第七章习题解答

习 题 七

1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：

(1) 在向量空间V 中，σ (ξ)＝ξ＋α，α是V 中一固定的向量；

(2) 在向量空间R 3

中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,(2

33221x x x x ＋；

(3) 在向量空间R 3

中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,2(13221x x x x x ＋－； (4) 把复数域看作复数域上的向量空间，σ (ξ)＝ξ. 解 （1）当0=α时，σ是线性变换；

当0≠α时，σ不是线性变换； （2）σ不是线性变换； （3）σ是线性变换； （4）σ不是线性变换；

2. 设V 是数域F 上一维向量空间. 证明，σ是V 的一个线性变换的充要条件是：存在F 中的一个数a ，使得对任意ξ∈V ，都有

σ (ξ)＝a ξ .

证明：充分性显然.

必要性:令σ是ν的一个线性变换,设1ξ是ν的一个基.则νξσ∈)(1.那么

)(1ξσ可由1ξ线性表示,不妨设11)(ξξσa =.对任意的νξ∈,有1ξξk =,则

ξξξξσξσξσa k a a k k k =====)()()()()(1111.

3. 设σ是向量空间V 的线性变换，如果σ k －1ξ≠0, 但σ k ξ＝0，求证ξ, σξ, …, σ

k －1

ξ (k >0)线性无关.

证明: 令

++σξξ10l l ┄ +0

1

1=--ξσ

k k l ┈┈┈┈(1)

(1)式两端用1

-k σ

作用得:

++-ξσξσ

k

k l l 11

0+02

21=--ξσ

k k l

由已知得: ==+ξσξσ1

k k

=,02

2=-ξσ

k 01

≠-ξσ

k ,所以有

00=l .则(1)式变为: +σξ1l +01

1=--ξσ

k k l ┈┈┈┈(2)

(2)式两端用2-k σ 作用得:

ξσξσ

k

k l l 21

1+-+03

21=--ξσ

k k l

同理01=l .重复上述过程有: ==10l l 01=-k l . 4. 在向量空间R [x ]中，σ (f (x ))＝f '(x ), τ (f (x ))＝xf (x ), 证明，στ －τσ＝ι.

证明:对任意][)(x R x f ∈,有))(())()((x f x f σττσστ=-

=

-+=-=-)()()()())((())(('

'

'

x xf x xf x f x f x f x x f τστσ)(x f .

所以στ －τσ＝ι.

5. 在向量空间R 3

中，线性变换σ, τ如下：

σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1, x 2, x 1＋x 2)

τ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2－x 3, 0, x 3－x 1－x 2)

(1) 求στ, τσ, σ2

；

(2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ.

解: (1) =---+=),0,(),,(213321321x x x x x x x x x σστ

,(321x x x -+0,),,()321321x x x x x x τ=-+,∴τστ=.

)0,0,0(),,(),,(2121321=+=x x x x x x x ττσ,∴0=τσ ),,(),,(21213212

x x x x x x x +=σσ=),,(2121x x x x +.∴σσ

=2

.

(2) ),,)((321x x x τσ+=),,(321x x x σ+),,(321x x x τ ),,(2121x x x x +=+),0,(213321x x x x x x ---+

),,2(32321x x x x x -+=.

),,)((321x x x τσ-=),,(321x x x σ),,(321x x x τ-

),,(2121x x x x +=),0,(213321x x x x x x ---+-

=)22,,(321232x x x x x x -++-.

2),,(2321=x x x σ),,(2121x x x x +=)22,2,2(2121x x x x +.

6. 已知向量空间R 3

的线性变换σ为

σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2＋x 3, x 2＋x 3,－x 3) 证明，σ是可逆变换，并求σ－1.

证明:),0,0,1(),0,0,1(=σ, ),0,1,1(),0,1,0(=σ,),1,1,1(),1,0,0(-=σ.

∴ σ关于3

R 的一个基),0,0,1(, ),0,1,0(,),1,0,0(的矩阵为:

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-=10

0110

111A . 显然,A 可逆,所以σ是可逆变换,而且⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--=-10

0110011

1

A

所以-=⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=--13211

3211(),,(x x x x A x x x σ,2x ,32x x +)3x -.

7. 设σ, τ, ρ都是向量空间V 的线性变换，试证,

（1）如果σ, τ都与ρ可交换，则στ, σ2也都与ρ可交换（若对任意α∈V ，都有στ (α)＝τσ (α)，就说σ与τ可交换）；

（2）如果σ＋τ, σ－τ都与ρ可交换，则σ, τ也都与ρ可交换. 证:(1)由已知ρττρρσσρ==,.那么==)()(τρσρστ)(ρτσ =)()(στρτσρ=.2

2

)()()(ρσ

σσρρσσσρσρσ====.

(2)同理可证.

8. 证明，数域F 上的有限维向量空间V 的线性变换σ是可逆变换的充分必要条件是σ把非零向量变为非零向量.

证明:不妨设ν是n 维的. ,,21ξξ,n ξ是它的一个基.σ关于这个基的矩阵为A .显然,σ可逆当且仅当A 可逆. σ把非零向量变为非零向量当且仅当{}0=σKer ,而秩σ=秩A ,σ的零度=σker dim .且秩σ+σ的零度=n.所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即A 可逆当且仅当0=σKer .故σ可逆当