初中数学八年级三角形重心向量2_1证明-三角形重心到三条边的距离
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 2．刘主任乘公共汽车从昆明到相距千米的晋宁区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了小时，设公共汽车的平均速度为千米时，则下面列出的方程中正确的是（ ）A.B.C. D.3．已知二次函数y ＝ax 2+bx 的图象经过点A （﹣1，1），则ab 有（ ）A.最小值0B.最大值1C.最大值2D.有最小值﹣4．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x ，则下列方程正确的是（ ）A ．27.49+27.49x 2＝38B ．27.49（1+2x ）＝38C ．38（1﹣x ）2＝27.49D ．27.49（1+x ）2＝385．某工厂接到加工 600 件衣服的订单，预计每天做 25 件，正好按时完成，后因客户要求提前 3 天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做件，依题意列方程正确的是( )A.B.C. D.6．64的立方根是（ ）A ．8B ．2C ．3D ．47．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图：①：以点B 为圆心，以小于BC 的长为半径画弧，分别交AB 、BC 于点E 、F ；②：分别以点E 、F 为圆心，以大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ； ③：作射线BG ，交AC 边于点D ，若4BC =，5AB =，则ABD S ∆=（ ）A ．3B ．103C ．6D ．2038．已知点A （a ，b ）是一次函数y=-x+4和反比例函数y=1x 的一个交点，则代数式a 2+b 2的值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．149．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A ．68°B ．58°C ．72°D ．56°10．在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为( )A ．4cmB ．43cmC ．8cmD ．83cm11．休闲广场的边缘是一个坡度为i ＝1：2.5的缓坡CD ，靠近广场边缘有一架秋千．秋千静止时，底端A 到地面的距离AB ＝0.5m ，B 到缓坡底端C 的距离BC ＝0.7m ．若秋千的长OA ＝2m ，则当秋千摆动到与静止位置成37°时，底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E 约为（ ）（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）A ．0.4mB ．0.5mC ．0.6mD ．0.7m12．如图菱形OABC 中，∠A ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕点O 顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.23πB.2332π-C.113122π-D.23π﹣1 二、填空题13．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．14．﹣19的倒数是_____． 15．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作12个大花瓶或10个小饰品，已知2个大花瓶与5个小饰品配成一套，则要安排_____名工人制作大花瓶，才能使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套．16．抛物线y ＝x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，则m 的值为_____．17．如图，⊙O 的直径AB=8，点C 在⊙O 上，∠CAB=22.5°，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，则弧CD 的长为______．18．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.三、解答题19．如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明；(3)求证：MD ＝ME ．20．如图，一次函数y ＝kx+3的图象分别交x 轴、y 轴于点B 、点C ，与反比例函数y x n =的图象在第四象限的相交于点P ，并且PA ⊥y 轴于点A ，已知A （0，﹣6），且S △CAP ＝18．（1）求上述一次函数与反比例函数的表达式； （2）设Q 是一次函数y ＝kx+3图象上的一点，且满足△OCQ 的面积是△BCO 面积的2倍，求出点Q 的坐标．21．如图,在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AE CF =，AED CFD ∠=∠，求证：（1）DE DF =；（2）四边形ABCD 是菱形.22．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程式是重要的数学成就。
三角形重心的推导及其应用
三角形重心的推导及其应用在新课标人教版八年级数学下册的四边形这一章节中提出了重心这一概念，但是并没有作出具体的阐述，为了让学生深入的了解重心的特征，适应教学的需要，我根据学生现有的知识面，对三角形的重心特征进行了适当的归纳，并进行了合理的运用，目的是希望学生能通过这一过程的学习从而能很好的掌握重心的特性，并能灵活运用。
概念：三角形的重心就是它的三条中线的交点。
性质1：三角形的重心到三角形的一个顶点及其对边的距离之比是2：1。
证明：已知△ABC中，CE、BD是AB、AC上的中线，BD与CE相交于O，BO与DO的长之间有何关系？解析：作BO中点M，CO中点N，连结ED、EM、DN、MN∵ED为△ABC 中位线，∴ED= BC且ED∥BC，又∵MN为△OBC中位线，∴MN= BC且MN ∥BC，∴ED与MN平行且相等，∴EMND为□，∴MD与EN互相平分，∴OM=OD，∴OD：OB=1：2。
