作项目有x 个，那么省外境内投资合作项目 （512-x ）个，由题意得： 348512=-+x x ,解得133=x ，512-x =215; （2）215×7.5+133×6=2410.5(亿元).答：（1）湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有133个、215个. （2）在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金2410.5亿元.8.A 解析：如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵，故道路长为5（x +21－1）；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，故道路长为6（x －1）.因路长相等，所以5（x +21－1）=6（x －1）.9. 解析：设这个班有x 名学生，由题意得320425x x +=-,解得45x =, 答：这个班有45名学生.10. 解析：设租45座的客车x 辆，根据题意得：45x+15=60（x-1）,解得：x=5,所以租45座的客车的租金应为：250×（5+1）=1500（元）, 租60座的客车的租金应为：300×（5-1）=1200（元）, 所以租用60座的客车更合算，租4辆．11.B 解析：根据图可以得出，圈出的9个数中最大数与最小数的差为16，设最中间一个数为x ，则其他各数为x ±1，x ±7，x ±8，x ±6.这9个数的和为9x,由题意得9x=144,所以x=16,所以最小的数是16－8=8.12. 解：设圈出的三个数中中间日期为x 号，由题意得： （x-7）+x+（x+7）=21.解得x=7, x-7=7-7=0，x+7=7+7=14.因为日历中最小日期为0号，所以不符合题意，不存在这样的情况. 答：不可能存在三天日期和为21的情况.13. 解：设从前面数第二个日期是x 号，则另三个日期为（x-7）、（x+7）、（x+14）号，由题意得：（x-7）+x+（x+7）+（x+14）=50,解得 x=9, x-7=9-7=2，x+7=9+7=16，x+14=9+14=23. 答：这四天分别是2号，9号，16号，23号.解一元一次方程的“八项注意”革命歌曲<<三大纪律,八项注意>>想必同学们都知道吧,尤其是”八项注意”可以说是耳熟能详了.那么在学习解一元一次方程时,为了避免同学们在解方程时发生错误,特提出以下八个注意点:第一,注意解方程的格式.解方程的每一步都必须是方程,因此同学们在初学时出现的“连等式”或“解原式=”这些解题格式均是错误的。
湘教版数学七年级上册 利用移项、合并同类项解一元一次方程
合并同类项，得 系数化为 1，得
1 x 4. 2 x 8.
检验：把 x = -8 分别带入原方程的左右两边，
左边 = -(-8) - 1 = 7，右边 3 1 (8) 7， 2
左边 = 右边. 因此，x = -8 是原方程的解.
针对训练 解下列方程：
(1) 5x - 7 = 2x - 10；
解：(1) 移项，得 5x - 2x = -10 + 7，
合并同类项，得 3x = -3，
系数化为 1，得 x = -1.
(2) -0.3x + 3 = 9 + 1.2x.
(2) 移项，得 -0.3x - 1.2x = 9 - 3，
合并同类项，得 -1.5x = 6，
系数化为 1，得 x = -4.
3. 如果 5m 1 与 m 1 互为相反数，则 m 的值
为
1 12
4 .
4
4. 当 x =_－__2__时，式子 2x－1 的值比式子 5x + 6 的值小1.
5. 解下列一元一次方程：
(1) 7 2x 3 4x； (2) 1.8t 30 0.3t；
(3) 1 x 1 3 x； 2
(C )
2. 下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？ (1) 5＋x＝10 移项得 x＝ 10＋－5 ； × (2) 6x＝2x＋8移项得 66xx－＋2x ＝8； × (3) 5－2x＝4－3x 移项得 3x－2x＝4－5； √ (4) －2x＋7＝1－8x 移项得－2x＋8x＝1－7. √
典例精析 例1 解下列方程：
等量关系 调动前：阅 B28 题的教师人数 = 3×阅 A18 题的教师人数
调动后： 阅 B28 题的教师人数 - 12 = 原阅 A18 题的教师人数÷2 + 3
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3.3.2 一元一次方程的解法（第2课时）
提技能·题组训练
解含分母的一元一次方程
1.解方程-(x-5)=-,去分母时,两边同乘以 ( )
A.72 B.36 C.18 D.12
【解析】选C.去分母时,方程两边都乘各分母的最小公倍数,故需乘18.
