导学案——三角形内部一点问题
新课标小学数学四年级下册第五单元《三角形》导学案
第五单元 三角形第一课时 三角形的认识及三角形高的画法教学内容：书本59-60页例1及相关练习教学目标：1. 通过动手操作和观察比较，使学生认识三角形，知道三角形的特性及三角形的高和底的含义，会在三角形内画高。
2. 培养学生观察、操作、自学的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
学习过程：一 、自主学习 1、说说在生活中，你在哪里见过三角形？2、自学课本60页例1，在练习本上任意画三个点（这三个点不在同一条直线上），用线段把每两个点连接起来便形成一个三角形。
3、填空1、写出下面三角形的各部分名称。
2、以BC 边为底，高是（ ）。
二、合作探究1. 三角形的表示方法 。
我把三角形的三个顶点分别用字母A 、B 、C 表示，这个三角形可以称作（ ）。
2、想一想:什么是三角形的高？怎样正确的画出三角形的高呢？3、请你在刚才的三角形中画出三角形的一条高，并标出它所对应的底。
想想怎样以AC 边为底画出这个三角形的高？4、在三角形中标上字母ABC ，和同桌说一说刚才画的高是以哪条边为底画的？刚才我们画了三角形的一组底和高，想一想一个三角形只有一组底和高吗？为什么？三、随堂练习1. 填空：三角形有（ ）个顶点，（ ）条边，（ ）个角。
3. 小明画了三角形的一条高，你说他画的对吗？为什么？五、课堂小结。
通过这节课的学习，你对三角形又有了哪些新的认识？课后反思：三角形的特性导学案学习内容：教材61页例2学习目标：1、通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。
2、培养实事求是的学习作风和学习习惯。
学习过程：一、自学体验，温故而知新1、三角形定义是什么？什么叫三角形的高？二、自主学习。
自学教材P61页例2三、小组合作交流1、小组合作用3根小棒摆三角形，用4根小棒摆四边形，看看各能摆出几个？（小棒的长度都要一样长）2、小组交流回报，我发现：由相同的小棒摆三角形，只能摆出（）种形状的三角形。
三角形导学案
课题：11.1.1三角形的边【学习目标】1．认识三角形，•能用符号语言表示三角形，并把三角形分类．2．知道三角形三边不等的关系．3．懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，•并能用于解决有关的问题【学习重点】知道三角形三边不等关系．【学习难点】判断三条线段能否构成一个三角形的方法．【自主学习】学前准备回忆你所学过或知道的三角形的有关知识。
并写出来。
【合作探究】知识点一：三角形概念及分类1、学生自学课本63-64页探究之前内容，并完成下列问题：（1）三角形概念：由不在同一直线上的三条线段___________________所组成的图形叫做三角形。
如图，线段____、______、______是三角形的边；点A 、B 、C 是三角形的______; _____、 ______、_______是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
图中三角形记作__________。
（2）三角形按角分类可分为_____________、______________、_________________。
（3）三角形按边分类可分为 _____________三角形 _____________——————— _____________（4）如图1，等腰三角形ABC 中，AB=AC,腰是__________，底是_________,顶角指_______，底角指_____________.等边三角形DEF 是特殊的_______三角形，DE=____=_____.图1练习一：1、如图2．下列图形中是三角形的有_______________？AB C图22、图3中有几个三角形？用符号表示这些三角形．知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形1、探究：请同学们画一个△ABC，分别量出AB，BC，AC的长，并比较下列各式的大小：AB+BC_____AC AB+ AC _____ BC AC +BC _____ AB从中你可以得出结论：__________________________________________。
数学导学案 三角形内角和
目标一：1、教师出示三角形的图片学生快速说出它的名称。 2．三角形内角和的解释。 、 回答：一个三角形中一共有 个角。 （有或没有）其他的情况 3、验正三角形的内角和。 （动手操作） 结论：三角形内角和等于（ ） 目标二：练习：在下面的直角三角形中，∠A 的度数是多少？
