第二章气体动理论

统计意义：分子平均平动动能的量度，表示大量 分子热运动的剧烈程度，对个别分子而言，温度 没有意义。
§2 能均分定理
理想气体内能
一.分子平均能量——能均分定理 1.自由度 确定分子位置的独立坐标数。 单原子分子： 3个平动自由度
双原子分子 模型： 转动自由度： 2 6个自由度 3n个自由度 转动自由度：3 平动自由度： 3 振动自由度： 1
vp
vp = ?
表示在此速率附近分 布的分子数占总分子 数的比值最大
df（v） kT RT 由： 0， 可得：v p 1.4 1.4 dv m
曲线的变化 状态量 T 变化： 曲线向左右移动。 气体变化： 质量变化 vp vp v f（v）
如何判断 曲线的移 动方向。
fmax的变化是什么原因.
C mol
nmol V
溶质mol数
体积
1升水溶解20克的糖，可产生14米水柱高的渗透压。
RT

3.三种速率的比较
§4
气体的输运现象
一.分子碰撞的统计规律 1.平均碰撞频率：单位时间内分子的平均碰撞次数。 导出思路： 假定：分子为刚性小球，直径为d； 分子热运动平均相对速率为u . 可以证明：u
2 v
见图,A分子的碰撞 次数？
2d
A
设其他分子静止， A分子的速率为u . 凡分子中心与A 2d 分子相距为d的 分子均要与A分 子相撞。
Nm N pV RT RT RT N0m N0
N R 则：p T nkT V N0
状态方程
M
R 23 1 k 1.38 10 J k N0
由
波尔兹曼常数
2 p n 和 p = nkT 3 3 得 kT 2
此式称为理想气体分子平均平动动能公式。
－号表示热量的传递方向。
dT dQ k ( ) z0 ds dt dZ
导热系数：
1 ' C Vm k a v 3
3.粘滞现象 微观解释 接触层通过交换分子，使分子的 定向动量发生迁移。
粘滞力
dv f ( ） z 0 s dz
解释气体的粘滞系数与温度的关系 为何与液体不同。
kT 3 21 3. kT 6.2110 J 4.ε=5/2kT=1.035×1 2 0-20J
5. U= 5/2 RT = 6.23×103J
2.p nkT

n
p
RT 25 3 2.45 10 m
§3
麦克斯韦速率分布律
讨论气体分子数随速率的分布情况 一. 麦克斯威速率分布定律 麦克斯威提出：平衡态下，在v → v + dv内的 分子数为一定值：dN = Nf（v）dv f（v）— 称为速率分布函数
v 1 2 Z 2πd n
kT 2 2πd p
气体的平均自由程为10-7m，比分子直径大103倍， 说明分子很自由。还可看出热运动的不规则性，分 子每行进10-7m就要进行一次碰撞，每秒碰撞几十 亿次。
二.气体的输运现象
1.扩散现象 ρ不一致时发生质量迁移 微观解释：接触层密度的区别，使进入双方的分子 数不同，出现质量迁移。 规律
2
2
• • • • •
3 kT 2 5 常温 250 —1000K kT 2 7 高温 2500K以上 kT 3 2 单原子 kT 在经典范畴内如何 2 5 理解,如何取值 双原子 kT 2
3经典理论的缺陷 ε——理论值与实验值的比较 单原子分子：吻合 双原子分子：不吻合 实验值：低温 10——100K
4.透膜扩散现象—— 渗透 （1）生物膜的特性：对溶 液的通透具有选择性，称 为半透膜。 设想某生物膜仅对水分子 通透，将其放入装有某U型管 中，一边为水，一边为某溶 液。观察现象 （2）原因：水分子透膜扩散。
h
（3）渗透压π——液面高度差产生的压强差 范托夫定律：π= Cmol RT 溶液的mol 浓度 （对稀溶液成立）
三原子及多原子分子
平动自由度：3
振动自由度：3n－6
自由度数一般用i表示
2.能均分定理 (1).内容：分子的平均动能按自由度均分，每个 自由度分得： 1 kT
3 (2）讨论 单原子分子： k kT 2 平均动能： i 双原子分子： k kT 2 平均势能 单原子分子： p 0 双原子分子： p 平均振动动能 1 kT 2 3 分子平均总能量： 单原子分子： kT 2 7 双原子分子： p k kT
m f (v) 4π( ) e 2πkT
3 2
mv 2 2 kT
v
2
2.分布函数的意义
dN f ( v) / dv N
单位速率间隔内 的分子数占总分 子数的比值，也 是概率密度。
f(v)dv的意义？
v2

