精选-高中数学第二章平面解析几何初步2-3圆的方程2-3-4圆与圆的位置关系练习新人教B版必修2
高中数学第二章平面解析几何初步23圆的方程234圆与圆的位置关系课件新人教B版必修2
2.用坐标法确定圆与圆的位置关系 代数法：设两圆方程分别为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)， 联立方程得xx22＋＋yy22＋＋DD21xx＋＋EE21yy＋＋FF21＝＝00，，
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高中数学第二章平面解析几何初步23圆的方程
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234圆与圆的位置关系课件新人教B版必修2
【解】 设两圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两 点的坐标满足方程组
x2＋y2－10x－10y＝0， ① x2＋y2＋6x＋2y－40＝0. ) ②
②－①得 4x＋3y－10＝0. ∵A，B 两点的坐标都满足此方程， ∴4x＋3y－10＝0 即为两圆公共弦所在的直线方程．
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高中数学第二章平面解析几何初步23圆的方程
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234圆与圆的位置关系课件新人教B版必修2
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
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高中数学第二章平面解析几何初步23圆的方程
因此，圆的方程为 x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
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高中数学第二章平面解析几何初步23圆的方程
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234圆与圆的位置关系课件新人教B版必修2
解法三：设所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋10y－24＋ λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)． 即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0， 因为这个圆的圆心在直线 x＋y＝0 上， 所以－22λ1－＋2λ－22λ1＋＋1λ0＝0，解得 λ＝－2， 因此，圆的方程为 x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
高中数学 圆与圆的位置关系
(6)两圆同心
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例2.两圆M:x2+y2-6x+4y+12=0和圆N: x2+y2-14x-12y+14=0的位置关系是( C ) (A)相离 (B)外切 (C)相交 (D)内切 变形1:求两圆的公共弦所在直线方程.
变形2:求公共弦的长.
变形3:求公共弦的中垂线方程. 变形4:求经过公共弦两端点且面积最小的圆方程.
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③设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l： Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的 圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 (λ为参数)．
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例5.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2： x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程．
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例4 求过点A(0,6) 且与圆 C : x 切于原点的圆的方程．
2
y 10x 10 y 0
2
分析：所求的圆经过原点和A(0,6)，且圆心应在 已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件 可确定原的方程． 据此，可设圆的标准方程，将已知两点代入， 并将圆心坐标代入相应直线即可求解． 本题还有其它解法吗？
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例 3. 已知⊙C：x2+y2=1， P(3,4)，过P作⊙C 的切线，切点为A、B,求直线AB的方程。
y
P(3,4)
A
O
B
x
3x+4y=1
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练习2. 若两圆x2+y2=9与x2+y2-4ax-2y+4a2-3=0 相切，求实数a的值. 两圆相切可能是内切也可能是外切 即d=R+r或d=|R-r|
2019_2020学年高中数学第2章平面解析几何初步2.2.3圆与圆的位置关系课件苏教版必修2
两圆相切有如下性质 (1)设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则两 圆相切内 外切 切⇔ ⇔OO11OO22＝ ＝|rr11＋－rr22.|， (2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时， 两圆圆心的连线垂直平分公共弦)． 在解题过程中应用这些性质，有时能大大简化运算．
1．求经过相交两圆交点的圆的方程的方法 (1)直接法：直接解出两圆的交点坐标，再结合其它条件 求出圆的方程．
(2)待定系数法：利用经过相交两圆的交点的圆系方程求 解．过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋ D2x＋E2y＋F2＝0交点的不含圆C2的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋ E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.(其中λ≠－1)．
(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程． 解：法一：因为圆心C1(1，－5)，圆心C2(－1，－1)，则连心 线C1C2的方程为2x＋y＋3＝0， 它与公共弦的交点(－2,1)即为所求圆的圆心， 又所求圆半径为2l ＝ 5， ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1， r2的关
系
d＞r1 ＋r2
d＝r1 ＋r2
|r1－r2| ＜d＜r1 ＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判 断．
圆圆CC21方方程程―消―元→一元二次方程ΔΔΔ＞＝ ＜000⇒⇒ ⇒
(1)几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较判定完全转化为代数问题， 即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不 相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一 样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系．
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3.2 圆与圆的位置关系课件高一数学课件
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第十二页，共五十页。
2．两圆的公切线条数与两圆位置关系有何联系？能否根据 公切线条数判断两圆位置关系？
提示：两圆不同的位置关系对应着不同的公切线条数，因此可 以由公切线的条数判断两圆的位置关系，即当两圆内含、内切、相 交、外切、外离时，分别对应的公切线条数为 0、1、2、3、4，反 之亦成立．
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第二十页，共五十页。
(2)两圆的方程分别为 x2＋y2－8x－4y＋11＝0 及 x2＋y2＋2y
－3＝0，则两圆的公切线有( C )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析：圆 C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0 的圆心为 C1(4,2)，半 径长 r1＝3；圆 C2：x2＋y2＋2y－3＝0 的圆心为 C2(0，－1)，半 径长 r2＝2.∵圆心距|C1C2|＝ 42＋2＋12＝5＝r1＋r2，∴两圆相 外切，∴两圆有 3 条公切线．故选 C.
