【精讲优练课】人教版高中数学必修4练习:3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(含答案解析)
高中数学 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时训

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时训练 新人教版必修4一、选择题1.2sin 2α1+cos 2α·cos 2αcos 2α=( ) A .tan 2α B .tan α C .1D.12【解析】 原式=2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α=tan 2α. 【答案】 A2.函数f (x )=sin x cos x 的最小值是( ) A .-1 B .-12C.12D .1【解析】 f (x )=12sin 2x ,∴f (x )min =-12.【答案】 B3.(2013·大连高一检测)设sin(π4+θ)=13,则sin 2θ=( )A .-79B .-19C.19D.79【解析】 法一 sin(π4+θ)=13,即22(sin θ+cos θ)=13,两边平方得12(1+sin 2θ)=19, ∴sin 2θ=-79.法二 sin 2θ=-cos[2(π4+θ)]=2sin 2(π4+θ)-1=29-1=-79.【答案】 A4.设sin α=35(π2<α<π),tan(π-β)=12,则tan(α-2β)=( )A .-247B .-724C.247D.724【解析】 ∵sin α=35,α∈(π2,π),∴cos α=-45,∴tan α=-34.又∵tan(π-β)=12,∴tan β=-12,∴tan 2β=2tan β1-tan 2β=-43. ∴tan(α-2β)=tan α-tan 2β1+tan αtan 2β=-34--431+-34·-43=724.【答案】 D5.2-2cos 8+21-sin 8的化简结果是( ) A .2cos 4-4sin 4 B .2sin 4 C .2sin 4-4cos 4 D .-2sin 4【解析】 原式=21-cos 8+21-2sin 4cos 4=2×1-1-2sin 24+2sin 4-cos 42=2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|,∵sin 4<0,sin 4<cos 4,∴原式=-2sin 4+2(cos 4-sin 4)=2cos 4-4sin 4. 【答案】 A 二、填空题6.(2013·广州高一检测)已知sin(π4-x )=35,则sin 2x 的值等于________.【解析】 法一 ∵sin(π4-x )=35,∴cos(π2-2x )=1-2sin 2(π4-x )=1-2×(35)2=725, ∴sin 2x =cos(π2-2x )=725.法二 由sin(π4-x )=35,得22(sin x -cos x )=-35,∴sin x -cos x =-325,两边平方得1-sin 2x =1825,∴sin 2x =725.【答案】7257.在△ABC 中,已知cos 2C =-14,则sin C 的值为________.【解析】 cos 2C =1-2sin 2C =-14且0<C <π.所以sin C =104. 【答案】1048.函数f (x )=sin(2x -π4)-22·sin 2x 的最小正周期是________.【解析】 f (x )=sin(2x -π4)-22sin 2x =22sin 2x -22cos 2x -22×1-cos 2x 2 =22sin 2x +22cos 2x - 2 =sin(2x +π4)-2,故该函数的最小周期为2π2=π.【答案】 π 三、解答题9.(1)求函数f (x )=cos(x +23π)+2cos 2x 2,x ∈R 的值域; (2)已知tan α=3,α∈(π4,π2),求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 【解】 (1)f (x )=cos x cos 23π-sin x sin 23π+cos x +1=-12cos x -32sin x +cosx +1=12cos x -32sin x +1=sin(x +5π6)+1,因此f (x )的值域为[0,2]. (2)∵α∈(π4,π2),tan α=3,∴sin α=31010,cos α=1010.∴sin 2α=2sin αcos α=2×31010×1010=35,cos 2α=2cos 2α-1=2×110-1=-45, ∴tan 2α=sin 2αcos 2α=-34.10.已知sin(π4+α)sin(π4-α)=16,且α∈(π2,π),求sin 4α的值.【解】 因为(π4+α)+(π4-α)=π2.所以sin(π4-α)=cos(π4+α)因为sin(π4+α)sin(π4-α)=16,所以2sin(π4+α)·cos(π4+α)=13,即sin(π2+2α)=13.所以cos 2α=13.又因为α∈(π2,π),所以2α∈(π,2π),所以sin 2α=-1-cos 22α=-223.所以sin 4α=2sin 2αcos 2α=-429.11.(2013·天津高一检测)已知函数f (x )=tan(2x +π4). (1)求f (x )的定义域与最小正周期;(2)设α∈(0,π4),若f (α2)=2cos 2α,求α的大小.【解】 (1)由2x +π4≠π2+k π,k ∈Z ,得x ≠π8+k π2,k ∈Z .所以f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠π8+k π2,k ∈Z },f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)=2cos 2α,得tan(α+π4)=2cos 2α,sin α+π4cos α+π4=2(cos 2α-sin 2α), 整理得sin α+cos αcos α-sin α=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).因为α∈(0,π4),所以sin α+cos α≠0.因此(cos α-sin α)2=12,即sin 2α=12.由α∈(0,π4),得2α∈(0,π2),所以2α=π6,即α=π12. 【教师备课资源】 1.