一阶微分方程的平衡点及其稳定性
微分方程稳定性
det A 0
P0 (0, 0 )的 稳 定 性 由 (9 ) 的 特 征 方 程
det( A I ) 0
(11)
(12)
的根（特征根）决定。方程（12）可写为
2 p q 0 p ( a1 b 2 ) q d et A (1 3)
则特征根为
（ 即 a 0 或 p , q 0） 得到的。在临界情况下 即 a = 0 或 p , q = 0） （
（1）平衡点和稳定性的概念只是对自治方程(1)(6)而言才有意义。
二者可以不一致。 (3) 在讨论平衡点稳定性时，对初始点的要求是存在一个邻 域，这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点 (3)(8)式成立，成为全局稳定。对于线性方程，局部稳定 和全局稳定是等价的，对于非线性方程，二者不同。 (4) 对于临界情况，和非线性方程的全局稳定，可以用相 轨线分析方法讨论。
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结束
建模与求解：设地球半径为 R ，质量为M ；卫星轨 道半径为r ，卫星质量为m 。
根据假设（ii）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛 顿万有引力定律可知其引力大小为
F= GMm r
2
(1)
其中G 为引力常数。 为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（1）式得
mg = GMm R
1 k
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C ln ( mg ) 代入上式后化简, 得特解 v
mg k
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t 足够大时
k m t
v
)
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mg k
(1 e
常微分方程平衡点
常微分方程平衡点常微分方程平衡点是指微分方程中使系统保持静止或者不改变的点。
平衡点也被称为固定点或者驻点，它们在研究微分方程中的系统行为和性质时起到了重要的作用。
平衡点可以分为稳定平衡点、不稳定平衡点和半稳定平衡点。
稳定平衡点是指系统在该点附近的解是收敛到该点的。
也就是说，如果微分方程的解在该点附近偏离一点，系统将回到该点。
稳定平衡点是系统稳定性的一种表示，它表明系统对扰动具有一定的抗性。
不稳定平衡点是指系统在该点附近的解是发散的。
也就是说，如果微分方程的解在该点附近偏离一点，系统将远离该点。
不稳定平衡点表示系统不稳定，对扰动没有抗性。
半稳定平衡点是指系统在该点附近的解具有一定的稳定性和不稳定性。
也就是说，系统在该点附近的某些解是收敛到该点的，而其他解是发散的。
半稳定平衡点表示系统对扰动的反应具有一定的不确定性。
下面以几个常见的微分方程为例，简要介绍其平衡点和相关内容。
1. 一阶线性微分方程：$\frac{dx}{dt} = ax$该微分方程的平衡点为$x=0$。
当$a>0$时，该平衡点是不稳定的；当$a<0$时，该平衡点是稳定的。
平衡点的稳定性与$a$的符号有关。
2. 一阶非线性微分方程：$\frac{dx}{dt} = f(x)$该微分方程的平衡点为$f(x)=0$的解。
根据$f'(x)$的正负性，可以判断平衡点的稳定性。
如果$f'(x)<0$，则平衡点是稳定的；如果$f'(x)>0$，则平衡点是不稳定的。
3. 二阶线性非齐次微分方程：$\frac{d^2x}{dt^2} +a\frac{dx}{dt} + bx = f(t)$该微分方程的平衡点为$x=C$，其中$C$满足$aC+bC=0$。
平衡点的稳定性与$a$和$b$的符号有关。
如果$a<0$且$b>0$，则平衡点是稳定的；如果$a>0$且$b>0$，则平衡点是不稳定的。
微分方程稳定性理论
一阶方程的平衡点及稳定性 dx/dt=f(x)---------自治方程
t
f(x)=0 的实根 x=x0------为平衡点
如果 lim x (t ) x0 则称 x0 是稳定,否则 x0 是不稳定的
f ( x0 ) 0 f ( x0 ) 0
则称 x0 是稳定 则称 x0 是不稳定的
fx A 1 g x1 f x2 g x2
q=detA
0 0 p0 ( x1 , x2 )
P ( f X1 g x2 ) P0 平衡点的稳定性判定与上一样
