《正多边形和圆》课件(20201014110937)
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正多边形和圆.ppt经典实用
•24.3正多边形和圆.ppt
【例题】【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六
边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理, F
QR=RS=ST=TP=2PA， ∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
•24.3正多边形和圆.ppt
【定理】
把圆分成n（n≥3）等份： 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边 形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
•24.3正多边形和圆.ppt
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么 它还是中心对称图形. 6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n， 每个内角都等于(n-2)·180°/n . 7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半 径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面 积比等于相似比的平方.
6.正n边形的一个外角度数与它的__中__心__角的度数相等．
7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 72 度, 才能与原来的图形位置重合.
•24.3正多边形和圆.ppt
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多 边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心 距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多 边形的边心距之间的等量关系．
（2）连接OA，OB，OC，则 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
【例题】【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六
边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理, F
QR=RS=ST=TP=2PA， ∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
•24.3正多边形和圆.ppt
【定理】
把圆分成n（n≥3）等份： 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边 形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
•24.3正多边形和圆.ppt
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么 它还是中心对称图形. 6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n， 每个内角都等于(n-2)·180°/n . 7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半 径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面 积比等于相似比的平方.
6.正n边形的一个外角度数与它的__中__心__角的度数相等．
7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 72 度, 才能与原来的图形位置重合.
•24.3正多边形和圆.ppt
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多 边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心 距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多 边形的边心距之间的等量关系．
（2）连接OA，OB，OC，则 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
正多边形和圆ppt课件
解:(1)如图所示,正八边形ABCDEFGH即为所求.
图24-3-4
探
究
与
应
用
(2)求出地基的中心角和面积.(结果保留根号)
(2)如图,连接OA,OB,过点A作AM⊥OB于点M.
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
360°
∴地基的中心角∠O=
=45°,
8
∴△OAM是等腰直角三角形.
∵OA=OB=4 m,∴AM=OM=2 2 m,
解:如图.
(1)画半径为1 cm的☉O;
(2)用量角器把☉O九等分(依次画40°的圆心角);
(3)依次连接各分点,即得☉O的内接正九边形ABCDEFGHI.
谢 谢 观 看！
1
1
∴S△OAB= OB·AM= ×4×2
2
2
2=4 2(m2),
∴地基的面积=8S△OAB=8×4 2=32 2(m2).
探
究
与
应
用
学 方法
等分圆周画正多边形的工具和方法
①只用量角器:用量角器把360°的圆心角n等分,相应的圆周
也被n等分,顺次连接各分点得到正n边形.
1
②用量角器和圆规:先用量角器画出360°的圆心角的 ,相应
1
得到圆周的 ;再用圆规顺次截取,便得到圆周的n等分点,顺
次连接各分点得到正n边形.
③用圆规和直尺:用尺规等分圆周,可以作正六边形、正方
形等特殊正多边形.
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边
数是
( B )
A.4
B.5
C.6
图24-3-4
探
究
与
应
用
(2)求出地基的中心角和面积.(结果保留根号)
(2)如图,连接OA,OB,过点A作AM⊥OB于点M.
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
360°
∴地基的中心角∠O=
=45°,
8
∴△OAM是等腰直角三角形.
∵OA=OB=4 m,∴AM=OM=2 2 m,
解:如图.
(1)画半径为1 cm的☉O;
(2)用量角器把☉O九等分(依次画40°的圆心角);
(3)依次连接各分点,即得☉O的内接正九边形ABCDEFGHI.
谢 谢 观 看！
1
1
∴S△OAB= OB·AM= ×4×2
2
2
2=4 2(m2),
∴地基的面积=8S△OAB=8×4 2=32 2(m2).
探
究
与
应
用
学 方法
等分圆周画正多边形的工具和方法
①只用量角器:用量角器把360°的圆心角n等分,相应的圆周
也被n等分,顺次连接各分点得到正n边形.
1
②用量角器和圆规:先用量角器画出360°的圆心角的 ,相应
1
得到圆周的 ;再用圆规顺次截取,便得到圆周的n等分点,顺
次连接各分点得到正n边形.
③用圆规和直尺:用尺规等分圆周,可以作正六边形、正方
形等特殊正多边形.
