常微分方程平衡点及稳定性研究
微分方程稳定性理论
若f '(x0) > 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 不稳定的.
2
注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义 (3)证明：记f '(x0) = a，则(4)的一般解为
x(t) = ceat + x0
(5)
其中常数c由初始条件确定，显然，a < 0时
(3)式成立.
3
二阶方程的平衡点和稳定性
二阶方程可用两个一阶方程表为
x1 (t ) x2 (t)
f ( x1, g( x1,
x2 ) x2 )
,
(6)
右端不显含t，是自治方程. 代数方程组
f g
( (
x1, x1,
x2 x2
) )
0 0
(7)
的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点， 记作P0(x10, x20).
)
8
均 衡 时 2均P为点0不(按负;0,而为照数0)当零稳或是.定均不1,性稳有的2定负有定平实一义衡部个(点时8为).式P正0在(可0数条,知或0件，)有是(当1正稳1)下实定1, 部平12,
按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则：
若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定.
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军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3
防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式“现代”导弹驱逐舰的活动也比较 频繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的“现代”级 导弹驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的 频率超过了俄罗斯海军。
常微分方程的稳定性和周期性
常微分方程的稳定性和周期性常微分方程是研究自然现象变化过程的一种数学方法。
它描述的是一个变量随时间的变化规律，广泛应用于微积分、物理学、生物学、天文学等领域。
而稳定性与周期性是常微分方程解的重要特征。
稳定性是指一个解在微小扰动后仍能保持其原有的状态。
以简单的单摆为例，它的运动可以由常微分方程描述出来。
摆的稳定性取决于它的初始位置和速度，如果初始位置偏离了平衡点太远，摆就会摆动得很大。
但是如果初始位置非常接近平衡点，摆就会缓慢地回到平衡点，并逐渐停止摆动。
这就是稳定性表现出来的效果。
对于常微分方程的解来说，稳定性的研究可以帮助我们预测解的长期行为，以及在实际问题中制定合适的控制策略。
周期性则是指一个解在固定时间间隔内周期性地变化。
周期性解是常微分方程非常重要的一个特殊类型，它在自然界中很常见，如天体运动、震荡等。
以简单的谐振运动为例，它的运动可以由常微分方程描述出来。
在特定的参数条件下，谐振运动会产生周期性解，这种解有着固定的振动频率和振幅。
对于周期性解的研究，可以帮助我们了解自然现象的规律，找到有效的调控途径和优化方案。
那么如何判断一个常微分方程的解是否稳定或者周期性呢？这里有一些常用的方法。
首先是线性稳定性分析。
线性稳定性分析是判断一个非线性系统稳定性的一种重要方法。
它利用一个非线性系统在某个平衡点的线性近似来分析系统的稳定性。
如果近似后的系统方程具有稳定性，则原方程也是稳定的。
通过计算特征方程的特征根，可以得到系统的稳定性。
其次是Lyapunov函数法。
Lyapunov函数是判断非线性系统稳定性的一种常见方法。
一个Lyapunov函数是一个实数函数，它可以度量系统状态与平衡点的距离。
如果Lyapunov函数是严格下降的，那么系统就是稳定的。
通过构造合适的Lyapunov函数来判断系统的稳定性，是非常实用的方法。
最后是Poincaré-Bendixson定理。
Poincaré-Bendixson定理是关于非线性系统稳定性和周期性的一个重要定理。
微分方程的平衡点及稳定性分析
者 可 以不 一致 ， 比如 说 ， 线性 近 似方 程 的平衡 点 为 中心 时 ， 用其 它 的方 法来判 断（ ） 要 ４ 式平 衡 点 的稳