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几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆 的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数 问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断 出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一 样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因 此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题.
由方法一，知两圆交点为 A(－1,3)，B(－6，－2)．
设公共弦长为 d，则d2＝ －1＋622＋3＋22＝
25 2.
由xx－＋yy－＋43＝＝00， 得圆心坐标为12，－72，
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r2＝d22＋12＋722＋42＝829. 故所求圆的方程为x－122＋y＋722＝829， 即 x2＋y2－x＋7y－32＝0. 方法三：设所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－
高中数学第2章平面解析几何初步2.2.3圆与圆的位置关系课件4苏教版必修2
C
N
两点式求CN方程 点(D)斜(kDG) 式求中垂线DG方程
DG
O
x
M
学完一节课或一个内容，
应当及时小结，梳理知识
请同学们谈谈这节课 学到了什么东西。
小结：判断两圆位置关系
几何方法
代数方法
两由充圆（相分心配坐应了方标的解法及位圆）半置的径几关何系求性相质以关圆及的各位方程置的关关系键的是特 征如： （1）.弦的垂直平分线过圆心。 消去y（或x）
判断C1和C2的位置关系
▪ 解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
x
2
y2
4x
4y
2
0
②
联立方程组
①-②得
x 2y 1 0 ③
消去二次项
把上式代入①
x2 2x 3 0 ④
(2)2 41(3) 16
消元得一元 二次方程
所以方程④有两个不相等的实根用x1，Δ判x2 断两 把x1，x2代入方程③得到y1，y2 圆的位置关 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 系
圆心距d
（两（点2间）距.两离圆公相式）切则两圆心及切点共线。
……
比较d和r1，r2的 大小，下结论
作业
1.测试反馈 2.空间直角坐标系的预学案
本课结束
二.位置关系的运用： P104例二
思考：是否另有他解？！
圆心M在点A（0，6）与切点O(0,0) 的垂直平分线上。另加C,O,M三点共 线即可解决！
知识迁移
▪ 1.求半径为 3 2 ，且与圆 x2 y2 10x 10y 0
▪ 切于原点的圆的方程。
y
C(5, 5) A(a,b)
C、A、O三点共线
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.4 圆与圆的位置关系》_3
2.3.4圆与圆的位置关系一、教材分析：1、教材的地位和作用：◆本节课是人教B版必修二第二章第三单元第4节的内容；◆是初中内容《圆与圆的位置关系》的延续；◆是本单元平面直角坐标系中的基本公式和圆的方程的综合应用；◆是后续学习坐标法研究圆锥曲线的铺垫所以，它在教材中起着承前启后的重要作用。
2、教学目标：根据《课程标准》的要求和教材特点，结合高一学生的认知能力，我确定如下教学目标：【知识与技能目标】掌握两圆位置关系的判断方法；【过程与方法目标】通过两圆位置关系的探究过程，体验数形结合，转化，函数，方程等数学思想方法，提高用代数方法解决几何问题的能力，感受坐标法在研究几何问题中的作用；【情感态度价值观目标】通过师生互动，生生互动的教学活动，培养学生锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度，激发学生学数学，爱数学的情感。
3、重点难点：◆重点：圆与圆的位置关系的判断；◆难点：坐标法研究两圆的位置关系；◆重难点突破：在学生已有知识和方法的基础上，通过教师引导，学生观察思考、小组讨论、交流合作的办法来实现重难点突破。
二、教法学法分析：◆教法：新《课程标准》指出：教师是教学活动中的组织者，引导者，合作者。
根据这一理念，在教学过程中，我主要采用以下教学方法：启发式引导，探索式研究，互动式讨论。
◆学法：学生作为主体，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果的重要因素，因此，在学法的选择上，我主要采用：自主探究，合作交流的形式。
