学而思高中数学排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版

1．基本计数原理 ⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???L 种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合

⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．

排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．

全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．

知识内容

排列组合问题的常用方法总

结 1

n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．

⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．

组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．

组合数公式：(1)(2)(1)!

C !!()!

m n

n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：1

1C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）

⑶排列组合综合问题

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元

素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．

7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：

①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．

求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

直接法

（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）

【例1】 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活

动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 ．

【例2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、

中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

A ．124414128C C C

B ．124414128

C A A C ．1244

14128

3

3

C C C A

D ．12443141283C C C A

典例分析

【例3】在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴有3个点，将x轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有

（）

A．30个B．35个C．20个D．15个

【例4】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，

⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分

的取法有多少种？

【例5】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

【例6】有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷．从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多

少种不同的选法？

【例7】 若x A ∈，则1A x

∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11

{101234}32M =-，，，，，，，的

所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）

A ．15

B ．16

C ．82

D ．52

【例8】 从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，

则不同的抽取方法种数为______．

A ．32

64C C ?

B ．2

364C C ?

C ．5

10C

D ．32

64A A ?

【例9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街3条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东

北角，路程最短的走法有多少种．

【例10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．

【例11】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，

另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？

【例12】设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则T

S

的值为（）

A．

20

128

B．

15

128

C．

16

128

D．

21

128

【例13】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5次跳动质点落在点(10)

，（允许重复过此点）处，则质点不同的运

动方法种数为 ．

【例14】 从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同

学又有女同学的不同选法共有________种（用数字作答）

【例15】 在AOB 的边OA 上有1234A A A A ，

，，四点，OB 边上有12345B B B B B ，，，，共9个点，连结线段(1415)i j A B i j ≤≤，≤

≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（ ）

A ．60

B ．80

C ．120

D ．160

【例16】 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？

⑴ A 、B 必须当选； ⑵ A 、B 都不当选； ⑶ A 、B 不全当选； ⑷ 至少有2名女生当选；

⑸ 选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．

【例17】甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）

A．150种B．180种C．300种D．345种

【例18】从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）

A．85B．56C．49D．28

【例19】某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）

A．14B．24C．28D．48

【例20】要从10个人中选出4个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？

【例21】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放

在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？

【例22】 某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排

到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ） A ．288种 B ．72种 C ．42种 D ．36种

【例23】 某班有30名男生，30名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女

学生均不少于2人的选法为（ ）

A ．221302046C C C

B ．555503020

C C C -- C ．514415*********C C C C C --

D ．3223

30203020C C C C +

【例24】 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的

四位数各有多少个

⑴数字1不排在个位和千位

⑵数字1不在个位，数字6不在千位．

【例25】 甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙

两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共有_______（用数字作答）种不同情况．

【例26】 某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参

加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不

同的选法共有（）

A．45种B．56种C．90种D．120种

【例27】用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）

A．120B．72C．48D．36

【例28】某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能

连续播放，则不同的播放方式有（）

A．120种B．48种C．36种D．18种

【例29】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不

去巴黎游览，则不同的选择方案共有_____种（用数字作答）．

【例30】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）

A．108种B．186种C．216种D．270种

【例31】甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）

A ．150种

B ．180种

C ．300种

D ．345种

【例32】 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分

配方案有_______种（用数字作答）．

【例33】 用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）

A ．48个

B ．36个

C ．24个

D ．18个

【例34】 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人

中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种

【例35】 2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只

有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）

A ．36

B ．42

C ． 48

D ．60

【例36】 从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，

则不同的抽取方法种数为______．

A ．32

64C C ?

B ．2

364C C ?

C ．5

10C

D ．32

64A A ?

【例37】 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则

不同的安排方案共有 种（用数字作答）．

【例38】 给定集合{1,2,3,,}n A n =L ，映射:n n f A A →满足：

①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；

②任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈L ．

则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．

表1 表2

⑴

已知表2表示的映射f ：44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；

⑵若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．

i 1 2 3 ()f i 2 3 1 i

1 2 3 4 ()f i 3 i 1 2 3 4 ()f i 2 3 1 4

【例39】 将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的

个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有__________种．

【例40】 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒

子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种

【例41】 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，

⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？

【例42】 正整数122221(1)n n n a a a a a n n --∈>N L L ，

称为凹数，如果12n a a a >>>L ，且2122n n n a a a -->>>L ，其中{0129}(12)i a i ∈=L L ，，，，，，，请回答三位凹数12313()a a a a a ≠共有 个（用数字作答）．

