历年高考数学真题-2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷)理(附解答)
2003年高考数学 理工农医类、全国卷 真题
（
1 3
3
）
（B） （ ，2）
（C） （ ， ）
2 5
1 2
2 （D） （2， ） 3 5
11． lim
2 2 2 C2 C 32 C 4 Cn n n (C 1 C 1 C 1 C 1 ) 2 3 4 n
（
２
）
（A）3
（B） 1
3
（C）
1 6
24
，0） ， cos x 4 ，则 tg 2 x 5 2
（
7
）
（B） 7
cos
24
（C） 24
（D）
24 7
的准线方程是 2．圆锥曲线 8 sin 2
（ （D） sin 2 （ ）
）
（A） cos 2 3．设函数 f ( x)
3
1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的 1．已知 x ( （A） 7
８
卷) 数学（理工农医类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题 5 分，满分 60 分. 1．D 2．C
21 2
3．D
4．A
5．C
6．B
7．C
8．D 9．D
10．C
11．B
12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13． 14． （-1，0） 15．72 16．①④⑤
最新2003年全国2卷高考理科数学试题
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离D E KBCABAFC G19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —x东…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .There be句型练习题一.选择填空( )1.--Again, my computer does't work.--＿＿ must be something wrong with the CPUA.ThereB.ThatC.ItD.This( )2.There ＿＿ some milk ,some eggs and a few apples on the table. A.is B.are C.has D.have( )3.there are so many green trees on ＿＿ sides of the street . A.either B.each C.both D.neither( )4.there ＿＿ anything new in today's newspaper .A.isB.areC.isn'tD.aren't( )5.＿＿ there ＿＿books on the shelf ？A.are ﹔aB.is ﹔aC.have ﹔someD.are ﹔any( )6.there ＿＿ many elephants in Africa.A.isB.hasC.areD.have( )7.--is there a hotel near here ？ --＿＿.A.yes.pleaseB.not at allC.sorry,i don't knowD.here you are( )8.are there any ＿＿on the table ？A.meatB.cheeseC.tomatoesD.papper( )9.--where is my wallet ？--there ＿＿ a black ＿＿ on the floor.A.is ﹔itB.are ﹔onesC.is ﹔oneD.are ﹔one( )10.there's ＿＿eraser on ＿＿desk.A. an﹔theB.the﹔aC.the﹔theD.an﹔/二. 用所给词的适当形式填空。
2003年高考数学理科试题及答案(全国卷)(理工农医类)
2003年高考数学理科试题及答案（全国卷）数学 （理工农医类）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知x x ∈-⎛⎝ ⎫⎭⎪=π2045，，cos ，则tan 2x =A.724B. -724C.247D. -247（2）圆锥曲线ρθθ=82sin cos 的准线方程是A. ρθcos =-2B. ρθcos =2C. ρθsin =-2D. ρθsin =2（3）设函数f x x x x x()=-≤>⎧⎨⎪⎩⎪-21012，，，若f x x ()001>，则的取值范围是A. ()-11，B. ()-+∞1，C. ()()-∞-+∞，，20D. ()()-∞-+∞，，11（4）函数()y x x x =+2sin sin cos 的最大值为 A. 12+B. 21-C. 2D. 2（5）已知圆()()C x a y ：-+-=2224（a >0）及直线l x y ：-+=30，当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a =A. 2B. 22-C. 21-D. 21+（6）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是 A. 22πRB.942πRC.832πRD.522πR（7）已知方程()()x x m x x n 22220-+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m n -=A. 1B.34C.12D.38（8）已知双曲线中心在原点且一个焦点为()F 70，，直线y x =-1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为-23，则此双曲线的方程是A.xy22341-= B.xy22431-=C.xy22521-= D.xy22251-=（9）函数f x x x ()sin =∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，ππ232的反函数f x -=1()A. -∈-arcsin []x x ，，11B. --∈-πarcsin []x x ，，11C. π+∈-arcsin []x x ，，11D. π-∈-arcsin []x x ，，11（10）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）。
2003年高考全国卷[1].理科数学试题及答案
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα−++=⋅l c c S )(21+′=台侧其中c ′、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα−−+=⋅上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα−++=⋅球体的体积公式：334R V π=球，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα−−+−=⋅表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知2(π−∈x ，0），54cos =x ，则2tg x =（）（A ）247（B ）247−（C ）724（D ）724−2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是（）（A ）2cos −=θρ（B ）2cos =θρ（C ）2sin =θρ（D ）2sin −=θρ3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧−=−2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（）（A ）（1−，1）（B ）（1−，∞+）（C ）（∞−，2−）∪（0，∞+）（D ）（∞−，1−）∪（1，∞+）4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为（）（A ）21+（B ）12−（C ）2（D ）25．已知圆C ：4)2()(22=−+−y a x （0>a ）及直线l ：03=+−y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （）（A ）2（B ）22−（C ）12−（D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A ）22R π（B ）249R π（C ）238R π（D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+−+−n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=−||n m （）（A ）1（B ）43（C ）21（D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1−=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32−，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=−y x （B ）13422=−y x （C ）12522=−y x （D ）15222=−y x 9．