v1
f (v)dv的意义？
f (v)dv ?
0
3.速率分布曲线 （ f（v）— v 曲线） （1）曲线：v = 0 f（v）= 0 ，v = ∞ f（v） f（v）= 0 见图： (2)讨论 vp的物理意义 vp fmax v
t时间内的碰撞次数：
2
A
碰撞截面
2
πd u tn 2πd v tn
平均碰撞频率：
次数 2 Z 2πd nv t
2.平均自由程
自由程 (free path) ---- 在热动平衡态下， 一个气体分子在任意连续两次碰撞之间所经过的直 线路程。由于分子运动的无序性，分子各段自由程 长度不同。
分子在连续两次碰撞间所 走路程的平均值—— λ 与平均碰撞周 期的关系？
2 ix N
2 v ix i 1
N
N
nmv
2 x
（5）化简
F 1 2 2 PA nmvx nmv SA 3
2 1 2 2 p A n（ mv ） n 3 2 3
1 2 mv 2
微观上看： 分子的平均平均平动动能
p n、
实验结果：V变化，T变化导致P变化，说明什么？
曲线下面积的意义 取面积元：
f（v）
dS f (v) dv
vp
分子数比值 曲线下总面积 = ？
v
二.应用 1.求分子平均速率 思考：vdN的意义？

v
vdN
0

N

vf (v)dv 1.59
0
RT

2.求分子的方均根速率
v
2
1 2 v dN N0


v
0
2
f (v)dv 1.73
tF
9 32 t 5
历史上共提出19种温标，但均依赖测温物质的 性质，开尔文依据热力学理论：温度每降低1度， 分子热运动能量降低273分之一，提出绝对0度， 此时分子热运动停止，此温标称为热力学温标， 与测温物质无关。 与摄氏温标的关系： T = 273.15 + t （K） 2.统计意义
x
2 1 vx
Δt 时间内的碰撞次数：
总冲量：
mi t 2 Ii vix 1
N
vx t 2 1
（3）Δt时间内所有分子施于A面的冲量
mi t 2 mt 2 I总 vix vix 1 i 1 i 1 1
N
(4)求 PA
F I m PA S A S A t V Nm v V i 1
v v v
2 Байду номын сангаас 2 y
2 x 2 y 2 z
2 z
又
∴
v v v v 1 2 2 2 2 vx v y vz v 3
2
4.导出
F A面所受压强： PA SA
（1）单个分子一次碰 撞施与A面的冲量
y vy
l3
A l2
mi vz
l1
vx
Ii=2mivix z （2）Δt时间内此分 子施与A面的总冲 量： 连续两次碰撞所需时间：
压强公式为统计规律，有涨落现象，对少数分 子无意义。
二.温度的意义 1.宏观意义：冷热程度，是决定某一系统与另一 系统处于热平衡的宏观标志。
温标—温度的数值表示法，量化冷热程度。 常用的温标：
摄氏：（0C）规定1atm下，纯水的冰点为0度，汽点 为100度，并认为液体体积随温度作线性变化，0度 和100度之间的温度按线性关系将温度计刻度。 华氏：（0F）规定1atm下，水、冰和氯化铵混合 物为00F，水的汽点为2120F。与摄氏温标的关系：
d dM D ( ) z0 dsdt dZ
d ( ) z0 dZ
质量迁移方向
密度梯度，密度沿z方向的变化率。
D—— 扩散系数
1 D v 3
2.热传导现象 T不一致时发生dQ的迁移 微观解释：接触层通过交换分子，使分子热运动动 能发生迁移。实质是能量的迁移。 规律 dT 温度沿z方向的变化率 温度梯度：( ) z0 dZ
§1
理想气体的压强和温度
一. 压强公式 1.产生原因：大量分子碰撞器壁的宏观效应 2.研究思路： P = F/S
单个分子碰撞： 冲力f 大量分子碰撞： ∑f
3.研究对象：理想气体：作用力、碰撞、分子体积 平衡态
气体分子平衡态时的特性：
等概率假设
1.气体分子在容器中各处出现的概率是均等的。 即气体分子数密度处处相等。 2. 气体分子沿各方向运动的概率相等，即分子 速度在各方向上分量的各种平均值相等。在直角坐 标系中有：
二.理想气体的内能
i kT 的意义？ 2
1mol理想气体的内能
分子的平均能量
U mol
i i N 0 kT RT 2 2
若质量为M：