广西大学数学分析2006真题
考研数学高数部分试卷与解答2006
《考研数学试卷》2006高数部份一、填空题 [2006.一.1.4]()ln 1lim1cos x x x x→+=-2[2006.三.1.4][2006.四.1.4]()11lim nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭1[2006.二.1.4]曲线4sin 52cos x x y x x +=-的水平渐近线方程为15y =[2006.二.5.4]设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则x dydx==e -[2006.三.2.4][2006.四.2.4]设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()(),21f x f x e f '==，则()2f '''=32e[2006.二.2.4]函数()2301sin ,0,0x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a =13[2006.二.3.4]广义积分()221xdxx +∞=+⎰12[2006.一.4.4]点()2,1,0到平面3450x y z ++=的距离d[2006.三.3.4][2006.四.3.4]设函数()f u 可微，且()102f '=，则()224z f x y =-在点()1,2处的全微分()1,2dz =42dx dy - [2006.一.3.4]设∑是锥面()01z z =≤≤的下侧，则()231xdydx ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰2π[2006.一.2.4][2006.二.4.4]微分方程()1y x y x-'=的通解是xy cxe -= 二、单项选择题[2006.二.8.4]设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()0xf t dt ⎰是（B ）A. 连续的奇函数B. 连续的偶函数C. 在0x =间断的奇函数D. 在0x =间断的偶函数 [2006.三.8.4][2006.四.8.4]设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则（C ）A.()00f =且()0f -'存在B. ()01f =且()0f -'存在C. ()00f =且()0f +'存在D. ()01f =且()0f +'存在 [2006.二.9.4]设函数()g x 可微，()()()()1,11,12g x h x eh g +''===，则()1g =（C ）A.ln 31-B. ln 31--C. ln 21--D. ln 21-[2006.一.7.4][2006.二.7.4][2006.三.7.4][2006.四.7.4]设函数()y f x =具有二阶导数，且()()0,0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ） A. 0dy y <<∆ B. 0y dy <∆< C. 0y dy ∆<< D. 0dy y <∆<[2006.四.9.4]设函数()f x 与()g x 在[]0,1上连续，且()()f x g x ≤，则对任何()0,1c ∈（D ） A 、()()1122c c f t dt g t dt ≥⎰⎰ B 、()()1122c cf t dtg t dt ≤⎰⎰C 、()()11ccf t dtg t dt ≥⎰⎰ D 、()()11ccf t dtg t dt ≤⎰⎰[2006.一.10.4][2006.二.12.4][2006.三.11.4][2006.四.11.4]设(),f x y 与(),x y ϕ均为可微函数，且(),0y x y ϕ'≠，已知()00,x y 是(),f x y 在约束条件(),0x y ϕ=下的一个极值点，则下列选项正确的是（D ）A 、若()00,0x f x y '=，则()00,0y f x y '=B 、若()00,0x f x y '=，则()00,0y f x y '≠C 、若()00,0x f x y '≠，则()00,0y f x y '=D 、若()00,0x f x y '≠，则()00,0y f x y '≠[2006.一.8.4][2006.二.11.4]设(),f x y 为连续函数，则()14cos ,sin d f r r rdr πθθθ=⎰⎰（C ）A()0,xf x y dy ⎰⎰B()0,f x y dy ⎰⎰C()0,yf x y dx ⎰⎰D()0,dy f x y dx ⎰⎰[2006.一.9.4][2006.三.9.4]若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（D ）A.1n n a ∞=∑收敛 B.()11nn n a ∞=-∑收敛C.11n n n a a∞+=∑收敛 D.112n n n a a ∞+=+∑收敛 [2006.三.10.4][2006.四.10.4]设非齐次线性微分方程()()y p x y q x '+=有两个不同的解()()12,,y x y x c ，为任意常数，则该方程的通解是（B ）A.()()12c y x y x -⎡⎤⎣⎦B. ()()()112y x c y x y x +-⎡⎤⎣⎦C. ()()12c y x y x +⎡⎤⎣⎦D. ()()()112y x c y x y x ++⎡⎤⎣⎦[2006.二.10.4]函数212x x x y c e c e xe -=++满足的一个微分方程是（D ） A. 23xy y y xe '''--= B. 23xy y y e '''--= C. 23xy y y xe '''+-= D. 23xy y y e '''+-=三、 解答题 [2006.