基本不等式专题复习
基本不等式专题复习
[基础知识]
1.(1)若R a ∈,则2
a 0，
2
2
2b a + 2)2(b a + (3)222c b a ++ ac bc ab ++ (4)若a>b>0,m>0则a b m
a m
b ++
(5)若a,b 同号且a>b 则a 1 b
1
(6)R b a ∈,,则22b a + ab 2 变形
2．均值不等式:
两个正数的均值不等式：ab b
a ≥+2
变形 ， 3．最值定理:
设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则xy 时
,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,2
2
S xy 积有最大值（）
运用最值定理求最值的三要素：一 ，二 ，三 。
4．)0(>+=a x
a
x y 的草图：
[典型例析]
例1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为 .
变式 （1）已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值 .
（2）已知lg lg 1x y +=，则52
x y
+的最小值是 .
例2 （1）已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值.
（2）求函数1
4
22++=x x y 的最小值
（3）求222
42
y x x =--+的最大值.
（4） 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22
x y x y
+-的最小值是 .
（5）已知0＜x ＜3
1
，求函数y=x(1-3x)的最大值
（6）求函数y=1
3
32
24+++x x x 的最小值.
例3若0,0x y >>1x y +=,则41
x y
+的最小值为 ．
变式 （1）已知x 、y 为正实数，且12
1+=x y
，求x+y 的最小值。
（2）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11
m n +的最小值为 ．
（3）已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,
y
b
x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值.
例4 （1）已知A(0,9) B(0,16)是y 轴正半轴上的两点，C(x,0)是x 轴上任意一点，求当点C 在何位置时，ACB ∠最大？
(2)已知下列四个结论
①当2lg 1lg ,10≥+≠>x
x x x 时且
；②02x >≥当时；
③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当x
x x 1
,20-≤<时无最大值,则其中正确的个数为
(3)已知不等式1()()9a
x y x y
++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为
(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值
最新不等式提高题专项练习
一元一次不等式（组）常见试题分类练习 一、解法常见考题： 1、已知方程组?? ?-=++=+②① m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围． 2、已知? ??+=+=+122, 42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围． 3、若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,32 15 只有4个整数解，求a 的取值范围． 4、关于x 的不等式组? ??->-≥-123, 0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 5、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-0 2, 43x a x 的解集是x ＞2，求a 的取值范围． 6、若不等式组 X+8＜4x －1 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 。 x ＞m 7、不等式组?? ?+>+<+1 , 159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )． (A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥1 8、关于x 的不等式组? ??->-≥-123, 0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 9、若不等式组? ??? ? x ＋8<4x －1x>m 的解集为x>3，则m 的取值范围是________． 10、试确定实数a 的取值范围，使不等式组??? x 2＋x ＋1 3 >0x ＋5a ＋43>4 3(x ＋1)＋a 恰有两个整数解． 11、已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-0 2, 43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 12、若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,32 15 只有4个整数解，求a 的取值范围． 二、最后一间房问题： 1、若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满．问学生有多少人?宿舍有几间?