◆教学手段：借助多媒体和实物投影仪辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高课堂效率。
三、教学过程分析这节课，为了体现学生的主体地位，我以学生的学为立足点，设计了如下的教学过程：（一）情景引入屏幕出示2008，提出开放性问题：你想到了什么？同学各抒己见，教师做总结：2008是让中国人永难忘记的一年，同时，它还与我们今天要学习的内容有关。
（提出并板书课题）出示图组一：奥运相关图片出示图组二：生活中各领域图片提出问题1：圆与圆的位置关系有哪几种？（提问）【设计意图】在初中的知识基础上，以实例再现圆和圆的位置关系，激发学生的学习兴趣；展示奥运相关图片，调动 学生的爱国热情，体现数学课的德育目标；图组二的图片来自天文，生产，生活，艺术等各个领域，让学生体会到数学源于生活并应用于生活。
高中数学第二章平面解析几何2.3.4圆与圆的位置关系课件新人教B版必修2
两圆的圆心距离 d(O,O')= 12 + (-1)2 = 2. 显然有|r- 2|< 2 < 2+r.所以
6.做一做:若圆O1:x2+y2=4与O2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则 a= . 解析:两圆的圆心和半径分别为O1(0,0),r1=2,O2(a,0),r2=1,由两圆 内切可得d(O1,O2)=r1-r2,即|a|=1,所以a=±1. 答案:±1
方程组解 两圆的公共点 两圆的位置关系 2组 2个 相交 1组 1个 外切或内切 0组 0个 外离或内含
一
二
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)若两圆只有一个公共点,则这两圆外切. ( ) (2)若两圆无公共点,则两圆外离. ( ) (3)两个半径不相等的同心圆从两圆位置关系上来说为内含. ( ) (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交 点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1, 且λ∈R),此圆系方程涵盖了过圆C1与圆C2的交点的所有圆的方程. ( ) 答案:(1)× (2)× (3) (4)×
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思维辨析
圆与圆位置关系的判断 【例1】 已知圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0.试判断两 圆的位置关系,若有交点,求出交点坐标. 解:变为标准方程,C1:(x-1)2+y2=4,C2:(x-2)2+(y+1)2=2. 圆心坐标分别为(1,0)和(2,-1),
学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.3.4圆与圆的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册
第十二页，编辑于星期五：二十三点 四十八分
。
课堂篇 探究学习
第十三页，编辑于星期五：二十三点 四十八分
。
探究一
两圆位置关系的判断
例1(1)圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2-2y=0的位置关系是(
A.外离 B.相交 C.外切
)
D.内切
(2)圆O1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系为
|O1O2|= (-2-2)2 + (2-5)2 =5=r1+r2,所以两圆相外切.
第十五页，编辑于星期五：二十三点 四十八分
。
要点笔记判断两圆的位置关系常用两种方法
几何法和代数法,但一般情况下用几何法,即用两圆半径和圆心距之间的关系来
刻画,此种方法形象直观,关键是明确圆心和半径,再套用圆与圆位置关系的关
位置关系.(逻辑推理)
4.体会根据圆的对称性灵活处理
问题的方法和它的优越性.
(直观想象)
思维脉络
第三页，编辑于星期五：二十三点 四十八分。
课前篇 自主预习
第四页，编辑于星期五：二十三点 四十八分。
激趣诱思
魔术钢圈有很多的版本,通常有三连环和四连环.三连环中,有一个环是有缺口
的,而另外两个环是密封的;而四连环的原理基本相同,唯一不同的是有两个
系式进行求解或判断.
第十六页，编辑于星期五：二十三点 四十八分
。
延伸探究若本例(1)中条件不变,所求改为“求圆O1与圆O2的公切线条数”结论
又如何?
解 根据例题中结论☉O1与☉O2相交,则由平面几何知识可知,公切线条数为2.
新教材2023版高中数学第二章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.2圆的一般方程课件
a
a
∴方程表示圆，它的圆心为 − ， ，
2
1
半径r＝
2
D2
+ E2
− 4F＝
2
|a|.
