八年级数学重心和四边形练习
八年级数学下册20微专题教材P154数学活动—中点四边形习题冀教版(2021年整理)
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微专题：教材P154数学活动——中点四边形1．（2017·秦皇岛青龙县期末)阅读下面材料：数学课上，老师让同学们解答课本中的习题：如图①，在四边形ABCD中,E,F,G，H分别是各边的中点，猜想四边形EFGH的形状并证明自己的猜想．小丽在思考问题时，有如下思路:连接AC。
结合小丽的思路作答：（1)若只改变图①中的四边形ABCD的形状（如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由;参考小丽思考问题方法，解决以下问题：(2）如图②，在（1）的条件下,若连接AC,BD。
①当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明．②当AC与BD满足什么关系时,四边形EFGH是正方形？直接写出结论．2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图①，四边形ABCD中,点E,F,G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，易知中点四边形EFGH是平行四边形;当四边形ABCD的对角线__________时，四边形EFGH是矩形;（2)如图②，点P是四边形ABCD内一点,且满足PA＝PB，PC＝PD,∠APB＝∠CPD，点E,F,G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3）若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状(不必证明）．参考答案与解析1．解：(1)四边形EFGH 还是平行四边形．理由如下：如图，连接AC .∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝错误!AC ,同理：GH ∥AC ，GH ＝错误!AC ，∴EF ∥GH ,EF ＝GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．①结论:当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，由(1)得四边形EFGH 是平行四边形．∵E ，F 是AB ,BC 的中点,∴EF ＝错误!AC ,同理：EH ＝错误!BD ，∵AC ＝BD ，∴EF＝EH ，∴平行四边形EFGH 是菱形．②结论：当AC ⊥BD 且AC ＝BD 时，四边形EFGH 是正方形．2。
人教版数学八年级下册第19章19．4课题学习 重心 课时同步训练
第十九章 四边形19．4课题学习 重心课前预习篇1．物理实验告诉我们，能使物体保持__平衡 __的支点就是该物体的重心．2．确定物质的重心的方法：（1）平衡法：（2）悬挂法：3．物体的重心与物体的形状有关，规则的图形重心就是它的几何中心．如;线段，平行四边形，三角形，正多边形，等等．线段重心是线段中点 ；．平行四边形的重心是对角线的交点 ；三角形的重心是三条中线的交点 ． 等边三角形重心是高或中线或角平分线交点；正多边形的重心是对称轴的交点 ．不规则的图形（物体）可以通过悬挂法 来确定它的重心．4．三角形的重心定理：三角形的重心到任意一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的 2 倍或三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一．如图：G 是△ABC的重心，则： ⎪⎩⎪⎨⎧====3:2:1::12AD AG GD GE CG GF BG GD AG典例剖析篇【例1】已知：△ABC 中，AB=AC ，A E ⊥BC 于点E ，AE 与中线BF 相交于点G ，AE=18 cm,GF=5cm,求BC 的长．【解析】本题要利用等腰三角形底边上的高也是底边上的中线的性质，从而确定点G 是三角形的重心．根据三角形的重心定理，则此题可解．解：因为在△ABC 中，AB=AC ，A E ⊥BC ，所以AE 是BC 边的中线．因为AE 与中线BF 相交于点G ，因为AE=18 cm,GF=5cm,所以根据重心定理可得：BG=2GF=10 cm ，GE= 13AE=6 cm ．因为A E ⊥BC ，BG=10 cm ，GE=6 cm ，222AB C E FG所以22106BE=-．因为AE是中线，E是BC的中点，所以BC=2BE=16 cm．基础夯实篇1．判下列说法错误的是（C）A．人体的重心有可能随着人体姿态的变化而改变B．经过平行四边形重心的直线把它分成面积相等的两部分C．规则形状的几何体的重心不一定是它的几何中心D．重心不一定在物体上2．（2010荆门）给出以下判断：(1)线段的中点是线段的重心(2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心(3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点(4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点那么以上判断中正确的有( D)(A)一个(B)两个(C)三个(D)四个3．小明和家在一次外出时，当地的人告诉他，要过独木桥，肩上挑一担重物再过去比空手过去安全，从重心的角度考虑，他们这样做是希望（ A ）A．重心低一点 B．重心高一点C．走得快一点 D．使重心落在桥上4．老翁有一块质地均匀的三角形金块，如何用最简单的方法把金块平均分给他的三个子女？（C）A．先找出三角形金块三边中垂线的交点，再以该点为中心，进行切割B．先找出三角形三个内角平分线的交点，再以该点为中心，进行切割C．先找出三角形三中线的交点，再以该点为中心，进行切割D．先找出三角形三边上的高的交点再以该点为中心，进行切割5．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法共有（D ）A．1种B．2种C．4种D．无数种6．在①线段②平行四边形③矩形④菱形⑤正方形⑥等边三角形⑦等腰梯形⑧等腰三角形中，绕它们的重心旋转180度后,所得的图形能与原图重合的有①②③④⑤．7．一个正方形的边长为a，则它的重心G到一个顶点的距离为22．8．已知G是正三角形ABC的重心，AG=3，则该三角形的边长是33．9．已知矩形ABCD中，AB＜BC，重心G到短边的距离为2，矩形的周长为20，则矩形的面积为24．决胜中考篇10．课堂上，老师拿出一根长为50 cm 的圆柱形木棒，要求同学们标出该木棒的重心，小明马上在该木棒的25cm 处标了出来，请问他找出的重心正确吗？答：小明的做法是不对的．如果木棒是质地均匀的，则木棒的重心就是它的几何中心，如果木棒的质地不均匀，则要用悬持法来确定木棒的几何中心．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，G为△ABC的重心，且GC=4，则△ABC的面积为多少？解：因为G为△ABC的重心，所以CD：GC=3：2，CD=BD=12 AB，因为GC=4，所以BD=CD=6，AB=12．因为∠ACB=90°，∠ABC=60°所以△BCD是等边三角形，所以BC=BD=6，∠BAC=30°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：22AC AB BC=-= 2212663-=所以△ABC的面积为12·AC·BC=18312．