表四
1，2
p, q
平衡点类型
稳定性
1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
p0
稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心
稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定
1 2 0
1 0 2
1 2 0
1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
p 0, q 0
1,2 i, 0
1,2 i, 0 1,2 i, 0
二阶方程的平衡点及稳定性
dx1 dt f ( x1 , x2 ) dx 2 g ( x1 , x2 ) dt
f ( x1 , x2 ) 0 0 0 0 0 的解 x1 x1 -----为平衡点,记为 p0 ( x1 , x2 x2 , x2 ) g ( x1 , x2 ) 0
微分方程的平衡点及稳定性分析
者 可 以不 一致 ， 比如 说 ， 线性 近 似方 程 的平衡 点 为 中心 时 ， 用其 它 的方 法来判 断（ ） 要 ４ 式平 衡 点 的稳
１２ 判 定 平 衡 点 稳 定 性 的 方 法 ．
① 间接法 ： 定义３ 的方法称为间接法。 ②直接法 ： 不求方程式（ 的解 ） １ ） ０的方法 ， 称
为直接法。 方法： 在 将 ） 。 处作泰勒展开， 只取一
次项 ， 有微 分方 程 （ ） 近似 为 １可
变化规律 ， 预测它的未来形态时 ， 要建立对象 的动 态模 型 ， 常 要用到 微分方 程模 型 。 通 而稳 定性 模 型 的对象仍是动态过程 ，而建模 的目的是研究时间 充分 长 以后 过程 的变 化趋 势— — 平衡 状 态是 否 稳 定。 稳定性模型不求解微分方程 ， 而是用微分方程
） ） （） １
①羞 ０ ０则称 ）， ＜ 。 为方程（和（的稳定的 １ ３ ） ） 平
衡点。
ｏ 则称 为方 程（） ３的不稳 定 的平 ， １和（） 衡点。
定义２ 代数方程 ） 的实根 。 ： ＝ ０ 称为微分方
程（） １的平衡 点 。 定 义 ３从 某 领 域 的任 意 值 出发 ， 方 程 （ ） ： 使 １
。 ｏ 作 泰勒 展 开 ， ，） ｙ处 只取 一 次项 ， （在 Ｐ 。 。 得 ４ ） ０ ，） Ｙ
的线 性近 似方 程 为 ：
贝 ） 却 ｒ０ 则根据定理 １ｘ Ｏ Ｉ ＝＞ ， ， 是不稳定的平衡 ＝
点 ． Ｉ 一ｒＯ 是稳定的平衡点。 厂） ＜，
分 析 ： 平衡 点 的稳 定性 来 看 ， 从 随着 时 间 的推 移 ， 口的增 长在 人 处 趋于 稳定 ， 也就 是人 口达
一阶微分方程的平衡点及其稳定性(精)
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
xx 0 x x0 x
0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim x ( t ) x , 称x0是方程(1)的稳定平衡点 0 t
产量模型
稳定性判断
F ( x0 ) E r, F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E~捕捞强度
x0稳定, x1不稳定
x0不稳定, x1稳定
r~固有增长率
F ( x0 )(x x0 ) (2) x
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
F ( x0 ) 0 x0稳定(对(2), (1)) F ( x0 ) 0 x0不稳定(对(2), (1))
6.1
背景
捕鱼业的持续收获
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
• 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润
R T S pEx cE
E R( E ) T ( E ) S ( E ) pNE(1 ) cE r r c r E ( 1 ) E* 求E使R(E)最大 R 2 pN 2 2 rN c 渔场 x N (1 E R ) N c hR (1 2 2 ) R 4 p N 2 2p 鱼量 r
建模
捕捞情况下 渔场鱼量满足
微分方程与差分方程
N， ，
N (t )
Nm Nm r ( t t 0 ) 1 N 1 e 0
.