二.15.10][2006.四.19.10]试确定常熟,,A B C 的值，使得()()2311x e Bx Cx Ax o x ++=++，其中()3o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小解法一 因为()23311126xe x x x o x =++++ 将其代入题设等式，整理得()()233111111262B x B C x B C x Ax o x ⎛⎫⎛⎫++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故有111210,,233611062B A BC A B C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⇒==-=⎨⎪⎪++=⎪⎩解法二 根据题设和洛必达法则，由于()23110limx x e Bx Cx Axx→++--=()2212lim3x x e B Bx Cx Cx Ax→++++-=()201224lim6x x e B C Bx Cx Cx x→+++++=201224lim 6x B C Bx Cx Cx x→+++++=042lim 6x B C Cx →++=，余同一 [2006.一.16.4[2006.二.18.12] 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,n n x x x n π+<<==（1）证明lim n n x →∞存在，并求该极限（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭解 （1）用数学归纳法证明数列{}n x 单调下降且有下界。
2006年普通高等学校招生全国统一考试黑龙江吉林广西卷理科综合
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（黑龙江、吉林、广西）以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Cl 35.5二、选择题（本题包括 8小题。
每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个 选项正确，全部选对的得 6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）15. 现有三个核反应：24 24 0 235 1 141 1 2 3 4 1① 11Na 12 Mg + 1e ② 92U + 0n ^ 56 Ba + 36 Kr + 3°n ③ 1 H + 1H 宀 2 He + 0n 下列说法正确的是A ①是裂变，②是B 衰变，③是聚变B ①是聚变，②是裂变，③是B 衰变C ①是B 衰变，②是裂变，③是聚变D ①是B 衰变，②是聚变，③是裂变16. 如图，位于水平桌面上的物块 P ,由跨过定滑轮的轻绳与物块Q 相连，从滑轮到P 和到Q 的两 段绳都是水平的。
已知 Q 与P 之间以及P 与桌面之间的动摩擦因数都是□，两物块的质量都 是m ,滑轮的质量、滑轮轴上的摩擦都不计，若用一水平向右的力F 拉P 使它做匀速运动，则F 的大小为A 4mgB 3 mgC 2 卩 mgD 卩 mg 17.频率一定的声源在空气中向着静止的接收器匀速运动。
以 u 表示声源的速度，V 表示声波的速度（u v V ）, v 表示接收器接收到的频率。
若 u 增大，则 A v 增大，V增大B v 增大， V 不变C v 不变，V 增大D V 减少， V 不变18. ab 是长为l 的均匀带电细杆， P 1、P 2是位于ab 所在直线上的两点，位置如图所示。
ab 上电荷 产生的静电场在 P 1处的场强大小为 E 1，在P 2处的场强大小为F 2。
则以下说法正确的是A 两处的电场方向相同，E 1> E 2 B 两处的电场方向相反， E 1 > E 2C 两处的电场方向相同， E 1 v E 2D 两处的电场方向相反，E 1 v E 219•如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块 P 和Q 都可视作质点，质量相等。
2006考研数三 真题 答案及详解
(C) 若 1 , 2 , , s 线性无关，则 A1 , A 2 , , A s 线性相关. (D) 若 1 , 2 , , s 线性无关，则 A1 , A 2 , , A s 线性无关. [ ]
（13）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1 倍加到第 2
[
]
（10）设非齐次线性微分方程 y P ( x ) y Q ( x ) 有两个不同的解 y1 ( x), y2 ( x), C 为任意常 数，则该方程的通解是 （Ａ） C y1 ( x) y2 ( x) . （Ｃ） C y1 ( x) y2 ( x) . （Ｂ） y1 ( x) C y1 ( x) y2 ( x) . （Ｄ） y1 ( x) C y1 ( x) y2 ( x) [ ]
1 ,4 . 2
（23） （本题满分 13 分） 设总体 X 的概率密度为
, 0 x 1, f x; 1 ,1 x 2, 0, 其他,
其中 是未知参数 0 1 ， X 1 , X 2 ..., X n 为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本 值 x1 , x2 ..., xn 中小于 1 的个数. （Ⅰ）求 的矩估计； （Ⅱ）求 的最大似然估计
b sin b 2 cos b b a sin a 2 cos a a .
