2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考数学(文)试题(解析版)

2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考数学（文）试题及解析一、选择题1．已知集合A=(){}{}2|lg 1,|230x y x B y y y =-=--≤，则A B = （ ） A ．{}|13x x << B ．{}|13x x ≤< C ．{}|13y y ≤≤ D ．{}|13x x <≤【答案】D【解析】试题分析：本题综合解简单不等式，集合的交集运算，难度较小．因为集合{|1}A x x =>，{|13}B y y =-≤≤，所以{|13}A B x x =<≤ ，故选D ．【考点】对数函数的定义域，解一元二次不等式，交集运算． 2．复数512iz i=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 等于（ ） A ．﹣1﹣2i B ．1+2i C ．2﹣i D ．﹣2﹣i 【答案】D【解析】试题分析：本题考察复数的简单运算，难度较小．又题设得2z i =-+，故2z i =--，故选D ．【考点】复数的四则运算，共轭复数．3．命题“0200(0,),2x x x ∃∈+∞<”的否定为（ ）A ．2(0,),2x x x ∀∈+∞< B ．2(0,),2x x x ∀∈+∞> C ．2(0,),2x x x ∀∈+∞≥D ．2(0,),2x x x ∃∈+∞≥【答案】C【解析】试题分析：本题考察命题的否定，难度较小．原命题的否定为“()0,x ∀∈+∞，22x x ≥”，故选D ．【考点】命题的否定．4．“直线y x b =+与圆221x y +=相交”是“01b <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：本题以直线与圆的位置关系为载体考查充分必要条件，难度中等．若直线y x b =+与圆221x y +=相交，则b ，所以“直线y x b =+与圆221x y +=相交”是“01b <<”的必要不 充分条件，故选B ．【考点】充分必要条件．5．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++= 则10112a a -的值是（ ） A ．30 B ．32 C ．34 D ．25 【答案】A【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A ．【考点】等差数列性质．【易错点晴】对于等差数列问题来讲，基本量思想的运用是通性通法，一般来说运算量较大，还需要整体思想来看待问题，这样运算会减少些．如果能恰时运用等差数列的足标性质，能大大提高我们的解题速度和准确率，值得我们重视，犹如本题，只需秒杀． 6．已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B【答案】C【解析】试题分析：本题考查向量的夹角的求法，难度较小．由条件得1a b ⋅=-，所以1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-⋅，故2,3a b π<>= ，故选C ． 【考点】向量的夹角．7，且α为第二象限角，则（ ）A 、7 B、7- D【答案】B【解析】试题分析：本题运用三角变换公式进行求值，难度中等．由条件得4cos 5α=-，又α为第二象限角，所以3tan 4α=-，所以1tan 1tan()41tan 7πααα++==-，故选B ．【考点】两角和的余弦公式，同角基本关系式，两角和的正切公式．8．函数2()2ln f x x x bx a =+-+(0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A． B ．2 C．1【答案】A【解析】试题分析：本题利用导数求曲线在某点处的切线斜率，综合运用基本不等式求最值，难度中等．由条件得2()2f x x bx'=+-，所以切线斜率22()2f b b b bb b'=+-=+≥b=A．【考点】求导运算，曲线在某点处的切线斜率，基本不等式．9．函数(x)2sin(x)(0,)22fππωϕωϕ=+>-<<的图象如图所示，则AB BD→→⋅=（）A．8 B．-8 C．288π- D．288π-+【答案】C【解析】试题分析：本题以三角函数图象为背景，考查向量的数量积的计算，难度中等．由图象可知，函数的周期Tπ=，所以2ω=．由2122ππϕ⨯+=得3πϕ=．所以(,0)6Aπ-，(,2)12Bπ，7(,2)12Dπ-，所以(,2)4ABπ=，(,4)2BDπ=-，288AB BDπ⋅=-，故选C．【考点】函数(x)sin(x)f Aωϕ=+图象，向量的数量积．10．已知12,F F分别为双曲线)0,0(12222>>=-babyax的左、右焦点，P为双曲线右支8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．