函数x x f sin )(=，23,2[ππ∈x 的反函数=−)(1x f （）（A ）x arcsin −1[−∈x ，1]（B ）x arcsin −−π1[−∈x ，1]（C ）x arcsin +π1[−∈x ，1]（D ）xarcsin −π1[−∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ΛΛ（）（A ）3（B ）31（C ）61（D ）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A ）π3（B ）π4（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx −的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<−x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，4种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）①②③④⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为°60，且|1|−z 是||z 和|2|−z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC −中，底面是等腰直角三角形，°=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II）求点1A 到平面AED 的距离19．（本小题满分12分）已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减Q ：不等式1|2|>−+c x x 的解集为R如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北°45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4分）（I ）设}{n a 是集合|22{t s +t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35691012————…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a （II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13．221−14．（-1，0）15．7216．①④⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．解：设)60sin 60cos οοr r z +=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==−由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222−=−−=−==−++−=+−∴−−=−−−⋅=−z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.设F 为AB 中点，连结EF、FC，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===×===∴==⋅=∈∴∆∴⊥ΘΛΛΘΘ（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =∩⊥⊥又Θ.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=×=⋅=∆⊥∴⊥=∩⊥∴⊂⊥∴19．解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c 不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x −+=⇔>−+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c −≥⎧+−=⎨<⎩∴=+−∴+−>⇔>⇔><≤≥∪+∞Θ函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P（y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧×+×−=×−×=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([((22t r y y x x ≤−+−其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤−+−t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ×+×−+×−×2412,028836,)6010(22≤≤≤+−+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤由此有E（2，4a k），F（2－4k，4a ），G（－2，4a －4ak）直线OF 的方程为：0)12(2=−+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=−+−−a y x k a ②从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程022222=−+ay y xa整理得1)(21222=−+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a −−−的距离之和为定值当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122−+−−a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2)6(1,2)9(0,3)10(1,3)12(2,3)————…………（i）第四行17(0,4)18(1,4)20(2,4)24(3,4)第五行33(0,5)34(1,5)36(2,5)40(3,5)48(4,5)（i i）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s 数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为},0|2{20t t t s s <<≤+其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<−−=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t 因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈∪+<<∈∪<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ：}.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s 某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r 某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C 另法：规定222r t s ++=（r,t,s），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝（0,1,2）22C 依次为（0,1,3）（0,2,3）（1,2,3）23C （0,1,4）（0,2,4）（1,2,4）（0,3,4）（1,3,4）（2,3,4）24C …………（0,1,9）（0,2,9）…………（6,8,9）（7,8,9）29C （0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）……27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=Λ。
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试2003
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A2,3，{|(1)(2)0,}BxxxxZ，则AB
（A）{1}（B）{12}，（C）{0123}，，，（D）{10123}，，，， （2）已知(3)(1)izmm在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A）(31)，（B）(13)，（C）(1,)+（D）(3)-，
（3）已知向量(1,)(3,2)m，=ab，且()a+bb，则m= （A）－8（B）－6 （C）6 （D）8
（4）圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a=
（A）43（B）34（C）3（D）2 （5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A）20π（B）24π（C）28π（D）32π （7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为
（A）x=kπ2–π6 (k∈Z) （B）x=kπ2+π6 (k∈Z) （C）x=kπ2–π12 (k∈Z) （D）x=kπ2+π12 (k∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s= （A）7 （B）12 （C）17 （D）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=
2003年高考数学 理工农医类、全国卷 真题
20．解：如图建立坐标系以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向. 在时刻：（1）台风中心 P（ x ,
2 2 y ）的坐标为 x 300 10 20 2 t , y 300 7 2 20 2 t. 10 2
19．解：函数 y c x 在 R 上单调递减 0 c 1. 不等式 x | x 2c | 1的解集为R 函数y x | x 2c | 在R上恒大于1.