方程思想的应用【典例】 已知α∈(0,π2),且sin 2α-sin αcos α-2cos 2α=0,求tan(π3-α)的值.【思考探究】 将弦函数关系式转化为tan α的方程,先求tan α,再求tan(π3-α).【自主解答】 ∵sin 2α-sin αcos α-2cos 2α=0,cos α≠0, ∴tan 2α-tan α-2=0. ∴tan α=2或tan α=-1. ∵α∈(0,π2),∴tan α=2.∴tan(π3-α)=tan π3-tan α1+tan π3tan α=3-21+23=8-5311.1.构造关于tan α的二次方程是解决本题的关键.2.在三角函数的求值问题中,若某一三角函数值不易直接求解时,可构造方程或方程组求解.已知tan(α+π4)=2,求cos 2α+3sin 2α+tan 2α的值.【解】 ∵tan(α+π4)=tan α+11-tan α=2,∴tan α=13.∴cos 2α+3sin 2α+tan 2α=cos 2α-sin 2α+3sin 2α+tan 2α =cos 2α+2sin 2αcos 2α+sin 2α+tan 2α=1+2tan 2α1+tan 2α+2tan α1-tan 2α=1+291+19+231-19=3720. 2.知识拓展 二倍角公式的再探究(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解,如:8α是4α的二倍角;6α是3α的二倍角;4α是2α的二倍角;3α是32α的二倍角;α2是α4的二倍角;α3是α6的二倍角;……又如α=2·α2,α2=2·α4,…,α2n =2×α2n +1.∴sin α2n =2sin α2n +1cos α2n +1(n ∈N *),tan α2n =2tan α2n +11-tan 2α2n +1(n ∈N *). (2)一般情况下,sin 2α≠2sin α,例如:sin π3≠2sin π6,只有当α=n π,n ∈Z时,sin 2α=2sin α才成立,同样cos 2α=2cos α,tan 2α=2tan α在一般情况下也不成立,请读者自己寻求“等号”成立的条件.(3)当α=k π+π2(k ∈Z )时,tan α的值不存在,这时求tan 2α的值可利用诱导公式,即tan 2α=tan 2(k π+π2)=tan(π+2k π)=tan π=0.。
数学人教A版必修4达标训练: 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 含解析 精品

更上一层楼基础•巩固 1.cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°的值等于( ) A.26 B.23 C.45 D.431+思路分析:原式=sin 215°+cos 215°+sin15°cos15°=1+21sin30°=1+41=45. 答案:C 2.8sin 8cos44ππ-的值等于( )A.0B.23 C.1 D.22思路分析:原式=(cos 28π+sin 28π)(cos 28π-sin 28π)=cos 4π=22.答案:D 3.︒-︒80sin 310sin 1的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.41 思路分析:原式=︒︒︒-︒=︒∙︒︒-︒=︒-︒10cos 10sin 2)10sin 2310cos 21(410cos 10sin 10sin 310cos 10cos 310sin 1 420sin 20sin 420sin )10sin 30cos 10cos 30(sin 4=︒︒=︒︒︒-︒︒=答案:C 4.若sinx=215-,则sin2(x-4π)=____________.思路分析:∵sinx=215-, ∴sin2(x-4π)=sin(2x-2π)=-sin(2π-2x)=-cos2x=2sin 2x-1 =2×(215-)2-1=52-. 答案: 52-5.已知sin(4π-α)=135,α∈(0,4π),则)4cos(2cos απα+的值为___________.思路分析:∵α∈(0,4π),∴4π-α∈(0,4π).又∵sin(4π-α)=135,∴cos(4π-α)=1312)135(1)4(sin 122=-=--απ. ∴原式=132413122)4cos(2)4sin()4cos()4sin(2)]4(2cos[)22sin(=⨯=-=---=---απαπαπαπαππαπ. 答案:1324综合•应用 6.已知32tan=θ,则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=____________.思路分析:∵32tan =θ,∴原式=2cos2sin 22cos 22cos2sin 22sin 2sin 2cos 2sin 2sin 22222θθθθθθθθθθ++=++ =331392tan12tan2tan 2=++=++θθθ.答案:37.已知tan(4π+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值. 解法一:∵tan(4π+θ)=3,∴原式=sin2θ-(1+cos2θ)=sin2θ-cos2θ-1=-cos(2π+2θ)-sin(2π+2θ)-1=-2cos 2(4π+θ)-2sin(4π+θ) cos(4π+θ)=2222231322)4(tan 1)4tan(2)4(cos )4(sin )4cos()4sin(2)4(cos 2+⨯--=+++--=+++++-+-θπθπθπθπθπθπθπ 54-=.解法二:∵tan(4π+θ)=3tan 1tan 1=-+θθ,∴tanθ=21∴原式=541)21(22121tan 2tan 2cos sin cos 2cos sin 2cos sin cos 22sin 22222222-=+-⨯=+-=+-=+-θθθθθθθθθθθ. 8.如图3-1-11,要把半径为R 的半圆形材料截成长方体,应怎样截取才能使长方形面积最大?图3-1-11解:设圆心为O ,长方形面积为S ,∠AOB=α,则AB=Rsinα,OB=Rcosα, S=(Rsinα)·2(Rcosα)=2R 2sinαcosα=R 2sin2α. 故在Rt △AOB 中,∵0<α<2π,∴0<2α<π. ∴当2α=2π,即α=4π时,长方形截面面积最大,最大截面面积等于R 2. 9.