2017-2018学年高二数学下学期期中试题理
吉林省松原市实验高级中学高二数学下学期期中试题理(2021年整理)
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吉林省松原市实验高级中学2017—2018学年高二数学下学期期中试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一．选择题（本题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 已知a 为实数，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20161a i i++的值为（ ）A ．1B ．0C ．1i +D ．1i -2．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A ．假设至少有一个钝角B ．假设没有一个钝角C ．假设至少有两个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角3．根据偶函数定义可推得“函数2()f x x =在R 上是偶函数”的推理过程是（ )A.归纳推理B 。
类比推理C 。
演绎推理 D.非以上答案4．已知随机变量X 服从正态分布()σ,3N ，且9.0)5(=<X P ，则=<<)31(X P ( )A.0.3B.0.4C.0。
1D.0.95．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第2016个图案中的白色地面砖有（ ）A ．8 064块B ．8066块C ．8068块D ．8070块6. 在今年针对重启“六方会谈”的记者招待会上,主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问,要求3人中既有国内记者又有国外记者,且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有（ ）A.180种 B 。
高二数学下学期期中试题理(2)
定远重点中学2017-2018学年第二学期期中考试高二（理科）数学试题注意事项：1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。
第I卷（选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
)1.已知 f(x)=,则的值是（）A.-B.2C.D.-22.可导函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的（）A.充分条件B.必要条件C.必要非充分条件D.充要条件3.若复数是实数，则x的值为( )A.B.3C. D.4.设f（x）=x•cosx﹣sinx，则（）A.f（﹣3）+f（2）＞0B.f（﹣3）+f（2）＜0C.f（﹣3）+f（2）=0D.f（﹣3）﹣f（2）＜05.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为( )A.B.C.D.6.已知i 是虚数单位，若z （1+i ）=1+3i ，则z=（ ）A.2+ iB.2﹣iC.﹣1+ iD.﹣1﹣i7.如图，由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A.B.C.D.8.已知a 为实数,若复数为纯虚数,则 的值为( ) A.1B.0C.D. 9.曲线()()2ln 0,0f x a x bx a b =+>>在点()()1,1f 处的切线的斜率为2，则8a b ab+的最小值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 10.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A. 201620172⨯B. 201520182⨯C. 201520172⨯D. 201620182⨯11.设()'f x 为定义在上的函数()f x 的导函数，且()()'0f x f x x ->恒成立，则（ ）A. ()()3443f f >B. ()()3443f f <C. ()()3344f f >D. ()()3344f f <12.函数()21x y e x =-的示意图是（ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.计算： （﹣x ）dx= ．14.若12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数的值为. 15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
江西省赣州市四校协作体2017-2018学年高二第二学期期中数学试卷文
江西省赣州市四校协作体2017-2018学年高二数学下学期期中试题文试卷满分：150分一. 选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个是正确的）1．在复平面内，复数z=的共轭复数的虚部为（ ） A ． B ． C ． D ．2.命题“032,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为（ ）A ．032,2≥+-∈∀x x R xB ．032,2>+-∉∃x x R xC ．032,2>+-∈∃x x R xD ．032,2≤+-∉∀x x R x3.设R x ∈，则“1<x ”是“02||<-x x ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知以原点O 为圆心，1为半径的圆以及函数3y x =的图象如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米（视为质点），该小米落入阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．185.某多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（ ）（4题） （5题） （6题）A ．12B ．24C ．48D ．726.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为4，2，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57.直线1y kx =+与曲线32y x bx c =++相切于点(1,2)M ，则b 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28.已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．23B ．132C ．12D ．3 9．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除了标注的数字外完全相同.现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3和6的概率是（ ）A ．103B ．51C ．101D ．121 10.不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)11.对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 12.方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（ ）A ．一个定点B ．一个椭圆C ．一条抛物线D ．一条直线二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知i 是虚数单位，则=++ii 437 ． 14.从编号为0，1，2，……，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 ．15．已知)(sin cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是 。
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
河南省洛阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(答案图片版)
洛阳市2017—2018学年第二学期期中考试高二数学试卷（理）本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题:本题共12个小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数i+25+的共轭复数是 A. 2-i B. 2 + i C.-2-i D.-2 +i2.设n 是自然数，n n f 1...31211)(++++=，经计算可得32)2(=f ，)4(f >2, )8(f >25,)16(f >3, )32(f >27.观察上述结果，可得出一般的结论为A. )2(n f >212+nB. 22)(2+≥n n fC. 22)2(+≥n f nD. )2(n f >22+n3.曲线x x y ln =在点1=x 处的切线方程为A. 1-=x yB. 1+=x yC. x y =D. 12-=x y4. =-⎰-dx x )cos 1(22ππA. πB.2 .C. π+2D. π-2 5.设有下面四个命题1p :若复数z 满足R z ∈1，则R z ∈2p :若复数z 满足R z ∈2，则R z ∈3p :若复数21,z z 满足R z z ∈21，则21z z = 4p :若复数R z ∈2，则R z ∈其中的真命题为A. 21,p pB. 41,p pC. 32,p pD. 42,p p6.设函数x x x f ln 31)(-=，则 )(x f y =A.在区间(e 1，l)，（l ，e )内均有零点B.在区间（e 1,1), （l ，e )内均无零点C.在区间（e 1，1)内有零点，在区间（l ，e)内无零点D.在区间(e1，1)内无零点，在区间（l ，e )内有零点7.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则有|AB|2 + |AC|2 = |BC|2”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ABD)两两互相垂直，则可得”8.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度tt t ++-=12537)(υ (t 的单位: υ,s 的单位:m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位:m)是 A.l + 25ln5B. 8 + 25lnC. 4+251n 5D. 4+50ln 29.已知a,b,c 是互不相等的非零实数，用反证法证明“三个方程02,02,02222=++=++=++b ax cx a cx bx c bx ax 至少有一个方程有两个相异的实根”，假设的内容应该是A.三个方程都没有两个相异的实根B. —个方程没者两个相异的实根C.至多两个方程没有两个相异的实根D.三个方程不都没有苘个相异的实根 10.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10,则=-)1(f A. 2 B.30C. 2 或 30D. 10 或 3011.已知函数)(22)(112x x e e x x x f --+-+-=在（l ，+∞)上单调递增，则实数m 的取值范围A.(- ∞,8)B. (-∞，4]C.( -∞,8)D.(-∞,4]12.设函数)(22)(112x x e e x x x f --+-+-=，则不等式)1(+x f >)22(-x f 的解集为 A.(-∞,1)∪(3，+∞) B. (1，3]C.( -∞, 31) ∪(1，+∞)D.( 31,1]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4个小题，毎小题5分，共20分。