2
2
题型2 求圆的一般方程
例2 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，
5)，则其外接圆的方程为____________．
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，
∴方程不表示任何图形．
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
解析： ∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，
∴方程表示点(－a，0)．
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
解析：两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，
方程
条件
D2＋E2－4F＜0
D2＋E2－4F＝0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＞0
图形
不表示任何图形
状元随笔 所有二元二次方程均表示圆吗？
[提示] 不是，Ax2 ＋Bxy＋Cy2 ＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，
B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆．
基础自测
1．圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心坐标及半径分别为(
(2)定义法：根据圆、直线Fra bibliotek定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
等．
跟踪训练3 (1)已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三
角形的直角顶点P的轨迹方程是(
高中数学第2章平面解析几何2.3圆及其方程2.3.4圆与圆的位置关系同步b选择性b高二第一册数学
知
养
E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y
课
合 作
＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
时 分
探
层
究
作
释
业
疑
难
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第二十六页，共五十页。
[跟进训练]
课
情 境
2．(1)圆O1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆O2：x2＋y2－6x＝0交于A，
即14＜k＜34时，两圆相交．
作
释
业
疑
难
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12/10/2021
第二十一页，共五十页。
两圆相交的有关(yǒuguān)问题
课
情
堂
境 导
【例2】 已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x
小 结
学
提
探 新
＋2y－40＝0相交于A，B两点，求弦AB的长．
素
知
养
[思路探究] 本题主要考查两圆的相交弦问题，关键是要寻找 课
合
时
作 关于弦AB的相交量．由于两圆方程已知，可先求A，B的坐标，再求 分
探
层
究
释 弦长，也可转化为直线AB与圆C1或圆C2的相交问题．
作 业
疑
难
返 首 页
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第二十二页，共五十页。
[解] 法一：两圆方程相减得4x＋3y－10＝0，此即为两圆相交
情 弦所在直线AB的方程．
课 堂
境
小
探 新
切．
( )素
知
养
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交． 课
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2.3.4 圆与圆的位置关系
1.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是(B)
(A)(1,121)(B)[1,121]
(C)(1,11)(D)[1,11]
解析:两圆的圆心分别为(0,0),(-3,4),半径分别为和6,它们有公共点,所以两圆相切或相交.
所以|-6|≤≤+6,
解得1≤m≤121.
2.若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则a,b应满足的关系式是(B)
(A)a2-2a-2b-3=0
(B)a2+2a+2b+5=0
(C)a2+2b2+2a+2b+1=0
(D)3a2+2b2+2a+2b+1=0
解析:由题意,得两圆的公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4的圆心(-1,-1).两圆的公共弦所在直线的方程为(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1=0,将(-1,-1)代入得a2+2a+2b+5=0.
3.在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有(B)
(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条
解析:满足要求的直线应为圆心为A,半径为1和圆心为B,半径为2的两圆的公切线.因为圆A与圆B相交,所以公切线有2条.
4.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.
解析:问题可转化为圆C的圆心到直线y=kx-2的距离不大于两圆的半径和.圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意,≤2.整理,得3k2-4k≤0,解得0≤k≤.故k的最大值为.
答案:
5.已知两圆相交于(1,3)和(m,1),两圆圆心都在直线x-y+=0上,则m+c的值为.
解析:两圆心连线过公共弦的中点,所以-+=0,所以m+c=3.
答案:3
6.若曲线x2+y2=5与曲线x2+y2-2mx+m2-20=0(m∈R)相交于A,B两点,且两曲线在A处的切线相互垂直,则m的值是.
解析:由题知
圆O1(0,0),O2(m,0),x2+y2-2mx+m2-20=0,
即(x-m)2+y2=20,
半径分别为,2,
根据两圆相交,可得圆心距大于两圆的半径之差而小于两圆的半径之和,即<|m|<3.
又因为O1A⊥O2A,
所以m2=()2+(2)2=25,
所以m=±5.
答案:±5
7.若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,且过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为(C)
(A)y2-2x+2y+8=0(B)y2+2x-2y+8=0
(C)y2+4x-4y+8=0(D)y2-4x+4y+8=0
解析:因为圆x2+y2=1的圆心关于直线y=x-1的对称点是(1,-1),由题知它是圆
x2+y2-ax+2y+1=0的圆心,所以a=2.设点P(x,y),则=|x|,即y2+4x-4y+8=0.
8.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|为(C)
(A)4(B)4
(C)8(D)8
解析:因为两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),
所以两圆圆心均在第一象限且横坐标、纵坐标相等.
设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),
则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,
整理得x2-10x+17=0,
所以a+b=10,ab=17.
所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
所以|C1C2|===8.
9.已知圆C与圆C1:x2+y2-2x=0相外切,并且与直线l:x+y=0相切于点P(3,-),求此圆C的方程.
解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径长为r.
因为C(a,b)在过点P且与l垂直的直线上,
所以=,①
又因为圆C与l相切于点P,
所以r=,②
因为圆C与圆C1相外切,
所以=+1,③
由①得a-b-4=0,
整理得b=a-4,④
将④代入③得=|2a-6|+1,
解得或
此时,r=2或r=6,
所以所求圆C的方程为
(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.。