下面,我们对模型作一简要分析. （1）当 t , N (t ) N m ,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值 N m ； （2）当 0 N N m 时, 数； （3） 由于
这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为
N (t ) N 0 e r (t t0 ) ,
此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计 1961 年地球上的人口总数为 3.06 10 ,而在以后 7 年中,人口总数
9
9 以每年 2%的速度增长,这样 t 0 1961 , N 0 3.06 10 , r 0.02 ,于是
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
定义 3：代数方程组
（5）
f ( x, y) 0 的实数根 x x0 , y y0 ，称它为（5）的一个平衡点 g ( x, y) 0
（或奇点） ，记为 P0 ( x0 , y0 ) . 定义 4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解 x (t ) ， y (t ) 都满足
2 T D 0
特征根为 1,2
T T 2 4D . 2
下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究： 1） T 4 D 0
2
3
华南农业大学数学建模培训
ⅰD0 ⅱD0
2
T 0 T 0
二根异号
二根同正 二根同负
O 是不稳定结点 O 是稳定结点
O 是鞍点
显然 O(0, 0) 为系统的奇点，记系统系数矩阵 A
微分方程稳定性定理
微分方程稳定性定理微分方程是数学中的一种基础工具，它描述了自然界中的许多现象，例如物理学中的运动、力学、电路等等。
那么如何判断一个微分方程解的稳定性呢？这就需要用到微分方程稳定性定理。
微分方程稳定性定理是微分方程理论中的一个基础定理，通过研究微分方程的解的奇点的性质，可以判断微分方程的解的稳定性。
微分方程的解的稳定性与它的初值条件和参数有关。
下面我们来详细介绍微分方程稳定性定理。
首先，我们来看一个简单的微分方程的例子：$y'=-y$这个微分方程的解为$y=Ce^{-x}$，其中$C$为常数，在不同的初值条件下，这个微分方程的解会发生不同的情况。
如果初值条件为$y(0)>0$，那么解曲线将呈现出一种渐近逼近某个值的趋势，也就是我们所说的稳定性；如果初值条件为$y(0)<0$，那么解曲线将呈现出一种指数增长的趋势，也就是我们所说的不稳定性。
对于一个一阶微分方程$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$，如果它的所有解在某一点$(x_0,y_0)$处存在且唯一，而且$f(x_0,y_0)=0$，那么称这个点$(x_0,y_0)$为微分方程的一个奇点。
奇点可以分为以下三类：1.鞍点若在$(x_0,y_0)$附近的任意一个点$(x,y)$，都有$f(x,y)\neq0$，那么$(x_0,y_0)$就是鞍点，这个点是微分方程的不稳定平衡点。
2.稳定平衡点若在$(x_0,y_0)$附近的所有点$(x,y)$，都有$f(x,y)$的符号相同，那么$(x_0,y_0)$就是稳定平衡点，这个点是微分方程的稳定平衡点。
3.不稳定平衡点若在$(x_0,y_0)$附近的所有点$(x,y)$，都有$f(x,y)$的符号不同，那么$(x_0,y_0)$就是不稳定平衡点，这个点是微分方程的不稳定平衡点。
接下来我们来介绍微分方程稳定性定理，微分方程稳定性定理包含了两个基本的结论：稳定性定理和不稳定性定理。
阶微分方程的平衡点及其稳定性
数值模拟验证
通过数值模拟，我们验证了理论分析的正确性，并展示 了平衡点的稳定性和动态行为。
ABCD
稳定性分析
通过分析微分方程的线性化矩阵，我们确定了平衡点的 稳定性，并给出了稳定性条件。
应用价值
阶微分方程的平衡点及其稳定性研究在物理、工程、生 物等领域具有广泛的应用价值。
研究展望
深入研究其他类型的平衡点
PART 02
阶微分方程基础
REPORTING
WENKU DESIGN
定义与分类
一阶微分方程
描述一个变量随时间变化的速率与其当前值有关的方程。
二阶微分方程
描述一个变量的变化率与该变量的当前值和其变化率有关的方程。
高阶微分方程
描述一个变量的变化率与该变量的多个历史值有关的方程。
平衡点的概念
平衡点
阶微分方程的平衡点 及其稳定性
https://
REPORTING
• 引言 • 阶微分方程基础 • 平衡点的稳定性分析 • 平衡点的分岔现象 • 数值模拟与实例分析 • 结论与展望
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
主题简介
阶微分方程是描述系统动态行为的数 学模型，平衡点是微分方程的解，表 示系统在某一状态下保持稳定。
当系统的参数发生变化时，平衡点的稳定性可能会发生改变，导致系统行为发生 突然变化，这种现象称为分岔。
分岔的类型与判别
01
叉形分岔
当系统参数变化时，平衡点数量 发生改变，从两个平衡点变为一 个或从一个变为两个。
鞍-结分岔
02
03
霍普夫分岔
当系统参数变化时，平衡点从稳 定变为不稳定或从不稳定变为稳 定。