重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题
【全国百强校】重庆市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．i 是虚数单位，计算122ii-+ 的结果为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．极坐标方程2cos ρθ=所表示的图形是 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆3．用数学归纳证明：()()()()()1221321,n n n n n n n N ++++=-∈时，从n k =到1n k =+时，左边应添加的式子是 （ ） A ．21k +B ．23k +C ．()221k +D ．()223k +4．设随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(2)0.8P ξ<=，则(01)P ξ<<的值为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.65．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A ．100B ．200C ．300D ．4006．通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：则有（ ）以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，附表及公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．90% B ．95% C ．99% D ．99.9%7．若2018220180122018(13)x a a x a x a x -=++++ ,则20181222018333a a a +++的值为（ ） A ．2B ．0C ．﹣1D ．﹣28．已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ） A ．79B ．13C ．59D ．239．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为 A ．60B ．72C ．84D ．9610．某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK 赛，,A B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，比赛四局.除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为( ) A ．1627B ．5281C ．2027D ．7911．将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ） A ．16种B ．12种C ．9种D ．6种12．已知函数()1()2ln ,f x g x x =-= 对任意12,,3x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦都存在()20,,x ∈+∞ 使得121()(),4f xg x -= 则12x x - 的最大值为（ ）A ．2548-B ．2348-C ．1ln 23--D ．1ln 32--二、填空题13．62x ⎫⎪⎭展开式中，常数项是__________．14．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为,,A B C三个层次），得A的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得B或C；乙说：我肯定得A；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A的同学是_____．15．袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取1个球，取2次，则事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率为_____．16．已知椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>，12,F F为其左、右焦点,P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，G为12F PF∆内一点，满足123PG PF PF=+,12F PF∆的内心为I，且有12IG F Fλ=（其中λ为实数），则椭圆C的离心率e=_____三、解答题17．已知曲线1C的参数方程为2cos3sinxyθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2,([0,],ραπα=∈为极角）（1）分别写出曲线1C的普通方程和曲线2C的参数方程；（2）已知M为曲线1C的上顶点，P为曲线2C上任意一点，求||PM的最大值. 18．已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，090BAC ACD∠=∠=，060EAC∠=，AB AC AE==.（1）若P是BC的中点，求证：//DP平面EAB；（2）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值.19．一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内与温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：(1)若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆy =ˆb x+ˆa （精确到0.1）；(2)若用非线性回归模型求y 关x 的回归方程为ˆy 0.23030.06,x e =且相关指数20.9522R =( i )试与 (1)中的线性回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好.( ii )用拟合效果好的模型预测温度为035C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据(x 1,y 1), (x 2,y 2), ...,(x n ,y n ), 其回归直线ˆy=ˆb x+ˆa 的斜率和截距的最小二乘估计为()()121()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，相关指数22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑．()16()557,i i i x x y y =∑--=126()3930,i i y y =∑-=126()2364ˆ 6.,i i i y y=∑-=8.06053167e =． 20．在平面直角坐标系中，点P 是直线:1l x =-上的动点，定点(1,0),F 点Q 为PF 的中点，动点M 满足·0,()MQ PF MP OF R λλ==∈. （1）求点M 的轨迹C 的方程（2）过点F 的直线交轨迹C 于,A B 两点，T 为C 上任意一点，直线,TA TB 交l 于,C D 两点，以CD 为直径的圆是否过x 轴上的定点？ 若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由．21．已知函数()1xf x ax e =-+，曲线()y f x =在原点处的切线为2y x =.（1）证明：曲线()y f x =与x 轴正半轴有交点；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线为直线l ，求证：曲线()y f x =上的点都不在直线l 的上方；（3）若关于x 的方程()f x m =（m 为正实数）有不等实根()1212,x x x x <，求证：21324mx x -<-.参考答案1．B 【解析】分析：根据复数的除法法则计算即可． 详解：由题意得12(12)(2)52(2)(2)5i i i ii i i i ----===-++-． 故选B ．点睛：本题考查复数的除法运算法则，考查学生的运算能力，属于容易题． 2．D 【解析】分析：将极坐标方程化为直角坐标方程后再进行判断． 详解：∵2cos ρθ=， ∴22cos ρρθ=．把222,ρcos θx x y ρ=+=代入上式可得2220x y x +-=, 即()2211x y -+=，∴极坐标方程表示的是以（1,0）为圆心，半径为1的圆． 故选D ．点睛：本题考查极坐标和直角坐标间的互化，考查学生运用所学知识解决问题的能力，解题的关键是灵活运用极坐标和直角坐标间的转化公式进行求解． 3．C 【解析】分析：分别求出n k =时左边的式子，1n k =+时左边的式子，用1n k =+时左边的式子，除以n k =时左边的式子，即得结论. 详解：当n k =时，左边等于()()()()()()12...12...2k k k k k k k +++=++，当1n k =+时，左边等于()()()()()23...2122k k k k k k +++++，故从“k ”到“1k +”的证明，左边需增添的代数式是()()()21222211k k k k ++=++，故选C.点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 4．B 【分析】根据正态密度曲线的对称轴得出()()110.5P P ξξ<=>=，然后利用正态密度曲线的对称性得出()()()()011221P P P P ξξξξ<<=<<=<->可得出答案． 【详解】随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以，()()110.5P P ξξ>=<=，()()()12210.80.50.3P P P ξξξ∴<<=<->=-=， ()()01120.3P P ξξ<<=<<=，故选B ．【点睛】本题考查正态分布的应用，意在考查正态密度曲线的对称性，属于基础题． 5．B 【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为ξ，则(1000,0.1)B ξ~，2X ξ=，所以()2()210000.1200E X E ξ==⨯⨯=考点：二项分布 【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度. 6．A 【解析】分析：根据列联表中数据代入公式计算k 的值，和临界值表比对后即可得到答案. 详解：将列联表中数据代入公式可得()210045153010 3.030 2.70675255545k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有0090的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’”与性别有关.