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边
数是
( B )
A.4
B.5
C.6
正多边形和圆-ppt课件
“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
2正多边形和圆PPT课件(人教版)
A
2. OB叫正△ABC的半___径__,它是
正△ABC的_Βιβλιοθήκη ___接__圆的半径.3. OD叫作正△ABC_边__心_ 距__,
.O
它是正△ABC的_内___切__圆的半
径。
B
D
C
4. ∠BOC是正△ABC的__中__心____角;
∠BOC=1_2__0__度; ∠BOD=_6__0__度.
思考：求半径为R的圆的内接正三角形的边心
5．圆内接正六边形的边长是8cm，那么该正六 边形的半径为________；边心距为________．
6、已知正多边形的半径与边长的比是1，则此正多边形 是( )
A、正三角形 B、正方形
C、正六边形 D、正十二边形
7．以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各 边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴 对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的 角是圆周角；④边数相同的正多边形都全等，其中正 确的有（）
F A
B
E
.. O
rR
D
PC
由于ABCDEF是正六边形，所以F
它的中心角等于360 60，
6
A
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径. B
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
E
.. O
D
r R=4
PC
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
A、(3 2 3)a2 B、7 a2
9
C、 2 a2 2
D、(2 2 - 2)a 2
11．正六边形螺帽的边长为a，那么扳手的开口
b最小应是( )
正多边形与圆ppt课件
∠BAE-∠COD=
A.60°
B.54°
( D)
C.48°
D.36°
【举一反三】
1.(2023·内江中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在上,点Q是
的中点,
则∠CPQ的度数为
A.30°
B.45°
(B)
C.36°
D.60°
2.如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=40 3 mm,则边长
当n为奇数时,正n边形不是中心对称图形.
对点小练
1.(1)已知正方形的边长为2 cm,那么它外接圆的半径长是_______cm.
6
(2)如果一个正多边形的中心角等于60°,那么这个正多边形的边数是_______.
新知要点
°
(−)×°
;
;
(1)正n边形的中心角为________正n边形的每一个内角的度数为____________
A. 2
B.2 2
C.4 2
D.2
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O的半径为2,则
边心距OM的长为_______.
3.(7分·推理能力、运算能力)如图,在正六边形ABCDEF中,M,N分别是边BC,CD上的点,且
CM=DN,AM与BN交于点Q.
(1)求证:△ABM≌△BCN;
°
.
正n边形的每一个外角的度数为_____
等腰
(2)每一个正n边形都被它的半径分成n个全等的______三角形;被它的半径和边心
直角
距分成2n个全等的______三角形.
2
2
r +( ) =R2
正多边形和圆课件
所有的边都相等
02
所有的内角都相等
03
04
对角线互相平分且相等
外接圆的半径和内切圆的半径 相等
正多边形的分类
等边三角形
等边n边形 等边六边形
等边四边形 等边五边形
02
正多边形的面积与 周长
正多边形的面积计算
公式
正多边形的面积 = (边长 × 边数) ÷2
解释
正多边形的面积可以通过计算其 边长和边数的乘积，然后除以2得 到。
自然界中的应用
在自然界中，正多边形和圆也经常出 现，如植物的花瓣、动物的壳等，这 些形状具有自然美和生物学意义。
THANKS
感谢您的观看
圆内接正多边形的性质：圆内接 正多边形的所有外角之和等于 360度
圆与直线的位置关系：圆与直线 相切、相交、相离
圆的应用
生活中的圆
车轮、钟表、瓶盖等
数学中的圆
几何证明、代数运算等
工程中的圆
机械零件、建筑设计等
04
圆与正多边形的关 系
圆内接正多边形
01
02
03
定义
圆内接正多边形是指一个 正多边形的所有顶点都在 同一个圆上。
05
正多边形与圆的几 何作图
正多边形的几何作图方法
定义
正多边形是各边等长、 各角等大的多边形。
边长确定
确定正多边形的边长是 作图的关键步骤。
角度确定
确定正多边形的内角大 小也是作图的关键步骤
。
作图方法
通过边长和角度，可以 按照正多边形的定义进
行作图。
圆的几何作图方法
01
02
03
04
定义
圆是平面上所有与给定点（圆 心）距离相等的点的集合。
02
所有的内角都相等
03
04
对角线互相平分且相等
外接圆的半径和内切圆的半径 相等
正多边形的分类
等边三角形
等边n边形 等边六边形
等边四边形 等边五边形
02
正多边形的面积与 周长
正多边形的面积计算
公式
正多边形的面积 = (边长 × 边数) ÷2
解释
正多边形的面积可以通过计算其 边长和边数的乘积，然后除以2得 到。
自然界中的应用
在自然界中，正多边形和圆也经常出 现，如植物的花瓣、动物的壳等，这 些形状具有自然美和生物学意义。
THANKS
感谢您的观看