【例43】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选

派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种

【例44】 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果

第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_______种．（用数字作答）

【例45】 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次

出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？

【例46】 从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的

选派方法有（ ）

A ．5557105C A A 种

B ．5557105A

C P 种 C ．55107C C 种

D ．557

10C A

【例47】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同

的分配方案共有（ ）

A ．4

441284C C C 种 B ．34441284C C C 种 C ．4431283

C C A 种

D ．4441284

33

C C C A 种

【例48】 袋中装有分别编号为1,2,3,4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球

的编号互不相同的取法有（ ）

A ．24种

B ．28种

C ．32种

D ．36种．

【例49】 现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、

化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生2人，女生6人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生5人，女生3人 D ．男生6人，女生2人．

【例50】 将4个小球任意放入3个不同的盒子中，

⑴若4个小球各不相同，共有多少种放法？

⑵若要求每个盒子都不空，且4个小球完全相同，共有多少种不同的放法？ ⑶若要求每个盒子都不空，且4个小球互不相同，共有多少种不同的放法？

【例51】 将7个小球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，

⑴若7个小球完全相同，共有多少种不同的放法？ ⑵若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？

【例52】 四个不同的小球，每球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中．

⑴ 随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？ ⑵ 四个盒都不空的放法有多少种？ ⑶ 恰有一个空盒的放法有多少种？ ⑷ 恰有两个空盒的放法有多少种？

⑸ 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？

【例53】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个

单位，若经过5次跳动质点落在点()30，处（允许重复过此点），则质点不同的运

动方法共___________种；若经过m 次跳动质点落在点()0n ，

处（允许重复过此点），其中m n ≥，且m n -为偶数，则质点不同的运动方法共有_______种．

【例54】 设集合{12345}I =，，，，，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于

A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）

A ．50种

B ．49种

C ．48种

D ．47种

【例55】 f 是集合{1234}M =，，，到集合{123}N =，，的映射，g 是集合N 到集合M 的映

射，则不同的映射f 的个数是多少？g 有多少？满足()()()()8f a f b f c f d +++=的映射f 有多少？满足[()]f g x x =的映射对()f g ，有多少？

【例56】 排球单循坏赛，胜者得1分，负者0分，南方球队比北方球队多9支，南方球队

总得分是北方球队的9倍， 设北方的球队数为x ．

⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分； ⑵证明：6x =或8x =；

⑶证明：冠军是一支南方球队．

【例57】 已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意

,()i A f i i ∈≠．设1234,,,a a a a 是1,2,3,4的任意的一个排列，定义数表1

2341234()()()()a a a a f a f a f a f a ?? ??

?，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ） A ．216 B ．108 C ．48 D ．24

间接法（直接求解类别比较大时）

【例58】 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它

们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

【例59】 从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，

则所有不同的三位数的个数是（ ）

A ．36

B ．48

C ．52

D ．54

【例60】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥．

【例61】 设集合{}1,2,3,,9S =L ，集合{}123,,A a a a =是S 的子集，且123,,a a a 满足

123a a a <<，326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为（ ）

A ．78

B ．76

C ．84

D ．83

【例62】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且

甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）

A ．18

B ．24

C ．30

D ．36

【例63】 某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3 人

参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（ ） A ．45种 B ．56种 C ．90种 D ．120种

【例64】 对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在

p q <时有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”

，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是_________．

【例65】 已知集合{5}A =，{12}B =，，{134}C =，

，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）

A ．33

B ．34

C ．35

D ．36

【例66】 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上

的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．

【例67】 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，

现将这五个球放入5个盒子内，

⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？

⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ ⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

【例68】 在排成44?的方阵的16个点中，中心4个点在某一个圆内，其余12个点在圆外，

在16个点中任选3个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（ ）

A ．312个

B ．328个

C ．340个

D ．264个

【例69】 从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，

则不同的挑选方法共有（ ） A ．70种 B ．112种 C ．140种 D ．168种

【例70】 若关于x y ，的方程组2

2

1

17ax by x y +=??+=?

有解，且所有解都是整数，则有序数对()a b ，的数目为（ ）

A ．36

B ．16

C ．24

D ．32

【例71】 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医

生都有，则不同的组队方案共有（ ） A ．70种 B ．80种 C ．100种 D ．140种

【例72】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）

A．6种B．12种C．30种D．36种

【例73】{}

A=L，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的A的子集个数为129

，，，

_____．

【例74】在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个．

【例75】在AOB

∠的OA边上取4个点，在OB边上取5个点（均除O点外），连同O点共10个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？

【例76】，，，，

a b c d e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选

法总数是（）

A．20B．16C．10D．6

【例77】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）

A．18B．24C．30D．36

【例78】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成___ _个三角形．