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.） 7．C 【解析】 分析：令13x =求得201812022018333a a a a ++++的值，再令0x =得到0a 的值，两式相减可得所求．详解：在二项展开式中， 令13x =，得2018120220180333a a a a ++++=. 令0x =，得01a =. ∴20181222018011333a a a +++=-=-． 故选C ．点睛：因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法． 8．D 【解析】试题分析：将a 记为横坐标，将b 记为纵坐标，可知总共有(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)9个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根，22'()2f x x ax b =++，满足题中条件为22440a b ∆=->，即a b >，所以满足条件的基本事件有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2)共6个基本事件，所以所求的概率为6293P==，故选D．考点：古典概型．9．C【解析】根据题意，可分三种情况讨论：①若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有122C=种情况，将小明与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序222A=种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有222312A A⨯=种安排方法，此时有221248⨯⨯=种不同坐法；②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有224⨯=种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有336A=种情况，此时有22624⨯⨯=种不同坐法；③小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有222A=种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有336A=种情况，此时，共有2612⨯=种不同坐法；综上所述，共有48241284++=种不同的坐法，故选C.点睛：本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：①小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻；②小明的父母有一个人与小明相邻且父母相邻；③小明的父母都与小明相邻，分别求解每一种情况的排法，即可得到答案。
衡水金卷河北衡水中学2017-2018年高二下学期期中考试数学(理)试卷(含精品解析)
理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用极坐标的表示方法，即可得出结果．详解：点在直角坐标系中表示点，而点在直角坐标系中表示点，所以点和点表示不同的点，故选B．点睛：本题主要考查了极坐标的表示方法，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2. 给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确，分析法和综合法均为直接证明法，故④不正确．考点：综合法和分析法的特征.3. 设复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以,的共轭复数为，故选D.4. 用反证法证明命题“若，则且”时，下列假设的结论正确的是（）A. 或B. 且C. 或D. 且【答案】A【解析】试题分析：反证法要假设所要证明的结论的反面成立，本题中要反设成立考点：反证法5. 方程（为参数）表示的曲线是（）A. 双曲线B. 双曲线的上支C. 双曲线的下支D. 圆【答案】B【解析】由题意得，方程，两式相减，可得，由，所以曲线的方程为，表示双曲线的上支，故选B.考点：曲线的参数方程.6. 若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用定积分，将已知化简，即可比较大小．详解：由题意，可得，，，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7. 老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有甲、乙、丙个柱子，在甲柱上现有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束.在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个操作的此时要多，此四个操作的此时要少，相当与操作三个的时候，最上面的那衣蛾动了几次，就会增加几次，故选C. 考点：归纳推理.8. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：利用从平面图形到空间图形的类比推理，即可得到结论．详解：建立从平面图形到空间图形的类比，与可得类比得到，故选B．点睛：本题主要考查了从平面图形到空间的类比推理，着重考查了学生的知识量和知识的迁移，类比的基本能力，解答的关键是掌握好类比推理的概念与应用．9. 设函数，则函数的所有极大值之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数，∴，∵时，时，，∴时原函数递增，时，函数递减，故当时，取极大值，其极大值为，又，∴函数的各极大值之和．故选D．10. 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是曲线上的动点.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点到的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：把曲线的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程为，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式，即可求得最大值．详解：由曲线的极坐标方程为，可得曲线的直角坐标方程为，由曲线的参数方程，设曲线上点的坐标为，由点到直线的距离公式可得，当时，取得最大值，此时最大值为，故选B．点睛：本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力．11. 已知函数与的图象如图所示，则函数（其中为自然对数的底数）的单调递减区间为（）A. B. ， C. D. ，【答案】D【解析】分析：结合函数的图象求出成立的的取值范围，即可得到结论．详解：结合函数的图象可知：和时，，又由，则，令，解得，所以函数的递减区间为，故选D．点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到，进而得到的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．12. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用导数得函数的单调性并求得最值，求解方程得到或，画出函数的图象，结合图象即可求解．详解：设，则，令，得，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，所以当时，函数取得极大值也是函数的最大值，由方程，可得或，画出函数的图象，如图所示，结合图象可得实数的取值范围是，故选C．点睛：本题主要考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了利用导数求解函数的单调性与函数的最值，其中把根的存在性与根的个数问题转化为函数的图象的交点问题是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及数形结合思想的应用，试题属于中档试题．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 复数（为虚数单位）的虚部为__________．【答案】【解析】分析：利用复数的运算，化简得，即可得到复数的虚部．详解：由题意，复数，所以复数的虚部为．点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数的基本概念，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14. 在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为__________．【答案】【解析】分析：把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离即可．详解：把直线的方程化为直角坐标方程得，点的直角坐标为，由点到直线的距离公式，可得．点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15. 在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”.四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是__________．【答案】甲【解析】试题分析：若负主要责任的是甲，则甲乙丙都在说假话，只有丁说真话，符合题意．若负主要责任的是乙，则甲丙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丙，则乙丁都在说真话，不合题意．若负主要责任的是丁，则甲乙丙丁都在说假话，不合题意．考点：逻辑推理．16. 已知实数，满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，则最小值表示与直线平行的切线之间的距离，求出曲线的切线方程，根据平行线之间的距离公式，即可求解．详解：分别设，则表曲线上的点到直线的距离，所以最小值表示与直线平行的切线之间的距离，因为，所以，令，解得，所以，所以曲线过点的切线方程为，即，所以直线与直线间的距离为，即最小值．点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两条平行线之间的距离公式的应用，其中解答中把最小值转化为直线平行的切线之间的距离上解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与计算能力，试题属于中档试题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设复数，其中为虚数单位，当实数取何值时，复数对应的点：（1）位于虚轴上；（2）位于一、三象限；（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上.【答案】（1）（2）（3）或【解析】分析：（1）根据题设条件得到复数对应点坐标，当复数位于虚轴上时，实部为零，虚部不为零，即可求解；（2）当复数位于一、三象限时，复数满足实部和虚部之积大于零，即可求解；（3）位于以原点为圆心，以为半径的圆上时，满足，即可求解．详解：（1）复数对应的点位于虚轴上，则.∴时，复数对应的点位于虚轴上.