如图3-1-12,在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ,沿BE 方向前进30 m 至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ,再继续前进310 m 至D 点处测得顶端仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE 的高.图3-1-12思路分析:在Rt △ABE 和Rt △ACE 中,利用公共的AE 和θ、2θ、4θ,表示出BE 、CE 、DE ,进而用AE 和θ、2θ、4θ写出BC 、CD ,而BC 、CD 的长度已知,通过二者之比可以建立关于θ的方程,利用三角公式化简可得θ的三角函数值,从而求出角θ. 解:由已知,BC=30 m ,CD=310 m. 在Rt △ABE 中,BE=AEcotθ; 在Rt △ACE 中,CE=AEcot2θ. ∴BC=BE-CE=AE(cotθ-cot2θ).同理,可得CD=CE-DE=AE(cot2θ-cot4θ). 于是)4cot 2(cot )2cot (cot θθθθ--=AE AE CD BC ,即3310304cot 2cot 2cot cot ==--θθθθ. 而32cos 22sin 4sin 4sin 2sin 2sin 2sin sin sin 4sin 4cos 2sin 2cos 2sin 2cos sin cos 4cot 2cos 2cot cot ====--=--θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ,∴2cos2θ=3⇒cos2θ=23⇒2θ=30°.∴θ=15°. ∴AE=21AC=21BC=15 m. 于是θ=15°,建筑物高为15 m.回顾•展望10.(2004全国高考) 已知α为第二象限角,且sinα=415,求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 思路分析:根据sinα的值和角α的范围可以求出cosα的值,再利用倍角公式和两角和的正弦将三角函数展开计算即得整个式子的值. 解:因为sinα=415,α为第二象限角,所以cosα=41-.所以sin2α=2sinαcosα=815-.由此可得=++=+++ααπαπαααπα2cos 22sin 4sincos 4cos sin 12cos 2sin )4sin( 2151230)41(28152241224152-=--=-⨯+-⨯-⨯. 11.(2006陕西高考,理) 已知函数f(x)=3sin(2x-6π)+2sin 2(x-12π)(x ∈R )(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合.思路分析:将函数变形为一个三角函数的形式,即可同时解决两个问题. 解:(1)f(x)=3sin(2x-6π)+1-cos2(x-12π)=2[23sin2(x-12π)-21cos2(x-12π)]+1 =2sin [2(x-12π)-6π]+1=2sin(2x-3π)+1, ∴T=22π=π. (2)当f(x)取最大值时,sin(2x-3π)=1,有2x-3π=2kπ+2π, 即x=kπ+125π,(k ∈Z ).∴所求x 的集合为{x ∈R |x=kπ+125π,(k ∈Z )}.12.(2006湖南高考,文) 已知)cos()22sin(sin 3θπθπθ+--·cosθ=1,θ∈(0,π),求θ的值. 思路分析:利用诱导公式和倍角公式展开,注意角的取值范围.解:由已知条件得1cos cos 2cos sin 3=∙--θθθθ,即3sinθ-2sin 2θ=0.解得sinθ=23或sinθ=0. 由0<θ<π知sinθ=23,从而θ=3π或θ=32π.。
人教A版高中数学必修四课件:3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

探究:你能用以上公式推导出
的公式吗? zxxk
分析:令 ,代入上述三式可得.
1.理解二倍角公式的推导. 2.灵活掌握二倍角公式及其变形公式.(重点) 3.能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明.
(重点、难点) z,xxk
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
二倍角公式的应用 1.公式的直接应用
注意
的范围
还可以把 看作
2.公式的逆用
3.公式的活用
3.求下列各式的值.
1.二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
2.公式的正用 、逆用、灵活应用
二倍角的正弦公式. 简记为
二倍角的余弦公式. 简记为ຫໍສະໝຸດ 二倍角的正切公式. 简记为
倍角公式
这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三 倍角”等名词时,“三”字等不能省去.
公式说明 1.角的倍半关系是相对而言的, 的二倍, 二倍等; 2.当 求 时, 的值不存在, 是 的二倍, 是 是 的
的值可利用诱导公式.
人教A版高中数学必修四3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

=tan4A=右边,
3-4cos 2A+cos 4A
∴
=tan4A.
3+4cos 2A+cos 4A
反思与感悟 利用倍角公式证明三角恒等式,关键是 找到左、右两边式子中的倍角关系,先用倍角公式统 一角,再用同角三角函数基本关系式等完成证明.
1+sin 2θ-cos 2θ
跟踪训练 2 化简:
.
1+sin 2θ+cos 2θ
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒,而是机会之杯。 因此,让我们毫无畏惧,满心愉悦地把握命运
(2)cos 3α=4cos3α-3cos α. 答 cos 3α=cos(2α+α)=cos 2αcos α-sin 2αsin α =(2cos2α-1)cos α-2sin2αcos α =(2cos2α-1)cos α-2(1-cos2α)cos α =2cos3α-cos α-2cos α+2cos3α =4cos3α-3cos α.
探究点二 余弦的二倍角公式的变形形式及应用
思考 余弦的二倍角公式是否有其他变形?
答 二倍角的余弦公式cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-
2sin2α
变
形
较
多
,
应
用
灵
活
.