(]1,3B．C．D．[)3,+∞【答案】A【解析】试题分析：本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．设2||PF t=，则1||2P F a t=+，t c a≥-．又22212||(2)448||PF a t at a aPF t t+==++≥，当且仅当2t a=时，等号成立．所以2c a a-≤，所以13e<≤．故选A．【考点】双曲线的离心率，函数的最值．11．如图，设,P Q为ABC∆内的两点，且，AQ＝则ABP∆的面积与ABQ∆的面积之比为（）【答案】B【解析】试题分析：本题以面积之比为背景，考查平面向量的初等运算和平面向量的基本定理，难度较难．连Q P ，延长Q P 交AB 于E ，设A E A B λ=，21()55EP AP AE AB AC λ=-=-+ ，21()34EQ AQ AE AB AC λ=-=-+ ，又,A BA C 不共线，所以45EP EQ = ．又45ABP ABQ S EPS EQ ∆∆==．故选B ．【考点】平面向量的初等运算，平面向量的基本定理，等积法．【思路点晴】本题从面积之比来设问，需要用等积法进行等价转换，注意到1212PABP P ABQQ Q AB h S h EP S h EQ AB h ∆∆⋅===⋅，这是本题的难点之一，这样把面积之比转化为线段之比．由于点E 、P 、Q 共线，从而考虑平面向量的基本定理的运用，便是水到渠成，自然而然．12．定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，，若[)4,2x ∈--时，t 的取值范围是（ ） A ．[)()2,00,1- B ．[)[)2,01,-+∞ C ．[]2,1-D ．(](],20,1-∞-【答案】D【解析】试题分析：本题从不等式恒成立为载体，考查分段函数的最值，类周期函数的最值，知识的综合运用要求比较高，难度较高．若[)4,2x ∈--时，成立，只需min 1()42t f x t≥-．又当01x ≤<时，2()f x x x =- 的最小值为14-．又当12x ≤<时，| 1.5|()(0.5)x f x -=-的最小值为-1．所以当[)0,2x ∈时，()f x 的最小值为-1．又()()22f x f x +=，所以当[)4,2x ∈--时，11()(2)(4)24f x f x f x =+=+，又042x ≤+<，所以当[)4,2x ∈--时，()f x 的最小值为14-．解不等式11442t t-≥-，得2t ≤-或01t <≤．故选D ．【考点】不等式恒成立，分段函数，解不等式．【方法点晴】本题综合性较强．如分段讨论求分段函数()f x 的最值，把不等式恒成立问题转化为函数()f x 的最值问题，还有利用恒等式()()22f x f x +=，把[)4,2x ∈--时函数()f x 的最小值转化为[)0,2x ∈时()f x 的最小值，都需要扎实地基本功． 二、填空题13．已知数列{}n a 满足条件1111,n n n n a a a a a --=-=，则 【答案】101． 【解析】试题分析：本题考查等差数列的定义，数列的指定项的值，难度简单．有条件得1111n n a a --=，所以数列1{}n a 是以111a =为首项，以1为公差的等差数列，所以1nn a =，所以10110a =，所以10110a =．【考点】等差数列的定义，数列的通项．142+与-λ垂直，则实数λ的值为 ．【答案】92． 【解析】试题分析：本题考查两个向量垂直，向量的数量积的计算，难度简单．由ba ⊥得0ab ⋅= ．由(2)()0a b a b λ+⋅-= 得2220a b λ-= ，所以92λ=．【考点】向量垂直，向量的数量积． 15．已知0ω>ω的取值范围是 ． 【答案】1(0,]4．【解析】试题分析：本题已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的单调区间，求参数ω的取值范围，难度中等．由22242k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得32244k x k πππωπ-≤≤+，又函数()f x324224k k ππωπππωπ⎧-≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，即342124k k ωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，注意到22T π≥，即02ω<≤，所以取0k =，得104ω<≤．【考点】函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．