不等式与不等式组专题复习
不等式与不等式组专题复习 （一）不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1. 不等式：用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像2≠2 这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2. 常见不等式的基本语言有： ①x是正数，则x>0；②x是负数，则x<0；③x是非负数，则x≥ 0； ④x是非正数，则x≤0；⑤x大于y ，则x－y> 0； ⑥x小于y，则x－y < 0； ⑦x不小于y，则x ≥ y ；⑧x不大于y，则x ≤ y 。 例1. 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2 <5 3>6 42y ≤0 2b ≠c 53=8 8+4<7
考点2：不等式的解集
1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2. 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解， 组成这个 不等式的解集。 例 1. 判断下列数中哪些是不等式 的解 : 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 23x 50 变式练习： 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 3 是 21>5的解 B. 3 C. 3 不是 21>5的解 D. 3 2. 在下列 表示的不等式的解集中，不包括 -5 的是 ( ≤ 4 ≥ -5 ≤ -6 ≥ -7 考点 3：不等式解集在数轴上的表示方法 是 21>5 的唯一 解
1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③ 定方向. 2.用数轴表示不等式的解集, 应记住下面的规律 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ , ≤)画实心点, 无等号(>,<) 画空心圆. 例1. 图中表示的是不等式的解集，其中错误的是( ) A、x≥－* 2- 2 - 1 0 B C、x ≠0 D 变式练习： 1. 不等式x 2在数轴上表示正确的 是( ) A． C．
基本不等式专题复习
基本不等式专题复习 一、基础梳理 1．基本不等式： a+b 2 ≥√ab(a ，b >0) 2.变式：⑴a +b ≥2√ab ⑵ ab ≤( a+b 2 )2 3.使用条件：一正二定三相等 二、典型例题 例1.若x>0，则x ＋2 x 的最小值是________． 解析：由基本不等式可得x ＋2x ≥2x ·2 x ＝22， 当且仅当x ＝2 x 即x ＝2时取等号，故最小值是2 2. 变式训练：(1) 当x>1时，函数y ＝x ＋1 x －1 的最小值是________． (2)已知f(x)＝x ＋1 x －2(x<0)，则f(x)的最大值为________． 解析 (1) y ＝x ＋1x －1＝x －1＋1 x －1 ＋1≥2 x －1·1 x －1 ＋1＝3 当且仅当1 x-1= x-1 ，即x=2时取等号，故最小值是3. （2）∵x<0，∴－x>0， ∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1 －x －2＝－4， 当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 所以f(x)的最大值为4． 例2.已知x >0，y >0，2x +3y =60，求xy 的最大值． 解： ∵x >0，y >0，2x +3y =60， ∴xy =1 6?2x ?3y ≤16( 2x+3y 2 )2 =150， 当{2x =3y 2x +3y =60，即x =15，y =10时，xy 取最大值150． 变式训练：（1）求y =3x(4?5x)(0 基本不等式巩固提高 例 1.解不等式 25123 x x x -<--- （答：(1,1)(2,3)-）； 2. 若2 log 13 a <，则a 的取值范围是__________ 3 .关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02 >-+x b ax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ） 基本不等式 （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为 定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 常用方法 (1)凑项 例1：已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 (2)凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值 (3)分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 配出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 练习 1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2 、 a 2＋ b 2 2 的大小关系是 。 2.已知 12 1(0,0),m n m n +=>>则mn 的最小值是 3.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿ 4求1 (3)3 y x x x = +>-的最小值. 5求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 6求1 (14)(0)4 y x x x =-<<的最大值。 7求12 3 (0)y x x x =+<的最大值. 8若2x >，求1 252 y x x =-+-的最小值 9若0x <，求21 x x y x ++=的最大值。 10求222 y x =+的最小值. 习题A 1.已知a ＞0,b ＞0，a 1+b 3=1，则a+2b 的最小值为( ) +2 6 B.2 3 +2 3 2.设a ＞0,b ＞0,下列不等式中不成立的是( ) A. b a a b +≥2 +b 2 ≥2ab C.b a a b 22+ ≥a+b D.b a 11+≥2+ b a +2 3.已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cd b a 2 +的最小 值是( ) B.1 D. 4 +3y-2=0，则3x +27y +1的最小值为 ( ) B.339 +2 2 1、（02京皖春1）不等式组???<-<-0 30 122x x x 的解集是（ ） A ．｛x ｜－1＜x ＜1} B ．｛x ｜0＜x ＜３} C ．