９
2x 2c, x 2c, x | x 2c | 2c, x 2c, 函数y x | x 2c | 在R上的最小值为2c. 1 不等式| x x 2c | 1的解集为R 2c 1 c . 2 1 如果P正确, 且Q不正确, 则0 c . 2 1 如果P不正确, 且Q正确, 则c 1.所以c的取值范围 (0, ] [1,). 2 为
（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加 4 分，但全卷总分不超过 150 分）
设 {bn } 是集合{2r 2 s 2t | 0 r s t ，且 r, s, t Z} 中所有的数从小到大排列成的数
７
列，已知bk 1160 ，求 k .
2003 年普通高等学校招生全国统一考试(全国
2
5
（ （D） 24
7
）
（A） 7
24
（B） 7
24
（C） 24
7
2．圆锥曲线 8sin 的准线方程是 cos 2 （A） cos 2 3．设函数 f ( x) 1
2x 1 x2
（
）
（B） cos 2 （C） sin 2
x 0 x 0
（D） sin 2
（ （C） 2 （D）2 ）
最新2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54c o s =x ，则2tg x = （ ）（A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2003年高考试题上海卷(L)
2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理工农医类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．3．华东师大二附中、大同中学、格致中学考生请注意试卷最后的符号说明．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin cos 4cos sin ππx x x x y 的最小正周期T = .（2）若3π=x 是方程2cos （x ＋α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝ .（3）在等差数列｛a n ｝中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .（4）在极坐标系中，定点⎪⎭⎫⎝⎛2,1πA ，点B 在直线ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 .（5）在正四棱锥P －ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）（6）设集合A ={x | |x |<4}，B ={x | x 2－4x ＋3<4}，则集合{x | x ∈A 且x A ∩B }= . （7）在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C =2：3：4，则∠ABC = .（结果用反三解函数值表示）（8）若首项为a 1，公比为q 的等比数列｛a n ｝的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .（9）某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成。
现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）（10）方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1）（11）已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛n A 2,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛-n B 2,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,24n C ，其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim ＝ .（12）给出问题：是F 1、F 2双曲线1201622=-y x 的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点的F 2距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴上为8，由||PF 1|－| PF 2||＝8，即|9－| PF 2||＝8，得| PF 2|＝1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内;或不正确，将正确结果填在下面空格内.． 二、选择题（本在题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. （13）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（A ）y=tg|x |.（B ）y ＝cos （－x ）. （C ）.2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx y（D ）.|2ctg |xy =（14）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（A ）α、β都垂直于平面γ.（B ）α内存在不共线的三点到β的距离相等. （C ）l ，m 是α内两条直线，且l ∥β, m ∥β.（D ）是两条异面直线，且l ∥α, m ∥α, l ∥β, m ∥β.（15）设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么""212121c c b b a a ==是“M ＝N ”的 （A ）充分非必要条件．（B ）必要非充分条件 ．∈（C）充要条件．（D）既非充分又非必要条件．（16）f（x）是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示.令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（A）若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称.（B）若a＝1，0<b<2，则方程g（x）=0有大于2的实根.（C）若a＝－2，b＝0，则函数g（x）的图象关于y轴对称.（D）若a≠1， b＝2，则方程g（x）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.（17）（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ＋i，求|z1〃z2|的最大值和最小值.（18）（本题满分12分）已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB＝4，AD＝2.若B1D⊥BC，直线B1D 与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积. （19）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小满分5分，第2小题满分9分．已知数列{a n}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列．（1）求和：;,3342331323122312221CaCaCaCaCaCaCa-+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明;（20）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为以双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个随圆的形状．（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高，本题结果均精确到0.1米）（21）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点，已知|AB |=2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB 的坐标;（2）求圆x 2－6x +y 2+2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程;（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由;若存在，求a 的取值范围．（22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分86分，第3小题满分7分．已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体;存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f （x ＋T ）=T f （x ）成立．（1）函数f （x ）＝x 是否属于集合M ？说明理由;（2）设函数f （x ）＝a x（a >0且a ≠1）的图象y =x 与的图象有公共点，证明：f （x ）= a x∈M ;（3）若函数f （x ）＝sin k x ∈M ，求实数k 的取值范围．2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学参考答案（理工农医类）说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精进行评分。
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1 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数 学（理工农医类）
本试卷共22道题，满分150分考试时间120分钟 第Ⅰ卷 （共110分）
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分
1．函数)4sin(cos)4cos(sinxxxxy的最小正周期T= .