（18） （本题满分 8 分） 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M 1, 0 ，其上任意点 P x, y x 0 处的切线 斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a >0 ）. (Ⅰ) 求 L 的方程； (Ⅱ) 当 L 与直线 y ax 所围成平面图形的面积为 （19） （本题满分 10 分）
北京大学2006年数学分析试题及解答
f (x) dx 绝对收敛.
n=0 xn
1
1. 实数列的单调有界收敛定理: 若 {xn} 是单调实数列且 ∃M > 0, |xn| ⩽ M, 则极限 lim xn 存在. n→∞
确界存在原理证明单调收敛定理 不妨假设 {xn} 是单调递增的, 因为 M 是集合 {xn | n ∈ N} 的一个上界, 令 α = sup{xn | n ∈ N}, 则 α ∈ R, 并且 xn ⩽ α, n ∈ N. ∀ε > 0, ∃N ∈ N, 使得 α − ε < xN ⩽ α, 于是 当 n > N 时, α − ε < xN ⩽ xn ⩽ α < α + ε,
北京大学 2006 年全国硕士研究生招生考试数学分析试题及解答
微信公众号：数学十五少 2019.05.15
1. (15 分) 确界原理是关于实数域完备性的一种描述, 试给出一个描述实数域完备性的其他定理, 并证明其与 确界原理的等价性.
2. (15 分) 设函数 f (x, y) = x3 + 3xy − y2 − 6x + 2y + 1, 求 f (x, y) 在 (−2, 2) 处带二阶 Peano 余项的 Taylor 展式. 问 f (x, y) 在 R2 上有哪些关于极值的判别点, 这些判别点是否为极值点, 说明理由.
f ′(x)
=
−
Fx′ (x, Fy′ (x,
f f
(x)) (x))
=
f (x) (2xf (x)2 − 1) − 3x2f (x)2 − x + 1
>
0,
从而 f (x) 在 (−∞, 0) 上单调递增. 因此 x = 0 为 f (x) 的唯一极大值点, 无极小值点.
清华大学2006数学分析真题参考答案
清华大学2006数学分析真题参考答案1．若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-++-≤则称{}n x 为有界变差数列，证：令10y =，11221n n n n n y x x x x x x ---=-+-++-（n=2,3,….）那么{}n y 单调递增，由条件知{}n y 有界，{}n y ∴收敛 ，从而0,0N ε∀>∃>，使当n m N >>时，有n m y y ε-<，此即：11211n n n n m m x x x x x x ε---+--+-++-<，而1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-++-<，由柯西准则{}n x 收敛。
2．证：（反证法）（1）若存在123,,x x x I ∈，且123x x x <<使得123()()()f x f x f x <>，考虑1()f x 和3()f x 。
(i)若()132()()()f x f x f x <<，由于()f x 在12[,]x x 上连续，由介值定理，必存在412[,]x x x ∈，使43()()f x f x =，定与一一映射矛盾。
(ii)()312()()()f x f x f x <<，这时考虑23[,]x x ，必存在523[,]x x x ∈使得51()()f x f x =，也得到矛盾。
(2)若存在123,,x x x I ∈且123x x x <<，123()()()f x f x f x ><。
由介值定理，存在412[,]x x x ∈，523[,]x x x ∈，使得42()()f x f x =，也与一一映射矛盾。
∴f(x)在I 必严格单调。
3．证：设()f x 在(,)a b 内两个不同实根为12x x <，即12()()0f x f x ==。
考研数学-云大2006数学分析
云南大学2006年硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：数学分析
一、计算极限
1
、9lim ln n n n n →∞⎫+⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭， 2、设当0x →时，23013
x t x x e dt ---⎰与n x 是同阶无穷小量，求正整数n 的值。
二、已知f(x)的一个原函数为sin x x
，求3()x f x dx '⎰ 三、证明不等式()1ln 2,011x x x x
+><<- 四、设f(x)在[0,a]上有连续的导数，若f(0)= f(a)，求证：至少存在一点()0,a ξ∈，使得
()2()3(()0)f f f ξξξ'=-
五、求幂级数()
201n n n x ∞=+∑的收敛域、和函数，并求级数()()20112n n n n ∞=-+∑的和。
六、将函数()(50)f x x x =-≤≤展开成周期为10的正弦级数。
七、设u,v 为x,y 的隐函数，它们由方程组01xu yv yu xv +=⎧⎨
+=⎩确定，在点（1，0，0，1）处求 八、设()()()11[]22x at x at
u x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰，其中ϕ和ψ分别具有一、二阶连续偏导数，证明22222
0u u a t x ∂∂-=∂∂
九、计算积分D ，其中，D 是圆()2
211x y ++=与直线y x =-围成的小部分区域。
十、计算积分()()2212S
dydz x y dzdx x x z dxdy +-+-⎰⎰，其中，S 是曲面221z x y =++被平面z=2所截得的一块曲面的下侧。
厦门大学2006年数学分析
厦门大学2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题(一)数学分析部分1.判断题(1)在闭区间上定义的连续函数一定一致连续.(2)设()f x 为可微函数,则''()(())f x dx f x dx =⎰⎰.(3)一个绝对收敛的级数改变其求和顺序后仍然收敛,且收敛值不变.(4)因为有理数集是可数集,所以我们可以将非负有理数按大小排列成一个数列:12.n r r r <<<<(5)有限闭区间上的一个具有连续导数的有界函数,其导数也有界.2.我们将所有有理数排成一个数列1{}n n r ∞=,试讨论函数1sgn()()2n n n x r f x ∞=-=∑的连续性. 3.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,(,)α∈-∞+∞,证明:(,)x ∀∈-∞+∞,都有01lim [()()]()().xh f t h f t dt f x f h αα→+-=-⎰ 4.设012(,,)n x a a a = 是n 元实函数 12,1()(,,,)n n ij i j i j f x f x x x a x x ===∑ 在单位球2121{(,,,):1}n n n i i x x x x R x ==∈≤∑ 内的极值点.