其
中
sin2α
=
1-cos 2
2α
,
cos2α
=
1+cos 2
2α称作降幂公式,1-c2os
(部编版)2020年高中数学第三章3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式优化练习新人教A版必修4

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[课时作业] [A 组 基础巩固]1.计算sin 15°sin 30°·sin 75°的值等于( ) A.34B.38C.18D.14解析:原式=12sin 15°·cos 15°=14sin 30°=18.答案:C 2.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π+2α的值为( )A .-13B .-79C.13D.79解析:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π+2α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2α =-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α-1=-79.答案:B3.tan 67°30′-1tan 67°30′的值为( )A .1 B. 2 C .2D .4解析:tan 67°30′-1tan 67°30′=tan 267°30′-1tan 67°30′==-2tan 135°=2. 答案:C4.函数y =2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4-1是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π2的奇函数C .最小正周期为π的偶函数D .最小正周期为π2的偶函数解析:y =2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x -π4-1 =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-2x =sin 2x ,所以T =2π2=π,又f (-x )=sin(-2x )=-sin 2x =-f (x ),函数为奇函数. 答案:A5.设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ=13,则sin 2θ=( )A .-79B .-19C.19D.79解析:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+θ=22(sin θ+cos θ)=13,将上式两边平方,得12(1+sin 2θ)=19,∴sin 2θ=-79.答案:A6.若2±3是方程x 2-5x sin θ+1=0的两根,则cos 2θ=________.解析:由题意,2+3+(2-3)=5sin θ,即sin θ=45,所以cos 2θ=1-2sin 2θ=-725. 答案:-7257.已知tan x =2,则tan 2⎝⎛⎭⎪⎫x -π4=________.解析:∵tan x =2,∴tan 2x =2tan x 1-tan 2x =-43. tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π2 =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π2=-cos 2x sin 2x =-1tan 2x =34. 答案:348.已知sin θ2+cos θ2=12,则cos 2θ=________.解析:由sin θ2+cos θ2=12,两边平方整理,得1+sin θ=14,即sin θ=-34,cos 2θ=1-2sin 2θ=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-342=-18.答案:-189.已知sin α+cos α=13,0<α<π,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值.解析:∵sin α+cos α=13,∴sin 2α+cos 2α+2sin αcos α=19,∴sin 2α=-89且sin αcos α=-49<0.∵0<α<π,sin α>0,∴cos α<0.∴sin α-cos α>0. ∴sin α-cos α=sin α-cos α2=1-sin 2α=173. ∴cos 2α=cos 2α-sin 2α=(sin α+cos α)(cos α-sin α) =13×(-173)=-179. tan 2α=sin 2αcos 2α=81717.10.已知函数f (x )=(a +2cos 2x )·cos(2x +θ)为奇函数,且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0,其中a ∈R ,θ∈(0,π). (1)求a ,θ的值;(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4=-25,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π, 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3的值. 解析:(1)因为f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)是奇函数,而y 1=a +2cos 2x 为偶函数,所以y 2=cos(2x +θ)为奇函数,又θ∈(0,π),则θ=π2,所以f (x )=-sin 2x ·(a +2 cos 2x ),由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0得-(a +1)=0,得a =-1. (2)由(1)得,f (x )=-12sin 4x ,因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4=-12sin α=-25,即sin α=45,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,从而cos α=-35,所以有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=sin αcos π3+cos αsin π3=4-3310.[B 组 能力提升]1.若|cos θ|=15,5π2<θ<3π,则sin θ2的值是( )A .-105 B.105 C .-155D.155解析:因为5π2<θ<3π,|cos θ|=15,所以cos θ<0,cos θ=-15,因为5π4<θ2<3π2,所以sin θ2<0.因为sin2θ2=1-cos θ2=35, 所以sin θ2=-155.答案:C2.已知α∈R ,sin α+2cos α=102,则tan 2α=( ) A.43 B.34 C .-34D .-43解析:先利用条件求出tan α,再利用倍角公式求tan 2α.把条件中的式子两边平方,得sin 2α+4sin αcos α+4cos 2 α=52,即3cos 2α+4sin αcos α=32,所以3cos 2α+4sin αcos αcos 2α+sin 2α=32,所以3+4tan α1+tan 2α=32,即3tan 2α-8tan α-3=0, 解得tan α=3或tan α=-13,所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=-34. 答案:C3.已知方程x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α+1tan αx +1=0的一个根是2+3,则sin 2α=________.解析:由题意可知 (2+3)2-⎝⎛⎭⎪⎫sin αcos α+cos αsin α(2+3)+1=0, 即8+43-sin 2α+cos 2αsin αcos α(2+3)=0,所以(2+3)112sin 2α=4(2+3),所以sin 2α=12.答案:124.设cos 2θ=23,则cos 4θ+sin 4θ的值是________. 解析:cos 4θ+sin 4θ=(cos 2θ+sin 2θ)2-2cos 2θsin 2θ=1-12sin 22θ=1-12(1-cos 22θ)=12+12cos 22θ=12+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫232=1118. 答案:11185.已知向量p =(cos α-5,-sin α),q =(sin α-5,cos α),p ∥q ,且α∈(0,π). (1)求tan 2α的值;(2)求2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2+π6-sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6.解析:(1)由p ∥q ,可得(cos α-5)cos α-(sin α-5)(-sin α)=0, 整理得sin α+cos α=15.因为α∈(0,π),所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,所以sin α-cos α =2-sin α+cos α2=75, 解得sin α=45,cos α=-35,故tan α=-43,所以tan 2α=2tan α1-tan 2α=247. (2)2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2+π6-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6=1-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3-sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π6=1-12cos α+32sin α-32sin α-12cos α=1-cos α=85.6.