[高等教育]高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第六节 空间直线及其方程.
中国海洋大学《高等数学Ⅱ》课程教学大纲
《高等数学Ⅱ》课程教学大纲
撰写人：姚增善
撰写时间：2011 年7月
一、课程基本信息
开课院系：数学科学学院
课程英文名称：Advanced Mathematics Ⅱ
课程类别：通识课
适用专业：理、工科各专业
是否独立开课：独立
先修课程：无
课程总学时：96+80=176学时
总学分：6＋5
二、课程性质、目的与任务：
《高等数学Ⅱ》是理、工科专业的一门重要基础课，通过本课程的教学，使学生获得函数、极限及连续、一元及多元函数微积分、向量代数和空间解析几何、无穷级数、常微分方程等方面的基本理论和基本运算技能。
为学习其它课程及今后工作奠定必要的数学基础。
在教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，要特别注意培养学生运用所学知识去分析、解决实际问题的能力。
三、教学安排：
四、考核方式：
考试形式：笔试(闭卷或开卷)、口试、写小论文等形式。
五、推荐教材及参考书资料（注明编者，出版社，出版时间及版次）：
教材：
刘新国主编，高等数学(上、下册)，石油大学出版社，2011年8第二版
参考书：
[1] 赵树嫄主编，微积分，中国人民大学出版社，1990年第二版
[2]同济大学编，高等数学（上、下册），同济大学编，高等教育出版社。
2002年7月第五版。
高等数学之空间解析几何与向量代数PPT课件
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
A(x2 y2 z2 ) Dx Ey Fz G 0
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 Nhomakorabea回 结束
二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 . o
x
M0
M
y
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例2. 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样
的曲面.
解: 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 z2 5 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ),
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
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第七节空间解析几何与向量代数
第七章 空间解析几何与向量代数解析几何：用代数工具解决几何问题平面解析几何的研究，在代数与几何之间架起了一座桥梁，它使平面上的点与一对有序数组),(y x 之间建立了一一对应关系。
从而把平面上的图形（几何上）与方程（代数上）联系在了一起。
而实际上，我们在前面学习一元函数微积分的时候，已经大量地使用了平面解析几何的知识、许多概念通过几何直观使我们更容易理解。
下面要研究多元函数（以二元为主）的情形。
当然也希望能有其几何形象来帮助理解。
由于二元函数会出现三个变量，所以平面解析几何的知识是不够的，我们要把它推广，只有空间中的点才能和有序数组),,(z y x 相对应，所以我们要掌握一些空间解析几何的知识，并以向量为研究工具。
平面解几：一元函数的几何（曲线）通过坐标把平面上的点与一对有序数对应起来 空间解几：研究多元函数的基础 讨论多元函数(,)z f x y （曲面、曲线） 本章在空间直角坐标系中引进在工程技术上有广泛应用的向量，介绍向量的一些运算，介绍空间曲面和空间曲线的部分内容，并以向量为工具来讨论空间的平面和直线。
教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直和平行的条件；3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法；4、掌握平面方程和直线方程及其求法；5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；6、会求点到直线以及点到平面的距离；7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、了解空间曲线的参数方程和一般方程；9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。
高考数学一轮复习第七章《立体几何与空间向量》第六节空间向量在立体几何中的应用
考点一 利用空间向量证明平行、垂直
方法感悟
（1）线线平行：方向向量平行. （2）线面平行：平面外的直线的方向向量与平面的法向量垂直. （3）面面平行：两平面的法向量平行. 2.利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法 （1）线线垂直：两直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零. （2）线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线. （3）面面垂直：两个平面的法向量垂直. 3.运用向量知识判断空间中的位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与 平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍需强调直线在平面外.
迁移应用
考点二 空间角的计算 角度1 异面直线所成的角
角度2 线面角
方法感悟 用向量法求直线与平面所成的角（线面角）的步骤 第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标. 第二步：求直线的方向向量和平面的法向量. 第三步：求向量的夹角.
角度3 平面与平面的夹角
方法感悟 利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”.
（1）求出该平面的一个法向量； （2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； （3）求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可 求出点到平面的距离. 3.线到面的距离问题，一般转化为直线上一点到面的距离问题，或者考虑用几何法 解决.
迁移应用
D
[解析] 命题分析 本题主要考查空间直线与平面的位置关系，直线与平面所成角 的求法、点到平面的距离，还考查了转化与化归的思想，空间想象、逻辑推理的 能力，属于中档题.