2.把方程3x+=3-去分母正确的是 ( )
A.18x+2(2x-1)=18-3(x+1)
B.3x+(2x-1)=3-(x+1)
C.18x+(2x-1)=18-(x+1)
D.3x+2(2x-1)=3-3(x+1)
【解析】选A.方程两边都乘以6得18x+2(2x-1)=18-3(x+1).
3.下列解方程步骤正确的是 ( )
A.由2x+4=3x+1,得2x+3x=1+4
B.由7(x-1)=2(x+3),得7x-1=2x+3
C.由0.5x-0.7=5-1.3x,得5x-7=5-13x
D.由-=2,得2x-2-x-2=12
【解析】选D.A.移项没有变号,
B.去括号时漏乘,
C.方程变形时5漏乘10,
D.方程两边都乘以6得2x-2-x-2=12,故正确.
4.若代数式4x-7与代数式5的值相等,则x的值是 ( )
A.-9 B.1 C.-5 D.3
【解析】选A.依题意得:4x-7=5,去括号得:4x-7=5x+2,移项、合并同类项得:x=-9.
5.方程=1的解是x= .
【解析】去分母,得x-3=2,
移项、合并同类项,得x=5.
- 2 -
答案:5
6.解方程:
(1)=-x.
(2)-3=-.
【解析】(1)去分母,得x+8=-3x,
移项,得x+3x=-8,
合并同类项,得4x=-8,
方程两边都除以4,得x=-2.
(2)去分母得:3(2-x)-18=2x-(2x+3),
去括号得:6-3x-18=2x-2x-3,
移项,合并同类项得:-3x=9,
方程两边都除以-3,得x=-3.
灵活解一元一次方程
1.将方程-=1变形为=1-时,其错在( )
A.不应将分子、分母同时扩大10倍
B.移项时未改变符号
C.漏加括号
D.以上都不对
【解析】选B.当分子或分母是小数时,要利用分数的基本性质,将分子与分母同时乘以适当
的数,将分子、分母化为整数,故不选A选项;移项应变号,所以变形为=1-是错误的,
本题不存在需加括号的情况,所以错误不是漏加括号,故选B.
2.解方程4(x+5)-20=8,较简单方法的第一步是 .
【解析】两边都除以4得x+5-5=2,故x=2.
答案:两边都除以4
3.方程20%(3x-1)-30%(x+5)=1的解为 .
【解析】原方程化为0.2(3x-1)-0.3(x+5)=1,
解这个方程,得x=9.
答案:x=9
- 3 -
4.把方程-=1变形为-= .
【解析】方程左边的变形是依据分数的性质,第一项和第二项均是分子分母同乘以10,等号
的右边不变,仍为1.
答案:1
【易错提醒】本题中方程的变形依据是分数的性质而不是等式的性质,要注意区别.
【变式训练】方程-=1将分母化为整数为 .
【解析】利用分数的性质,第一项和第二项分子分母分别同时乘以10和100,
得-=1.
答案:-=1
5.解方程:(1)-x=2.
(2)x+=x+1.
【解析】(1)去中括号,得-3-x=2,
去小括号,得-1-3-x=2,
移项,得-x=2+1+3,
合并同类项,得-x=6,
两边都除以-,得x=-8.
(2)移项,得(x-1)-(x-1)=0,
合并同类项,得(x-1)=0,
两边都除以,得x-1=0,移项,得x=1.
【方法技巧】当题中既有小括号也有中括号,并且双重括号同时含有分数时,若先去分母做起
来十分麻烦,先去小括号,做起来也比较麻烦,可考虑先去中括号,再去小括号,这样做起来比
较简便.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
解下列方程.
- 4 -
-=1+.
(1)找错:从第________步开始出现错误.
(2)纠错: ___________________________________
____________________________________________
____________________________________________
_____________________________________________.
答案: (1)①
(2)去分母,得3x-(5x+11)=6+2(2x-4),
去括号,得3x-5x-11=6+4x-8,
移项,得3x-5x-4x=6-8+11,合并同类项,得-6x=9,
方程两边都除以-6，得3x.2－