（2）复数对应的点位于一、三象限，则或.∴当时，复数对应的点位于一、三象限.（3）复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上，则或.∴或时，复数对应的点位于以原点为圆心，以为半径的圆上.点睛：本题主要考查了复数表示，解答中根据题设条件求出复数对应点的坐标，结合点的位置列出不等式组或关系式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．18. 已知数列的前项和为，且满足，.（1）写出，，，并推测数列的表达式；（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.【答案】（1），，.（2）见解析【解析】分析：（1）利用，代入计算，即可得到的值，猜想；（2）利用数学归纳法进行证明，检验当时等式成立，假设是命题成立，证明当时，命题也成立即可．详解：（1）将，，分别代入，可得，，.猜想.（2）①由（1），得时，命题成立；②假设时，命题成立，即，那么当时，，且，所以，所以，即当时，命题也成立.根据①②，得对一切，都成立.点睛：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列归纳、猜想、证明，对于数学归纳法的证明，一般分三步：（1）验证成立；（2）假设是命题成立，证明当时，命题也成立，从而得证，这是数列通项的一种求解方法，着重考查了推理与论证能力．19. 在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线与曲线交于，两点，且，求实数的值.【答案】（1）,（2）或.【解析】试题分析: （Ⅰ）根据加减相消法将曲线参数方程化为普通方程，利用将曲线（Ⅱ）先将直线参数方程转化为（为参数，），再根据直线参数方程几何意义由得，最后将直线参数方程代入，利用韦达定理得关于的方程，解得的值.试题解析: （Ⅰ）曲线参数方程为,∴其普通方程，由曲线的极坐标方程为,∴∴,即曲线的直角坐标方程.（Ⅱ）设、两点所对应参数分别为，联解得要有两个不同的交点，则,即，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知，又由可得，即或∴当时，有，符合题意．当时，有，符合题意．综上所述，实数的值为或．20. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级的对应关系，如下表所示（假设该区域空气质量指数不会超过）：级优级良级轻度污染级中度污染级重度污染级严重污染该社团将该校区在年某天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（1）请估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（2）该校年月、、日将作为高考考场，若这三天中某天出现级重度污染，需要净化空气费用元，出现级严重污染，需要净化空气费用元，记这三天净化空气总费用为元，求的分布列及数学期望.【答案】（1）110（2）见解析【解析】试题分析: （Ⅰ）根据频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，先计算空气质量优良区间对应的概率，再根据频数等于总数乘以概率得空气质量优良的天数，（Ⅱ）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据期望公式求数学期望.试题解析: （Ⅰ）由直方图可估算年（以天计算）全年空气质量优良的天数为（天）．（Ⅱ）由题可知，的所有可能取值为：，，，，，，，则：，．的分布列为（元）．21. 已知抛物线的焦点为椭圆：的右焦点，点为此抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）借助题设条件，运用直线与椭圆的位置关系，通过研究坐标之间的关系进行分析探求：(1)由已知可得的焦点坐标为，设，则，解得，所以，由点在椭圆上，得，即，又，解得，所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为，由，得，则，，当时，直线的方程为，由，得.即，所以，所以，设，则，则，由于，在上为增函数，，则，当时，的中点为，则，，综上，，故的取值范围是.点睛：椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高中数学的重要知识点与高考的必考考点。
高二数学下学期半期考试试题理
四川省资阳中学2017-2018学年高二数学下学期半期考试试题 理一、单选题（每小题5分，共60分） 1．若z=4+3i,则zz= ( ) A. 1B. -1C.45+35i D.45-35i 2．下列结论正确的是（ ）A. 若x y x y sin ,cos ='=B. 若，则1-='x xe yC. 若，则21x y -=' D. 若，则2x y =' 3．将个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（ ）种A.B.C.D.4. 椭圆1162522=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，则椭圆上满足21PF PF ⊥的点P （ ） A ．有2个 B ．有4个 C ．不一定存在 D ．一定不存在 5.dx x ⎰πsin =（ ）A.B.C. 2D. 46．已知)2sin(41)(2x x x f ++=π，)(x f '为)(x f 的导函数，则)(x f '的图象是（ ）7. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 （ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y +=8．F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于B ，若2AF FB =，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 2 9.设曲线1+=n xy (n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201622017201712017log log log x x x +++ 的值为( )A ．20162017log x -B ．－1C ．20162017log x－1 D ．1 10．已知可导函数()f x 为定义域上的奇函数，(1)1,(2) 2.f f ==当0x >时，有1)()(3>'-x f x x f ，则3()2f -的取值范围为（ ）A ．2727,328⎛⎫⎪⎝⎭ B ．2727,832⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．()8,1-- D ．()4,811.已知函数5)(,ln )(23--=+=x x x g x x x a x f ，若对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21,21x x ，都有2)()(21≥-x g x f 成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]12．斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点()00,P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A. 0ky 为定值B. OA OB ⋅为定值C. 点P 的轨迹为圆的一部分D. 点Q 的轨迹是圆的一部分 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数),(6ln 4)(2为常数b a b x ax x x f +-+=，且2=x 为)(x f 的一个极值点，则a 的值为________.14．已知函数c bx ax y ++=2，其中{}1,2,3,4c ∈、、b a ，则不同的二次函数的个数共有 种15．在平面直角坐标系xoy 中，已知△ABC 顶点A (－3,0)和C (3,0)，顶点B 在椭圆1162522=+y x 上，则=+BCA sin sin sin ________.16．设函数.,2,3)(3⎩⎨⎧>-≤-=a x x ax x x x f ①若0=a ，则)(x f 的最大值为________；②若)(x f 无最大值，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题（70分）17．（10分）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为132.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7︰3，求椭圆和双曲线的方程.18．（12分）设函数()344f x ax x =-+过点)1,3(P ．（1）求函数的极大值和极小值．（2）求函数()f x 在[]1,3-上的最大值和最小值．19．（12分）已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点,C O 为坐标原点.（1）若4OA OB k k +=,求直线l 的方程；（2）线段AB 的垂直平分线与直线,l x 轴,y 轴分别交于点,,D M N ，求NDCFDMS S ∆∆ 的最小值.20．（12分）已知函数)(ln 21)(2R a ax x x f ∈+=. （1）若曲线)2121()(）（，在f x f y =处的切线与直线垂直，求的值；（2）讨论函数的单调性；若存在极值点)2,1(0∈x ，求实数的取值范围.21．（12分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=（1）若关于x 的不等式0)(≥-m x f 在]1,0[-e 有实数解，求实数m 的取值范围； （2）设1)()(g 2--=x x f x ，若关于x 的方程p x =)(g 至少有一个解，求p 的最小值． （3）证明不等式：111ln(1)1()23n n N n++<+++⋯+∈22．（12分）已知函数()()21ln ,2f x xg x x x ==-+． （1）设()()()2G x f x g x =+，求()G x 的单调递增区间； （2）证明：当0x >时，()()1f x g x +>；（3）证明：1k <时，存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()()112f xg x k x +->-．高2016级第四学期文科数学半期试题答案一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 点M 的直角坐标（，-1）化成极坐标为（ ） A. （2，） B. （2，）C. （2，）D. （2，）【答案】D【解析】解：点M 的直角坐标（，-1），由x =ρcos θ，y =ρsin θ，∴=ρcos θ，-1=ρsin θ，解得：ρ=2，θ=，∴极坐标为（2，），故选D ．根据x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得极坐标．本题考查了直角坐标化成极坐标的计算．要牢记x =ρcos θ，y =ρsin θ的关系．比较基础．2. 已知F 1（-1，0），F 2（1，0）是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，4a =8，∴a =2，∵F 1（-1，0）、F 2（1，0）是椭圆的两焦点，∴b 2=3， ∴椭圆方程为：．故选：A ．