如图所示，有一块质地均匀的铁皮，请找出它的重心位置．解：如图，连接BE，根据图中数据可知，BE平分这块铁皮，从而只要再画出一条与BE相交肯平分这块铁皮的直线，它们的交点即为这块铁皮的重心．如图，点O就是所画的铁皮的重心．13．已知：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，G 是△ABC 的重心．（1）求点G 到直角顶点C 的距离GC ．（2）求点G 到斜边AB 的距离．（1）解：因为在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，所以根据勾股定理得：222AB AC BC =+ 所以AB= 22345+=．因为G 是△ABC 的重心，所以CD 是Rt △ABC 斜边的中线所以CD=12AB=2．5． 因为G 是△ABC 的重心，所以CD ：GC=3：2， 因为CD=2．5,所以GC= 53所以点G 到直角顶点C 的距离GC=53． （2）在Rt △ABC 中，因为AC=4，BC=3，AB=5，所以设AB 边上的高h ，SABC=12AC 12BC=12AB 12h ，所以SABC=6，h= 125． 因为D 是AB 的中点，所以S △ADC=12S △ABC ． 在△ADC 中，因为GD ：CD=1：3，所以S △AGD ：S △ADC=1：3，因为S △ADC=12S △ABC ，所以所以S △AGD ：S △ABC=1：6， 在△AGD 与△ABC 中，因为AD=12AB ，△ABC 中AB 边上的高h= 125，设△ADC 中，AD 边上的高为x,则x:h=1:6，所以x=25,所以点G 到斜边AB 的距离△ABC 中是25．。
八年级数学第十九章《四边形》单元卷-最新,经典试题,通用
良存中学八年级数学第十九章《四边形》单元卷09.5班级 姓名 座号 总分 一、选择题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）1、如图,□ABCD 中,∠C=108°,BE 平分∠ABC,则∠ABE 等于………………( ) A 、18° B、36° C、72° D、108°2、如图，平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线AE 交CD 于E ，AB=5，BC=3，则EC 的长…………………………………………………………………………………（ ） A 、1 B 、1.5 C 、2 D 、33、顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是………………………（ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形4、正方形具有而菱形不一定具有的性质是………………………………………（ ） （A ）四条边相等 （B ）对角线互相垂直平分 （C ）对角线平分一组对角 （D ）对角线相等5、如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是………………………………………………………………（ ）A 、3：4B 、5：8C 、9：16D 、1：26、下列命题中，真命题是……………………………………………………………（ ） A 、有两边相等的平行四边形是菱形 B 、有一个角是直角的四边形是直角梯形 C 、四个角相等的菱形是正方形 D 、两条对角线相等的四边形是矩形7、如图10，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD 度数比可能为）A 、3:4:5:6B 、4:5:4:5C 、2:3:3:2D 、2:4:3:3 8、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 、BF相交于点O,下列结论①AE=BF ;②AE ⊥BF;③AO=OE;④S △AOB =S 四边形DEOF 中，错误的有………………………………………………………………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个C 第5题图E D C B A 第2题图 A BC DE 第8题图第1题图二、填空题（本大题7个小题，每小题4分，共28分）9、如图，□ABCD 中，AE ⊥CD 于E ，∠B=55°，则∠DAE= °.10、如图，△ABC 、△ACE 、△ECD 都是等边三角形，则图中的平行四边形 有 个。
苏科版八年级数学下册第九章《中心对称图形——平行四边形》单元测试卷(解析版)
第9章《中心对称图形——平行四边形》单元测试卷一．选择题（共12小题）1．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（）A．5B．6C．7D．82．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34B．26C．8.5D．6.53．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm4．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC 等于（）A．1B．2C．3D．45．在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BCC．AB∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD∥BC6．如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为18，则PD+PE+PF＝（）A．18B．9C．6D．条件不够，不能确定7．下面的图形中必须由“基本图形”既平移又旋转而形成的图形是（）A．B．C．D．8．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°9．下列图形中，绕着它的中心点旋转60°后，可以和原图形重合的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形10．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；②直线BD必经过点O；③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；④△AOE与△COF成中心对称．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．411．观察如图的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为．14．如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD＝10，BO＝8，则AO的长为．15．如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC＝6，BD＝10，AB＝4，则▱ABCD 面积等于．16．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出个平行四边形．17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了．18．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是．19．正方形至少旋转度才能与自身重合．20．