成果展示：1、填空 ①任意一个三角形，不论大小或形状它们的内角和都是（ ②直角三角形中的两个锐角的和是（ ③等腰三角形的内角和是（ ） 。 ） 。
数学导学案
年级 四年级 课题 三角形内角和 课时 一课时 备课人 审核人
教学重点： 通过测量、撕拼、折叠等方法，探索和发现三角形的三个内角的度数 和等于 180°。 教学难点： 在已知三角形两个角的度数，会求出第三个角的度数。 ． 课前展示： 目标展示：1、 。自己通过测量、撕拼、折叠等方法， 探 索和发现三角形三个内 角的度数和 等于 180°。 2、 。自己能够在已知三角形两个角的度数的情况下，求出第三个角的度数
） 。
④等边三角形三个锐角的大小都是 2、求下面∠A 的度数
）的，所以每个锐角的度数是（
） 。
导学案设计案例之——初中导学案《全等三角形》
望城金海双语实验学校 八 年级 数学 科导学案课型： 设计：王翠云 审核：审批：班级：小组：姓名：使用时间： 月 日 星期学习课题： 全等三角形 第_ 课时 累计 课时学习目标1.知道什么是全等形.全等三角形及全等三角形的对应元素；2.知道全等三角形的性质,能用符号正确的表示两个全等三角形；3.能够熟练的找出两个全等三角形的对应顶点.对应角.对应边. 学习重点 全等三角形的概念及性质学习难点运用全等三角形的性质进行简单的推理计算过程：（备注栏内请老师们补充复备情况，请同学们补充课堂笔记）流程及预见性问题学习要求和方法 备注 一、明确目标1、引入：教室的玻璃被同学不小心打破了，新配的玻璃和原来的玻璃要满足什么样的关系？2、请自己阅读并理解学习目标。
二、自主学习阅读书本P2——P3，并独立完成下列问题：1、 、 相同的图形放在一起能够完全重合，能够 的两个图形叫做全等形。
2、你能出一些全等形在生活中应用的例子吗？3、能够 的两个三角形叫做全等三角形。
平移、翻折、旋转形状、大小都不变，即平移、翻折、旋转前后的图形 。
4、把两个全等的三角形 到一起， 叫做对应顶点， 叫做对应边， 叫做对应角。
5、全等三角形的性质： 练习：如有、右图，△ABC与△DEF 全等，记做 .其中相等的边有 ，相等的角有 三、合作探究1、如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，•说出这两个三角形中相等的边和角．学生讨论师生共同解读目标学生独立看书并填空2题可以对学完成会找对应顶点要求识记用符号表示三角形全等时，对应顶点写在对应位置先独立完成，后组员互评A BC F E DD CABO2、如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，•指出其他的对应边和对应角．3、如图，△ABC ≌△AEC ，∠B =30°，∠ACB =85°．求出△AEC 各内角的度数．四、展示提升展示上一环节内容 五、过关检测 1、下列说法中，正确的个数是（ ） ①用同一张底片洗出来的10张1寸相片是全等形；②我国国旗上的4颗小五角形是全等形；③所有的正方形是全等形；④全等形的面积一定相等。
数学初一下苏科版7.5三角形的内角和(3)导学案
数学初一下苏科版7.5三角形的内角和（3）导学案本卷须知1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
课题：三角形的内角和〔3〕课型：新授主备人：陈桃桃审核：葛恒良班级学号姓名学习目标：1：通过操作、计算，从而认识多边形的外角，探索出三角形外角和的规律。
并能进行简单应用。
2：经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，培养学生探索创新的精神。
学习重点：掌握三角形外角和的特点学习难点：三角形外角和的特点的应用学习过程：知识梳理1.画出三角形的每个顶点处的外角，把3个外角剪下来，然后将它们的顶点A 、B 、C 重合在同一点O2.探索体验 在上图中，∠α＋∠2＝180°∠β＋∠1＝180° ∠γ＋∠3＝180° ∠1＋∠2＋∠3＝180那么∠α＋∠β＋∠γ＝0结论：三角形的外角和等于03.ABCDE 的一个外角吗？。
BF 是边AB 的一个外角。
像这样，多边形的一 4.5.6、猜想：N 例1.把图中的五边形剪去一个角，将得到几边形？此时，多边形的内角和与外角和有什么变化？例2.一个多边形每一个内角均为150°，这个多边形是几边形？你有几种不同的思考方法？【三】尝试练习1.六边形的外角和是°2.一个多边形的内角和与外角和都是360°，这个多边形是边形？3.一个多边形的每一个外角都是60°，这个多边形是几边形？它的内角和是多少度？4..有没有这样的多边形，它的内角和是它的外角和的3倍？如果有，它是几边形，并说明理由。
5.如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求∠CAD的度数。