x 的取值范围，从而可得参数ω的取值范围，本题还需挖掘参数ω的隐含范围，即函数()f xT π≥，因此02ω<≤，综合题设所有条件，便可得到参数ω的精确范围．16．定义区间12[,]x x 长度为2121()x x x x ->，已知函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[m,n]，则区间[m,n]取最大长度时a 的值是 ． 【答案】3．【解析】试题分析：本题需分析发现函数()y f x =是单调递增函数，从而得(),()f m m f n n =⎧⎨=⎩，从而构造以m ，n 为根的一元二次方程，从而可求出两根之差的最大值，难度较大．因为函数2221()a a f x a a x+=-在区间[m,n]上单调递增，所以m ，n 是方程()f x x =的两个不同的实数根，即222()10a x a a x -++=．所以n m -，当且仅当3a =时，等号成立． 【考点】函数的单调性，一元二次方程，一元二次函数的最值．【方法点晴】本题先定义区间12[,]x x 长度，难度不大．本题对函数()y f x =适当变形为2221()a a f x a a x +=-，从而一眼看穿函数()y f x =的单调性，从而得(),()f m m f n n =⎧⎨=⎩，从而构造以m ，n 为根的一元二次方程，可求出两根之差关于a 的解析式n m -=然后进行变形转化为关于1a为未知数的一元二次函数，从而利用配方法可求得最大值，得出此时a 的值．17．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos B C ba c=-+2．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积．【答案】（Ⅰ）23B π=； 【解析】试题分析：（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把ac 作为整体求之． 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理a Ab B cCR sin sin sin ===2得 a R A b R B c R C ===222sin sin sin ，，将上式代入已知cos cos cos cos sin sin sin B C b a c B C BA C=-+=-+22得 即20sin cos sin cos cos sin A B C B C B ++=，即20sin cos sin()A B B C ++=． ∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20∵sin cos A B ≠，∴，012=-∵B 为三角形的内角，∴23B π=．（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac θ=+-得2213a c ac =++，结合4a c +=，可得3ac =，所以△ABC 的面积01sin1202S ac ==． 【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．三、解答题18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且495,54a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式与n S ； （2）若1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】（1）1n a n =+，232n n n S +=；（2）112111()93123n T n n n =-+++++．【解析】试题分析：（1）考查等差数列的通项和前n 项和．（2）利用裂项相消法求特殊数列的前n 项和，不过第（2）问的求和过程中，需要特别留意，在裂项相消过程中，该保留哪几项，否则要出差错．试题解析：（1）依题意知95954S a ==，解得56a =， ∴公差54651d a a =-=-=，14(41)2a a d =--=．∴2(1)11n a n n =+-⨯=+，2(1)32122n n n n n S n -+=+⨯=．（2）由（1）知22211()333n b n n n n ==-++，设数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则12n n T b b b =+++ 21111111(1)3425363n n =-+-+-++-+211111(1)323123n n n =++---+++211111()36123n n n =---+++ 112111()93123n n n =-+++++． 【考点】等差数列的通项，前n 项和，用裂项相消法求特殊数列和．19．已知椭圆Γ：2214x y +=．