如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE＝3，则折痕AE的长为．三．解答题（共8小题）21．证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）22．如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点．（1）求证：AD与EF互相平分．（2）若∠BAC＝90°，试说明四边形AEDF的形状，并简要说明理由．23．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2，求证：（1）BE＝DF；（2）AF∥CE．24．如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．25．将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N 点，（1）如果把图A中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图B，求证：△CMF≌△CMN：（2）将△CED绕点C旋转：①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图C）时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．26．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．27．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；（2）在（1）中的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②写出点B′的坐标为．答案与解析一．选择题（共12小题）1．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（）A．5B．6C．7D．8【分析】先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC＝90°．∵E是AC的中点，DE＝5，∴AC＝2DE＝10．∵AD＝6，∴CD＝＝＝8．故选：D．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．2．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34B．26C．8.5D．6.5【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝13，所以，斜边上的中线长＝×13＝6.5．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．3．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm【分析】根据三角形中位线定理可以求得三条边的长度，然后由三角形的周长公式可知原三角形的周长．【解答】解：∵三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，∴原三角形的三条边长分别为2cm×2＝4cm，3cm×2＝6cm，4cm×2＝8cm，∴原三角形的周长为：4cm+6cm+8cm＝18cm；故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．4．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC 等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的值．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA∵AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠BEA∴BE＝AB＝3∵BC＝AD＝5∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．5．在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BCC．AB∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD∥BC【分析】根据平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析即可．【解答】解：A、AB＝CD，AD＝BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；B、AD＝CB，AB∥DC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项符合题意；C、AB＝CD，AB∥CD能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、AB∥CD，AD∥BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．6．如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为18，则PD+PE+PF＝（）A．18B．9C．6D．条件不够，不能确定【分析】因为要求证明PD+PE+PF的值，而PD、PE、PF并不在同一直线上，构造平行四边形，求出等于AB，根据三角形的周长求出AB即可．【解答】解：延长EP交AB于点G，延长DP交AC与点H，∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形，∴PD＝BG，PH＝AF．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPE也是等边三角形，∴PE＝PH＝AF，PF＝GF，∴PE+PD+PF＝AF+BG+FG＝AB＝＝6，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．7．下面的图形中必须由“基本图形”既平移又旋转而形成的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据平移和旋转的概念，结合选项中图形的性质进行分析，排除错误答案．【解答】解：A、只要平移即可得到，故错误；B、只能旋转就可得到，故错误；C、只有两个基本图形旋转得到，故错误；D、既要平移，又要旋转后才能得到，故正确．故选：D．【点评】解决本题要熟练运用平移和旋转的概念．①图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线段的垂直平分线的交点是旋转中心．8．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．9．下列图形中，绕着它的中心点旋转60°后，可以和原图形重合的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】求出各图的中心角，度数为60°的即为正确答案．【解答】解：选项中的几个图形都是旋转对称图形，A、正三角形的旋转最小角是＝120°，故此选项错误；B、正方形的旋转最小角是＝90°，故此选项错误；C、正五边形的旋转最小角是＝72°，故此选项错误；D、正六边形旋转的最小角度是＝60°，故此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法．