１２ 判 定 平 衡 点 稳 定 性 的 方 法 ．
① 间接法 ： 定义３ 的方法称为间接法。 ②直接法 ： 不求方程式（ 的解 ） １ ） ０的方法 ， 称
为直接法。 方法： 在 将 ） 。 处作泰勒展开， 只取一
次项 ， 有微 分方 程 （ ） 近似 为 １可
变化规律 ， 预测它的未来形态时 ， 要建立对象 的动 态模 型 ， 常 要用到 微分方 程模 型 。 通 而稳 定性 模 型 的对象仍是动态过程 ，而建模 的目的是研究时间 充分 长 以后 过程 的变 化趋 势— — 平衡 状 态是 否 稳 定。 稳定性模型不求解微分方程 ， 而是用微分方程
） ） （） １
①羞 ０ ０则称 ）， ＜ 。 为方程（和（的稳定的 １ ３ ） ） 平
衡点。
ｏ 则称 为方 程（） ３的不稳 定 的平 ， １和（） 衡点。
定义２ 代数方程 ） 的实根 。 ： ＝ ０ 称为微分方
程（） １的平衡 点 。 定 义 ３从 某 领 域 的任 意 值 出发 ， 方 程 （ ） ： 使 １
。 ｏ 作 泰勒 展 开 ， ，） ｙ处 只取 一 次项 ， （在 Ｐ 。 。 得 ４ ） ０ ，） Ｙ
的线 性近 似方 程 为 ：
贝 ） 却 ｒ０ 则根据定理 １ｘ Ｏ Ｉ ＝＞ ， ， 是不稳定的平衡 ＝
点 ． Ｉ 一ｒＯ 是稳定的平衡点。 厂） ＜，
分 析 ： 平衡 点 的稳 定性 来 看 ， 从 随着 时 间 的推 移 ， 口的增 长在 人 处 趋于 稳定 ， 也就 是人 口达
常微分方程的稳定性与解的渐近行为
常微分方程的稳定性与解的渐近行为常微分方程是研究自然和社会现象中连续变化的数学模型，它们描述了物理系统、化学反应、工程问题以及许多其他领域中的动态行为。
对于常微分方程解的稳定性和渐近行为的分析是解决实际问题和预测系统行为的重要工具。
本文将讨论常微分方程的稳定性和解的渐近行为的相关概念和方法。
一、稳定性的概念和分类稳定性是指当微分方程的初值发生微小变化时，解的行为是否趋于不变。
常微分方程的稳定性可分为以下几类：1. 渐近稳定：当系统的解随着时间增长，趋于某一常数或者一个确定的函数。
2. 李雅普诺夫稳定：当系统的解随着时间增长，始终保持在某个有界区域内。
3. 指数稳定：当系统的解随着时间增长，趋于某个常数或函数，并且其收敛速度是指数级的。
4. 渐近不稳定：当系统的解随着时间增长，趋于无穷大。
二、线性常微分方程的稳定性线性常微分方程具有形如y'+ay=b的一阶形式，其中a和b是常数。
对于这类方程，其稳定性可以通过判断参数a的正负性来确定。
1. 当a<0时，方程的解趋于0，系统是渐近稳定的。
2. 当a>0时，方程的解趋于无穷大，系统是渐近不稳定的。
3. 当a=0时，方程的解保持不变，系统是李雅普诺夫稳定的。
三、非线性常微分方程的稳定性对于非线性常微分方程，稳定性的判断需要使用李雅普诺夫稳定性定理和渐近稳定性定理等方法。
1. 李雅普诺夫稳定性定理：如果一个常微分方程系统的解在某个平衡点附近连续可微，并且其雅可比矩阵的特征值都具有负实部，则该系统是李雅普诺夫稳定的。
2. 渐近稳定性定理：如果一个常微分方程系统的解在某个平衡点附近连续可微，并且满足李雅普诺夫稳定性定理的条件，且系统解中不存在振荡或发散行为，则该系统是渐近稳定的。
四、解的渐近行为解的渐近行为是指解随着时间趋于无穷时的极限行为。
常微分方程的解的渐近行为可以分为以下几类：1. 渐近稳定：解趋于某个有限值。
2. 渐近周期：解以一定的频率在某个值附近波动。
常微分方程定性与稳定性方法答案
由于常微分方程定性与稳定性方法是一个比较大的领域，这里只能提供一些基本的概念和答案，供参考：
什么是常微分方程？
常微分方程是描述物理、化学、生物等自然现象中的变化的方程。
常微分方程一般由一个或多个未知函数及其导数组成，通常用数学公式表示。
什么是定性分析？
定性分析是研究常微分方程解的行为特征而非求解具体解的方法。
它通常包括研究解的图像、相图、相平面等几何图形。
什么是稳定性？
稳定性是指一个系统在受到微小扰动后，是否能够回到原来的稳定状态的特性。
在常微分方程中，稳定性通常与平衡点相关。
什么是平衡点？
平衡点是指一个微分方程解中，导数为零的点。
在平衡点附近的解通常表现为一些稳定性特征，如稳定、不稳定、半稳定等。
什么是极限环？
极限环是指在相平面上，解沿着一个封闭轨迹无限接近平衡点的情况。
极限环通常是非线性微分方程中出现的现象，其表现形式与解在相平面上的轨迹有关。