则存在R λ∈使得00Ax x λ=,其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设()f t 为连续函数,,,a b c 为常数.证明 2221211()(1)()x y z f ax by cz dxdydz u f ku du π-++≤++=-⎰⎰⎰⎰,其中k = 6.设ϕ为可微函数,,,a b c 为常数.证明由方程222()ax by cz x y z ϕ++=++确定的函数(,)z z x y =满足方程()().z z cy bz az cx bx ay x y∂∂-+-=-∂∂ (二)实变函数部分1.证明有理数集是0测度集.2.设[,]k E a b ⊂的测度(),1,2,.k m E b a k =-= 证明1()[,]k k m E a b ∞=⋂=. 3.设(1,2,)k f k = 为[0,1]上的一列可测函数.若()0,.1()k k f x a e f x →+证明k f 以测度收敛于0.(三)常微分部分1.求解方程(sin sin )cos 0.x e x y dx ydy ++=2. 求解方程21.2dy x y dx x y --=+- 3. .求解方程'''320.y y y x -+-=。
06考研数一真题及答案
2006年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=-______【分析】 本题为0未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.【详解】 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x xx x →→+⋅==-.（2） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是______【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e xy Cx -=.（1e CC =）（3）设∑是锥面1)z z =≤≤的下侧，则d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-=⎰⎰______【详解】 设1∑：221(1)z x y =+≤，取上侧，则d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑++-⎰⎰11d d 2d d 3(1)d d d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y x y z y z x z x y ∑+∑∑=++--++-⎰⎰⎰⎰.而1d d 2d d 3(1)d d x y z y z x z x y ∑+∑++-⎰⎰＝2116d 6d d d 2rVv r r z πθπ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，1d d 2d d 3(1)d d 0x y z y z x z x y ∑++-=⎰⎰.所以d d 2d d 3(1)d d 2x y z y z x z x y π∑++-=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d =______【分析】 本题直接利用点到平面距离公式d =进行计算即可. 其中000(,,)x y z 为点的坐标，0Ax By Cz D +++=为平面方程.【详解】 2223241502345d ⨯+⨯+⨯==++.（5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则 =B ______【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ Ａ ] 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（8）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）2212d (,)d x xx f x y y -⎰⎰. （B ）2212d (,)d x x f x y y -⎰⎰.(C)2212d (,)d y yy f x y x -⎰⎰. (D)2212d (,)d y y f x y x -⎰⎰. [ Ｃ ]【分析】 本题首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可. 【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则 原式2212d (,)d y yy f x y x -=⎰⎰.故选（Ｃ）. （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取(1)nn a =-.故（Ｄ）项正确. （10）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=,整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠）， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）. （11）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.[ C ]【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,sA A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ Ｂ ］ 【分析】 利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】 由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有(A) ()()P A B P A ⋃> (B) ()()P A B P B ⋃>(C) ()()P A B P A ⋃= (D) ()()P A B P B ⋃= [ B ]【分析】 利用事件和的运算和条件概率的概念即可. 【详解】 由题设，知 ()(|)1()P AB P A B P B ==，即()()P AB P A =.又 ()()()()()P A B P A P B P AB P A ⋃=+-=. 故应选(Ｃ).