一阶微分方程的平衡点及其稳定性
微分方程、动力系统与混沌导论第1章一阶方程[书摘]
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微分⽅程、动⼒系统与混沌导论第1章⼀阶⽅程[书摘]微分⽅程模型在模型分析中的主要问题之⼀是稳定性分析。
微分⽅程模型的稳定性及其实际意义⽤微分⽅程⽅法建⽴的动态模型问题中的⼀个重要问题是：当时间充分长后，动态过程的变化趋势是什么？微分⽅程模型中，⽅程 ( 组 ) + 初始条件→解。
初始条件的作⽤在于确定解, 它的微⼩变化会产⽣不同的解，换⾔之，对解的发展性态变化，往往具有影响作⽤。
问题是这种对解的发展性态的影响作⽤是长期存在的，还是当时间充分⼤以后 , 影响作⽤会 “消逝”?有时候，初始条件的微⼩变化会导致解的性态随时间变⼤后 , 产⽣显著的差异，这时称系统是不稳定的；有时候，初始条件变化导致解的性态差异会随时间变⼤后⽽消失，这时称该系统是稳定的。
在实际问题中，初始状态不能精确地⽽只能近似地确定，所以稳定性问题的研究对于⽤微分⽅程⽅法建⽴的模型具有⼗分重要的实际意义。
也就是说，在具有稳定性特征的微分⽅程模型中，长远来看, 最终发展结果与精确的初始状态究竟如何，两者之间没有多⼤关系，初始状态刻画得精确不精确是⽆关紧要的。
微分⽅程稳定性理论可以使我们在很多情况下不求解⽅程便可直接得到微分⽅程模型描绘的系统是稳定或不稳定的结论。
研究者对于微分⽅程稳定性理论的研究兴趣往往⼤于该⽅程解有⽆解析表达式的研究兴趣。
在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分⽅程是⼀类称为⾃治系统的⽅程。
⾃治⽅程：是指⽅程中不显含⾃变量$t$的微分⽅程，例如⼀阶⽅程\[x'(t) = f(x)\]⼆阶⽅程\[\left\{ \begin{array}{l}x'(t) = f(x,y)\\y'(t) = g(x,y)\end{array} \right.\]⾃治⽅程中的解随时间不断变⼤，如有稳定变化趋势，则这个解的最终趋势值只能是该⽅程的平衡点。
⼀阶微分⽅程$x'(t) = f(x)$的平衡点是指代数⽅程$f(x)=0$的根(可能不⽌⼀个根) 。
8.7微分方程、差分方程在经济学中的简单应用
少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月
利率为0.5%， 10年后子女大学毕业用完全部资金. 分析 该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年
每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在
20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元， 10内用完所有资金. 解 设从现在到20年内共要筹措 x 元资金，第n个月 投资账户资金为In元， 每月存入资金 a 元. 同时 也设 20 年后第 n 个月投资帐户资金为Sn 元，于是， 20 年后，关于Sn的差分方程模型为
现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究
上述振荡现象.
s 设第 n 个时期 (假定为一年) 猪肉的产量为 Q n , 价格为
Pn ,
产量与价格的关系为
Pn f ( Q n ),
s
d
本时期的价格又
决定下一时期的产量， 因此
Q n 1 g ( Pn ).
这种产销关系可用下述过程来描述：
Q1 P1 Q 2 P2 Q 3 P3
.