性质运用例1 已知，如图，AD为△ABC中线，E为AD中点，F为BE延长线与AC的交点，求AF：FC的值。
解析：过C作CG∥AD交BA延长线于G，∵D为BC中点，∴AD为△BGC 中位线，∴A为BG中点，延长BF交GC于H，∵E为AD中点，∴H为CG 中点，∴CA与BH交点F为△BGC的重心，∴AF：FC=1：2。
例2 如图在△ABC中，∠BAC=90O，M为AC中点，AG⊥BM，且BG=2GM，①求证：BC=3AG。
②若AB=√6，求BM的长。
解析：①∵M为AC中点且BG=2GM，∴点G为△ABC的重心，延长AG 交BC于H，∵点G为重心，∴AG=2GH且H为BC的中点，设GH=x，则AG=2x，AH=3x，∵△ABC为直角三角形，∴AH=12BC ，∴BC=6x，∴BC=3AG。
性质2：三角形三条中线所分得的6个小三角形的面积相等，且每个小三角形的面积都为大三角形面积的16。
证明如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，求证：S1= S2= S3= S4= S5= S6解析：∵F为AB的中点，∴S1= S2D为BC的中点，∴S3= S4E为AC的中点，∴S5= S6又∵DF为△ABC的中位线，∴DF∥AC，∴S△AFD=S△CFD ∴S1= S4∴S1= S2= S3= S4，又∵AO：OD=2：1∴S△AOC：S△DOC=2：1即2S6：S4=2：1 ∴S6= S4∴S1= S2= S3= S4= S5= S6例3 如图，点E、F为正方形ABCD的两边AB、BC的中点，AF、CE相交于G点，若正方形ABCD的面积等于1，求四边形AGCD的面积。
三角形重心性质的有关推论及应用
三角形重心性质的有关推论及应用
三角形重心性质的推论以及应用如下：三角形的三条边的中线交于一点。
这个点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
性质二、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
性质三、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M 点为△ABC的重心，反之也成立。
性质四、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）。
按角分
1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。
2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。
3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。
重心的向量表达式
重心的向量公式及性质
一、重心的向量公式
重心的向量公式：(x1+x2+x3)(y1+y2+y3)。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量，它可以形象化地表示为带箭头的线段。
向量中箭头所指代表向量的方向，线段长度代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
二、重心向量的性质
三角形重心是三角形三条中线的交点。
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明
2020中考数学知识点：三角形的重心公式证明重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理来证明。
三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB 中点。
证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。
如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点其实考试中不会单独的出现关于三角形的重心问题，而是综合图形知识要领，这就需要大家准确的分析了。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．以下所给的数值中，为不等式﹣2x+3＜0的解集的是（ ）A.x ＜﹣2B.x ＞﹣1C.x ＜﹣32D.x ＞322．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x ，则下列方程正确的是（ ）A ．27.49+27.49x 2＝38B ．27.49（1+2x ）＝38C ．38（1﹣x ）2＝27.49D ．27.49（1+x ）2＝383．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列图形中是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）A ．线段B ．圆C ．平行四边形D ．角 5．已知|a|＝3，b 2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a ﹣b 的值为（ ）A ．1或7B ．1或﹣7C ．﹣1或﹣7D ．±1或±76．转动A 、B 两个盘当指针分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功。
八年级数学下册19.4课题学习重心三角形重心的解题思路分析素材新人教版
三角形重心的解题思路分析
[解题过程]
三条中线才具有性质：三条中线的交点（重心，一定在三角形内）把三条中线都分成2:1的两段.
三条高的交点（垂心）则不同，它可以在三角形内、可以在三角形的边上、也可以在三角形的外部，所以，不存在分高线为定比的情况.
证明：设△ABC中BE、CF是AC、AB边上的中线，连接E、F.
则EF∥BC并且EF=BC/2.
设BE∩CF=M，∵EF∥BC.∴△AEF∽△ABC △BMC∽△EMF并且BC:CF=2:1,因此CM:MF=BM:ME=2:1.
连接AM，与EF交于H,与BC交于D.根据平行截割定理得知△MHF∽△MDC，并且CD:HF=2:1.因此D是BC的中点，因而AD是边BC上的中线，并且经过点M.
所以三角形的三条中线交于一点M，并且此点分中线的比是2:1.
