关于绝对值的几种题型及解题技巧

关于绝对值的几种题型及解题技巧 所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即0≥a 。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。 所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。如：5=a ，则5=a 和5-=a 。合并写成：5±=a 。

于是我们得到这样一个性质：

a 很多同学无法理解，

为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如2)2(=--。因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。

例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。

绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。

绝对值的性质：

（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性

质；

a （a ＞0）

（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）

-a (a ＜0)

（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；

（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ；

（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）

（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=|||

|b a （b ≠0）；

a 0 a

0 0=a

a - 0 a

（7）|a|2=|a2|=a2；

（8）|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|

一：比较大小

典型题型：

【1】已知a、b为有理数，且0

a，0

b，b

a ，则（）A：a

b

b

a-

-

；B：a

b

a

b-

-

；

C：a

b

b

a

-

-；D：a

a

b

b

-

-

这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。

3

=

b

。

3

4

，又因为它们都是负数，所以

4-

=

a

。

3-

=

b

当我们把条件都标记好了，并假设了一个数值带入其中，我们就能准确地判断它们的大小了。

二：判断点的位置或者原点的位置

经典题型

【1】不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果c

a

c

b

b

a-

=

-

+

-，那么，点B在（）

A：在A、C点的右边；B：在A、C点的左边；

C：在AC点之间；D：上述三种均可能·

这个题目要求从已知条件入手，判断各自的大小关系。首先将题目进行变形：c

a

c

b

b

a-

=

-

+

-0

=

-

-

-

+

-c

a

c

b

b

a

观察一下，三个式子最后的结果是“0”，而三个式子中刚好是2个a，2个b，2个c。只有它们相互抵消了才可能为0.由此得到

b

a-

。

c

b-

，

c

a-

=

+

-

-

+

-

=

-

-

-

+

-c

a

c

b

b

a

c

a

c

b

b

a

所以有：

b a 。

c b ，c a 。 画出数轴：

由此可以得出B 点在AC 之间。但是原点呢？

c b a 。A 可以是正数也可以是负数。因此原点可以在a 的左边也可以在右边。这样原点可以在AB 之间，也可以在CB 之间，还可以在C 的左边。

三：已知点在数轴上的位置，简化或者计算。

典型题型

【1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么，化简a b a --的结果是：

A ：2a-b ;

B ：b ；

C ：-b ；

D ： -2a+b

从图中我们可以很准确地知道：0 a ，0 b ，而且点b 到原点的距离比点a 到原点的距离还长，所以我们可以判断出0 b a -。如果你不知道自己是否判断对了，就采用数值法。设2=a 。4-=b 。0642)4(2 =+=--=-b a