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封闭式捕捞追求利润 追求利润R(E)最大 最大 捕捞 封闭式捕捞追求利润
ER
过度 开放式捕捞只求利润 开放式捕捞只求利润 只求利润R(E) > 0
令 E R ( E ) = T ( E ) S ( E ) = pNE (1 ) cE =0 r
r c = (1 ) 2 pN
c Es = r (1 ) pN
6.1
背景
捕鱼业的持续收获
再生资源（渔业、林业等）与 再生资源（渔业、林业等） 非再生资源（矿业等） 非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发 再生资源应适度开发——在持续稳 在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及 分析
在捕捞量稳定的条件下，如何控 捕捞量稳定的条件下 的条件下， 制捕捞使产量最大或效益最佳。 制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 如果使捕捞量等于自然增长量， 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
F(x) = 0
f 与h交点 交点P 交点
0 x0*=N/2 x0
N
E < r x0稳定
P的横坐标 x0~平衡点 的横坐标 平衡点
* *
x
P的纵坐标 h~产量 的纵坐标 产量
* E* = hm / x0 = r / 2
产量最大 P ( x0 = N / 2, hm = rN / 4)
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
建模
捕捞情况下 渔场鱼量满足
记 F ( x ) = f ( x ) h( x )
x x ( t ) = F ( x ) = rx (1 ) Ex N
不需要求解 不需要求解x(t), 只需知道 稳定的条件 只需知道x(t)稳定的条件
x x ( t ) = F ( x ) = rx (1 ) Ex N E F ( x) = 0 x 0 = N (1 ), x1 = 0 r 平衡点
一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治） x = F (x) (1) 一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根 0 ~微分方程的平衡点 的根x 微分方程的 微分方程的平衡点 的根
x x=x = 0 x ≡ x0
0
是方程的解， 设x(t)是方程的解，若从 0 某邻域的任一初值出发， 是方程的解 若从x 某邻域的任一初值出发， 都有
产量模型 假设
x(t) ~ 渔场鱼量
无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 规律 x x ( t ) = f ( x ) = rx (1 ) N r~固有增长率 N~最大鱼量 固有增长率, 最大鱼量 固有增长率 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度 捕捞强度
x0 稳定 可得到稳定产量 稳定,
在捕捞量稳定的条件下， 在捕捞量稳定的条件下， 产量模型 图解法 控制捕捞强度使产量最大 F ( x) = f ( x) h( x) y y=rx y=E*x x y=h(x)=Ex f ( x ) = rx (1 ) * P hm N P h h( x ) = Ex y=f(x)
R(E)=0时的捕捞强度 临界强度 Es=2ER 时的捕捞强度(临界强度 时的捕捞强度 临界强度) 临界强度下的渔场鱼量
c Es x s = N (1 )= p r
S(E)
p ↑, c ↓
Es ↑, xs ↓
0
ER E*
T(E) Es r E
捕捞过度
效益模型
假设
在捕捞量稳定的条件下， 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞 强度使效益最大. 强度使效益最大
鱼销售价格 鱼销售价格p
单位捕捞强度费用 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润
R = T S = pEx cE
稳定平衡点 x 0 = N (1 E / r )
产量模型
稳定性判断
F ′( x0 ) = E r , F ′( x1 ) = r E
E < r F ′( x0 ) < 0, F ′( x1 ) > 0
E > r F ′( x0 ) > 0, F ′( x1 ) < 0
E~捕捞强度 捕捞强度
x0稳定, x1不稳定
x0不稳定 , x1稳定
r~固有增长率 固有增长率 x1 稳定 渔场干枯 稳定,
lim x(t ) = x0 , 称x0是方程(1)的稳定平衡点 是方程(1)的 t →∞
x = F ′( x0 )( x x0 ) (2)
不求x(t), 判断 0稳定性的方法 判断x 稳定性的方法——直接法 不求 直接法 (1)的近似线性方程 的近似线性方程
F ′( x0 ) < 0 x0稳定(对(2), (1)) F ′( x0 ) > 0 x0不稳定(对(2), (1))
E R ( E ) = T ( E ) S ( E ) = pNE (1 ) cE r r c r E 大 使 最大 2 pN 2 2 rN c 渔场 x = N (1 E R ) = N + c hR = (1 2 2 ) R 4 p N 2 2p 鱼量 r