C
[解析] 如图，
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
《高等数学II》教学大纲
《高等数学II》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：高等数学II英文名称：Higher mathematics II课程类别：公共课学时：64学分：4适用对象: 理工科专业考核方式：考试先修课程：高等数学I二、课程简介《高等数学II》是高等学校理工科专业学生的必修课。
通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后续课程和获得进一步的数学知识奠定必要的基础。
通过知识内容的传授，培养学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
其具体内容包括：空间解析几何与向量代数；多元函数微积分学（多元函数微分学、重积分、曲线积分和曲面积分）；无穷级数。
Higher mathematics II is a compulsory course for students majoring in science and engineering in institutions of higher learning. Through learning of this course, make the students master the basic concepts of higher mathematics and the basic theory and basic computing skills, for learning the follow-up courses and further the mathematics knowledge to lay the necessary foundation. Through the knowledge content of teaching, cultivate students' operation ability, abstract thinking ability, logical reasoning ability, space imagination ability and the integrated use of knowledge to the ability to analyze and solve problems. The specific contents include: spatial analytic geometry and vector algebra; Multifunction calculus (multifunction differential calculus, reintegration, curvilinear integral and surface integral); Infinite series.三、课程性质与教学目的目前，《高等数学II》已成为理工科类及部分经济、管理类专业的主干学科基础课程，是教育部审定的核心课程和硕士研究生入学考试“数学1”和“数学2”的必考科目，对学好其它专业课程意义重大。
高等数学 第七章
因为 OM OM1 OM2 ，M M OM3 ，所以
OM OM1 OM2 OM3
图7-4
再由数乘向量的定义，知
பைடு நூலகம்于是有
OM1 a1i, OM2 a2 j, OM3 a3k
OM a1i a2 j a3k
可以看出上式中三个系数(a1，a2，a3)正好是点M的坐标， 点M的坐标叫做向量a的坐标，记作a={a1，a2， a3}.
向量a的坐标表示式有两种写法： a=a1i+a2j+a3k={a1，a2，a3}
三、 向量的模与方向余弦 向量已由它的坐标表示出来了，怎样用向量的坐标来表 示它的长度和方向呢？任给一个向量a={a1，a2，a3}，从图 7-4可以看出它的长度是
于是
a OM OM1 2 OM2 2 OM3 2 a OM a12 a22 a32
(7-1)
即向量的模等于其坐标平方和的算术平方根. 例1 设a=2i－2j+k， 求|a|. 解 a 22 (2)2 12 9 3
下面讨论如何用坐标表示向量的方向. 设向量a与x轴、y 轴、z轴正向的夹角称为向量a的方向角，分别记为为α，β，γ， 显然0≤α，β， γ≤π. 当三个方向角确定后，向量的方向也就确 定了(图7-5).
图 7-1
图7-2
可见，在空间直角坐标系中，空间中的点与三个有序实 数是一一对应的. 显然，坐标原点的坐标为(0，0，0)，x轴上 点的坐标为(x，0，0)，yOz平面上的点为(0，y，z)等. 对于一 般的点，如(2，3，－1)，可如图7-3确定其位置.
图7-3
二、 向量的坐标 我们在中学学习了平面向量的坐标表示与运算. 如果将平 面向量推广到空间中，即得空间向量的坐标表示与运算. 在空间直角坐标系中，以原点为始点，而终点分别为点 (1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的三个单位向量，相应地记 作i，j，k，称为该坐标系的基本单位向量. 对于任一向量a，把a的始点置于原点，设此时a的终点为 M(a1，a2，a3)，即a=O→M， 如图7-4所示，根据向量加法
江苏专转本高等数学 第七章 第六节t空间直线及其方程
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【解】 设所求直线的方向向量为 s {m , n, p}, 根据题意知 s n1 , s n2 , 取 s n1 n2 {4,3,1},
【注意】 1.直线的三种方程之间的互化. 2. 重要特点: 两平面交线与两平面的法 向量都垂直
6
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【例 2】 一直线过点 A( 2,3,4) ，且和 y 轴垂直 相交，求其方程.
【解】 因为直线和 y 轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA {2, 0, 4},
直线的对称式方程
x x 0 y y0 z z 0 t 令 m n p
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
直线的参数方程
直线的一组方向数 向量s 的方向余弦称为 直线的方向余弦.
4
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x2 y3 z4 所求直线方程 . 2 0 4
7
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三、两直线的夹角
1、定义与夹角公式
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
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x x1 y y1 z z1 直线 L1 : , m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 直线 L2 : , m2 n2 p2
z0 2
点坐标 (1,0,2),
5
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因所求直线与两平面的法向量都垂直 取
s n1 n2 {4,1,3},
x 1 y 0 z 2 对称式方程 , 4 1 3 x 1 4t . 参数方程 y t z 2 3 t
向量代数与空间几何及答案
1
即
由方程组
解得垂足为
∵ 所求平面垂直于平面 z =0, ∴ 可设所求平面的方程为
又所求平面过点 (1, -1, 1) 及垂足
微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
1
解得 B=2D, A=D, ∴ 所求平面的方程为 即
微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
1
例 3 求过直线
且与平面 x - 4y –
微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
1
例 8 设 D, E, F 分别为△ ABC各边的中点, AD,
BE, CF 为各边的中线, 这三条中线交于G, 求证:
C
证明
E
D
G
A
F
B
微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
1
∵ 与 不共线,
解得
因此
即
微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
1
题型 2 求平面的方程
8z +12=0 成 角的平面方程.
解 设过所给直线的平面束方程为
即 ∵ 所求平面与已知平面的夹角为
微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
1
解得 ∴ 所求平面的方程为
即
微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
1
例 4 求平面
和
的夹角的平分面的方程.
解 设 M(x, y, z) 为角平分面上的任一点则, 有
平行
于直线 x =y =z,
微积分Ⅰ
第七章 向量代数与空间解析几何
1
由 (1) 得 代入 (3) 得 由对称性, 同样有 将 x1, y1, z1 代入 (2 ), 得所求柱面方程为
高等数学-空间直线及其方程
的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p