0 b a -直接开出来。于是，原式a b a --=b a b a -=--

【2】已知b c a 0，且c b ；化简b a c a c a c b c b +-+--++--

虽然条件中没有给出各点所在的位置，但是我们可以通过画数轴来确定各自的位置关系。

甚至你可以标记具体的数值帮助我们分析。如2=b 。4-=c ，5-=a

从数轴上可以看出，0 c b -。0 c b +。0 c a -，0 c a +。0 b a +。由绝对值的性质可以得到b

a c a c a c

b

c b +-+--++--[][][])()()()()(b a c a c a c b c b +--+---++---=

b a

c a c a c b c b ++++-+++-= a b 33+=

【3】若31 a ，则=-+-a a 13

这个题目给了a 的取值范围，因此我们要对绝对值中的式子进行判断。

31 a ，所以0

3 a -，而01 a -。如果你怕自己判断错误，不妨设一个数值，

2=a 。记住一定是在1和3

之间取数值。这样你就能知道自己是否判断正

确了。

[]2

13)1()3(13=+--=--+-=-+-a a a a a a

如果没有给定区间，我们应该如何解答呢？

【4】化简1213-++x x

这个题型，首先要在数轴上找出它们的零值点，也就是绝对值里面的式子必须等

于“0”，由此得到：013=+x ，解得31-=x 。012=-x ，解得21=x 。

画数轴，然后将零值点标出，并延长其线段，再将属于零值点的式子标记上去。以零值点为分界线，数轴右边为正，左边为负。这样数轴就被分割成了三个部分。

第一部分：31- x

由图上箭头方向可知：013 +x 。012 -x

[]x

x x x x 5)12()13(1213-=--++-=-++

第二部分：2131≤≤-x

由图上箭头方向可知：013≥+x 。012≤-x []2

)12()13(1213+=--++=-++x x x x x 第三部分：21

x

由图上箭头方向可知：013 +x 。012 -x

x

x x x x 5)12()13(1213=-++=-++ 千万记住：取零值点！！！

四：最小值或者最大值

经典题型

【1】设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？

我们知道：绝对值是大于零的数，正数加正数会越来越大，所以，它会有最小值，而这个最小值是9+0=9. 所以0=+b a 。

即|a+b|+9有最小值为9；

如果是9-|a+b|呢？因为绝对值出来的数都是非负数，9减去一个非负数只能越来越小，所以，它就会有最大值9-0=9 。

2

【2】设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？

这个题目是一个负数减去一个正数相等于加上一个数，这样所得出来的数值会越来越小。因此它会有一个最大值-8。

小结：这类题目关键是加法还是减法。正数+绝对值时有最小值；正数-绝对值时有最大值；负数-正数时有最大值。

【3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值

这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：

如图，在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五

栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？

分析：我们来分析以下A 、E 两个点，不论这个邮筒放在AE 之间的哪一点，A

到邮筒的距离加上E 到邮筒的距离就是AE 的长度。也就是说邮筒放在

哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B 、D 两个到邮筒的距离之和也是不

变的，等于BD 。最后，只需要考虑C 点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C 点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”

找出零值点，3,5,2，-1，-7

|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|

这个式子有5项，以此排序-7，-1，2，3，5，故取中间项：x=2 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|=167212225232=++++-+-+-

题后小结论：

求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：

当n 为奇数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 等于最中间的数值时，

该式子的值最小。

当n 为偶数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 取最中间两个数值之间

的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。

A B C D E

五：求值

经典题型

【1】已知3=x ；4=y ，且y x ，则=+y x 解：3=x 所以：3±=x 。4=y ，所以4±=y

y x ，所以4=y

解得： 3

4-==x y 这类题目注意条件。y x 。只要y 比x 大就可以，这里y 只能取4.而x 可以取3和-3.因此就会有两个答案。

【2】已知

0≠abc ，若c c b b a a m 432??=则 =+1m 解：因为

0≠abc ，故此存在四种可能：同为正，同为负，二正一负，二负一正。

（1）同为正，则

=+1m 24+1=25 （2）同为负，则=+1m -24+1=-23

（3）二正一负，则=+1m -24+1=-23

（4）二负一正，则

=+1m 24+1=25 综合：

=+1m 25或者=+1m -23

【3】已知0≠abc ，若c c b b a a m 432++=则

=+1m 这个题目将乘法改成加法，这时，我们需要讨论的情形就要多一些。

34==x y

734=+=+y x

134=-=+y x

（1）同为正数。

c c b b a a m 432++==2+3+4=9.所以，

101=+m （2）同为负数。

c c b b a a m 432++==-2-3-4=-9 所以，

81-=+m （3）a 为正，b 、c 为负数

5432432-=--=++=c

c b b a a m 。 所以，41-=+m （4）a 为正，b 为正、c 为负数

1432432=-+=++=c

c b b a a m ， 所以，21=+m （5）a 为正，b 为负、c 为正数

3432432=+-=++=c

c b b a a m ， 所以，41=+m （6）a 为负，b 为正、c 为负数

3432432-=-+-=++=c

c b b a a m 所以，21-=+m

（7）a 为负，b 为正、c 为正数

5432432=++-=++=c

c b b a a m 所以，61=+m （8）a 为负，b 为负、c 为正数

1432432-=+--=++=c

c b b a a m 所以，01=+m 这类题目一定要分别讨论。最好的办法就是逐一排除。

【4】已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于1，求cd x b a x -++)(2

解：

a 、

b 互为相反数，所以：a+b=0.