由题意可知△MF 2N 的周长为4a ，从而可求a 的值，进一步可求b的值，则椭圆方程可求．本题主要考查椭圆的定义及标准方程的求解，属于基础题．3. 抛物线y 2=4x ，直线l 过焦点且与抛物线交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，x 1+x 2=3，则AB 中点到y 轴的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 4【答案】B【解析】解：直线l 过抛物线的焦点且与抛物线y 2=4x 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，x 1+x 2=3，AB 中点的横坐标为：，则AB 中点到y 轴的距离为：．故选：B ．利用已知条件求出A 、B 的中点的横坐标即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是 4.下列运算正确的是（ ） A2'e x e xe x x x x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ B （x 2cos x ）'=-2x sinx C （3x ）'=3x log 3e D【答案】A【解析】解：B （x 2cos x ）'=2x cosx-x 2sin x ； C （3x ）'=3x ln3； D应该为（lg x ）'= 故选A ．运用导数的求导公式对各运算检验即可．本题考查了导数的运算；熟记公式是关键．5.某箱子的容积V（x）与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（）A. 30B. 40C. 50D. 以上都不正确【答案】B【解析】解：某箱子的容积V（x）与底面边长x的关系为，可得x∈（0，60）．V′（x）=60x-，令60x-=0，可得x=40，当x∈（0，40）时，V′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（40，60）时，V′（x）＜0，函数是减函数，函数的最大值为：V（40）=16000．此时x=40．故选：B．求出函数的定义域，函数的导数，利用函数的最值求解即可．6.函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f （x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．本题考查函数的最值的求法、导数的应用，考查转化思想以及计算能力．7.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动，则点A（0，-1）与点P连线中点的轨迹方程是（）A. y=2x2B. y=8x2C. 2y=8x2-1D. 2y=8x2+1【解析】解：设AP中点坐标为（x，y），则P（2x，2y+1）在2x2-y=0上，即2（2x）2-（2y+1）=0，∴2y=8x2-1．故选C．先设AP中点坐标为（x，y），进而根据中点的定义可求出P点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程．本题主要考查轨迹方程的求法．8.已知直线l的参数方程为：（t为参数），圆C的极坐标方程为，则直线l与圆C的位置关系为（）A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定【答案】B【解析】解：直线l的参数方程为：，消去t为参数可得：2x-y+1=0．圆C的极坐标方程为，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得：，圆心为（0，），半径r=．那么：圆心到直线的距离d=∵d，∴直线l与圆C相交．故选B．消去t为参数可得直线l的普通方程；根据x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得圆C的直角坐标方程．圆心到直线的距离与半径比较可得直角的关系．本题主要考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转换．点到直线的距离公式．属于基础题．9.函数f（x）=ax-ln x在区间[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A. （-∞，-2]B. （-∞，0]C. （-∞，1]D. [1，+∞）【答案】B【解析】解：∵f（x）=ax-ln x，（x＞0），∴f′（x）=a-，若函数f（x）=ax-ln x区间[1，+∞）上为减函数，则a-≤0在区间[1，+∞）恒成立，即a≤0，故选：B．求出函数的导数，问题转化为a-≤0在区间[1，+∞）恒成立，求出a的范围即可．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于基础题．10.已知函数f（x）=ln x+ax2-2x有两个极值点，则a的取值范围是（）A. （-∞，1）B. （0，2）C. （0，1）D. （0，3）【答案】C【解析】解：f′（x）=+ax-2=，（x＞0），若函数f（x）=ln x+ax2-2x有两个极值点，则方程ax2-2x+1=0有2个不相等的正实数根，∴，解得：0＜a＜1，故选：C．求出函数的导数，根据函数的极值的应用以及二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了函数的极值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．11.参数方程（t为参数）所表示的曲线是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：∵，∴x与y同号（t=±1除外），将代入消掉参数t得：x2+y2=1（xy≥0，x≠0）；故选D．根据可知x与y同号（t=±1除外），将代入消掉参数t后即可判断．本题考查圆的参数方程，易错点在于对“x与y同号（t=±1除外）”的判断与应用，也是本题的难点，属于中档题．12.定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），已知xf'（x）+f（x）＜-f'（x），f（2）=，则不等式f（e x-2）-＜0（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A. （0，ln4）B. （-∞，0）∪（ln4，+∞）C. （ln4，+∞）D. （2，+∞）【答案】B【解析】解：由xf'（x）+f（x）＜-f'（x），得xf'（x）+f（x）+f′（x）＜0，即（x+1）f'（x）+f（x）＜0，设g（x）=（x+1）f（x），则g′（x）=f（x）+（x+1）f'（x）＜0，即g（x）为减函数，∵f（2）=，∴g（2）=3f（2）=3=1，则不等式f（e x-2）-＜0等价为，当x＞0时，e x-1＞0，则不等式等价为（e x-1）f（e x-2）-1＜0，即（e x-2+1）f（e x-2）＜1，即g（e x-2）＜g（2），则e x-2＞2，则e x＞4，则x＞ln4，当x＜0时，e x-1＜0，则不等式等价为（e x-1）f（e x-2）-1＞0，即（e x-2+1）f（e x-2）＞1，即g（e x-2）＞g（2），则e x-2＜2，则e x＞4，则x＜ln4，∵x＜0，∴此时不等式的解为x＜0，综上不等式的解为x＜0或x＞ln4，即不等式的解集为（-∞，0）∪（ln4，+∞），故选：B根据条件构造函数g（x）=（x+1）f（x），求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解是解决本题的关键．，注意要对分母进行讨论．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知抛物线的准线方程是x=，则其标准方程是______．【答案】y2=-2x．【解析】解：由题意可知： =，∴p=1且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=-2px，将p代入可得y2=-2x，故答案为：y2=-2x．先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．本题主要考查抛物线的标准方程．属基本知识的考查．14.已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为-8，则点M的坐标为______ ．【答案】（-2，9）【解析】解：∵y=2x2+1，∴y′=4x，令4x0=-8，则x0=-2，∴y0=9，∴点M的坐标是（-2，9），故答案为：（-2，9）．求导函数，令其值为-8，即可求得结论．本题考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．15.M是椭圆上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则|MF1|•|MF2|的最大值是______ ．【答案】9【解析】解：设M（x0，y0），由题意知，，∴|MF1|•|MF2|=（3+）（3-）=9-．∴当x0=0时，|MF1|•|MF2|有最大值9．故答案为：9．由题意可设M（x0，y0），可先求出离心率，然后根据椭圆的第二定义用x0分别表示出|MF1|和|MF2|，求出|MF1|•|MF2|的表达式，把其看为关于x0的二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值．本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．16.双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为______．【答案】【解析】解：由题意，∴b=，∴c=2a∴=≥=（当且仅当a=时取等号）∴当a=时，的最小值为故答案为：．根据条件，确定几何量之间的关系，再利用基本不等式，即可得到结论．本题考查双曲线的几何性质，考查基本不等式的运用，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值-4．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．【答案】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=-4...............2分，即得．..............3分所以f′（x）=3x2+4x-7=（3x+7）（x-1），..............4分由f′（x）＜0，得，所以函数f（x）的单调递减区间．..............6分（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-7x，f′（x）=3x2+4x-7=（3x+7）（x-1），令f′（x）=0，解得，x2=1．f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：...............................9分.由上表知，函数f（x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．故可得f（x）min=f（1）=-4，f（x）max=f（-1）=8．..............10分【解析】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力．（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．