初四数学导学案三角形的内切圆
C BC B初四数学导学案：三角形的内切圆目标：⒈使学生掌握画三角形的内切圆的方法，三角形内心的概念；⒉应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； ⒊通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。
重难点：三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质．三角形的内心概念与性质 一、提出问题：试一试：一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。
1、思考2、小组讨论.（ 这个圆需要满足什么条件？）3、如何确定这个圆的圆心及半径？4、应该如何完整完成作图？二、展示交流1、通过作图可以发现，这个圆与三角形的三边都相切。
本课知识点：（1）和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做三角形的内心，内心是 的交点，这个三角形叫做 ．内心的性质是 ，如何做三角形的内切圆？（2）分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆．2、小结：①一个三角形的内切圆是唯一的；②DC三、练习1．图1，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°图1 图2 图32．图2，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（ ） A ．70° B ．110° C ．120° D ．130° 3．图3，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ） A ．112.5° B ．112° C ．125° D ．55° 4．判断垂直于半径的直线一定是这个圆的切线（ ） 圆有且只有一个外切三角形（） 三角形有且只有一各内切圆（ ）三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等（ ） 三角形的内心不一定在三角形的内部（ ）； ☆等边三角形的内心，外心重合（ ）；5.如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。
三角形及其性质复习导学案
三角形及其性质复习导学案班级： 姓名：亲爱的同学：2013年中考的脚步离我们越来越近了，请你轻轻对自己说：“我能行”，老师希望你们沉着冷静，让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基。
我相信你会是最棒的！下面让我们开启三角形复习之旅吧！【活动1 我思考，我回答】1、请你以最快的速度复习回顾教材内容，尝试解决下列问题：（1）三角形这章中我们学习了那些概念？有哪些性质？有哪些判定方法？（2）请先用你喜欢的方式绘制本章知识结构图，再和你的同桌进行交流。
（3）在三角形复习中你感到困难或困惑的是什么？和老师或同学谈一谈。
（4）你觉得在三角形知识运用过程中，应该注意些什么？【活动2 我运用，我掌握】1．(2012 中考)如图 4－2－5，已知 D ，E 在△ABC 的边上，DE ∥BC ，∠B ＝60°，∠AED ＝40°，则∠A 的度数为（ ） D ．70° C ．80° B ．90° A ．100°2．(2011 年中考)如图 4－2－6，在 Rt △ABC 中，∠B ＝90°.ED 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ， 已知∠BAE ＝30°，则∠C 的度数为（ ）B ．45° A ．30° D ．35°C ．20°3．(2012年中考)如图4－2－7，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A与A ′重合，若∠A ＝75°，则∠1＋∠2＝( )【活动3 我变式，我归纳】【活动4 我反思，我提高】1、经过本节复习你有哪些收获？与同学分享一下。