S n 1 1.005 S n 1000,
（9）
并且 S 120 0 , S 0 x . 解方程(9)，得通解
S n 1.005 C
n
1000 1 1.005
120
1.005 C 200000,
n
以及
S 120 1.005
C 200000 0,
x
所以原方程满足初始条件的特解为
a yt 2 r 12 x r 12 (1
r 12
) x
t
1
a 2
r 12
大学《数学建模》考试题目汇总
答案：
解：设供应点 Ai 供应需求点 B j 的物资的数量为 xij (i 1,2,3; j 1,2,4) ，
则可建立运输问题的数学模型：
min Z x11 8x12 5x13 11x14 3x21 4x22 2x23 5x24 7x31 10x32 9x33 6x34
x11 x12 x13 x14 7 x11 x21 x31 3
3.2030 级新生入学后，大数据学院共有在校学生 600 人，其中数据分析及大数据 专业 320 人，人工智能专业 200 人，统计分析专业 80 人。要在全院推选 25 名学 生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表： （1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者； （2）用 Q 值方法进行分配
9. 某厂生产甲、乙、丙三种产品，消耗两种主要原材料 A 与 B。每单位产品生 产过程中需要消耗两种资源 A 与 B 的数量、可供使用的原材料数量以及单位产 品利润如下表：
甲
乙
丙
原料数量
A
60
30
50 4500 公斤
B
30
40
50 3000 公斤
产品利润 400 元 300 元 500 元
甲、乙、丙三种产品各生产多少使总利润最大？ （1）建立线性规划问题数学模型。 （2）写出用 LINGO 软件求解的程序。 答案：（数据乘 10）
4.某商店每天要订购一批牛奶零售，设购进价 c1 ，售出价 c2(c2 c1) ，当天销售不 出去则削价处理，处理价 c3(c3 c1) 并能处理完所有剩余的牛奶。如果该商店每 天销售牛奶的数量 r 是随机变量，其概率密度函数为 f (r) 。如果商店每天订购牛 奶的数量为 n ， L 该商店销售牛奶每天所得利润，则 L 是 r 与 n 的函数 L g(r) （1）建立利润函数 L g(r) ； （2）确定每天的购进量 n ，使该商店每天的期望利润最大。
fxd1-4相图方法
dy dx
2 0
x y
0
1 2
y
2
1 2
02x
2
E
1 相图方法
一般情况
一个非线性微分方程：
d 2x
dx
dt 2
f
(x , ) dt
引进变数 y 后有
dx dt
y
dy dt
f (x , y )
或更一般的形式
dx
dt dy
P(x
,
y
)
Q(x , y )
• 根据稳定性定义，周期运动满足稳定性条件，中心点是稳定平衡点。
2 平衡点的类型及其稳定性
p,q 平面上奇点分布
p,q 平面 在平面下半部分， q 0 ,这个区域内的奇点是鞍点 平面上半部，由抛物线 p 2 4q 分为四个区.
第一象限由抛物线划分成不稳 定的结点 (p2>4q) 与不稳定的焦 点 (p2<4q) 两个区； 第二象限由抛物线划分成稳定 的 结 点 (p2<4q) 与 稳 定 的 焦 点 (p2>4q) 两个区； 在正q 轴上, p = 0, l是纯虚数,平 衡点是中心点,附近是椭圆轨线。
l2 0 l1
l1 0 l2
2 平衡点的类型及其稳定性
平衡点类型
• ⑵ 结点 q 0
•
特征根式 l1,2
1 2
p
p 2 4q
的根号中
p 2 4q
，则解
l1, l2 为两个同号实根，
其平衡点称为结点。结点有稳定与不稳定之分，由p的正负决定。
0 el2 t
X Y
微分方程的稳定性模型_图文_图文
1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲 乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。
模型 假设
• 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律 ; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长 。 • 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙 提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身 的阻滞作用 (服从Logistic规律)。
假设
• 解释(预测)双方军备竞赛的结局 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快；
2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大；
3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存
在增加军备的潜力。
进一步 假设
1）2）的作用为线性；3）的作用为常数
建模 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18
相轨线趋向极限环 结构稳定
实质上，我们并不需求解上面的微分方程以得到x(t) 的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保 持稳定的条件，即时间 t 足够长以后渔场鱼量 x(t) 的趋向，并由此确定最大持续产量。为此可以直接 求上面常微分方程的平衡点并分析其稳定性。
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法
由于
讨论方程(1)的稳定性时，可用
对于消耗甲的资源而言
，乙(相对于N2)是甲(相
对于N1)的1 倍。
对甲增长的阻滞 作用，乙小于甲 乙的竞争力弱
2>1 甲的竞争力强