（Ⅰ）求椭圆Γ的离心率；（Ⅱ）设直线y x m =+与椭圆Γ交于不同两点,A B ，若点()0,1P 满足=PA PB ，求实数m 的值． 【答案】；（Ⅱ）53m =-．【解析】试题分析：（Ⅰ）已知椭圆方程求其离心率．（Ⅱ）由=PA PB 知点P 在线段AB 的垂直平分线上，从而可得m 的值．试题解析：（Ⅰ）2a =，1b =，所以c =． （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，由22,440y x m x y =+⎧⎨+-=⎩得()2258410x mx m ++-=，由0∆>得(m ∈．1285mx x +=-，得1225m y y +=，故AB 的中点4,55m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭．因为PM AB ⊥，所以15145mm -=--，得53m =-满足条件．【考点】椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系．20．已知椭圆1（1）求椭圆C 的方程； （2相切的直线l 交椭圆C 与A,B 两点，求OAB ∆面积的最大值，及取得最大值时 直线l 的方程．【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）利用题设条件可列出关于a 、b 、c 的方程组，从而可得a 、b 、c 的值．（2）因为直线l 与圆O 相切，所以欲求OAB ∆面积的最大值，只需求弦长AB 的最大值，所以可求出弦长AB 关于斜率k 的解析式，利用基本式可求得其最大值．试题解析：（1（2）①当k 不存在时，②当k 存在时，设直线为y kx m =+，()()1122,,,,A x yB x y2243(1)d r m k =⇒=+∴OAB ∆面积的最大值为【考点】求椭圆方程，直线与圆相切，弦长公式，基本不等式． 【方法点睛】（1）对于直线的斜率，需要分类讨论斜率存在与不存在，这也是易忘易错之处．（2）注意到直线与圆相切，那么OAB ∆的高就是圆的半径，所以欲求OAB ∆面积的最大值，只需求弦长AB 的最大值，也是本题的难点之一．（3）关于AB =难点．21．设函数()ln (0)f x x x x =>． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设，)R ()()(F 2∈'+=a x f ax x )(F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当0x >时，证明：1)(+'>x f e x ．【答案】（Ⅰ）)(x f 的单调增区间为),1(+∞e ，)(x f 的单调减区间为)1,0(e；（Ⅱ）当0≥a 时，)(F x 无极值；当0<a 时，)(F x 有极大值a21ln 21-+，无极小值．（Ⅲ）证明详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用一阶导数的符号来求单调区间．（Ⅱ）对a 进行分类讨论，)(F x 的极值．（Ⅲ）把证明不等式转化求函数的最小值大于0． 试题解析：（Ⅰ）)0(1ln )(>+='x x x f ．令0)(>'x f ，即01ln >+x ，得ex 1>，故)(x f 的增区间为),1(+∞e ；令0)(<'x f ，即01ln <+x ，得ex 1<，故)(x f 的减区间为)1,0(e ；∴)(x f 的单调增区间为),1(+∞e ，)(x f 的单调减区间为)1,0(e．（Ⅱ）)0(1ln )(F 2>++=x x ax x ，)0(1212)(F 2>+=+='x xax x ax x当0≥a 时，恒有0)(F >'x ∴)(F x 在),0(+∞上为增函数，故)(F x 在),0(+∞∈x 上无极值；当0<a 时，令0)(F ='x ，得a x 21-=,当)(F 0)(F )21,0(x x ax ，，>'-∈单调递增，当)(F 0)(F )21(x x ax ，，，<'∞+-∈单调递减． ∴a a x 21ln 21)21(F )(F -+=-=极大值，)(F x 无极小值； 综上所述：0≥a 时，)(F x 无极值0<a 时，)(F x 有极大值a21ln 21-+,无极小值． （Ⅲ）证明：设，)0(ln )(>-=x x e x g x 则即证2)(>x g ，只要证2)(min >x g ． ∵，x e x g x 1)(-='∴027.12)5.0(21<-<-='e g ，01)1(>-='e g 又xe x g x 1)(-='在),0(+∞上单调递增 ∴方程0)(='x g 有唯一的实根t x =，且)1,5.0(∈t ．∵当),0(t x ∈时，0(t)g )(='<'x g ．当),(+∞∈t x 时，0(t)g )(='>'x g ∴当t x =时，t e x g t ln )(min -=∵0)(='t g 即t e t 1=，则t e t -= ∴t e t x g --=ln 1)(min 12t t =+>= ∴原命题得证．