2、通过本章学习，你学到的数学思想方法有哪些？C ．105°D ．75°B ．210° A ．150° 1、（2012陕西中考副题9题）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°,AB=3，AC=4.若BD 是△ABC 的角平分线，则点D 到BC 边的距离为（ ） A.B. 1C.D. 3262322．等腰三角形的一个角等于20°， 则它的另外两个角等于( ) A ．20°，140° B ．20°，140°或80°，80°C ．80°，80°D ．20°，80°3.（2010陕西中考题9题）如图，点A 、B 、P 在⊙O 上的动点，要是△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个【活动5 我作业，我升华】必做题：1．(2011年山东枣庄)如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是（）2．(2011年河北)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D 、E 分别在AB 、AC上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( )A. B ．2 C ．3 D ．4 21选做题：3．已知：如图，锐角△ABC 的两条高CD 、BE 相交于点O ，且OB ＝OC.(1)求证：△ABC 是等腰三角形；(2)判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由．。
三角形里一个点
三角形里一个点作者：张景中来源：《数学金刊·初中版》2009年第03期张景中：河南汝南人，著名数学家、数学科普作家、中国科学院院士，曾任中国科普作家协会理事长，现任广州大学计算机教育软件研究所所长。
一天，几何学家佩多教授接到了某位经济学家打来的电话. 这位经济学家向他请教：如果正三角形内有一个点P，那么，不管P的位置在三角形内如何变动，P到三角形三边距离之和是否总是不变的呢？佩多教授马上给了让他满意的答复. 如图1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.用x，y，z分别记P到△ABC三边的距离. 由于△ABC三条边相等，设为a，则S△PBC=ax，S△PAC=ay，S△PAB=az，于是x+y+z=.①上式右端恰好是△ABC的高！其实，那位经济学家大可不必为此去麻烦佩多教授，一个初中二年级的学生就能给他满意的答复，因为这个题目常常被选为平面几何的习题！不过，它当初还是数学家维维安尼的一条定理呢！但是，这个小小的习题却启发我们：从平凡的事实出发，有时能得到并不平凡的结论.不是吗？把△ABC一分为三，这太平凡了. 但正是这一平凡的事实和另一个平凡的公式“三角形面积等于底乘高之半”一结合，便得出一个有趣的结论.就在三角形内随便放一个点，这里就有不少文章可做. 例如，在图2中，当然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，即++=1.②这仍然是平凡的，但如果你注意到：=，=，=.③把③代入②之后，得到++=1.④这就是一个不平凡的等式了. 如果没想到它的来源②，这简直是一道难题！但是，等式③是不是能归结为平凡的事实呢？能！在小学里你已知道：同高三角形面积比等于底之比，因而==.⑤用一下合比定律，就是=了.再看图2，如果不是考虑3个三角形的面积和，而是考虑乘积，就有一个平凡的等式：··=1.⑥这个等式和②有共同之处，右端都是1. 但是⑥更平凡. 在②当中，还有一点几何意义——把△ABC分成三块. 在⑥当中，连这点几何意义也没有了，简简单单地就是分子分母一样，约掉之后是1！可是不要约它，一约就什么也得不到了. 利用（从==中，可以得到=）=，=，=，⑦代入⑥，便是··=1.⑧也就是说：在△ABC内任取一点P，分别连AP，BP，CP交对边于D，E，F，则分三边所成的6条线段满足等式⑧.反过来，可以证明：对BC，CA，AB边上的三点D，E，F，如果⑧成立，则AD，BE，CF交于一点.一正一反放在一起，就是塞瓦定理. 而它之所以得证，其根源竟是平凡的等式⑥.围绕着这三角形内的一个点做文章，出现过好几个数学竞赛题呢！“设P是△ABC内任一点，连AP，BP，CP分别交对边于D，E，F，则三个比值，，中，必有不小于2者，也必有不大于2者.”这是一道匈牙利数学竞赛题. 说穿了很简单. 既然已有了④式，则，，当中，总有不大于的，也有不小于的（如果都大于，加起来就比1大；如果都小于，加起来又比1小了）. 如果≤，则PD≤AD，则PA≥AD，于是PA≥2PD. 反过来，若≥，则PA≤2PD. 这就解决了.题目变个样子：“△ABC内任一点P，它到周界的最近一点的距离不超过它到最远一点距离的一半. ”这是国内的一道数学竞赛题.事实上，P到边界上最近一点距离d≤PD，到最远一点距离d*≥PA，如果PA≥2PD，当然一定有d*≥2d了.“如果G是△ABC的三条中线的交点——重心. 任作过G的直线交两条边于M，N. 求证：必有GN≤2GM.”（图3）这是国内某省的一道数学竞赛题.这个题目说穿了更简单. 还是用小学生都知道的“等高三角形面积比等于底之比”来攻破它. 