已知向量a =(cos ωx -sin ωx ,sin ωx ),b =(-cos ωx -sin ωx,23cos ωx ),设函数f (x )=a·b +λ(x ∈R)的图象关于直线x =π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1. (1)求函数f (x )的最小正周期.(2)若y =f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0,求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π5上的取值范围.解析:(1)f (x )=a·b +λ=sin 2ωx -cos 2ωx +23sin ωx cos ωx +λ=3sin 2ωx -cos 2ωx +λ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx -π6+λ,且直线x =π是f (x )的图象的一条对称轴, 所以2ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z),所以ω=k 2+13.又因为ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,所以ω=56,所以f (x )的最小正周期为6π5.(2)y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π4,0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=0,即λ=-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×56×π4-π6=-2sin π4=-2, 则f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x -π6-2,又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π5,则53x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6,所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π5上的取值范围为 [-1-2,2-2].。
人教A数必修4基础达标训练:3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(含答案解析)[ 高考]
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1.已知sin α-cos α=2,α∈(0,π),则sin 2α=( ) A .-1 B .-22C.22D .1 解析:选A.因为sin α-cos α=2,所以1-2sin αcos α=2,即sin 2α=-1.2.已知sin α2=35,cos α2=-45,则角α终边所在的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限 解析:选D.由题意,得sin α=2sin α2cos α2=-2425<0,cos α=2cos 2α2-1=725>0,故α是第四象限角.3.下列函数f (x )与g (x )中,不能表示同一函数的是( )A .f (x )=sin 2x g (x )=2sin x cos xB .f (x )=cos 2x g (x )=cos 2x -sin 2xC .f (x )=2cos 2x -1 g (x )=1-2sin 2xD .f (x )=tan 2x g (x )=2tan x 1-tan 2x解析:选D.显然选项A 、B 、C 均正确,对于D ,函数f (x )与g (x )的定义域不同,所以二者表示的函数不同.4.若α∈[0,2π],且1+cos 2α2+ 1-cos 2α2=sin α+cos α,则α的取值范围是( )A .(0,π2)B .(π2,π)C .(π,3π2)D .(3π2,2π) 解析:选A.由cos 2α+sin 2α=|cos α|+|sin α|=sin α+cos α,知sin α>0,cos α>0,∴α∈(0,π2). 5.(2012·高考江西卷)若sin α+cos αsin α-cos α=12,则tan 2α=( ) A .-34 B.34 C .-43 D.43解析:选B.由sin α+cos αsin α-cos α=12,等式左边分子、分母同除cos α得,tan α+1tan α-1=12,解得tan α=-3,则tan 2α=2tan α1-tan 2α=34. 6.化简:2sin 2α1+cos 2α·cos 2αcos 2α=________. 解析:原式=2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α=tan 2α. 答案:tan 2α7.计算:tan 22.5°-1tan 22.5°=________. 解析:原式=sin 22.5°cos 22.5°-cos 22.5°sin 22.5°=sin 222.5°-cos 222.5°sin 22.5°cos 22.5°=-2cos 45°sin 45°=-2. 答案:-28.(2013·浏阳高一检测)若cos 2αsin (α-π4)=-22,则sin α+cos α的值为________. 解析:cos 2αsin (α-π4)=cos 2α-sin 2α22(sin α-cos α)= -2·(cos α+sin α)=-22, 所以sin α+cos α=12. 答案:129.已知:tan(α+π4)=-12(π2<α<π). (1)求tan α的值;(2)求sin 2α-2cos 2α2sin (α-π4)的值. 解:(1)由tan(α+π4)=-12,得1+tan α1-tan α=-12, 解得tan α=-3.(2) sin 2α-2cos 2α2sin (α-π4)=2sin αcos α-2cos 2αsin α-cos α=2cos α. 因为π2<α<π且tan α=-3, 所以cos α=-1010,所以原式=-105. 10.已知sin(π4+x )sin(π4-x )=16,x ∈(π2,π),求sin 4x 的值. 解:∵sin(π4+x )sin (π4-x )=sin(π4+x )sin[π2-(π4+x )]=sin(π4+x )cos(π4+x )=12sin(π2+2x ) =12cos 2x =16, ∴cos 2x =13. ∵x ∈(π2,π),∴2x ∈(π,2π),∴sin 2x =-223. ∴sin 4x =2sin 2x cos 2x =-429.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题1:在公式C (α+β),S (α+β)和T (α+β)中,若α=β,公式还成立吗? 提示:成立.问题2:在上述公式中,若α=β,你能得到什么结论?提示:cos 2α=cos 2α-sin 2α,sin 2α=2sin αcos α,tan 2α=2tan α1-tan 2α. [导入新知]二倍角公式[化解疑难] 细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义.(2)倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如6α是3α的2倍,3α是3α2的2倍.这里蕴含着换元思想.这就是说,“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间的关系的.(3)注意倍角公式的灵活运用,要会正用、逆用、变形用.[例1] (1)sin π12cos π12;(2)1-2sin 2750°;(3)2tan 150°1-tan 2150°;(4)1sin 10°-3cos 10°; (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[解] (1)原式=2sin π12cos π122=sinπ62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500° =cos(4×360°+60°)=cos 60°=12.(3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=- 3. (4)原式=cos 10°-3sin 10°sin 10°cos 10°=2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°-32sin 10°sin 10°cos 10°=4sin 30°cos 10°-cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°=4sin 20°sin 20°=4.(5)原式=2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°=2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°=2sin 80°·cos 80°8sin 20°=sin 160°8sin 20°=18.[类题通法] 化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向,即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析,消除差异.[活学活用]化简:(1)11-tan θ-11+tan θ;(2)2cos 2α-12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α.答案:(1)tan 2θ (2)1[例2] (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+4=5,2≤α<2,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π4的值;(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,且sin 2α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4,求α.[解] (1)∵π2≤α<3π2,∴3π4≤α+π4<7π4.