｛x ｜0＜x ＜1} D ．｛x ｜－1＜x ＜３} 2、（01河南广东1）不等式 3 1 --x x >0的解集为（ ） A ．{x |x <1} B ．{x |x >3} C ．{x |x <1或x >3} D ．{x |1 初中数学不等式专题复 习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一、不等式的基本性质 1．若x＞y，则下列等式不一定成立的是（） A．x+4＞y+4 B．﹣3x＜﹣3y C．D．x2＞y2 2．下列命题中，正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，c=d则ac＞bd C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，c＜d则 3．下列不等式变形正确的是（） A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2 4．若a＜﹣1，那么不等式（a+1）x＞a+1的解集为（）二、不等式（组）的解集和整数解 1．如图，数轴所表示的不等式的解集是． 2．不等式2（1﹣x）＜4的解集表示正确的是（） A． B．C．D． 3．不等式x﹣3≤3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B． C．D． 4．不等式组的解集是（） 5．不等式11﹣3x＞1的所有非负整数解的和为． 6．不等式组的最小整数解为（） 7．不等式组的所有整数解的积是（） 8．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为． 三、解不等式（组） 1．解不等式，并把解集表示在数轴上． ①2x+9≥3（x+2）②③≤ ﹣1 2 2．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来（注意原点和单位长度的比例）． （1）（2） （3）（4） 四、可转化为不等式（组） 1．“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（） 2．如果点P（2x+6，x﹣4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围是 . 3．若代数式的值不小于1，则t的取值范围是．4．已知（x﹣2）2+|2x﹣3y﹣m|=0中，y为正数，则m的取值范围为 . 5．不等式组的解集为﹣1＜x＜1，求（a+1）（b+1）的值． 6．关于x，y的方程组的解满足x+y＞2，求m的取值范围． 7．若方程组中，x是正数，y是非正数．求k的正整数解. 3 不等式经典题型专题练习（含答案） ：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，数a的取 值围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值围. 10．解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和． 11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-?? -=?①②，求m 的取值围． 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数，则： （1）求m 的取值围 （2）化简：42m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 第七章 不等式 第一节 解不等式 题型82、一元二次不等式的解法 ? 知识点摘要： 一元二次不等式)0(02 ≠≥++a c bx ax 解法步骤： 1. 先看不等式对应的一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 根的情况； 2. 再画出不等式对应的二次函数大致图像，确定一元二次不等式的解集。 ? 典型例题精讲精练： 1. 解下列不等式 ①0322 ≥++x x ②0322 ＜++x x ③062 ≥--x x 2. 不等式组?????--0 30 122＜＜x x x 的解集为（ ） {}11|.＜ ＜x x A - {}30|.＜＜x x B {}10|.＜＜x x C {}31|.＜＜x x D - 3. 已知{ } ?? ? ??-=++2310|2 ， ＞c bx ax x ，则关于x 的不等式02＜a bx cx ++的解集为。 4. 已知关于x 的不等式02 ＜c bx ax ++的解集为{2|-＜x x 或}2 1- ＞x ，求关于x 不等式 02＞c bx ax +-的解集。 5. 解关于x 的不等式() ()R a a x a a x ∈++-， ＞03 2 2 。 { }{ } 034|023|2 22 ＜，＜a ax x x B x x x A +-=++=B A ?a 题型83、一元高次不等式的解法 ? 知识点摘要： 简单的一元高次不等式常用穿根法（穿针引线法）求解，用穿根法解一元高次不等式需要注意一下3点： 1. 每一个一次项系数都要化成正数； 2. 奇穿偶不穿； 3. 从右上角开始穿。 穿根法的解题原理，其实就是画出了相应高次函数大致图像，根据高次函数图像求解相应一元高次不等式的解集。 ? 典型例题精讲精练： 1. 解不等式()()()()021123 2 ＜--++x x x x ； 2. 解不等式()()()0211≥--+x x x ； 3. 解不等式()()()03212 ≤--+x x x ； 4. 解不等式()()0)2(113 2 ≥++-x x x x 。 一元一次不等式培优专题训练一 例1 1、 用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由： (1)∵a >b,∴a －m ________b －m (2)∵a >2b,∴2 a ________ b (3)∵4a >5a,∴a ________0 (4)∵2x －1<9,∴x ________5 2、不等号填空：（1）、x 为任意有理数，x －3____x －4.（2）若a ＜0，b ＜0，则a ·b ____ab 2. 变式训练：（七中实验）若b a <，则2ac 2bc ；若22bc ac <，则a b （填不等号） ； 例2、不等式（组）的解法：1、不等式1 2017年中考数学专题练习6《不等式（组）》 【知识归纳】 1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或 c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 ，且不等式的两边都是 ，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b ??>? 的解集是 ，即“大大取大”； x a x b >??? 的解集是 ，即“大大小小取不了”. 6．列不等式（组）解应用题的一般步骤： ①审： ；②找： ；③设： ；④列： ；⑤解： ；⑥答： . 