考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．10．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；②直线BD必经过点O；③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；④△AOE与△COF成中心对称．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB＝CD、AD＝BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，据此对各结论进行判断．【解答】解：△ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形，即点O就是▱ABCD的对称中心，则有：（1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点，正确；（2）直线BD必经过点O，正确；（3）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；其中正确的个数为4个，故选：D．【点评】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键．解题时注意：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．11．观察如图的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．则既是轴对称图形又是中心对称图形的有3个．故选：C．【点评】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．12．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质，△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，点A与点D、B与E 关于点O成中心对称解答．【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，∴作图正确是C选项图形．故选：C．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟记旋转的性质，判断出对应点关于点O对称是解题的关键．二．填空题（共8小题）13．若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为 2.5．【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线求出CD＝AB即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，∵CD是△ABC中线，∴CD＝AB＝×5＝2.5，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出CD＝AB是解此题的关键．14．如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD＝10，BO＝8，则AO的长为12．【分析】先根据勾股定理得到OD的长，再根据重心的性质即可得到AO的长．【解答】解：∵BE⊥AD，BD＝10，BO＝8，∴OD＝＝6，∵AC、BC上的中线交于点O，∴AO＝2OD＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及重心的性质，根据已知得出各边之间的关系进而求出是解题关键．15．如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC＝6，BD＝10，AB＝4，则▱ABCD 面积等于24．【分析】由▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC＝6，BD＝10，AB＝4，易求得OA与OB的长，又由勾股定理的逆定理，证得AC⊥AB，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝6，BD＝10，AB＝4，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝5，∴OA2+AB2＝OB2，∴△OAB是直角三角形，且∠BAO＝90°，即AC⊥AB，∴▱ABCD面积为：AB•AC＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出15个平行四边形．【分析】根据全等三角形的性质及平行四边形的判定，可找出现15个平行四边形．【解答】解：两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形．故答案为：15．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况和读图能力，注意找图过程中，要做到不重不漏．17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了120°．【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可．【解答】解：根据题意得，×360°＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．18．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是3．【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD＝CG以及∠FCD＝∠ECG，由旋转的性质可得出EC＝FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF＝GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝6，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG＝DF＝CD＝BC＝3．故答案为3．【点评】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF＝GE．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．19．正方形至少旋转90度才能与自身重合．【分析】正方形可以被其对角线平分成4个全等的部分，则旋转的角度即可确定．【解答】解：正方形可以被其对角线平分成4个全等的部分，则旋转至少360÷4＝90度，能够与本身重合．故答案为：90．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．注意基础概念的熟练掌握．20．如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE＝3，则折痕AE的长为6．【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE＝EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE＝30°，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE 的长．