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4>0,∴3π2<α+π4<7π4.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-1-cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫352=-45.∴cos 2α=sin2α+π2=2sin α+π4cos α+π4=2×-45×35=-2425,sin 2α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π2=1-2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α+π4=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352=725.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π4=22cos 2α-22sin 2α =22×⎝ ⎛⎭⎪⎫-2425-725=-31250. (2)∵sin 2α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+π2=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α+π4-1,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α, ∴原方程可化为1-2cos 2α+π4=-cos α+π4,解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4=-12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,∴α+π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π4,3π4,故α+π4=0或α+π4=2π3,即α=-π4或α=5π12.[类题通法]解决条件求值问题的方法条件求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向: (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;(2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.[活学活用]1.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α=16,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,求sin 4α的值. 答案:-4292.已知sin 22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,求锐角α. 答案:π6[例3] A 为锐角. (1)求角A 的大小;(2)求函数f (x )=cos 2x +4cos A sin x (x ∈R)的值域. [解] (1)由题意得a ·b =3sin A -cos A =1,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A -π6=1,sin ⎝⎛⎭⎪⎫A -π6=12.由A 为锐角得A -π6=π6,所以A =π3.(2)由(1)知cos A =12,所以f (x )=cos 2x +2sin x =1-2sin 2x +2sin x =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x -122+32.因为x ∈R ,所以sin x ∈[-1,1], 因此,当sin x =12时,f (x )有最大值32.当sin x =-1时,f (x )有最小值-3. 所以所求函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3,32.[类题通法]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用:逆用公式,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有: 2sin αcos α=sin 2α,sin αcos α=12sin 2α,cos α=sin 2α2sin α,cos 2α-sin 2α=cos 2α,2tan α1-tan 2α=tan 2α. (2)公式的变形用:公式间有着密切的联系,这就要求思考时融会贯通,有目的地活用公式.主要形式有:1±sin 2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2, 1+cos 2α=2cos 2α,cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2.[活学活用](福建高考节选)已知函数f (x )=103sin x 2cos x2+10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度,再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x )的图象,且函数g (x )的最大值为2.求函数g (x )的解析式.答案:(1)2π (2)g (x )=10sin x -89.二倍角的配凑问题[典例] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x =35,求sin 2x -2sin 2x 1-tan x 的值.[解] 原式=2sin x cos x -2sin 2x1-sin x cos x=2sin x x -sin xcos x -sin xcos x=2sin x cos x =sin 2x .或原式=sin 2x -2sin x cos x ·sin xcos x1-tan x=sin 2x -sin 2x tan x1-tan x=sin 2x -tan x1-tan x=sin 2x .∵2x =2⎝⎛⎭⎪⎫x +π4-π2,∴sin 2x =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4-π2 =-cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4=35,∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4-1 =2×925-1=-725,∴原式=-⎝ ⎛⎭⎪⎫-725=725.[多维探究]1.解决上面典例要注意角“2x ”与“π4+x ”的变换方法,即sin 2x =-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+2x =-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x ;常见的此类变换,还有: (1)sin 2x =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-2x =cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x ;(2)cos 2x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-2x =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-x ;(3)cos 2x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2+2x =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+x .2.倍角公式中的“倍角”是相对的.对于两个角的比值等于2的情况都成立,如8α是4α的二倍角,3α是3α2 的二倍角等.在解决此类问题时,有时二倍角关系不是很明显,需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现.[活学活用]1.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+2α=________.答案:-792.计算:cos 2π7·cos 4π7·cos 6π7=________.答案:183.计算:sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=________. 答案:1164.求值:+3-cos 20°cos 80°1-cos 20°.答案: 2[随堂即时演练]1.下列各式中,值为32的是( ) A .2sin 15°cos 15° B .cos 215°-sin 215° C .2sin 215° D .sin 215°+cos 215°答案:B2.化简1+si n 100°-1-sin 100°=( ) A .-2cos 50° B .2cos 50° C .-2sin 50° D .2sin 50°答案:B3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,sin α=55,则tan 2α=________. 答案:-434.函数f (x )=2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4-1的最小正周期为________. 答案:π5.已知α为第二象限角,且sin α=154, 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π4sin 2α+cos 2α+1的值. 答案:- 2[课时达标检测]一、选择题1.若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2-x =35,则cos 2x 的值为( )A .-725 B.1425C .-1625 D.1925答案:A2.若sin α+cos αsin α-cos α=12,则tan 2α=( )A .-34 B.34C .-43 D.43答案:B3.