【基础检测】 1.（2016·内蒙古包头）不等式﹣ ≤1的解集是（ ） A ．x≤4 B ．x≥4 C ．x≤﹣1 D ．x≥﹣1 2.（2016·云南昆明）不等式组 的解集为（ ） 江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式 填空题 错误！未指定书签。 ．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）从公路旁的材料工地沿笔 直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____m . 【答案】14000 m . 错误！未指定书签。 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若0,0a b >>,且 11121 a b b =+++,则2a b +的最小值为____. 【答案】 错误！未指定书签。 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知a ,b ,c 是正实数,且abc +a +c =b , 设222223111 p a b c =-++++,则p 的最大值为________. 【答案】103 错误！未指定书签。 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若对满足条件 )0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,,01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立,则实数a 的取值范围是_____. 【答案】37(,6-∞ 错误！未指定书签。 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知x >1, 则21 x x +-的最小值为_________. 【答案】1 错误！未指定书签。 ．（2010年高考（江苏））将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两 块,其中一块是梯形,记S=梯形的面积 梯形的周长）2 (,则S 的最小值是______________ 【答案】 错误！未指定书签。 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）二次函数 2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则 11a c c a +++的最小值为_____. 【答案】4 错误！未指定书签。 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设正实数,,x y z 满足21x y z ++=, 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 方程、不等式复习专题 一、考法、考点分析 1、考法分析： 方程与不等式的综合应用是中考数学重点考查的内容之一，新课程在数与代数领域的一个亮点就是加强了知识之间的内在联系的研究，方程与不等式是紧密联系的数学知识，复习时，要站在知识整体的高度把握方程式和不等式的知识内容。 2、考点课标要求： （1）根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 （2）经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。 （3）会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个） （4）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 （5）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否正确。 (6) 一元一次不等式（组）的有关概念、解法和应用，题型多以填空、选择为主，难度不大，另外关于列一元一次不等式（组）解决实际问题的考题在中考中出现的几率也较大 重点、难点、疑点 1.方程的概念；方程的解法；列方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出相等关系；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验，既要验证根是否是原分式方程的根，又要验是否符合题意；⑦答：写出答案 2．不等式（组）的有关概念;不等式（组）的解法;解(解集)的表示;列不等式(不等式组)解应用题:①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出不等关系；④列：列出不等式（组）；⑤解：解不等式（组）； ⑥答：写出答案 二、知识点归纳 （1）方程：含有未知数的等式叫方程。 （2）一元一次方程:含有一个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫一元一次方程。 （3）二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如513,11=+=+y x y x 等， 都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次” 基本不等式巩固提高 例 1.解不等式 2 5123 x x x -<--- （答：(1,1)(2,3)-）； 2. 若2 log 13 a <，则a 的取值范围是__________ 3 .关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式 02 >-+x b ax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ） 基本不等式 （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 常用方法 (1)凑项 例1：已知5 4x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 (2)凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值 (3)分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 配出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 练习 1. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、 a 2＋ b 2 2的大小关系是 。 2.已知12 1(0,0),m n m n +=>>则mn 的最小值是 3.