因为△AMG和△ANG同高，故=，⑨但是S△ANG≤S△AGC，S△AMG≥S△AGF ，所以≤=2.⑩这就证出来了.最后这一步用到了S△AGC=2S△AGF，怎么回事呢？原来，因为BD=DC，所以S△AGB=S△AGC . 又因为FA=FB，则S△AGF=S△BGF，所以S△AGF =S△AGC .如果不这样分析，干脆用重心性质，得GF=GC，那就不那么平凡了.上面这个题目着眼于重心G所分的两线段之比，有的数学家想到了面积比，于是出了一些竞赛题 .也许你不曾想到，三角形内的这个点也是数学家发现某些有名结论的源泉呢.17世纪的法国数学家费马提出过这么一个问题：已知平面上有D，E，F 三点，寻求一点P，使（PD+PE+PF）最小.事实上，在图1中，如果D，E，F恰巧是某个正三角形三边上的点，当PD，PE，PF分别与正三角形三边垂直时，P就是所要求的点.不信，另选一点Q比比看. （QD+QE+QF）当然要比Q到△ABC三边距离之和要大！又Q到这三边距离和与P到这三边距离和是一样的（如果Q在△ABC外，Q到三边距离之和会更大），所以也就推出QD+QE+QF＞PD+PE+PF.这就表明P到D，E，F距离之和比任意另一点到这三点的距离都小！如何确定点P呢？在图1中，因为∠BAC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如图4，在EF边和DE边上分别向外作正三角形△EFR和△DES. 再作这两个正三角形的外接圆交于不同于E的点P. 因为∠DPE与∠S互补，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，当然∠DPF也是120°. 过D，E，F分别作PD，PE，PF的垂线，三条线自然围成正三角形.这样，费马的问题就被解决了，这是卡瓦利列首先发现的方法.要补充一句的是：如果∠DEF=120°，两圆的交点便不会落在△DEF之内，这时，P应当取在E点.三角形中一个点，这样简简单单的图形变出了多少花样啊！数学家眼里，一个基本图形就像孩子手里的万花筒，稍一转动，就会出现一种美丽的花朵图案. 但拆开来，只是几片不起眼的涂有颜色的纸片而已.。
15.1《三角形》导学案(3)
15.1《三角形》导学案（3）单位：益都街道东高初中主备：王明霞审核：程金海课本内容：P150-151 例3 例4课前准备：直尺三角板学习目标：1.由“三角形三个内角的和等于180°”的认识出发，得出三角形外角的两个性质。
2.能利用三角形外角的性质进行有关计算。
3.学会有条理的思考，并能与同学交流。
一、自主预习课本P150—151内容，独立完成课后练习1、2题后，与小组同学交流（课前完成）。
二、结合前面学过的“三角形三个内角的和等于180°”，思考并回答下列问题：1、已知三角形两个角的度数，怎样求第三个角的度数？2、在直角三角形中，两个锐角的和等于多少度？3、三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和有什么关系？为什么？4、三角形的一个外角与它不相邻的一个内角的和有什么关系？能说明你的结论吗？三、巩固练习：1、如图：△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于A、100°B、120°C、130°D、150°2、如图：已知∠1=100°，∠2=140°，则∠3=3、如图，∠B=∠C,则∠ACD与∠AEB的大小关系是A、∠ADC﹥∠AEBB、∠ADC=∠AEBC、∠ADC﹤∠AEBD、不能确定4、如图：在Rt△ABC中，∠B=90°，线段AE、CD分别平分∠BAC, ∠ACB,则∠APD的度数是5、如上图，∠B=∠BAD, ∠ADC=80°, ∠BAC=70°, 求∠C的度数。
四、学习小结:(回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗？)五、达标检测：1、如图，AB∥CD，AD、BC交于点O，∠BOD=76°, ∠A=35°,则∠C=2、如图，填空①∠ADE=∠B+∠ , ∠ADB=∠C+∠ = ∠AED+∠②用“﹥”或“﹤”填空。
人教版数学四年级下册三角形的特性导学案3篇
人教版数学四年级下册三角形的特性导学案３篇〖人教版数学四年级下册三角形的特性导学案第【1】篇〗背景分析：新课程标准指出：“在教学中通过实践活动，使学生感受数学与日常生活的密切联系。
”同时“应把抽象的数学概念变为小学生看得见、摸得着、能理解的数学事实。
”根据这一理念，在“三角形的特性”教学时，首先要从小学生的生活经验和已有的知识出发，通过对具体形象的事物的观察、比较，使学生在大脑中形成对三角形的特性外部特征的初步感性认识，然后通过学生实践活动，抽象出图形的基本特征，让学生从中感悟，加深学生对图形特征的理解和认识，并使学生的认知过程逐步朝着具体到抽象、感悟到理性的方面发展。