18.（本小题满分12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．【答案】解：（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x-1）2+（y-1）2=2；..............5分（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x-1）2+（y-1）2=2中，得t2-t-1=0，..............7分∴；..............9分∴+=+====．.............12分【解析】（1）利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2-t-1=0，由根与系数的关系，求出+=的值．本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．19.（本小题满分12分）已知直线y=ax+1和抛物线y2=4x（F是抛物线的焦点）相交于A、B两点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求实数a的值，使得0FA．∙FB=【答案】解：（Ⅰ）将直线方程代入双曲线方程，，整理得：a2x2-（4-2a）+1=0．.............2分由题意可知，△＞0，即（4-2a）2-4a2＞0，解得：a＜1，..............4分由当a=0时直线与抛物线只有一个交点，故不成立，..............5分实数a的取值范围（-∞，0）∪（0，1）；..............6分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）可知：x1+x2=，x1•x2=，............8分∴•=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（x1-1）（x2-1）+（ax1+1）（ax2+1），=（a2+1）x1•x2+（a-1）（x1+x2）+2，..............9分=（a2+1）+（a-1）+2=0，解得：a=-3±2，..............11分由a∈（-∞，0）∪（0，1）所以实数a的值为-3-2或-3+2．..............12分【解析】（Ⅰ）将直线方程代入椭圆方程，由△＞0及a≠0，即可求得实数a的取值范围；（Ⅱ）由以AB为直径的圆过F，则•=0，即可求得a的值．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M（x，y），求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）直线l的普通方程x+y-2-1=0 ..............3分曲线C的直角坐标方程x2+y2=4；.............5分（Ⅱ）曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为，则点M参数方程为，..............7分代入x+y得，x+y=•2cosθ+..............8分=2sin.............9分=4sin（）∈[-4，4] ..............11分∴x+y的取值范围是[-4，4]..............12分【解析】（I）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x-1）代入下式消去参数t即可；（II）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于基础题．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=e x-x-1（e是自然对数的底数）．（1）求证：e x≥x+1；（2）若不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，求正数a的取值范围．【答案】证明：（1）由题意知，要证e x≥x+1，只需证f（x）=e x-x-1≥0，.............1分求导得f′（x）=e x-1，.............2分当x∈（0，+∞）时，f′（x）=e x-1＞0，.当x∈（-∞，0）时，f′（x）=e x-1＜0，.∴f（x）在x∈（0，+∞）是增函数，在x∈（-∞，0）时是减函数，.............4分即f（x）在x=0时取最小值f（0）=0，.............5分∴f（x）≥f（0）=0，即f（x）=e x-x-1≥0，∴e x≥x+1．.............6分（2）不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，即e x-x-1＞ax-1在x∈[]上恒成立，亦即a＜在x∈[]上恒成立，.............7分令g（x）=，x∈[]，............8分以下求g（x）=在x∈[]上的最小值，，.............9分当x∈[]时，g′（x）＜0，当x∈[]时，g′（x）＞0，∴当x∈[]时，g（x）单调递减，当x∈[]时，g（x）单调递增，.............10分∴g（x）在x=1处取得最小值为g（1）=e-1，.............11分∴正数a的取值范围是（0，e-1）．............12分【解析】（1）要证e x≥x+1，只需证f（x）=e x-x-1≥0，求导得f′（x）=e x-1，利用导数性质能证明e x≥x+1．（2）不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，即a＜在x∈[]上恒成立，令g（x）=，x∈[]，利用导数性质求g（x）=在x∈[]上的最小值，由此能求出正数a的取值范围．本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．22.（本小题满分12分）已知函数f（x）=a ln x-bx-3（a∈R且a≠0）（1）若a=b，求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，设g（x）=f（x）+3，若g（x）有两个相异零点x1，x2，求证：ln x1+ln x2＞2．【答案】解：（1）由f（x）=a ln x-bx-3知f′（x）=，.............1分当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，+∞），........3分当a＜0时，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）．........5分证明：（2）g（x）=ln x-bx，设g（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1＞x2＞0，∵g（x1）=0，g（x2）=0，∴ln x1-bx1=0，ln x2-bx2=0，........................6分∴ln x1-ln x2=b（x1-x2），ln x1+ln x2=b（x1+x2），........................7分要证ln x1+ln x2＞2，即证b（x1+x2）＞2，即＞，........................8分即ln＞，设t=＞1上式转化为ln t＞，t＞1．........................9分设g（t）=ln t-，.......................10分∴g′（t）=＞0，∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，........................11分∴g（t）＞g（1）=0，∴ln r＞，∴ln x1+ln x2＞2．........................12分【解析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）设x1＞x2＞0，要证ln x1+ln x2＞2，即证b（x1+x2）＞2，即证ln＞，设t=＞1上式转化为ln t＞，t＞1．够造函数g（t）=ln t-，根据导数和函数的最值的关系即可证明．本题主要考查导数与单调性的关系、不等式恒成立，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，考查转化思想与分类讨论思想、构造法的应用．。
【小初高学习】2017_2018学年高二数学下学期期中试题文
福建省师大附中2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答卷。
第Ⅰ卷 共65分一、选择题（每小题5分，共65分；在给出的A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数； A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②①2.用反证法证明命题“三角形的内角中最多只有一个内角是钝角”时，应先假设（ ） A ．没有一个内角是钝角 B ．有两个内角是钝角 C ．有三个内角是钝角 D ．至少有两个内角是钝角3.若实数a b ==则a 与b 的大小关系是（ ） A ．a b = B. a b < C. a b > D. 不确定4. 若复数2(4)(2)(),z x x i x R =-++∈则“2x =”是“z 是纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.某工厂为了确定工效，进行了5次试验，收集数据如下：x 与加工时间y 这两个变量，下列判断正确的是（ ）A ．负相关，其回归直线经过点()30,75B ．正相关，其回归直线经过点()30,75C ．负相关，其回归直线经过点()30,76D ．正相关，其回归直线经过点()30,766.观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，…用你所发现的规律可得20182的末位数字是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则12||z z +=（ ）A ．2B ．3C ．．8.给出下面四个类比结论：①实数b a ,，若0=ab ，则0=a 或0=b ；类比向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b = ②实数b a ,，有222()2a b a ab b +=++；类比向量,a b ，有222()2a b a a b b +=+⋅+ ③向量a ，有22a a =；类比复数z 有22z z =④实数b a ,，有022=+b a ，则0==b a ；类比复数12,z z ，有22120z z +=，则120z z ==其中类比结论正确的命题的个数是（ ）A ．0B ．1 C. 2 D. 3 9.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内填（ ） A.4k > B.k >5 C.k >6 D.k >7 10. 下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）A 、20x x -≥B 、sin 1x x >-+C 、ex e x≥ D 、ln x x >11.如图，可导函数)(x f y =在点P （0x ，)(0x f ）处的切线为l ：)(x g y =， 设)()()(x g x f x h -=，则下列说法正确的是（ ） A.0)(0'=x h ，0x x =是)(x h 的极大值点 B.0)(0'=x h ，0x x =是)(x h 的极小值点 C.0)(0'≠x h ，0x x =不是)(x h 的极值点 D.0)(0'≠x h ，0x x =是)(x h 的极值点 12.