2．若则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23xx . 3．在等差数列}{na中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+„+a10= 4．在极坐标系中，定点A),2,1(点B在直线0sincos上运动，当线段AB最短 时，点B的极坐标是 5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）
6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A且}BAx= . 7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a1，公比为q的等比数列}{na的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值可以是（a1，q）= . 9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示） 10．方程x3+lgx=18的根x≈ .（结果精确到0.1）
11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nCnBnA其中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面
积，则nnSlim= . 2
12．给出问题：F1、F2是双曲线201622yx=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ） A．y=tg|x|. B．y=cos(－x).
C．).2sin(xy D．|2|xctgy. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） A．α、β都垂直于平面r. B．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β. D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.
15．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分
别为集合M和N，那么“212121ccbbaa”是“M=N”的 （ ） A．充分非必要条件. B．必要非充分条件. C．充要条件 D．既非充分又非必要条件. 16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（x）=af（x）+b，则下 列关于函数g（x）的叙述正确的是 （ ） A．若a<0,则函数g（x）的图象关于原点对称. B．若a=－1，－2C．若a≠0,b=2,则方程g（x）=0有两个实根. D．若a≥1,b<2,则方程g（x）=0有三个实根. 3
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分） 已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值. 4 18．（本题满分12分） 已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积. 5 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.
已知数列}{na（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.
（1）求和：;,334233132031223122021CaCaCaCaCaCaCa （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. 6 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设 计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？
（半个椭圆的面积公式为lhS4，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米） 7
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分. 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.
（1）求向量AB的坐标； （2）求圆02622yyxx关于直线OB对称的圆的方程； （3）是否存在实数a，使抛物线12axy上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围. 8
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分. 已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立. （1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由； （2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M； （3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围. 9 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理工农医类）答案 一、（第1题至第12题）
1．π. 2．34. 3．－49 . 4．)43,22(. 5．arctg2. 6．[1,3]. 7．.611arccos 8．10,0)(21,1(1qa的一组数）. 9．190119 10．2.6 . 11．4π 12．|PF2|=17. 二、（第13题至第16题） 题 号 13 14 15 16 代 号 C D D B 三、（第17题至第22题） 17．[解]
.2sin412cossin2)sin(cos)cossin1(|)sin(coscossin1|||2222221izz
故||21zz的最大值为,23最小值为2. 18．[解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD. 在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=32. 又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以
∠B1DB=30°，于是BB1=31BD=2.
故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=38. 19．[解]（1）
.)1(33,)1(231312111334233132031212111223122021qaqaqaqaaCaCaCaCaqaqaqaaCaCaCa
（2）归纳概括的结论为： 若数列}{na是首项为a1，公比为q的等比数列，则 10
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnqaCqCqCqqCCaCqaCqaCqaqCaCaCaCaCaCaCanqaCaCaCaCaCa)1(])1([)1()1(:.,)1()1(13322101
13312211101
1342312011134231201
证明为正整数
20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为12222byax. 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744ala此时.因此隧道的拱宽约为33.3米. （2）[解一]
由椭圆方程12222byax，得.15.4112222ba
4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222bhalbabaSablhSbhalababba此时得有取最小值时当所以且即因为
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小. [解二]由椭圆方程12222byax，得.15.4112222ba 于是,121481222aab
,121121121,,99,12181)2421212(481)242121121121(481222222222aaSabaaba有取最小值时当即 得.229,211ba以下同解一.