【考点】求导公式，函数的单调区间，函数的极值，函数的最值．【方法点睛】（1）解含参数a 的不等式，需要对a 进行分类讨论，是本题的亮点，也是本题的难点之一．（2）把证明不等式转化为求函数的最小值，也是本题的难点之一．（3）在求最小值的过程中，对零点t 设而不求，最后利用基本不等式进行放缩，是本题最大的亮点，也是最难的地方．（4）本题题干简洁，但是内涵丰富，本题设问层层深入，是一道好题，意蕴悠长．22．选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆中，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，O 过点A ，且和BC 切于点D ，和AB ，AC 分别交于点E 、F ，设EF 交AD 于点G 连接DF ．C D B（1）求证：//EF BC ；（2）已知2,3,DF AG ==求AE EB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3AE EB =． 【解析】试题分析：（1）利用圆周角定理，弦切角定理可得内错角相等，从而命题得证．（2）利用三角形相似可求得DG 的值，再利用平行线截割定理可求AE EB的值．试题解析：（1）证明：由于BC 与O 相切于D 点，故∠∠FDC=DAF.AD BAC BAD=.BAD=EFD EFD EF//BC.∠∠∠∠∠∠∠ 由于平分，故DAF 又，所以FDC=，则（2）由于DFG=DAF ∠∠，所以ADF FDG ∆∆∽ 故有AD DF =DF DG ，即AG+GD DF =DF DG将DF=AG=2，3代入，解得DG=1，AE AG EF//BC ==3EB GD 由于，所以 【考点】圆周角定理，弦切角定理，三角形相似，平行线截割定理．23．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心),4C π半径r 1.= （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若[0,]3πα∈，直线l 的参数方程为2cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），点P 的直角坐标为（2，2），直线l 交圆C 与A ，B 两点，求PA PBPA +PB ⋅的最小值．【答案】（1）2-2(sin cos )1ρρθθ+=-；（2【解析】试题分析：（1）利用直角坐标系与极坐标系相互转化，即可求之．（2）利用直线参数方程中参数t 的几何意义，进一步可求最小值．试题解析：（1）圆C 的圆心为（1,1） 直角坐标方程为22(y 1) 1.+-=(x-1)即222(x y)1x y +-+=-，将222=,cos ,sin x y x y ρρθρθ+==代入上式， 得22(sin cos ) 1.ρρθθ-+=-（2）P 点在直线l 上，将x=2+t cos y=2+tsin αα⎧⎨⎩，代入22(x 1)(y 1)1,-+-= 得22(tsin 1)1,αα++=（tcos +1）得2t 2(sin cos )t 10,αα-++=由参数方程的几何意义知P A P B =1P A +P B =24παα+（s in +c o s ）PA PB 1PA +PB 4)4πα⋅=≥+ 但且仅当+=42ππα，即=4πα时取到最值，所以最小值为4【考点】圆的极坐标方程，直线的参数方程．【一题多解】对于第（1）小题的求解，可以直接在极坐标系中求解，解法如下： 设点(,)P ρθ，在OCP ∆中，|OC|=，|CP |1=，|OP |ρ=，||4COP πθ∠=-，由余弦定理可知212cos()4πρθ=+--，即2-2(sin cos ) 1.ρρθθ+=-24．选修4-5：不等式选讲已知x ，y 为任意实数，有2,2, 1.a x y b x y c y =+=-=-（1）若4x y 2,+=求222c a b ++的最小值； （2）求,,a b c 三个数中最大数的最小值．【答案】（1）137；（2）12． 【解析】试题分析：（1）利用消元法可得关于222c a b ++x 的二次三项式，从而用配方法可求得最小值．（2）利用绝对值不等式可求最大值的最小值． 试题解析：（1）解：y=2-4x,a=2x+2-4x=2-2x,b=2x-2+4x=6x-2,c=1-4x,222222225134843624418165640956(x )147b c x x x x x x x x ∴++=-++-++-+=-+=-+a ∴当5x 14=时，222b c ++a 最小值为13.7 （2）设{}M ,,a b c =max ，则M ,M ,4222,b c M a b c a b c ≥≥≥++≥--= 所以1,2M ≥即a b c ，，中最大数的最小值为12【考点】配方法，绝对值不等式，最值．。