已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）13.设函数2()ln (2)f x x ax a x =---，若不等式()0f x >恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4ln 21,4+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 4ln 21,4+⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 6ln 34ln 2,126++⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷 共85分二、填空题（每小题5分，共25分）14.已知复数z 满足i i z +=-1)1(，则z ＝_______．15.若根据10名儿童的年龄x （岁）和体重y （㎏）数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是y = 2 x + 7 ，已知这10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，则这10名儿童的平均体重是__________㎏．16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a = ．17. 在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A 、B 、C 做了一项预测：A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．比赛结果出来后，发现A 、B 、C 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是_____________． 18.已知函数)(ln 1)(R a x a x xx f ∈+-=在其定义域上不单调，则a 的取值范围是__________．三、解答题（要求写出过程，共60分）19. (本小题满分12分)已知平行四边形OABC 的三个顶点C A O ，，对应的复数为4i 2-2i 30++，，（Ⅰ）求点B 所对应的复数0z ；（Ⅱ）若10=-z z ，求复数z 所对应的点的轨迹.20．(本小题满分12分)为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间（单位：分钟）绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图：（1）根据已知条件完成2x2列联表;（2）并判断是否有的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式22()()()()()n ad bc K a c a b b d c d -=++++21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000元．(1)将V 表示成r的函数)V(r ，并求该函数的定义域；(2)讨论函数)V(r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 22.（本小题满分12分）设函数2)1()(ax e x x f x--= （Ⅰ）若21=a ，求)(x f 的极值；（Ⅱ）证明：当1≤a 且0>x 时， 0)(>x f .23.（本小题满分12分）设函数)(,)1(ln )(R a x a x x f ∈+-=（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当函数)(x f 有最大值且最大值大于13-a 时，求a 的取值范围。
河南省焦作市20172018学年高二数学下学期期中试题理(含解析)
焦作市普通高中2017—2018学年（下）高二期中考试数学（理科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则=A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先化简集合A,再求A∩B.详解：由题得={x|-2＜x＜3}，∴A∩B=.故选B.点睛：本题考查集合的交集运算，属于基础题,注意表示的是正整数集，不包含0......................2. 复数的实部与虚部的和等于A. B. C. 1 D. 3【答案】D【解析】分析：先化简复数z,再写出复数z的实部与虚部，最后求其实部与虚部的和.详解：由题得z=1+2i所以复数z的实部是1，虚部是2，所以其实部与虚部的和为3.故选D.点睛：本题主要考查复数的运算、复数的实部与虚部，属于基础题.注意复数的虚部是“i”的系数，不包含“i”.3. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用函数的奇偶性的判断方法判断奇偶性，利用图像或函数单调性的性质判断函数的单调性.详解：对于A选项，，所以函数不是奇函数，所以不选A.对于B选项，，所以函数是偶函数，不是奇函数，所以不选B.对于C选项，所以函数是奇函数，但是函数在上不是单调递增的，所以不选C.对于D选项，，所以函数是奇函数，又因为其是上的增函数（增+增=增）.所以选D故选D.点睛：本题主要考查函数的奇偶性的判断和函数单调性的判断，属于基础题.4. 已知函数，则=A. 1B. 0C.D.【答案】A【解析】分析：先求导，再求，再化简得解.详解：由题得，∴.因为=，∴=1故选A.点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题.5. 已知某物体作变速直线运动，其速度单位：m/s）关于时间（单位：）的关系是，则在第2s至第3s间经过的位移是A. 10mB. 11mC. 12mD. 13m【答案】B【解析】分析：先利用定积分表示出在第2s至第3s间经过的位移，再求定积分即得在第2s 至第3s间经过的位移.详解：由题得在第2s至第3s间经过的位移为.故选B.点睛：本题主要考查定积分的实际应用和定积分的运算，属于基础题.6. 已知实数，满足不等式组则的最大值为A. 5B. 10C. 11D. 13【答案】D【解析】分析：先作出不等式组对应的可行域，再作出直线，最后数形结合分析得到函数的最大值.详解：不等式组对应的可行域如图所示：由得，当直线经过点B(3，2)时，直线的纵截距最大，z最大.所以.故选D.点睛：本题主要考查线性规划中的最值问题，属于基础题.7. ①已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；②设为实数，，求证与中至少有一个不小于，用反证法证明时，可假设，且.则A. ①的假设正确，②的假设错误B. ①的假设错误，②的假设正确C. ①与②的假设都错误D. ①与②的假设都正确【答案】B【解析】分析：利用命题的否定的知识分析判断.详解：对于①，用反证法证明时，应假设a,b不都等于1，而不是假设且，所以①的假设错误.对于②，用反证法证明时，可假设，且.所以②的假设正确.故选B.点睛：本题主要考查反证法和命题的否定，属于基础题.8. 设曲线在处的切线与直线垂直，则=A. 0B. 1C. -1D. -2【答案】C【解析】分析：由点（0,1）在曲线上得到b的值，再根据切线与直线y=x+5垂直得到a的值，即得a+b的值.详解：∵点（0,1）在曲线上，∴1=0+b×1，∴b=1.由题得，∴∵切线与直线垂直，∴，∴a=-2.∴a+b=-1.故选C.点睛：本题主要考查求导和导数的几何意义，属于基础题.9. 将石子摆成如图的梯形形状，各图中的石子数5，9，14，…依次构成数列，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到一般性规律，即可求得结论．详解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n=1时，a1=2+3=×（2+3）×2；n=2时，a2=2+3+4=×（2+4）×3；…由此我们可以推断：a n=2+3+…+（n+2）=[2+（n+2）]×（n+1）∴a2018﹣9=×[2+（2018+2）]×（2018+1）﹣9=．故选C.点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．10. 如图所示，某学习小组10名同学的一次测试成绩用茎叶图统计，其中甲同学的分数的个位数字模糊不清，在图中用表示，则甲的分数大于这10名同学平均分的概率为A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先计算出10个数的平均数，再根据甲的分数大于这10名同学平均分得到甲的分数的可能情况，最后求概率.详解：由题得，所以，∴x>4.∵，∴x=5,6,7,8,9.故甲的分数大于这10名同学平均分的概率为.故选A.点睛：本题主要考查茎叶图、平均数和古典概型，属于基础题.11. 函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是A. 直线是图象的一条对称轴B. 点是图象的一个对称中心C. 在区间上单调递减D. 在区间上的最大值为【答案】C【解析】分析:先求函数f(x)的解析式，再逐一研究函数的图像和性质，找到答案.详解:由题得,∴.由题得,∵,∴.∴.对于选项A,把代入f(x)的解析式得，函数取到最大值，所以直线是图象的一条对称轴,所以选项A正确.对于选项B,把点代入f(x)的解析式成立，所以点是图象的一个对称中心，所以选项B正确.对于选项C,令所以区间不是函数的减区间，所以选项C错误.对于选项D,因为x∈，所以，所以f在区间上的最大值为,所以选项D正确.故选C.点睛：本题主要考查三角函数解析式的求法和三角函数的图像和性质，要求这些基础知识比较熟练，属于基础题.12. 函数的定义域为，其导函数为，若恒成立，且，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2018，求得g（0）=2018，继而求出答案．详解：∵∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＜0，于是有（）′＜0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递减，∵f（0）=2018，∴g（0）=2018，∵不等式f（x）＞2018e x，∴g（x）＞2018=g（0），∴x＜0.故选A.点睛：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数z满足，则z的共轭复数z=__________.【答案】1-3i【解析】分析：先求出复数z,再求复数z的共轭复数.详解:由题得，所以复数z的共轭复数为1-3i.故填1-3i.点睛：本题主要考查复数的运算与共轭复数的概念，属于基础题.14. 已知，，若a⊥(a+b)，则向量a与b的夹角为__________.【答案】【解析】分析:由得到，再化简即可得到两向量的夹角.详解:由题得∴,∵,∴.故填.点睛：本题主要考查向量垂直和向量的数量积，属于基础题.15. 在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一人得了满分，当他们被问到谁得了满分时，丙说：甲得到满分；乙说：我得了满分；甲说：丙说的是真话.事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是真话，那么得满分的同学是__________.