选修42矩阵与变换习题

第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。

一、二阶矩阵 1.矩阵的概念

①OP →

→的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

2 3

③

概念一：

象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：

①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）

④列矩阵：⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

a 11 a 21 （仅有一列）

⑤向量a →

＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，在本书中规定所有的平面向量

均写成列向量x y ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

的形式。

练习1：

1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,

2.设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤

=⎢⎥--⎣⎦

，若A=B ，求x,y,m,n 的值。

概念二：

由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，记为0。

②二阶单位矩阵：1001⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法

— 2 — 3

— ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤80 90

86 88

231,3242x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦

定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥

⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦ 练习2：

1.（1）⎥

⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-131021＝ （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311021＝

2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦

⎤⎢⎣⎡y x 三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换

问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o

得到P ’

(x ’

,y

’

),称P ’

为P 在此旋转变换作用下的象。其结果为''x x

y y

⎧=-⎨=-⎩，

也可以表示为''00x x y y x y ⎧=-+⋅⎨=⋅-⎩，即''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001-⎡⎤⎢⎥

-⎣⎦

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡y x ＝x y -⎡⎤

⎢⎥-⎣⎦怎么算出来的？

问题2. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’

； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.

问题3.把问题2中的旋转30o

改为旋转α角，其结果又如何？

2.反射变换

定义：把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P ’

的线性变换叫做关于直线l 的反射。

研究：P （x,y ）关于x 轴的反射变换下的象P ’(x ’,y ’

)的坐标公式与二阶矩阵。

3.伸缩变换

定义：将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，（1k 、2k 均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。

试分别研究以下问题：

①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.

②. 将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.

4.投影变换

定义：将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P ’

（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换。 研究：P （x,y ）在x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。

5.切变变换

定义：将每一点P （x,y ）沿着与x 轴平行的方向平移ky 个单位，称为平行于x 轴的切变变换。将每一点P （x,y ）沿着与y 轴平行的方向平移kx 个单位，称为平行于y 轴的切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P 10 1.2.3.4

四、简单应用

1.设矩阵A=1001-⎡⎤

⎢

⎥

⎣⎦

，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的象。

练习：P 13 1.2.3.4.5

【第一讲.作业】

1.关于x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是

2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o

的旋转变换对应的二阶矩阵是

3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是

4.平面内的一种线性变换使抛物线2

y x =的焦点变为直线y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是

5.平面上一点A 先作关于x 轴的反射变换，得到点A 1,在把A 1绕原点逆时针旋转180o

，得到点A 2，若存在一种反射变换同样可以使A 变为A 2，则该反射变换对应的二阶矩阵是

6.P （1，2）经过平行于y 轴的切变变换后变为点P 1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为

7. 设1

21x A x y ⎡⎤=⎢⎥

-⎣⎦，2242z x B x ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦

，且A=B.则x ＝ 8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x 的正投影变换对应的矩阵为

9.在矩阵1221A -⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为 10.已知点A （2，－1），B （－2，3），则向量AB →在矩阵11202⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

对应的线性变换下得到的向量坐标为 11.向量a →在矩阵1201A -⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦的作用下变为与向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦平行的单位向量，则a →＝

12.已知15234A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦

，a →＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，b →＝34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设a b α→→→=+，a b β→→→=-，①求A α→，A β→；

13.已知1012A ⎡⎤=⎢⎥

-⎣⎦，a →＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b →＝1x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，若A a →与A b →的夹角为135o

，求x.

14.一种线性变换对应的矩阵为1010⎡⎤

⎢⎥-⎣⎦

。①若点A 在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A 的坐标；②解

释该线性变换的几何意义。

15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01

102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦

。求①点A （1/5,3）在该变换作用下的像；

②圆22

1x y +=上任意一点00(,)P x y 在该变换作用下的像。