圆内接正多边形的性质：圆内接 正多边形的所有外角之和等于 360度
圆与直线的位置关系：圆与直线 相切、相交、相离
圆的应用
生活中的圆
车轮、钟表、瓶盖等
数学中的圆
几何证明、代数运算等
工程中的圆
机械零件、建筑设计等
04
圆与正多边形的关 系
圆内接正多边形
01
02
03
定义
圆内接正多边形是指一个 正多边形的所有顶点都在 同一个圆上。
05
正多边形与圆的几 何作图
正多边形的几何作图方法
定义
正多边形是各边等长、 各角等大的多边形。
边长确定
确定正多边形的边长是 作图的关键步骤。
角度确定
确定正多边形的内角大 小也是作图的关键步骤
。
作图方法
通过边长和角度，可以 按照正多边形的定义进
行作图。
圆的几何作图方法
01
02
03
04
定义
圆是平面上所有与给定点（圆 心）距离相等的点的集合。
《正多边形和圆》圆PPT教学课件
E
课堂小结
正多边形的定义与对称性
正多边形
正多边形的有
关概念及性质
正多边形的
有关计算
①正多边形的内角和= (n 2) 180
②中心角=
360
n
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
n
.
（2）正n边形的每个中心角
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
60
①它的中心角等于
度 ；
F
=
② OC BC (填＞、＜或＝）；
A
③△OBC是 等边 三角形；
B
都等于
E
（3）正n边形的每个外角都
O
D
360°
等于
.
C
P
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的
6
倍.
1
周长 边心距
2
A
A
F
D
E
B
E
O
O
O
·
90°
72°
·
A
D
·
60°
C
B
C
D
B
C
3.你能尺规作出正方形、正八边形吗？
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即
得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂
线与⊙O相交，或作各中心角的角平分
线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，
照此方法依次可作正十六边形、正三十
二边形、正六十四边形……
D
A
O
·
心对称图形吗？
新知讲解
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称
图形吗？
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是
《正多边形和圆》课件
(2) ⊙O的半径为4，四边形ABCD是正方形，垂直平分线.
所以 AC⊥BD，OA=OB=4，
所以 AB= OA2 OB 2 42 42 4 2.
2.如图，正五边形ABCDE的对角线
AC和BE相交于点M.
求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
解：(1) 正多边形必有外接圆，作出
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为 6 ：1 .
解:设正三角形和正六边形的边长分别为 a,b．
由题意，得
3
4
3
2
a =6×
4
×b2，
∴a：b= 6 ：1.
3a
2
a
3
b
2
b
3.如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，
正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的
A
F
B
O
C
A
E
B
E
C
D
解:(1)把圆六等分，分别以六等分点A,B,C,D,E,F为圆心，都
以OA为半径画弧即可得到图案．
(2)把圆五等分，分别以五等分点A,B,C,D,E为圆心，都以
AB为半径画弧即可得到图案．
D
随堂练习
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形
的各条对角线，画出一个五角星.
2
2
h
2
1
1
2 1
1
1
2
AE AC a a r 2r , a R R 2，
2
2
2
2 2
3a
3
r
,R
所以 AC⊥BD，OA=OB=4，
所以 AB= OA2 OB 2 42 42 4 2.
2.如图，正五边形ABCDE的对角线
AC和BE相交于点M.
求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
解：(1) 正多边形必有外接圆，作出
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为 6 ：1 .
解:设正三角形和正六边形的边长分别为 a,b．
由题意，得
3
4
3
2
a =6×
4
×b2，
∴a：b= 6 ：1.
3a
2
a
3
b
2
b
3.如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，
正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的
A
F
B
O
C
A
E
B
E
C
D
解:(1)把圆六等分，分别以六等分点A,B,C,D,E,F为圆心，都
以OA为半径画弧即可得到图案．
(2)把圆五等分，分别以五等分点A,B,C,D,E为圆心，都以
AB为半径画弧即可得到图案．
D
随堂练习
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形
的各条对角线，画出一个五角星.
2
2
h
2
1
1
2 1
1
1
2
AE AC a a r 2r , a R R 2，
2
2
2
2 2
3a
3
r
,R