【解答】解：由题意得：AB＝AO＝CO，即AC＝2AB，且OE垂直平分AC，∴AE＝CE，设AB＝AO＝OC＝x，则有AC＝2x，∠ACB＝30°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC＝x，在Rt△OEC中，∠OCE＝30°，∴OE＝EC，即BE＝EC，∵BE＝3，∴OE＝3，EC＝6，则AE＝6，故答案为：6【点评】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．三．解答题（共8小题）21．证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）【分析】作出图形，然后写出已知，求证，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等可得CD＝AB．【解答】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD＝AB；证明：如图，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE，∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝BD，∴四边形AEBC是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形AEBC是矩形，∴AD＝BD＝CD＝DE，∴CD＝AB．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明，作辅助线，构造出矩形是解题的关键．22．如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点．（1）求证：AD与EF互相平分．（2）若∠BAC＝90°，试说明四边形AEDF的形状，并简要说明理由．【分析】（1）如图，连接DE、DF．欲证明AD与EF互相平分，只需证得四边形AEDF 是平行四边形即可；（2）由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得四边形ADEF为矩形．【解答】（1）证明：如图，连接DE、DF．∵D、F分别是BC，AC的中点，∴DF∥AB，同理，DE∥AC∴四边形AEDF是平行四边形．∴AD与EF互相平分；（2）由（1）得四边形AEDF为平行四边形．∵∠BAC＝90°∴四边形ADEF为矩形．【点评】本题考查的知识比较全面，需要用到三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，以及矩形的判定等．23．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2，求证：（1）BE＝DF；（2）AF∥CE．【分析】（1）由平行四边形的性质可证得△ABE≌△CDF，则可证得BE＝DF；（2）由（1）可求得AE＝CF，则可证得四边形AECF为平行四边形，可证得AF∥CE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF∥CE．【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．24．如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】由SAS证得△ADE≌△CBF，得出AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，证得AD∥BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．25．将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N 点，（1）如果把图A中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图B，求证：△CMF≌△CMN：（2）将△CED绕点C旋转：①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图C）时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质可得CF＝CN，∠ACF＝∠BCN，再求出∠ACM+∠BCN ＝45°，从而求出∠MCF＝45°，然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等即可；（2）①根据全等三角形对应边相等可得FM＝MN，再根据旋转的性质可得AF＝BN，∠CAF＝∠B＝45°，从而求出∠BAF＝90°，再利用勾股定理列式即可得解；②把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，根据旋转的性质可得AF＝BN，CF＝CN，∠BCN＝∠ACF，再求出∠MCF＝∠MCN，然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得MF＝MN，然后利用勾股定理列式即可得解．【解答】解：（1）∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，∴CF＝CN，∠ACF＝∠BCN，∵∠DCE＝45°，∴∠ACM+∠BCN＝45°，∴∠ACM+∠ACF＝45°，即∠MCF＝45°，∴∠MCF＝∠MCN，在△CMF和△CMN中，，∴△CMF≌△CMN（SAS）；（2）①∵△CMF≌△CMN，∴FM＝MN，又∵∠CAF＝∠B＝45°，∴∠FAM＝∠CAF+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴AM2+AF2＝FM2，∴AM2+BN2＝MN2；②如图，把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，则AF＝BN，CF＝CN，∠BCN＝∠ACF，∵∠MCF＝∠ACB﹣∠MCB﹣∠ACF＝90°﹣（45°﹣∠BCN）﹣∠ACF＝45°+∠BCN ﹣∠ACF＝45°，∴∠MCF＝∠MCN，在△CMF和△CMN中，，∴△CMF≌△CMN（SAS），∴FM＝MN，∵∠ABC＝45°，∴∠CAF＝∠CBN＝135°，又∵∠BAC＝45°，∴∠FAM＝∠CAF﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，∴AM2+AF2＝FM2，∴AM2+BN2＝MN2．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，此类题目根据相同的思路确定出全等的三角形，然后找出条件是解题的关键．26．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．【分析】（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可．（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可．【解答】解：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），∴对称中心的坐标是（0，2.5）．