这样，不仅调动学生学习的积极性，而且把枯燥、乏味的知识学习变得有趣生动、容易感受，是知识学习更贴近生活。
教学内容：义务教育课程标准实验教科书数学四年级下册80~81页的例1、例2教学目标：1、通过动手操作和观察比较，认识三角形，知道三角形的特性及三角形的高和底的含义，会在三角形内画高。
2、通过实验，知道三角形的稳定性及其在生活中的应用。
3、培养学生观察、操作、自学的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
4、体验数学和生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。
教学重点：1、理解三角形的特性。
2、在三角形内画高。
教学难点：理解三角形高和底的含义，会在三角形内画高。
教学准备：多媒体课件、投影。
师生准备：三角形、三角板、平行四边形。
教学过程：一、情境导入师：我们的城市日新月异，每天都有新的变化。
瞧，这是正在建设中的博物馆，不久的将来就会落成。
你能说出图中哪些物体上有三角形吗？（课件展示课本第80页情境图）生1：建筑物上有三角形。
（课件动态闪烁三角形）生2；吊重机的架子上。
生3：吊重机的铁线上。
师：生活中还有哪些物体上有三角形？生1：自行车上三角形。
生2：电线杆上有三角形。
生3：班里的流动红旗有三角形。
师：天坛、金字塔、铁塔、天安门、铁架、自行车上都有三角形。
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导学案：三角形专题
1
引入：
已知P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，把△ABC的面积三等分，则P点一定是（ ）
A．△ABC的三边的中垂线的交点 B．△ABC的三条内角平分线的交点
C．△ABC的三条高的交点 D．△ABC的三条中线的交点
变式：
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
新课
关于三角形内部（平面上）一点问题
例题：（2013•沈阳）已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距
离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是__________
2、如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=23，PC=4，则∠APC的大小是__________度．
4．
3、如图，△ABC中，AB=AC=BC，P为三角形内一点，PA=2，PB=1，PC=3，△ABC的面积是__________
导学案：三角形专题
2
4、如图，P是等边△ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5．求AC2．
5、
P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，所以PA、PB、PC的长为边的
三角形的三个角的大小之比是
__________
5、
1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，
连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时
针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明
导学案：三角形专题
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6、阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、
PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们
连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线
段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，
如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为__________；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC
最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC
值最小时PB的长．