（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-< 则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ D ] 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xyx y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. （16）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n t x =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 23300001sin sin cos 1sin 1lim1lim lim lim 366t t t t t t t t t t t t t t →→→→---⎛⎫-====- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （17）（本题满分12分）将函数2()2xf x x x =+-展成x 的幂级数.【分析】 利用常见函数的幂级数展开式. 【详解】 2()2(2)(1)21x x A Bf x x x x x x x===++--+-+，比较两边系数可得21,33A B ==-，即121111()3213112f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫=-=-⎪ ⎪-++⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 而1(1),(1,1)1n nn x x x ∞==-∈-+∑，01,(2,2)212nn x x x ∞=⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭-∑， 故120001111()(1)(1),(1,1)23232n n n n n n n n n n x f x x x x x x x ∞∞∞+===⎛⎫⎛⎫==--+=-+∈- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （18）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.【分析】 利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =，则((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂. 22()()z f u f u x ∂'''=+∂()22322222()()x y f u f u x y x y '''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y x f u f u y x yxy∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂得()()0f u f u u'''+=. （II ） 令()f u p '=，则d d 0p p u p u p u'+=⇒=-，两边积分得 1ln ln ln p u C =-+，即1C p u =，亦即 1()Cf u u'=. 由(1)1f '=可得 11C =.所以有 1()f u u'=，两边积分得 2()ln f u u C =+， 由(1)0f =可得 20C =，故 ()ln f u u =. （19）（本题满分12分）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=. 证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0Lyf x y x xf x y y -=⎰.【分析】 利用曲线积分与路径无关的条件Q Px y∂∂=∂∂. 【详解】 2(,)(,)f tx ty tf x y -=两边对t 求导得3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y -''+=-.令 1t =，则 (,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-. ① 设(,)(,),(,)(,)P x y yf x y Q x y xf x y ==-，则(,)(,),(,)(,)x y Q Pf x y xf x y f x y yf x y x y∂∂''=--=+∂∂. 则由①可得Q Px y∂∂=∂∂. 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0Lyf x y x xf x y y -=⎰.（20）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则 1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤.因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解.13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.（21）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T Q Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T 300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （22）（本题满分9分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y(Ⅱ) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】 （I ）设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1) 当0y <时，()0Y F y =；2) 当01y ≤<时，(2()()Y F y P X y P X =<=<01d 4x x =+=⎰.3) 当14y ≤<时，(2()()1Y F y P X y P X =<=-<<01011d d 242x x -=+=⎰. 4) 当4y ≥，()1Y F y =.所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤≤⎪⎪⎩其他.（II ） 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12111d 24x --==⎰. （23）（本题满分9分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数，求θ的最大似然估计.【分析】 先写出似然函数，然后用最大似然估计法计算θ的最大似然估计.【详解】 记似然函数为()L θ，则()()()()()111(1)N n N N n N L θθθθθθθθθ--=⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅-=-个个.两边取对数得ln ()ln ()ln(1)L N n N θθθ=+--， 令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-，解得N n θ=为θ的最大似然估计.。