（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2＝2，∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），∵A1D1＝2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1），∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．【点评】（1）此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（2）此题还考查了坐标与图形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．27．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；（2）根据三角形的三边关系求解即可．【解答】解：（1）所画图形如下所示：△ADE就是所作的图形．（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，则CD＝DE，AE＝BC，∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC，∴2＜2CD＜10，解得：1＜CD＜5．【点评】本题考查中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中，解答第（2）问的关键是通过△ADE≌△BDC，将2CD放在△ACE中求解．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；（2）在（1）中的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②写出点B′的坐标为（﹣1，3）．【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，∴点A经过的路径的长为＝，故答案为：；②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及弧长公式．。
初二数学重心练习题
初二数学重心练习题在初二数学学习中，重心是一个重要的概念。
它在几何图形的研究中有着广泛的应用。
为了帮助同学们更好地理解和掌握重心的概念，下面将提供一些重心练习题以供同学们练习。
练习1：求三角形的重心已知三角形ABC，顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，求三角形ABC的重心坐标。
解答：三角形的重心坐标可以通过顶点坐标求得。
重心的横坐标是三个顶点的横坐标之和的平均数，纵坐标是三个顶点的纵坐标之和的平均数。
重心的横坐标 x = (x1 + x2 + x3)/3重心的纵坐标 y = (y1 + y2 + y3)/3练习2：求矩形的重心已知矩形ABCD，其中A、B、C、D分别是相邻顶点的坐标，求矩形ABCD的重心坐标。
解答：矩形的重心坐标即为对角线的交点坐标的平均数。
重心的横坐标 x = (x1 + x3)/2重心的纵坐标 y = (y2 + y4)/2练习3：求正三角形的重心已知正三角形ABC，顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，求正三角形ABC的重心坐标。
解答：正三角形的重心坐标可以通过顶点坐标求得。
正三角形的重心即为垂直中线的交点坐标。
重心的横坐标 x = (x1 + x2 + x3)/3重心的纵坐标 y = (y1 + y2 + y3)/3练习4：求梯形的重心已知梯形ABCD，其中A、B、C、D分别是相邻顶点的坐标，求梯形ABCD的重心坐标。
解答：梯形的重心坐标可以通过各边中点坐标求得。
梯形的重心即为中点连线的交点坐标。
重心的横坐标 x = (x1 + x2 + x3 + x4)/4重心的纵坐标 y = (y1 + y2 + y3 + y4)/4通过以上练习题，我们可以更好地理解重心的概念，并掌握求解重心的方法。
希望同学们能在数学学习中取得优秀的成绩！。
八级数学《重心》练习题(含答案)
课题学习重心◆回顾归纳1．线段的重心是_______．2．平行四边形的重心是______，正方形，矩形，菱形的重心是_______．3．三角形的重心是_____，等腰三角形的重心位置在_____，等边三角形的重心位置在___________________．◆课堂测控测试点重心位置的确定1．寻找任意多边形的重心方法，•我们通常是在这个多边形的每个顶点处钉一个小钉，用下端系有重物的细线缠绕在一个小钉上，吊起这个硬纸板，•记下铅垂线的痕迹，重复地实验操作，这些痕迹的交点，•就是这个多边形的重心，•实质上，•只须操作_______次就可以确定重心的位置．2．如图1所示，正方形ABCD的重心是O，则OA，OB，OC，•OD•之间的长度关系是_______．图1 图2 图3 图43．如图2所示，ABCD的重心是O，则点O到AD•边的距离与点O•到BC•边的距离______．4．如图3所示，菱形ABCD的重心是O，则A，O，C三点______，B，O，D•三点_____且OA_____OC，OB_____OD．5．（体验探究题）如图4所示，有一块质地均匀的方角形钢板，请你通过作图找出这块钢板的重心．（不写作法，保留作图痕迹，在图中标出重心O点）◆课后测控1．矩形的重心是_____交点．2．如图5所示，在矩形ABCD中，E是AD上任一点，连结CE，F是CE的中点，•若△BFC 的面积为6cm2，则矩形ABCD的面积为______．图5 图6 图7 图83．如图6所示，已知任意直线L把ABCD分成两部分，•要使这两部分的面积相等，直线L所在位置需满足的条件是_______．（只需填上一个你认为合适的条件）4．如图7所示，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠A=∠B=90°，•则可以将五边形ABCDE•分成面积相等的两部分的直线有_____•条，••满足条件的直线可以这样确定：______．5．如图8所示，矩形ABCD的重心是O，则图中共有______对全等三角形．6．下列说法错误的是（）A．线段的重心在线段的中垂线上 B．菱形的重心是菱形一条对角线的交点 C．矩形的重心是矩形两条对称轴的交点 D．正方形的重心是正方形内任一点7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，G是△ABC的重心，过G点作GD⊥AB，•GE•⊥AC，垂足为D，E．（1）猜想：GD_______GE；（2）试对上面的猜想加以证明．8．在一次数学探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD•分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有_____组；（2）请在下图的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？◆拓展创新9．探究下列问题：（1）在图（1）给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线，竖直方向的直线，与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；（2）一条竖直方向的直线m以及任意的直线n，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S1和S2．