以上是常微分方程定性与稳定性方法的一些基本概念和答案，仅供参考。
实际上，这个领域非常广阔，需要深入研究和掌握相关的理论和方法才能应用到实际问题中。
常微分方程的定性分析
常微分方程的定性分析常微分方程是研究自变量只涉及一个变量的微分方程，在科学和工程中具有广泛的应用。
定性分析是常微分方程中重要的一部分，它是指通过分析方程的性质和图像来揭示方程的解的行为。
在本文中，我们将讨论常微分方程的定性分析的基本方法和技巧。
一、平衡点和稳定性分析在进行定性分析之前，首先需要确定方程的平衡点。
平衡点是指微分方程中导数为零的点，即解保持恒定的点。
通过求解方程等于零的情况，我们可以找到方程的平衡点。
确定平衡点后，我们需要分析平衡点的稳定性。
稳定性是指当初始条件接近平衡点时，解是否会趋向于平衡点。
通过线性化的方法可以分析平衡点的稳定性，即在平衡点附近做泰勒展开，然后分析展开式的特征根。
二、相图和相轨线相图是用来描述微分方程解的整体行为的图形表示。
在相图中，自变量通常表示时间，因变量表示微分方程的解。
通过绘制相图，我们可以看到解的轨迹和相位变化。
相轨线是相图中的曲线，表示微分方程解在相空间中的轨迹。
通过绘制相轨线，我们可以直观地了解方程的解的行为。
相轨线可以通过数值方法或者解析方法进行求解。
三、参数分析和稳定性改变在定性分析中，我们可以通过改变微分方程中的参数来观察解的行为的变化。
通过参数的分析，我们可以看到解在不同参数取值下的定性变化。
特别是可以通过稳定性分析，观察参数的改变对平衡点的稳定性有何影响。
四、存在性和唯一性在进行定性分析之前，我们需要先讨论微分方程解的存在性和唯一性问题。
存在性指的是在给定的初始条件下是否存在解。
唯一性指的是解是否是唯一的。
通过利用积分器的理论可以证明微分方程解的存在性和唯一性。
五、应用实例下面通过几个实例来说明常微分方程定性分析的具体应用。
例1：考虑简谐振动方程m*x''+c*x'+k*x=0。
分析方程的解的稳定性和相轨线。
解：首先确定平衡点。
当加速度为零时，m*x''+c*x'+k*x=0，可得平衡点为x=0。
常微分方程平衡点
常微分方程平衡点在常微分方程的解析中，平衡点是非常重要的一个概念。
平衡点也被称为固定点或者稳定点。
平衡点是指微分方程中，如果取值等于该点，微分方程的解将会保持不变。
也就是说，在该点附近可以观察到系统的稳定性和动力学行为。
因此，对于常微分方程的分析和解决，平衡点也有着至关重要的作用。
本文将着重探讨关于常微分方程平衡点的相关参考内容。
一、平衡点的概念和性质平衡点是常微分方程中的一个重要概念。
在理解平衡点前，需先了解微分方程的解析解。
在微分方程中，解析解是指通过数学分析和运算得到的函数形式解，而平衡点就是在微分方程中，取值为该点时系统处于稳定状态。
在数学上，平衡点可以通过计算微分方程的雅可比矩阵的特征值来判断。
当该点的特征值全部为负实数时，该点为稳定平衡点。
二、平衡点的寻找与计算如何寻找一个微分方程的平衡点？在进行分析求解时，通常会采用数值方法或者解析方法。
其中，解析方法通常采用原函数求解，而数值方法则通过求解微分方程的数值解来确定平衡点。
这里介绍一种基于Jacobi矩阵的求解平衡点的方法。
具体步骤如下：1. 将微分方程转化成矢量形式，并将微分方程写成矩阵的形式，即矢量函数f(x) = (f1(x),…,fn(x))T 以及矩阵形式的微分方程f'(x) = A(x)f(x)。
2. 计算雅可比矩阵J(x) = [∂fi/∂xj]，其中i,j分别表示矢量f(x)的第i行第j列元素。
3. 求解雅可比矩阵J(x)在平衡点处的特征值和特征向量。
如果所有特征值的实部为负数，则平衡点为稳定平衡点。
否则，平衡点为不稳定平衡点。
4. 如果出现了零特征值，则可能需要使用中心流体倍增法（center manifold reduction）对其进行进一步的分析。
三、平衡点和稳定性的物理及实际应用平衡点的概念和寻找方法已经介绍了，下面就来谈谈平衡点和稳定性的物理及实际应用。
一般情况下，系统处于平衡点附近时，其动力学行为将基于平衡点本身的性质。
常微分方程与运动稳定性第三篇
稳定性意味着系统能够自我调整并恢复到平衡状态，而不稳定性则表明系统在受到扰动后会偏离原有 状态，且无法自行恢复。
运动稳定性的分类
线性稳定性与非线性稳定性
线性稳定性是指系统在受到小扰动后，其运动状态的改变与扰动成线性关系； 非线性稳定性则是指系统在受到扰动后，其运动状态的改变与扰动成非线性关 系。
