《数学建模》课程设计报告--常染色体遗传模型

《数学建模》课程设计

报告

课题名称：___常染色体遗传模型

系（院）：理学院

专业：数学与应用数学

班级：

学生姓名：巫荣

学号：

指导教师：陈宏宇

开课时间：2011-2012 学年二学期

常染色体遗传模型摘要

为了揭示生命的奥秘, 遗传特征的逐代传播, 愈来愈受到人们更多的注意。我们通过问题分析，模型的建立，去解决生物学的问题。为了去研究理想状态下常染色体遗传的情况，我们通过建立随机组合时常染色体的遗传模型，可以计算出各种情况随机出现的百分率，并且可以通过常染色体遗传模型，算出各个情况的概率分布，并且通过模型，分析情况出现的稳定性。揭示了常染色体遗传的分布规律，揭示了下一代各情形变化的规律性和稳定性。

关键词：遗传; 随机; 百分率; 概率分布; 稳定

一、问题重述

1.1 问题产生背景

常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红色花，而aa型的开白花。又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是AA或Aa 的人，眼睛为棕色，基因型是aa的人，眼睛为蓝色。这里因为AA和Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因A支配基因a，也可以认为基因a对于A来说是隐性的。当一个亲体的基因型为Aa ，而另一个亲体的基因型是aa时，那么后代可以从aa型中得到基因a，从Aa 型中或得到基因A，或得到基因a。这样，后代基因型为Aa或aa的可能性相等。下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

父体—母体的基因型

AA ??AA AA ??Aa AA ??aa Aa ??Aa Aa ??aa aa ??aa

后代AA 1 1/2 0 1/4 0 0

基因Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0

型aa 0 0 0 1/4 1/2 1

1.2 问题描述

题目：农场的植物园中某种植物的基因型为AA, Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布如何？

二、问题分析

在本问题中要知道每一代的基因分布，首先要知道上一代的基因型分布，在自由组合后的所有子代可能出现的基因型（上面已经给出）。为了求出每一代的基因型分布，第一步写出第一代的基因型分布；第二步推出第n+1代的基因型分布与第n代的基因型分布的关系；第三步利用差分方程求出每一代的每种基因型分布通项从而求得任一子代三种基因型的概率分布。

现该农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa.采用AA型基因的植物相结合培育后代，求若干年后这种植物的任一代的三种基因型分布，首先分析出初始里，AA,Aa,aa这三种基因型植物的大致分布，首先必须分析出初

始里AA,Aa,aa 这三种基因型植物的大致分布，即它们的数量比例。根据生物学上的知识，假设初始时这三种基因结合原则可得出：AA 基因在与AA 结合时后代保持AA 不变；Aa 基因在与AA 结合时后代有1/2的基因为AA ，1/2的基因为Aa ；aa 基因在与AA 结合时后代基因全部为Aa 。由此可逐步推断出每年该植物后代的分布，建立一个差分模型。

三、模型假设

假设：（1）令 ,2,1,0=n 。

设n n b a ,和n c 分别表示第n 代植物中，基因型为AA,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率。

令)(n x 为第n 代植物的基因型分布:

当n=0时

表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布），显然有

（2）第n 代的分布与第n-1代的分布之间的关系是通过上表确定的。

四、变量说明

a-第0代中AA 所占比例 a(n)-第n 代中AA 所占比例

b-第0代中Aa 所占比例 b(n)-第n 代中Aa 所占比例

c-第0代中aa 所占比例 c(n)-第n 代中Aa 所占比例

五、模型的建立与求解

根据假设（2），先考虑第n 代中的AA 型。由于第n-1代的AA 型与AA 型结合，后代全部是AA 型；第n-1代的Aa 型与AA 型结合，后代是AA 型的可能性为1/2，第n-1代的aa 型与AA 型结合，后代不可能是AA 型。因此，当 ,2,1,0=n 时

即2/11--+=n n n b a a

类似可推出

将式相加，得

根据假设（1），有

对于式、式和式，我们采用矩阵形式简记为

其中

式递推，得

式给出第代基因型的分布与初始分布的关系。

为了计算出n M ，我们将M 对角化，即求出可逆矩阵P 和对角阵D ，使

因而有

其中

这里321,,λλλ是矩阵M 的三个特征值。对于式中的M ，易求得它的特征值和特征向量:

因此

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00002/10001D ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0112 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213

所以

⎥⎥⎦⎢⎢⎣100321

通过计算1-=P P ，因此有

即⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--00011)

(000)2/1()2/1(0)2/1(1)2/1(11c b a c b a x n n n n n n n n 所以有

当∞→n 时

0)2/1(→n ，所以从式得到 0,1→→n n b a 和n c =0

因此，得出结论：在极限的情况下，培育的植物都是AA 型。

六、模型的进一步分析

在上述问题中，我们都选用了基因型AA 的植物来授粉，但是实际情况中无法保证每次授粉的母体均是基因型AA ，可以是完全随即的状态，所以在进行模型的进一步分析中，我们选择了另一种比较有代表性的结合方式来研究。这时我们不选用基因AA 型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合。即基因型为AA 和基因型为AA 的植物作为母体和父体，基因型为Aa 基因型为Aa 的植物作为母体和父体，基因型为aa 和基因型为aa 的植物作为母体和父体，那么后代具有三代基因型的概率如下表：

并且)0()(x M x n n =，其中

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/1002/1004/11M M 的特征值为2/1,1,1321===λλλ

通过计算，可以解出与21,λλ相对应的两个线性无关的特征向量1 和2 ，及与3λ相对应的特征向量3 ：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1002 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213