1。
三角形的重心定理
三角形的重心定理三角形是几何学中最基础且最重要的图形之一，它拥有许多有趣的性质和定理。
在本文中，我们将讨论三角形的一个重要定理——“三角形的重心定理”，并探究其相关性质和应用。
一、三角形的重心定理的表述三角形的重心定理是指：三角形的三条中线交于一点，该点即为三角形的重心。
那么，什么是三角形的中线呢？在三角形ABC中，通过三角形的任意一边和该边对面点的连线，可以将这条边等分为两段，这条连线就是这条边上的中线。
由此可知，三角形ABC有三条中线：AD、BE和CF。
根据三角形的重心定理，这三条中线交于一点G，即重心。
二、三角形重心的性质1. 重心到三角形各顶点的距离相等。
设G为三角形ABC的重心，连接AG、BG和CG。
由三角形的重心定理可知，G是三角形ABC的三条中线的交点。
由此，我们可以得出重心到三个顶点A、B和C的距离相等，即GA = GB = GC。
2. 重心所在的中线是其他两条中线长度的两倍。
由三角形的中线定义可知，AG = 2GD，BG = 2GE，CG = 2GF。
因此，三角形ABC的重心所在的中线，与其余两条中线的长度存在倍数关系。
3. 重心将中线分成1：2的比例。
三角形ABC的重心G将每条中线分成1：2的比例，即AG：GD = BG：GE = CG：GF = 1：2。
三、三角形重心的应用1. 计算三角形的重心坐标对于一个已知的三角形ABC，我们可以通过求出各顶点坐标的平均值来计算重心的坐标。
设A（x1, y1）、B（x2, y2）和C（x3, y3），则重心G的坐标可表示为G（(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3）。
2. 判断三角形类型通过计算三角形的重心坐标，我们可以进一步判断三角形的类型。
若重心与三个顶点的距离相等，则三角形为等边三角形；若重心到其中两个顶点的距离相等，则三角形为等腰三角形；若三个顶点到重心的距离不相等，则三角形为一般三角形。
3. 求解三角形面积在三角形的几何学中，可以使用三个顶点的坐标来计算三角形的面积，但这是一种复杂且繁琐的方法。
证明三角形重心判定定义
证明三角形重心判定定义三角形的重心是三角形三条边的中线的交点，三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。
下面小编给大家带来证明三角形重心判定定义，希望能帮助到大家!证明三角形重心判定定义1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。
推论：由性质1可知GA+GB+GC=0向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO=a+ xBF=a+ x(AF-AB)= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO=b+ yCD=b+y(AD-AC)= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.则1-x= y/2， x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.证明三角形重心判定定理中线定理，又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。
在△ABC中，AI为BC边上的中线。
求证：AB?+AC?=1/2(BC)?+2AI?以BC的中点I为原点，直线BC为x轴，射线IC方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。
设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(-a，0)，则C点坐标为(a，0)。
过A点做AD⊥x轴交x轴于点D，AE⊥y轴交y轴于点E，则D(m，0)，E(0，n)。
由勾股定理可得AO?=m?+n?,中线定理的证明中线定理的证明AB?=(a-m)?+n?=a?-2am+m?+n?,AC?=(a+m)?+n?=a?+2am+m?+n?.∴AB?+AC?=a?+2am+m?+n?+a?-2am+m?+n?=2a?+2m?+2n?=2a?+2(m?+n?)又∵AO?=m?+n?,∴AB?+AC?=2a?+2AO?又∵B(-a，0)，C(a，0),∴a=BC∴a?=BC?∴2a?=2·BC?=BC?∴AB?+AC?=BC?+2AO?=BC?+2AI?。
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三角形的中心，重心，内心，外心区别,性质
1、三角形的中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
2、三角形的重心：三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
重心分中线比为1：2。
3、三角形的内心：三条角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称。
到三边距离相等。
4、三角形的外心：三条中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称。
到三顶点距离相等。
扩展资料：
一、三角形的五心：三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
二、三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。
1、重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好。
2、外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点。
此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键。
3、垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清。
4、内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然。
五心性质别记混，做起题来真是好。
三角形重心性质定理
1．三角形重心性质定理
课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）
在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。
BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
（提示：作BO中点M，CO的中点N。
连接ED、EM、MN、ND）
分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。
这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。
证法1：（根据课本上的提示证明）
取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。
（如图1）
∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=AB
又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=AB
∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形
∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD
同理可证：CG=2GF，BG=2GE
点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。
证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。
∵G是BF的中点，D是BC的中点
∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD=FC
由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF
∴AG=FC，即GD=AG
点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。
证法3：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。
（证明过程略）
2.三角形重心性质定理的应用
⑴求线段长
例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt △ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE= cm。
解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12，
D是斜边AB的中点，∴CD=AB=6
G是Rt△ABC的重心，∴CG=CD=4
由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°
Rt△GCE中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE=CG=2（cm）
⑵求面积
例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。
解：∵O是△ABC的重心，
∴AO∶OD=2∶1
∴S△AOB∶S△BOD=2∶1 即S△AOB=2 S△BOD=10
∴S△ABD= S△AOB+ S△BOD=10+5=15
又AD是△ABC的中线
S△ABC=2 S△ABD=30。
练习：1.如图5，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。
2.如图6，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为。