设-3π<α<-5π2,化简1-α-π2的结果是( )A .sin α2B .cos α2C .-cos α2D .-sin α2答案:C4.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,且sin 2α+cos 2α=14,则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 答案:D 5.若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2,sin 2θ=378,则sin θ=( )A.35B.45C.74 D.34答案:D 二、填空题6.函数f (x )=2cos 2x +sin 2x 的最小值是________. 答案:1- 27.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,sin α=35,则1cos 2α+tan 2α=________.答案:78.等腰三角形一个底角的余弦为23,那么这个三角形顶角的正弦值为________.答案:459三、解答题9.已知α为锐角,且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=2. (1)求tan α的值;(2)求sin 2αcos α-sin αcos 2α的值.解:(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4+α=1+tan α1-tan α,所以1+tan α1-tan α=2,1+tan α=2-2tan α,所以tan α=13.(2)sin 2αcos α-sin αcos 2α=2sin αcos 2α-sin αcos 2α=sin α2α-cos 2α=sin αcos 2αcos 2α=sin α.因为tan α=13,所以cos α=3sin α,又sin 2α+cos 2α=1,所以sin 2α=110,又α为锐角,所以sin α=1010, 所以sin 2αcos α-sin αcos 2α=1010.10.已知函数f (x )=23sin x cos x +2cos 2x -1(x ∈R).若f (x 0)=65,x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2,求cos 2x 0的值.解:∵f (x )=23sin x cos x +2cos 2x -1 =3(2sin x cos x )+(2cos 2x -1)=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6, ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0+π6=35.又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2,∴2x 0+π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,7π6.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0+π6=-1-sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0+π6=-45.∴cos 2x 0=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0+π6-π6=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0+π6cos π6+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0+π6sin π6=-45×32+35×12=3-4310.11.设函数f (x )=53cos 2x +3sin 2x -4sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12;(2)若f (α)=53,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,求角α. 解:f (x )=53cos 2x +3sin 2x -4sin x cos x =53cos 2x +53sin 2x -2sin 2x -43sin 2x =53-2sin 2x -23(1-cos 2x ) =33-2sin 2x +23cos 2x =33-4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ×12-cos 2x ×32=33-4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3-cos 2x sin π3 =33-4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3, (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12=33-4sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6-π3=33-4sin π2=33-4.(2)由f (α)=53,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α-π3=-32,- 11 - 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π, 得2α-π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,5π3, ∴2α-π3=4π3,α=5π6.。
高中数学人教A版必修4第三章:3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
2
1 sin 2 (sin cos )2
注意:
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二 倍角的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角函数 之间的互化问题。
②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其它如 4α是2α的两倍,α/2是α/4的两倍,……所有这些都可 以应用二倍角公式。因此,要理解“二倍角”的含义, 即当α=2β时,α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关 系的就可以应用二倍角公式。
2
2
1 sin 22
=-cosα
1 tan2 3
(3)
2
(4) sin(
) cos(
)
tan 3 2
2
tan 3
4
4
1 cos 2 2
(5)、cos cos 5 1 (6)、cos 36 cos 72 1
12 12 4
4
(7)cos 40 cos 20 cos10 (8) 1 sin 400
例题拓展
例1 化简sin 50o (1 3 tan10o )
解:原式
sin
50o
cos10o 3 sin cos10o
10o
sin
50o
2sin 40o cos10o
cos
40o
2sin 40o cos10o
sin 80o 1 cos10o
例2 求证:1 sin 2 cos 2 tan 1 sin 2 cos 2
1.二倍角正弦、余弦和正切公式
sin 2 2sin cos
倍角公式
cos 2 cos2 sin 2
cos 2 2 cos2 1
cos 2 1 2sin2 1 tan 2
2.二倍公式角的运用
高一数学人教A版必修4课件:3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
4
2.倍角公式常用变形
(1)s2isnin2αα= cos α ,2sicnos2αα= sin α ;
(2)(sin α±cos α)2= 1±sin 2α ;
1-cos 2α
1+cos 2α
(3)sin2α=
2
,cos2α= 2 ;
(4)1-cos α=2sin2α2 ,1+cos α=2cos2α2 .
方法二 在△ABC 中,由 cos A=45,0<A<π,
得 sin A= 1-cos2A=
1-452=35.
所以 tan A=csoins AA=35×54=34. 又tan B=2,
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26
所以 tan(A+B)=1t-antAan+AttaannBB=1-34+34×2 2=-121. 于是 tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]
=
sin 20°
-sin 20° = sin 20° =-1.
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19
例2 证明
3-4cos 2A+cos 4A
求证:
=tan4A.
3+4cos 2A+cos 4A
3-4cos 2A+2cos22A-1
∵左边= 3+4cos
2A+2cos22A-1
=11+-ccooss 22AA2=22csoins22AA2=(tan2A)2
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11
探究点三 三倍角公式的推导
思考 因为3α=2α+α,可以借助二倍角公式推导出三倍角公式.
请完成三倍角公式的证明:
(1)sin 3α=3sin α-4sin3α; 答 证明如下:
高中数学 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式备课资料 新人教A版必修4