甲达到最大容量，乙灭绝
微分方程相空间
微分方程相空间微分方程相空间是研究微分方程解的几何性质的一种方法。
在相空间中，每个点表示一个解，而方程的解则通过从起始点出发，按照给定方程的积分曲线演化而来。
通过在相空间中研究积分曲线的行为，可以了解微分方程解的特性和发展趋势。
相空间的维数与微分方程的阶数相关。
对于n阶微分方程，相空间可以看作是n维空间。
在相空间中，每个点的坐标表示对应解对应的自变量，而解的演化则对应于在相空间中的曲线或曲面。
这种几何化的视角使得我们可以通过研究曲线或曲面的几何性质来理解和分析微分方程的解。
在相空间中，存在着一些特殊的状态，称之为平衡点或者定点。
这些平衡点处的曲线或曲面在该点的切线方向上完全停止演化，即解在该点附近保持不变。
对于一阶线性微分方程，平衡点可以通过求解方程的特征方程得到，而对于非线性微分方程，寻找平衡点则需要更加复杂的方法。
通过分析平衡点的稳定性，可以得到微分方程解的长期行为。
除了平衡点外，相空间中还存在着一些特殊的结构，如奇点、极限环等。
奇点是在相空间中对应解的发散点，它们表示了微分方程解的敏感性。
而极限环则表示了一组解在一个有限的区域内不断周期性地演化。
这些结构的存在丰富了相空间的几何性质，使得我们能够更加全面地理解微分方程的解。
相空间分析可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，通过对相空间中平衡点的分析，我们可以得到微分方程解的稳定性和渐近行为。
这对于分析和预测自然现象和物理系统的发展趋势至关重要。
相空间分析也可以帮助我们在控制系统中设计合适的控制策略，以实现系统的稳定和优化。
相空间分析是一种重要的数学工具，被广泛应用于物理学、生物学、工程学等众多领域。
通过在相空间中研究微分方程解的几何性质，我们能够深入理解微分方程的本质，从而更好地应用和推广微分方程的理论与方法。
总之，微分方程相空间是一种研究微分方程解的几何性质的方法。
通过在相空间中研究积分曲线的行为，我们可以了解微分方程解的特性和发展趋势。
相空间的分析对于理解自然现象和物理系统的演化行为，以及设计合适的控制策略具有重要意义。
微分方程稳定性理论 数学建模课件
dX F(X ) dt
的一
的一个 ~ (i 1..n) 为动力系统的一个奇解。 平衡点,则 xi (t ) x i
~ ~ ~ T ~ X ( x , x x ) 1 2 n 平衡点 在对一个动力系统的定性分
~ ~ ~ T ~ X ( x , x x ) 1 2 n 若 为动力系统
dX ~ F(X) X 统 dt 的平衡点 是局部（渐近）稳定的。
dX ~ ~ A( X ) ( X X ) dt
t
dX ~ X 对平衡点 局部（渐近）稳定性的判别，只须对原微分方程 dt F(X)
的右端项取一阶Taylor展式，构造线性动力系统
~ f i ( X ) ~ A ( X ) a 讨论，其中 ij x j
dX a11 a12 22 AX 其中 A R a dt 21 a22
平衡点类型 稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心 稳定性 稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定
下表给出其平衡点O(0,0)的类型和稳定性
i i 1 2 n
1 2 n
T
数学建模与模拟
X ( t ) ( x1 ( t ), x2 ( t ) xn ( t ))T 称n 维空间Rn 为相空间， 在相空间确定的曲线称为相轨线,简称轨线。
~ ~ ~ 称点 X ( x1 , x2 ~ xn )T 为动力系统 ~ 个平衡点 ，若 f i ( X ) 0(i 1..n)。
对于二维平面中（二阶方程）的情形，根 据平衡点的局部拓扑性状可将其分为结点、 焦点、鞍点以及中心等四类，其中鞍点、 中心这两种类型的平衡点是不稳定的，而 结点、焦点类型的平衡点还可以分为稳定 与不稳定的两种情形。
--非线性系统分析--练习与解答
x-2 -10 1/扼 1 2 x -6 0 0.385 0 -0.3850 6 x1121211当x(0)》1时，系统发散；x (0) < -1x ~ x 平面上任意分布。
第七章非线性控制系统分析习题与解答7-1 设一阶非线性系统的微分方程为x = -x X 3试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解令X = 0得 32-X x =x(x -1) = x(x-1)( X 1)=0 系统平衡状态x e =0, -1, 1其中：x e=0:稳定的平衡状态;xe=_[,+〔：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解 7-1所示。
可见：当x(0) <1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态;时，x(t) T -°0； x (0)A [时，x(t)T8。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1) x" + x' + x =0x 1 = x 1 + x 2 x 2 =2x 1 +x 2解(1)系统方程为"I :久”+ x" + x = 0 （x 》0）J __ .]I : X + X _x = 0 （x < 0）令x” = x =0，得平衡点：桅=0。
系统特征方程及特征根：' 2 i 73 」I : s + s +1 = 0, s1 2= ———j —（稳正的焦点）2II： s +s—1=0, §,2=—1.618, 和.618 （鞍点）x = f （x, x） = _x — x , 坚艾=一父一乂dxdx |x| . -1x =E|xCt - 一一1 一. , x -dx x 1 +a' 1I ：0（= —1 -它（x》0）i 1!II： a =— -1 （x <0）用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2 ( a )所示。