①请你在图（2）中相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系（用“<”、“＝”或“>”连接）；②请你在图（3）中分别画出反映S1与S2三种大小关系的直线n，并在相应图形下方的横线上分别填写S1与S2的数量关系式（用“<”、“＝”或“>”连接）．（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图（4）分割成面积相等的两部分，请简略说出理由．答案:回顾归纳1．线段的中点2．对角线的交点，对角线的交点3．三条中线的交点，底边的高线上，每条边的高的交点课堂测控1．两 2．OA=OB=OC=OD3．相等4．在一条直线上，在一条直线上，=，=5．如图．课后测控1．对角线 2．24cm2 3．过AC与BD的交点4．无数，设该直线与边DE，AB的交点分别为P，Q，线段PQ的中点为O，则经过点O•与边DE，AB相交的任意一条直线均可将该五边形的面积均分5．4 6．D7．（1）D=C（2）连结AG并延长交BC于D．∵G是△ABC的重心，∴AD是△ABC的中线，∵AB=AC，∴AD平分∠BAC．又∵GD⊥AB，GE⊥AC，∴GD=GE．8．（1）无数（2）只要两条直线都过对角线的交点即可．（3）这两条直线过平行四边形的重心（或过对角线的交点）．拓展创新9．（1）（2）①S1<S2 S1=S2 S1>S2②S1<S2 S1=S2 S1>S2（3）存在．对于任意一条直线L，在直线L从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线L分割后，直线L两侧图形的面积分别为S1，S2．两侧图形的面积由S1<S2（或S1>S2）的情形，逐渐变为S1>S2（或S1<S2）的情形，在这个平移过程中，一定会存在S1=S2的时刻．因此，一定存在一条直线，将一个任意的平面图形分割成面积相等的两部分．。
人教版-数学-八年级下册第十八章 课题学习 重心 课堂练习
第12课时 课题学习重心 课堂练习一、填空题1、线段的重心是_______ ， 三角形的重心是 _______，平行四边形的重心是_______ 。
2、正方形的重心是O ，则OA 、OB 、OC 、OD 的长度关系是_______。
3、平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长长8cm ，则AB 、•BC 的长是_______。
4、矩形两条对角线的夹角为60°，较短的边长3.6cm ，则对角线长为_______。
5、菱形ABCD 的对角线AC 、BD•相交于O ，•∠ABC=•120•°，•如果AB=•26cm ，•则DO=_____cm 。
二、选择题6、下列说法错误的是（ ）A.三条垂线的交点也是等边三角形的重心B.菱形的重心是菱形一条对角线的中点C.矩形的重心是矩形两条对称轴的交点D.一个多边形可以有两个重心7、如图，若AD 将∆ABC 分成面积相等的两部分，则∆ABC 的重心在（ ） A ．∆ABD 内 B ．∆ADC 内 C ．线段AD 上 D ． AD 的中点处CB8、如图，在梯形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,则点O ( )A ．是梯形的重心B ．不是梯形的重心C ．可能是也可能不是梯形的重心D ．无法判断9、任意一个图形的重心在 （ ）A ．图形内B ．图形外C ．图形的边上D ．以上都有可能三、解答题10、找一块形状不规则的木板，找出其重心，简述寻找其重心的过程。
11、如图，点O 是Rt ∆ABC 的重心，求证：CD=AD=DB 。
B C D12、如图，在∆ABC 中，AB=AC,G 是∆ABC 的重心，过点G 作GD ⊥AB,GE ⊥AC,垂足分别为D 、E,写出GD与GE 的大小关系，并证明。
B C。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)中点四边形专项训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形中点四边形训练一、选择题1.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形2.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法:①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.下列四边形中，顺次连接各边中点所得的四边形是矩形的是（）.A. 等腰梯形B. 矩形C. 平行四边形D. 菱形或对角线互相垂直的四边形4.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，则应添加的条件是（ ）A. AB//DCB. AD=BCC. AC⊥BDD. AC=BD5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为（ ）A. 14B. 12C. 24D. 486.如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．(下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=12 BC−AD)，⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题7.如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD交于点O，若四边形ABCD面积为10cm2，则四边形EFGH的面积为______cm2．8.如图，在四边形ABCD中，AB≠CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．9.如图，已知矩形ABCD的对角线长为10cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于______cm．10.如图，D是△ABC内一点，AD=7，BC=5，若E、F、C、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是______．11.如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，EF=2EH，则AB与EH的数量关系是AB=______EH．12.如图，在四边形ABCD中，AC=16，BD=12，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2，…，按此规律进行下去，则四边形A6B6C6D6的周长是______．三、解答题13.如图，E、F、G、H为四边形ABCD各边的中点，对角线AC=BD.求证：四边形EFGH为菱形.14.D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC平面上的一动点，连接OB、OC，G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，点O所在位置应满足什么条件？（直接写出答案，不需说明理由．）15.如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．16.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、:H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH?请证明你的结论.17.已知：如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，判断EG与FH的数量关系并加以证明．