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿ 4求1 (3)3 y x x x = +>-的最小值. 5求(5) (05)y x x x =-<<的最大值. 6求1 (14)(0)4 y x x x =-<<的最大值。 7求12 3 (0)y x x x =+<的最大值. 8若2x >，求1 252 y x x =-+-的最小值 9若0x <，求21 x x y x ++=的最大值。 不等式计算专项练习 一、解答题 1．解不等式组，并且把解集在数轴上表示出来. 2．求不等式组的整数解. 3．计算下列不等式（组）： （1）x-＜2-. （2）-2≤≤7 （3）； （4） 4．已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围：（1）y1＜y2 （2）2y1－y2≤4 5．解不等式组： 6．求下列不等式组的解集 7．（1）计算：（-2）-2×|-3|-（）0 （2）解不等式组： 8．解不等式组，并指出它的所有整数解． 9．解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 11．解不等式组并写出的所有整数解. 12．(1)解方程：. (2)求不等式组：. 13．求不等式组的整数解． 14．（1）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 15．求不等式组的非负整数解． 16．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）； （2） 17．（1）解不等式组 （2）在（1）的条件下化简：|x+1|+|x-4| 18．已知关于x，y的方程组的解为正数． （1）求a的取值范围； （2）化简|-4a+5|-|a+4|． 19．（1）解不等式2-＞+1，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）求不等式组的整数解． 20．解不等式组：． 21．解不等式组 22．解不等式组，并把它们解集表示在数轴上，写出满足该不等式组的 所有整数解． 23．解不等式组：；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数 解． 24．解不等式组：． 25．解不等式组 26．解不等式组 ) 27．当x 是不等式组 的正整数解时，求多项式（1﹣3x ）（1+3x ）+（1+3x ） 2 +（﹣x 2）3÷x 4的值． 28．解方程与不等式组： 解方程：；解不等式组： 29．解不等式组． 30．解不等式组，并写出不等式组的整数解. 31．（1）解不等式组: (2)解方程： 32．解不等式组： . 33．解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 34．（1）解方程： ; （2）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 1 不等式与不等式组期末复习讲义 常考专题一 不等式的性质 主要考查利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确，题型以选择题为主． 例1 ：下列式子中，一元一次不等式有( )①314x -≥；②1263x + >；③136x -<；④0x π>；⑤132362 x x -+-<；⑥2x xy y +≥；⑦0x >. A .6个 B .5个 C .4个 D .3个 解析：③中 1 x 不是整式，⑥中含2个未知数，所以③⑥不是一元一次不等式，①②④⑤⑦都是一元一次不等式，故选B . 例2： 若a b >，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．a m b m +>+ B ．()() 22 11a m b m +>+ C ．22 a b - <- D ．22 a b > 解析：根据不等式的性质针对四个选项进行分析即可．A ．根据不等式的基本性质1，可知a m b m +>+一定成立；B ．根据不等式的基本性质2， ∵2 10m +>，∴()() 2211a m b m +>+一定成立；C ．根据不等式的基本性 质3，∵102- <，∴22a b -<-一定成立；D ．根据不等式的基本性质3，a ，b 若都为负数，则22a b >不成立． 思维点拨 本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．此类题目也可以用举反例的方法排除． 常考专题二 一元一次不等式(组)的解法 解一元一次不等式(组)是数学学习中必须掌握的基本运算技能，是解决实际问题的基础，解不等式(组)时，要严格依据不等式的性质按照解不等式(组)的步骤进行． 例3： 解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1)672x x ≤-；(2)()5431,121.2 5x x x x +<+?? ?--≤? ?①② 分析：(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来；(2)分别解不等式，并把 解集在数轴上表示出来． 解：(1)解不等式得2x ≥，在数轴上表示如下： (2)解不等式①，得1 2 x <-，解不等式②，得3x ≤， 在数轴上表示如下： 故不等式组的解集为1 2 x <- ． 思维点拨 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法是整章的重点，要熟悉它们的解法，一方面要注意每个步骤的易错之处，另一方面要正确地画出数轴，找出解集，进一步确定特殊解． 基础篇 一、单变量部分 1、 求)0(1 >+ =x x x y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1 <+=x x x y 最大值-2 3、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值12 1 4、（添项）求)2(2 4 >-+=x x x y 最小值6 5、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值2 6、（取倒数或除分子）求)0(1 2 >+= x x x y 最大值21 7、（换元法）求)1(132>-+= x x x x y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值4 2 二、多变量部分 1、（凑系数或消元法）已知 041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值16 1 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求 y x 9 4+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式 1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是 ______),18[+∞_________ 2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习 1. 