【答案】乙【解析】若甲得满分,则丙说的是真话,乙说的是假话，甲说的是真话，则满足条件，若乙得满分，则丙说的是假话，乙说的是真话，甲说的是假话，则不满足条件，若丙得满分，则丙说的是假话，乙说的是假话，甲说的是假话，则不满足条件，故得满分的是甲，故答案为丙.16. 平面几何中有如下结论：正方形的内切圆面积为，外接圆面积为，则.推广到空间可以得到类似结论：已知正方体的内切球体积为，外接球的体积为，则__________.【答案】【解析】分析：先求出内切球的半径和外接球的半径，再求的值.详解：设正方体的边长为a, 所以正方体的内切球半径为，外接球的半径为，∴.故填.点睛：本题主要考查几何体的内切球和外接球的体积，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知复数.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若复数z是方程的一个根，求实数，的值.【答案】（1）（2）a=b=2.【解析】分析：（Ⅰ）先求出z,再求|z|. (Ⅱ)把z的值代入方程化简，再根据复数相等的概念概念得到实数a,b的值.详解：（Ⅰ）.∴.（Ⅱ）因为复数z是方程的一个根，所以，所以解得a=b=2.点睛：本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，属于基础题.18. 用数学归纳法证明：对于任意的，.【答案】见解析【解析】分析：按照数学归纳法的原理证明不等式.详解：当n=1时，左边右边，命题成立.假设当命题成立，即；当n=k+1时，左边，即当n=k+1时，命题成立.综上所述，对于任意的，.点睛：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属于基础题.19. 已知数列的首项，.（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（Ⅰ）利用等差数列的定义证明数列是等差数列. （Ⅱ）先计算出再利用裂项相消求出，再证明不等式：.详解：（Ⅰ）由于，，显然，所以两边同除以可得，，所以数列是1为首项，2为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以.所以，所以.点睛：本题主要考查等差数列的证明和裂项相消求和，属于基础题.20. 已知函数，若曲线在点处的切线斜率为1，且x=1时，y=f(x）取极值.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值；（Ⅲ）若方程有三个不同的实数根，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）最大值为4，最小值为-146.（3）【解析】分析：（Ⅰ）根据已知条件得到关于a,b的方程组，再解方程得到a,b的值，即得函数的解析式. （Ⅱ）先求出函数在上的极值和端点函数值，再比较它们，即得函数在上的最大值和最小值. （Ⅲ）先作出函数y=f(x)的图像，再观察它和直线y=m的关系得到实数m的取值范围.详解：（Ⅰ），由题意得，解得所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，得，，的值随x的变化情况如下表：x -4 （-4,1） 1 2+ 0 - 0 +单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值-146 4 4 ∵，，，，∴在[-4,2]上的最大值为4，最小值为-146.（Ⅲ）方程f(x)=m有三个不同的实数根，即的图象与直线y=m有三个交点.由（Ⅱ）分析可得，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，而，，所以.点睛：本题主要考查导数的几何意义、导数求函数的最值和导数研究函数的零点问题，属于中档题.21. 已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合.（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）斜率为-1的直线l交抛物线C于不同两点A，B，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（Ⅰ）根据已知得到p的值，即得到抛物线C的标准方程. （Ⅱ）先利用韦达定理求出，再利用基本不等式证明不等式.详解：（Ⅰ）由，所以椭圆在右焦点F(1,0)，∴，即p=2.所以抛物线C的标准方程为.（Ⅱ）设直线l的方程为y=-x+b，将它代入抛物线.得，设，则，.又由直线l交抛物线C于不同两点A，B，可得，所以.而，令t=b+3，则t>2.所以.当，即，时，等号成立.点睛：求变量的取值范围常用函数的方法.一般先求变量的解析式，再求函数的定义域，再求函数的取值范围. 所以本题先求利用韦达定理求出，再求b的范围，最后利用基本不等式证明不等式.这种方法在高中数学中常用，大家要注意理解掌握和灵活运用.22. 某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）【答案】（1）投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.（2）4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大【解析】分析：（Ⅰ）先写出收益f(t)的解析式，再利用二次函数的图像和性质求最大值和此时t 的值. （Ⅱ）设由此增加的收益是g(x)百万元,再写出g(x)的解析式，再利用导数求函数的最值，即得资金分配方案.详解：（Ⅰ）设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则由，∴当t=3时，f(t)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.（Ⅱ）用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(5-x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元.则..则当时，；当时，.∴当x=4时，g(x)取得最大值.即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大.点睛：对于最值问题，常用的是函数的思想.先求出函数的解析式，再求出函数的定义域，再选择方法求函数的最值.函数的思想是高中数学的重要思想，要理解掌握灵活运用.。
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2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理
一、选择题:（每小题5分，共60分）
1．方程m y x ++16m -252
2
=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )
(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29
2.已知曲线42x y =的一条切线的斜率为21
，则切点的横坐标为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3、椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ）
A.－1
B.1
C.5
D. －5
4、函数ln y x x =的单调递增区间是（ ） A. ()1,e --∞ B. ()10,e - C. ()1e ,-+∞ D. ()e,+∞
5、曲线3
()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标（ ）
A ．(1,0)
B ．(2,8)
C ．(1,0)和(1,4)--
D ．(2,8)和(1,4)--
6、过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的
另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A. 22 B. 2 C.
2 D. 1
7.已知函数()()12ln +=x x f ，则()='0f （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．
8.抛物线x2=－32
y 的焦点的纵坐标与它的通径的比是
A ．4
B ．－4
C ．41
D ．－41
9、若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y
22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 （ ）
A ．()0,0
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21
C ．()2,1
D ．()2,2
10、椭圆3122
2
y x +=1的焦点为F1和F2，点P 在椭圆上.如果线段PF1的中点在y 轴上，那
么|PF1|是|PF2|的（ ）
A.7倍
B.5倍
C.4倍
D.3倍
11、若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是 （ ）
A.
B.
C.
D. 12、已知函数
()f x 在R 上的导函数为()f x '，若()()f x f x <'恒成立，且()02f =，则不等式
()2x f x e >的解集是（ ） A. ()2,+∞ B. ()0,+∞ C. (),0-∞ D. (),2-∞
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、直线y=x －1被抛物线y2=4x 截得线段的中点坐标是_____.
14、曲线y=ex 在点（0，1）处的切线方程为_________________
15、函数()x x x f ln 22
-=的减区间为 . 16、若双曲线m y x 22
4
-＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，则双曲线的焦点坐标是 ．
三：解答题(每题10分，共40)
17.已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 的焦点C F ,上一点),3(m 到焦点的距离为5.
（1）求C 的方程；
（2）过F 作直线l ，交C 于B A ,两点，若直线AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.
18. 已知函数()x bx ax x f 32
3-+=在1=x 有极小值2-.
（1）求函数的解析式；（2）求曲线上A 点())2(,2--f 的切线方程；
19.在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点)3,0(-，)3,0(的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C 。
（1）写出C 的方程；
（2）设直线1+=kx y 与C 交于A,B 两点，k 为何值时OB OA ⊥?
20.已知函数x a x x f ln )(2
+=
(1)当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值.
(2)若
x x f x g 2
)()(+=在),1[+∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围.。