线性代数-专升本--练习题(含答案)

线性代数试卷A 答案(专升本)
一、判断题
1.设X 是方阵A 的一个非零特征值对应的特征向量，则X 是A 的列向量的线性组合。

( √ )
2.设a i ,b i ,c i ,分别为n 阶方阵A,B,(A+B)的特征值，则有等式∑a i n i=1=∑b i n i=1=∑c i n
i=1。

(√)
3.若方阵A 的特征值全为零，则A 为零矩阵。

(×)
4.若A 是一个实对称阵，方程组AX=0有非零解，则A 不是正定矩阵。

( √ )
5.若n 阶方阵的行、列向量组不等价，则|A|=0。

(√)
6.若齐次线性方程组中方程的个数大于未知量的个数，则该方程只有零解。

(×)
7.相似的矩阵有相同的特征值，从而有相同的特征向量。

(×)
8.设A 为正交阵，若λ是A 的特征值，则λ-1也是A 的特征值。

( √ )
9.设A,B 是n 阶方阵，若AB+B=I ，则BA+B=I 。

(√) 10.若向量X 1,X 2,X 3线性无关，则X 1+X 2+X 3≠0 。

( √) 11.设r(A)=r ，则A 至少有一个r -1阶子式不为零。

(√ ) 12.若α1, α2,…,αm 线性无关，则α1+2α2+3α3+…+m αm ≠0 。

( √) 13.可逆的上三角阵的逆矩阵仍是上三角阵.(√ ) 14.若α=(α1, α2，…，αn )T ≠0，则ααT 的秩必为1。

(√) 15.设A,B,C 为n 阶方阵，若ABC=I ，则C=B -1A -1。

( √)
16.设A 为m×n 矩阵，r(A)=m ，则非齐次线性方程组AX=b 一定有解。

( √) 17.若A,B 为n 阶正定阵，则A -1+B -1也为正定阵。

( √) 18.若A 的特征值为1或0，则A= A 。

(×)
19.若n 阶方阵A 中每列元素之和为0，则|A|=0。

(√ ) 20.若A 可逆，则(A *)-1=(A -1)*，其中A *是A 的伴随矩阵。

(√)
二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分）
1. |21413−12112325062
|= 0
2. 设A=(121
252123)，则 |(A/2)-1-3A *|= -32 。

3. 设A=(12−110a 0−45 1
0−2), r(A)=2,则a = 3/2 。

4. 设A 为n 阶方阵，A 2+3A-I=0，则(A-I)-1= -(A+4I)/3。

5.若二次型f (x 1,x 2,x 3)=x 12+2x 22+(1−a)x 32
+2tx 1x 2+2x 1x 3正定，则a 满足 -1<a <0 。

6. |4−35
2
−7652−1
|= 79 7. 设n 阶方阵A 的各行元素之和为零，且r(A)=n-1,则齐次线性方程组AX=0的通解为k (1,1…,1)T 。

8.设矩阵A,B 为3阶方阵，且 AB+I=A 2
+B ，若A= (10
102
0−10
1)，则B=(20b 030−102
)，其中b = 1 。

9.设3阶方阵A 的伴随阵为A *，且|A|=1/2，则 |(3A)-1-2A*|= -16/27 。

10.设矩阵A= (1−1124−2−3−3a )， B=(200
02000b )相似，则a= 5，b= 6 。

三、1、解矩阵方程(12023−1−12−2)X =(21
−1031)
解：设A =(12023−1−12−2)，则|A|=|120
23−1−12−2
|=6
A 11= -4，A 21=4，A 31= -2；A 12=5，A 22= -2，A 32=1；A 13=7，A 23= -4，A 33= -1，
A -1=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----14712524461(12
023
−1−12−2)X =(21
−1031
) X=A -1B== 2、设A= (
12−3−201 2 −300 1 200 0 1), B=(1201
012000120001),且(2I −B −1A )C T =B −1,求C 。

解：由(2I −B −1A )C T =B −1，有(2B −A )C T =I , C (2B −A )T =I , C =((2B −A )T )−1
2B-A=(1234
1230012
001),故有 C=(1000
−210
01−210 0 1−21
)
四、（1）设α1, α2，…，αm 是齐次线性方程组Ax =0的基础解系，β是非齐次线性方程组Ax = b(b≠0)的一个特解，证明向量组α1, α2，…，αm ,β线性无关。

证：令k 1α1+k 2α2+…+k m αm +k m+1β=0,
两边乘A 即得k m+1Aβ=0，
k m+1b=0，→k m+1=0，又由α1, α2，…,αm 线性无关，
k 1= k 2=…=k m =0, 即得α1, α2，…, αm , β线性无关。

（2）设α1=(1,4,0,2)T , α2 =(2,7,1,3)T , α3=(0,1,-1,a)T ，β=(3,10,b,4)T , 1.a, b 为何值时，β不能由α1,α2,α3线性表示; 2.a,b 为何值时，β可由α1,α2,α3惟一线性表示;
3.a, b 为何值时，β可由α1,α2,α3线性表示,但表示方法不惟一，并求表示式。

⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----14712524461⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130112⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--25252621615615
61861
五、（1）求线性方程组{
x1+x2+x3+x4=0
x2+2x3+2x4=1
x1+2x2+3x3+3x4=1
的通解。

（要求用它的一个特解和导出组的基础解系
表示）
（2）已知线性方程组{x 1 +x 2 +x 3 +x 4=1 x 2 −x 3 +2x 4=1
2x 1+3x 2+(a +2)x 3 +4x 4=b +33x 1+5x 2 +x 3+(a +8)x 4=5
a,b 为何值时，有无穷多解，并求之。

解： B=(
1111
101−12123a +24b +33
51
a +8
5)~(11
11101−12101a 2b +10
2
−2a +52)~(
11
111
1−12100a +10b 0
0a +1
) 当a= -1,b=0时,方程组有无穷多组解。

此时B~(
111110
1−121000000
0000)~(102−1001−121
0000000000
)
同解方程组为{x 1=−2x 3+x 4x 2= x 3−2x 4+1x 3= x 3x 4= x 4，通解(x 1x 2x 3x 4)=k 1(−2110)+k 2(1−2
1)+(0100
)
方程组的通解为x=k 1ξ1+k 2ξ2+η(k 1,k 2为任意常数)
六、（1）已知矩阵A =(200
02101a
)的一个特征值为1，求数a ，并求正交矩阵和对角矩阵Λ，
使得Q -1AQ=Λ。

（2）用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=x12−2x22−2x32−4x1x2+12x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性变换.
解：f(x1,x2,x3)=x12−2x22−2x32−4x1x2+12x2x3
=(x12−4x1x2+4x22)−6x22−2x32+12x2x3
=(x12−4x1x2+4x22)−6(x22−2x2x3+x32)+4x32
=(x1−2x2)2−6(x2−x3)2+4x32
令{y1=x1−2x2
y2=x2−x3
y3=x3
,则经线性变换{
x1=y1+2y2+2y3
x2=y2+y3
x3=y3
将二次型化为标准型:
f(y1,y2,y3)=y12−6y22+4y32。