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在控制工程中，运动稳定性是一个重要指标。通过设计控制器使得系 统满足一定的稳定性条件，可以保证系统的正常运行和安全性。
05 常微分方程的数值解法与 运动稳定性
常微分方程的数值解法
01
02
03
欧拉法
通过差分近似导数，将微 分方程转化为差分方程进 行求解。
龙格-库塔法
在欧拉法的基础上，采用 更高阶的差分近似，提高 求解精度。
为实际问题的解决提供理论支持
微分方程和运动稳定性理论在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。通过本文的研究，可以为这些领 域中实际问题的解决提供理论支持，推动相关学科的发展。
微分方程与运动稳定性的关系
微分方程是描述运动现象的数学模型 ：微分方程可以描述自然界中各种运 动现象的变化规律，包括机械运动、 电磁运动、流体运动等。通过求解微 分方程，可以得到运动现象的数学表 达式，进而分析其性质和行为。
常微分方程的稳定性分析
线性稳定性分析
通过研究常微分方程线性化后的特征值和特 征向量，判断解的稳定性。若所有特征值具 有负实部，则解是稳定的。
非线性稳定性分析
对于非线性常微分方程，需要采用更复杂的方法如 李雅普诺夫稳定性理论等进行分析。
稳定性判据
在控制论中，有一些经典的稳定性判据如劳 斯判据、赫尔维茨判据等，可用于判断常微 分方程解的稳定性。
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， ， (2-2)
满足解的存在惟一性定理的条件，其解 的存在区间是 ， 还满足条件
(2-3)
(2-3)保证 是(2-2)的解，我们称它为零解。
定义2.1若对任意给定的 ，都能找到 ，使得当 时(2-2)的解 满足
， (2-4)
则称(2-2)的零解是稳定的，否则称(2-2)的零解是不稳定的。
2.2.2
设 维自治微分方程
(2-6)
的解为 。为了研究(2-6)解的稳定性，考察随时间变化时 的变化情况数 沿着(2-7)轨线的全导数。
定理2.1若有原点的邻域 和一个正定(负定)函数 ，使得 是半负定(半正定)的，则系统(2-6)的零解是稳定的；且使得 负定(正定)时，(2-6)的零解是渐近稳定的。
由定义2.6看出， 正定时必是半正定的。另外正定和半正定与空间的维数和邻域 的大小有关。例如 是 中的正定函数，而它在 中仅是半正定的。利用化为极坐标的方法可以看出，函数 在 中的区域 中是正定函数，而在 中却不是正定函数。
最常用的 函数是二次型 ，因为二次型的表达式简单，其符号类型可以利用线性代数中有关 的特征值理论来判定，且一些复杂的 函数往往可以通过对二次型的修改得到。
是(2-2)零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有 ，均有 .即从 中出发的解趋于 。
定义2.3若(2-2)的解释稳定的，又是吸引的，则称(2-2)的零解是渐近稳定的；如果(2-2)的零解的吸引域是整个 ，则称(2-2)的零解是全局渐近稳定的。
定义2.4若定义2.1中的 与 无关，则称(2-2)的零解是一致稳定的；若定义2.2中的 与 和 无关，则称(2-2)的零解是一致吸引的；若(2-2)的零解是一致稳定和一致吸引的，则称(2-2)的零解是一致渐近稳定的。
定理2.1的几何意义是函数 正定时， 是包围原点的闭曲面族，且随着 的减少而缩向原点。当全导数 半负定时，在 时过 的轨线 上， 的值不会增加，(2-6)的轨线只能停留在 内，所以原点是稳定的。当 负定时，原点邻域内(2-6)的轨线不断跑向闭曲面族 中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以(2-6)的零解是渐近稳定的。该几何意义也正是我们证明定理2.1的基本思想。
第
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理 化学 生物 天文）和社会科学（如工程 经济 军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。
注1(2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径 ，总能在 中找到一个以原点为中心、半径为 的开球 ，使得(2-2)在 时刻从 出发的解曲线当 时总停留在半径为 的开球 内。