已知x>0，y>0，且 18 2=+y x 则xy 的最小值_______64_______ 2. )0(13 2 4>++=k k k y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，12 2 2 =+b a ，则21b a +的最大值为_________ 4 2 3_________ 不等式专题练习题 一、知识内容 不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解证不等式的基础；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（教材中称为基本不等式，通常称均值不等式）及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用；线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用． 二、核心思想方法 解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念、性质涉及到求函数最大（小）值，实数大小比较，求参数的取值范围等；不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点；均值不等式的证明最终是利用了配方法，使用该不等式的核心方法则是整体思想方法，就是对哪两个正数使用定理，例如下面练习题的第5题是对2,a b使用不等式，而不是对,a b使用不等式；线性规划的核心方法是数形结合和转化的思想方法，在具体转化上涉及到面积、截距（目标函数为二元一次多项式）、距离（目标函数含二元二次多项式）、斜率（目标函数为分式）等几何意义，分别如下面练习题的第9、22、23、24题． 三、高考命题趋势 本专题的高考命题热点可从以下两个方面去把握： 1．以客观题形式命题：不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多变，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题中主要以选择、填空形式出现，且设问也是灵活多变，每年高考必有一题．四个注意问题：（1）命题者有时把线性规划问题和均值不等式结合在一起，提高了难度，例如下面练习题的第8、28题．（2）线性规划的约束条件中含有参数的，例如下面练习题的第7、9题．（3）均值不等式的凑定值技巧，一是关注消元，而是关注整体代入思想方法，分别如下面练习题的第17、18题．（4）克服思维定势，有些题目很象是利用基本不等式的，其实只是解出未知数代入化简的， 最新中考数学总复习专题汇编：不等式 一、单选题 1．若数使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程 的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（） A. B. C. 1 D. 2 【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷） 【答案】C 2．不等式组有3个整数解，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【来源】山东省泰安市2018年中考数学试题 【答案】B 3．不等式组的最小整数解是（） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题 【答案】B 【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，即可求出最小的整数解. 【详解】， 解不等式①得，x≤2， 解不等式②得，x>-1， 所以不等式组的解集是：-1 （ ） A. B. C. D. 【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题 【答案】B 【解析】分析：先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．详解：解不等式x+1≥3，得：x≥2， 解不等式﹣2x﹣6＞﹣4，得：x＜﹣1， 将两不等式解集表示在数轴上如下： 故选B． 点睛：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了． 5．下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（） A. B. C. D. 【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题 【答案】B 6．不等式3x+2≥5的解集是（ ） A. x≥1 B. x≥ C. x≤1 D. x≤﹣1 【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷 【答案】A 7．不等式的解在数轴上表示正确的是（） A. B. C. D. 第15讲 一元一次不等式组培优专题 一、含参不等式（组）有关的问题 1. 探讨不等式组的解集（写出,a b 满足的关系式） （1）关于x 的不等式组x a x b >????≤11x m x 无解，则m 的取值范围是 （2）若不等式组121 x m x m <+??>-?无解，则m 的取值范围是 (3)若不等式组???>≤ (2)如果关于x 的不等式组7060 x m x n -≥??-的每一个解都是21122 x -<的解，求a 的取值范围 变式：如果关于x的不等式组 22 4 x a x a >- ? ? <- ? 有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a 的取值范围． 4. 若关于x的不等式组 21 1 3 x x x k - ? >- ? ? ?-< ? 的解集为2 x<，求k的取值范围 5.不等式组 12 35 a x a x -<<+ ? ? << ? 的解集是3x <<2 a+，求a的取值范围均值不等式综合复习题
高中数学 不等式专题训练
初中数学不等式专题复习
不等式经典题型专题练习(含答案)-
高考一轮复习专题8：不等式专题题型归纳,解不等式、均值不等式、线性规划
一元一次不等式培优专题训练一
2017年中考数学专题练习6《不等式(组)》
江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式(教师版)
基本不等式练习题(带答案)
不等式复习专题
均值不等式综合复习题
不等式计算专项练习及答案
不等式与不等式组期末专题复习讲义(常考专题)
(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)
不等式综合练习题集
最新中考数学总复习专题汇编：不等式
(完整版)专题--含参一元一次不等式组(1)