18.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，顺次连接E、G、F、H．(1)求证：四边形EGFH是菱形；(2)当∠ABC与∠DCB满足什么关系时，四边形EGFH为正方形，并说明理由；(3)猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三个角之间的关系．(直接写出结果)参考答案1.C2.A3.D4.D5.B6.C7.58.AD =BC9.2010.1211.512.513.证明：∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF =12AC ，EF ∥AC ，同理，GH =12AC ，GH ∥AC ，FG =12BD ，∴EF =GH ，EF ∥GH ，∴四边形EFGH 为平行四边形，∴EF =FG ，∴四边形EFGH 为菱形．14.（1）证明：∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．∴DE ∥BC ，DE =12BC ．同理，GF ∥BC ，GF =12BC ．∴DE ∥GF ，DE =GF ．∴四边形DEFG 是平行四边形．（2）解：解法一：点O 的位置满足两个要求：AO =BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上．∵由（1）得出四边形DEFG 是平行四边形，∴点O 的位置满足两个要求：AO =BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上时，可得GD =12AO ，GE =12BC ，∴DG =GE ，∴平行四边形DEFG 是菱形；解法二：点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括射线CD 、射线BE 与⊙A的交点．解法三：过点A 作BC 的平行线l ，点O 在以A 为圆心，BC 为半径的一个圆上，但不包括l 与⊙A 的两个交点．15.（1）证明：∵D 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴DG ∥BC ，DG =12BC ，同理，EF ∥BC ，EF =12BC ，∴DG ∥EF ，DG =EF ，∴四边形DEFG 是平行四边形；（2）解：∵∠OBC 和∠OCB 互余，∴∠BOC =90°，又M 为EF 的中点，∴EF =2OM =4，16.解：AB =CD ，理由：如图，连接GE 、GF 、HF 、EH ，∵E 、G 分别是AD 、BD 的中点，∴EG ＝12AB ，同理HF ＝12AB ，FG ＝12CD ，EH ＝12CD ，又∵AB =CD ，∴EG =GF =FH =EH ，∴四边形EFGH 是菱形，∴EF ⊥GH .17.解：EG =FH ，理由如下：连接EF 、FG 、GH 、HF ，∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF =12AC ，EF ∥AC ，∵G 、H 分别为CD 、DA 的中点，∴HG =12AC ，HG ∥AC ，∴EF =HG ，EF ∥HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵EF ∥AC ，AC ⊥BD ，∴EF ⊥BD ，∵F 、G 分别为BC 、CD 的中点，∴FG ∥BD ，∴EF ⊥FG ，∴平行四边形EFGH 为矩形，∴EG =FH ．18.解：（1）∵E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，∴EG =12AB ，EH =12CD ，HF =12AB ，EG ∥AB ，HF ∥AB ，∴四边形EGFH 是平行四边形，EG =EH ，∴四边形EGFH 是菱形；（2）当∠ABC +∠DCB =90°时，四边形EGFH 为正方形，理由：∵GF ∥CD ，HF ∥AB ，∴∠ABC =∠HFC ，∠DCB =∠GFB ，∵∠ABC +∠DCB =90°，∴∠GFH =90°，∴菱形EGFH 是正方形；（3）当∠ABC +∠DCB ＜180°时，∠GFH +∠ABC +∠DCB =180°，理由：∵GF ∥CD ，HF ∥AB ，∴∠ABC =∠HFC ，∠DCB =∠GFB ，∵∠BFG +∠GFH +∠HFC =180°，∴∠GFH +∠ABC +∠DCB =180°．当∠ABC +∠DCB =180°时，∠GFH =0°，四边形EGFH 不存在，∠GFH +∠ABC +∠DCB =180°，当∠ABC +∠DCB ＞180°时，∠GFH +∠ABC -∠DCB =180°．。
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八年级数学重心和四边形练习
一、实记知识
线段的重心是
平行四边形的重心是 三角形的重心是
三角形重心的性质 。
二、三角形重心性质的应用
1、如图：G 为△ABC 的重心，连接CG 交AB 于点E ，连接BG 交AC 于点D ，若BD ⊥CE ，且BD=4，CE=6，则△ABC 的面积为
2、如图：点E,F 分别为□ABCD 的AB,BC 边上的中点，DE,DF 分别交AC 于点G ，
H 。
求证：AG=GH=HC
3、在直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 和顶点C 的坐标分别是（0,6）和（0,2），则菱形ABCD 的重心的坐标是 。
4、下列图形的重心不是它的对角线交点的是（ ）
A 、正方形
B 、矩形
C 、菱形
D 、等腰梯形
三、利用旋转变换来解题
1、如图：点M,N 分别在正方形ABCD 的边BC,CD 上。
已知△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半，试求∠MAN 的大小。
2、如图：点E,F 分别是正方形ABCD 边AB,BC 的中点，AF,CE 交于点G ，若正方形ABCD 的面积为1，那么四边形AGCD 的面积等于
A B
C D E
G
A
B
C
D E
F
G
H
O
A
B
C
D
M
N
M ′
A
B
C D
E
F
G
四、四边形复习习题 1、如图，已知的周长为60 cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长长8cm ，求这个四边形各边长 。
2、如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于（ ）．
（A ）3：2 （B ）3：3 （C ）1：2 （D ）3：1
3、四边形ABCD 是
正方形，延长BC 至点E ，使CE=CA ，连结AE 交CD•于点F ，•则∠AFC 的度数是（ ）．
（A ）150° （B ）125° （C ）135° （D ）112．5°
4、在梯形ABCD 中，DC ‖AB,∠A+∠B=90°，若AB=10，AD=4，DC=5，则梯形ABCD 的面积是
5、如图：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD,点E,F 为BC 上的两个三等分点， 且AD=EF.求证：四边形AEFD 为矩形。
6、如图：菱形ABCD 的边长为2，BD=2，点E,F 分别是边AD,CD 上的两个动点且 满足AE+CF=2.
(1)求证：△BDE ≌△BCF (2)判断△BEF 的形状并说明理由。
A
B C D A B C D
E F A B
C D E
F。