注2 (2-2)的零解不稳定的数学描述是至少存在一个 ，使得对任意的 ，在开球 内至少有一个点 和一个时刻 ，使得 ．
注3对(2-2)的任何一个解都可以定义稳定性。事实上，若 是(2-2)的一个解，为了考察其他解 和它的接近程度，我们就可以令 ，带入(2-2)得
李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。
早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。
第
2.1
初始值的微小变化对不同系统的影响不同。例如初始值问题
， (2-1)
的解为 . 是(2-1)的一个解，我们称它为零解。当 时，无论 多小，只要 ，当 时，总有 ，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当 时， 与零解的误差不会超过初始误差 ，且随着 的增加很快就会消失，所以当 很小时， 与零解的误差也很小。这个例子表明 时(2-1)的零解是“不稳定的”，而当 时(2-1)的零解是“稳定”的。下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。
摘
本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过 稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型
对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。
关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如 定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。
20世纪50～60年代，在美国贝尔曼(R．Bellman)、莱夫谢茨(S．Lefschetz)及拉萨尔(J．P．LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。
叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。
的平衡点 的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。
关键词：自治系统 平衡点 稳定性 全局吸引性
A
In this paper,we givedthe conceptions ofdifferential equationstability.Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discussa step andthe second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium of the followingdelay single population model
70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了50～60年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等
继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。
李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等。吉泽太郎(T．Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。
is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.
Key Words:autonomous system;equilibriumpoint;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity
2.2.1
设函数 在 中原点的某邻域 中有定义， 在 中连续可微，且满足 。
定义2.6若除原点外对所有 均有 ，则称 为正定函数(负定函数)；若对所有 均有 ，则称 为半正定函数或常正函数(半负定函数或常负函数)；若 中原点的任一邻域内 既可取正值，也可取负值，则称 为变号函数。