备课资料一、三角变换中的“一致代换”法在三角变换中,“一致代换”法是一种重要的方法,所谓“一致代换”法,即在三角变换中,化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法.它主要包括:在三角函数式中,①如果只含同角三角函数,一般应从变化函数名称入手,尽量化为同名函数,常用“化弦法”;②如果含有异角,一般应从变化角入手,尽量化不同角为同角,变复角为单角;③如果含有异次幂,一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂.二、备用习题1.求值:10cos 310sin 1- 2.化简:cos36°cos72°. 3.化简:cos αcos2a cos 22a cos 32a ·…·cos 12-n a . 4.求值:sin6°sin42°sin66°sin78°.5.若cos(4π+x)=53,1217π<x<47π,求xx x tan 1sin 22sin 2-+的值. 6.已知cos(α-2β)=91-,sin(2a -β)=32,且2π<α<π,0<β<2π,求cos(α+β)的值. 参考答案: 1.原式= 10cos 10sin )10sin 2310cos 21(210cos 10sin 10sin 310cos -=- = 20sin )1030sin(410cos 10sin 2)10sin 30cos 10cos 30(sin 4-=-=4. 2.原式=36sin 472cos 72sin 236sin 272cos 36cos 36sin 2=∙=41. 3.先将原式同乘除因式sin,然后逐次使用倍角公式,则原式=12sin 22sin -n n a a . 4.原式=sin6°cos48°cos24°cos12°=sin6°cos12°cos24°cos48° =1616cos 166cos 6cos 296sin 6cos 248cos 24cos 12cos 6sin 6cos 2444=== . 5.原式=)4tan(2sin tan 1)tan 1(cos sin 2tan 1sin 2cos sin 22x x x x x x x x x x +=-+=-+π.∵1217π<x<47π,∴35π<4π+x<2π.又cos(4π+x)=53, ∴sin(4π+x)=-54,tan(4π+x)=34-. ∴sin2x=sin[2(4π+x)-2π]=-cos2(4π+x)=-[2cos 2(4π+x)-1]=257, 故原式=257·(34-)=7528-.6.∵cos(α-2β)=91-,2π<α<π,0<β<2π, ∴2π<α2β-<π.∴sin(α-2β)=954. ∵sin(2a-β)= 32,2π<α<π,0<β<2π, ∴0<2a-β<2π. ∴cos(2a-β)=35. ∵cos 2β+a =cos [(α-2β)-(2a-β)]=cos(α-2β)cos(2a-β)+sin(α-2β)sin(2a-β) =(91-)×35+954×32=2755,∴cos(α+β)=2cos 22β+a -1=729239-.(设计者:郑吉星)。
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课时提升作业(二十八)二倍角的正弦、余弦、正切公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中,值为的是()A.2sin 15°cos 15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°D.sin215°+cos215°【解析】选B.cos215°-sin215°=cos 30°=.2.已知sin=,cos=-,则角α所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为sinα=2sin cos=2××=-<0,cosα=cos2-sin2=-=-<0,所以α是第三象限角.3.(2015·乐山高一检测)若tanα=3,则的值等于()A.2B.3C.4D.6【解析】选D.==2tanα=2×3=6.【延伸探究】若本题条件不变,则的值如何?【解析】==2+2tanα=2+2×3=8.4.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()A. B.C.-D.-【解析】选C.本题考查三角函数同角间的基本关系.将sinα+2cosα=两边平方可得sin2α+4sinαcosα+4cos2α=.将左边分子分母同除以cos2α得,=,解得tanα=3或-,所以tan2α==-.5.(2015·成都高一检测)在△ABC中,若||=2sin15°,||=4cos15°,且∠ABC=30°,则·的值为()A. B.-C.2D.-2【解析】选B.因为||=2sin15°,||=4cos15°,且∠ABC=30°,所以·=||||cos150°=2sin15°·4cos15°·=-2sin30°=-2×=-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·合肥高一检测)已知α∈,sinα=,则tan2α=________.【解析】由α∈,sinα=,得cosα=-,tanα==-,tan2α==-.答案:-7.化简:tan70°cos10°·(tan20°-1)的结果是________.【解析】原式=·cos10°=cos10°-cos10°·=cos10°-====-1.答案:-1【误区警示】解答本题在切化弦通分后易忽视应用辅助角公式进一步化简. 【补偿训练】计算cos·cos·cos=________.【解析】原式======.答案:8.已知角α的终边经过点(-8,-6),则=________.【解题指南】先利用定义求出α的三角函数,而后化简所求式即可.【解析】因为点(-8,-6)到原点的距离r==10,所以sinα==-,cosα==-.==-2cosα-2sinα=-2×-2×=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·泰州高一检测)已知α为第二象限角,且sinα=,求的值. 【解析】原式==.因为α为第二象限角,且sinα=,所以sinα+cosα≠0,cosα=-,所以原式==-.【补偿训练】已知sin sin=,α∈,求sin4α的值.【解析】因为sin sin=sin cos=,所以sin=,即cos2α=.因为α∈,所以2α∈(π,2π).所以sin2α=-=-.所以sin4α=2sin2αcos2α=2××=-.10.(2015·吉林高一检测)已知向量m=(cosα-,-1),n=(sinα,1),m与n为共线向量,且α∈.(1)求sinα+cosα的值.(2)求的值.【解析】(1)因为m与n为共线向量,所以×1-(-1)×sinα=0,即sinα+cosα=.(2)因为1+sin2α=(sinα+cosα)2=,所以sin2α=-,因为(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,所以(sinα-cosα)2=2-=.又因为α∈,所以sinα-cosα<0,sinα-cosα=-.因此,=.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若α∈,且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于()A. B.C. D.【解析】选D.由二倍角公式可得sin2α+1-2sin2α=,即-sin2α=-,sin2α=,又因为α∈,所以sinα=,即α=,所以tanα=.2.(2015·昆明高一检测)若=-,则sinα+cosα的值为()A.-B.-C.D.【解析】选C.cos2α=sin=-sin=-sin2=-2sin·cos,==-,所以2cos=1,展开得2=1,即cosα+sinα=.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·黄冈高一检测)若sin=,则cos=________.【解析】已知sin=,且+=,则cos=sin=,故cos=2cos2-1=-.答案:-4.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于________. 【解析】sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ,又sin4θ+cos4θ=,所以1-sin22θ=,即sin22θ=,因为θ是第三象限角.所以2kπ+π<θ<2kπ+(k∈Z),所以4kπ+2π<2θ<4kπ+3π(k∈Z),所以sin2θ>0,所以sin2θ=.答案:【延伸探究】若cos2θ=,试求sin4θ+cos4θ.【解析】因为cos2θ=,所以sin22θ=.所以sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1-sin22θ=.三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知向量a=(1+sin2x,sinx-cosx),b=(1,sinx+cosx),函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x值;(2)若f(θ)=,求cos2的值.【解题指南】用向量数量积表示出f(x)转化成三角函数问题求解.【解析】(1)因为a=(1+sin2x,sinx-cosx),b=(1,sinx+cosx),所以f(x)=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=sin+1.因此,当2x-=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值+1.(2)由f(θ)=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)=得sin2θ-cos2θ=,两边平方得1-sin4θ=,即sin4θ=.因此,cos2=cos=sin4θ=.6.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】方法一:(1)计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.方法二:(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=+-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=-cos2α++(cos60°cos2α+sin60°·sin2α)-sinαcosα-sin2α=-cos2α++cos2α+sin2α-sin2α-(1-cos2α)=1-cos2α-+cos2α=.关闭Word文档返回原板块。