c 、

d 互为倒数,所以：cd=1

x 的绝对值等于1,所以12=x

0101)(2=-+=-++cd x b a x

六：0+0型

0+0型有集中很典型的题型

第一类：绝对值+绝对值： 若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；

因为绝对值出来的数都是非负数，而两个非负数相加要等于0.唯有绝对值里面的数等于0.

【1】已知024=++-y x ，求

y x y x +-= 解：024=++-y x ，所以有：x-4=0.解得：x=4；y+2=0解得：y=-2 则：34242-=+---=+-y x y x

【2】若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求

y x y x -+= 解：互为相反数的两个数之和等于0. 因此有：3+-y x +1999-+y x =0 解得：x-y=-3 ;x+y=1999

3166631999-=-=-+y x y x

第二类：绝对值+平方 若|x-a|+(x-b)2

=0,则x-a=0且x-b=0；

因为绝对值出来的数都是非负数，而平方数也是一个非负数，两个非负数相加等于0，则各自为0.

【2】若|x+3|+(y-1)2=0，求n x y )4(

--的值

解：x+3=0,所以：x=-3； y-1=0。所以：y=1

n

n n x y )1()3

14()4(-=+-=-- 讨论：

当n 为偶数时：1)1()314()4(=-=+-=--n n n x y

当n 为奇数时，1)1()314()4(-=-=+-=--n n n x y

第三类：平方+平方

若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；

【3】已知0)4()2(22=++-y x ，求)(y x xy +-

解：x-2=0。所以x=2 ；y+4=0，所以：y=-4

628)42()4(2)(-=+-=---?=+-y x xy

七：分数求和

【1】 已知2-ab 与1-b 互为相反数，求代数式

=+++??+++++++)

1999(19991)2)(2(1)1)(1(11b a b a b a ab ）（ 解：2-ab +1-b =0 解得：ab=2,b=1.a=2

)1999(19991)2)(2(1)1)(1(11+++??+++++++b a b a b a ab ）（ =2001200014

3132121?+??+?+?+ =20011200014

131312121-+??+-+-+ =

200111-=20012000

【2】化简100211003120021200312003120041-??+-+-

100211003120021200312003120041-??+-+-

100311002120031200212004120031-??+-+-=

1003110021200212001120031200212004120031-+??+-+-+-= =1003200430071003120041?-=--

分式求和常用解法就是裂项。

裂项、裂项，就是将一个因式分裂成两个部分，它的原理是根据异分母相加减，必须通分来分裂的。如：3121- 因为分母不同，所以要通分。分子分母同时

扩大相同的倍数，其值是不变的。一般来说，最简单的通分方法就是分母互相扩大倍数。“2”要扩大“3”倍，而“3”要扩大“2”倍。这样一来该题就可以变成：

3121-= 322323?-?=3213223?=?-。

例题分析

【1】1009915

41431321?+??+?+?+? =1001-99151-4141-313

1-21+??+++）（）（）（ =100121-。

由此，我们得到一个结论：如果因式分母之间的差为“1”的时候，裂项成两个分式之间相减，其分子也是“1”.最后得到第一项减去最后一项。通项公式：

111)1(1+-=+?n n n n 其和为：n n n 111-。也就是“首项—末项”。

【2】302299114

1111181851521?+??+?+?+?+?

解：原式=（302299114

1111181851521?+??+?+?+?+?）×3 ×31 =31)3022993141131183853523(

??+??+?+?+?+? =31)3021299111

181********(?-+??+-+-+- =31

)302121

(?- 从而我们得出一个通项公式：

m n n m n n m +-=+?11)( 。