【中考加油】2019中考数学精准突破：一元二次方程
广东省2019届中考数学复习第二章方程与不等式第3讲一元二次方程课件
5入．为201222002年277国元（家，1+扶2x）0贫124=开3年9发8增5工长作到重3点98县5 元农．村若居设民年人平均均纯增收
长率为 x，则根据题意可列方程
为
． 20%
6．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125
元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为
．
3
★考ห้องสมุดไป่ตู้梳理★
1．一元二次方程：
又∵由（1）知 k≤ 1 4
∴不存在实数 k 使得 x1•x2-x12-x22≥0 成立。
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考点 4．一元二次方程的应用（高频考点） 7．雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援” 赈灾捐款活动．第一天收到捐款 10000 元，第三天收到捐款 12100 元． ⑴如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； ⑵按照⑴中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？
解：⑴根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0，解得：k＜ 5 ； 2
⑵由 k 为整数，得到 k=1 或 2，
利用求根公式表示出方程的解为 x=-1± 5 2k ，
∵方程的解为整数 ∴5-2k 为完全平方数，则 k 的值为 2．
8
考点 3．一元二次方程根与系数的关系（高频考点） 6.已知关于 x 的一元二次方程 x2-（2k+1）x+k2+2k=0 有两个实数根 x1，x2． ⑴求实数 k 的取值范围； ⑵是否存在实数 k 使得 x1•x2-x12-x22≥0 成立？若存在，请求出 k 的值；若 不存在，请说明理由．
(1)概念：只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为 O 的整式方程， 叫做一元二次方程．
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
2019中考数学第一轮复习 第2章第8讲 一元二次方程(共25张PPT)
200－(200＋50x)]＝1250，即 800＋(4－x)(200＋50x)－2(200－50x)＝
1250.
整理，得 x2－2x＋1＝0.解得 x1＝x2＝1.
∴10－1＝9(元)．
∴第二周的销售价格为 9 元.
【思路分析】(1)设出矩形的一边长，用周长公式表示出 另一边长，根据面积列出相应方程求解即可；(2)同样列出 方程，若方程有解则可，否则就不可以．
【自主解答】 (1)设矩形的长为 x 厘米，则宽为(28－x)厘米．依题意， 得 x(28－x)＝180，解得 x1＝10(舍去)，x2＝18. 28－x＝28－18＝10. ∴长为 18 厘米，宽为 10 厘米．
x12
+x
2 2
的
值．
解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ
＝(2k＋1)2－4k2＝4k＋1>0，解得
1 k>－4.
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋3x＋1＝0.
∵x1＋x2＝－3，x1x2＝1， ∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－2＝7.
类型3 一元二次方程的应用 【例3】 [2017·深圳中考]一个矩形(即长方形)周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
使一元二次方程的左右两边相等的未知数的 值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次 方程的根
考点2方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法 叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝ b的一元二次方程．根据平方根的定义可知，x＋a是b的平 方根．当b≥0时，x＋a＝± b ，x＝①_－a±b __；当b<0 时，方程没有实数根
2019版中考数学《2.2一元二次方程》导向(含答案)
§2.2 一元二次方程一、选择题1．(原创题)若a是方程x2－x－1＝0的一个根，则－a3＋2a＋2 015的值为( ) A．2 015 B．2 014 C．2 013 D．－2 015解析∵a是方程x2－x－1＝0的一个根，∴a2－a－1＝0.∴a2＝a＋1，a2－a＝1.∴－a3＋2a＋2 015＝－a·a2＋2a＋2 015＝－a·(a＋1)＋2a＋2 015＝－a2－a＋2a＋2 015＝－a2＋a＋2 015＝－(a2－a)＋2 015＝2 014.故选B.答案 B2．(原创题)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( )A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定解析原方程可变形为x2－10x＋25－4＝0，即(x－5)2－4＝0.因式分解，得(x－5＋2)(x－5－2)＝0.∴x－3＝0或x－7＝0，即x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足6－2＜x＜6＋2，即4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.答案 A3．(改编题)方程x2－bx＋2＝0有一个根是1，则方程的另一个根是( )A．1 B．2 C．3 D.1 2解析把x＝1代入原方程得1－b＋2＝0，∴b＝3，∴原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.答案 B4．(改编题)方程x(x－5)＝0的根是( ) A．x＝0 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝－5解析本题考查一元二次方程的解法，应采用因式分解法．∵x(x－5)＝0，∴x＝0或x－5＝0，即x1＝0，x2＝5.故选C.答案 C5．(改编题)如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )A ．32B ．126C ．135D ．144解析 根据日历表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16.设最小数为x ，则最大数为x ＋16，根据题意，得x(x ＋16)＝192，解得x 1＝8，x 2＝－24(不合题意舍去)，故这九个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24，这9个数的和为：8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.故选D. 答案 D6．(原创题)若反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝x ＋2的图象没有交点，则k 的值可以是( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 从“形”上看两个函数图象没有交点，反映到“数”上就是组成的方程或方程组无解．∵反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝x ＋2的图象没有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ①y ＝x ＋2②无解，即k x＝x ＋2无解，整理得x 2＋2x －k ＝0，∴Δ＝4＋4k ＜0，解得k ＜－1，四个选项中只有－2＜－1，所以只有A 符合条件． 答案 A二、填空题7．(原创题)已知方程x 2＋4x ＋n ＝0可以配方成(x ＋m)2＝3，则(m －n)2 014＝________．解析 ∵(x＋m)2＝3，∴x 2＋2mx ＋m 2－3＝0. ∴2m ＝4，n ＝m 2－3.∴m＝2，n ＝1. ∴(m －n)2 014＝(2－1)2 014＝1.答案 18．(改编题)若关于x 的方程ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，那么实数a 的取值范围是________． 解析 当ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0是一元二次方程即a≠0时，Δ＝4(a ＋2)2－4a 2≥0，解得a≥－1且a≠0；当a ＝0时，原方程可化为4x ＝0，是一元一次方程，有实数解；所以本题答案为a≥－1. 答案 a≥－1解析 ∵m 2－2m ＝1，即m 2－2m －1＝0，∴可以把m 看作是方程x 2－2x －1＝0的根．∵n 2－2n ＝1，即n 2－2n －1＝0，∴可以把n 看作是方程x 2－2x －1＝0的根．∴m，n 是方程x 2－2x －1＝0的两个不相等的实数根．∴m＋n ＝2，mn ＝－1.∴m ＋n －mn ＝2－(－1)＝3. 答案 310．(原创题)若a ，b 是一元二次方程x(x －2)＝x －2的两根，且点A(－a ，－b)是反比例函数y ＝kx图象上的一个点．若自点A 向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴构成的矩形的面积是________．解析 解方程x(x －2)＝x －2，得x 1＝1，x 2＝2，即a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1.把(－1，－2)或(－2，－1)代入y ＝kx 都可以得出k ＝2，∴所求矩形的面积为2.答案 2三、解答题11．(原创题)已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解 (1)△ABC 是等腰三角形； 理由：∵x＝－1是方程的根， ∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0， ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0， ∴a －b ＝0，∴a ＝b ， ∴△ABC 是等腰三角形； (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0， ∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 是直角三角形； (3)当△ABC 是等边三角形时，∴(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，可整理为： 2ax 2＋2ax ＝0，∴x 2＋x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝－1.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，▱ABCD 中，点A 在反比例函数y=(0)kk x≠的图像上，点D 在y 轴上，点B 、点C 在x 轴上．若▱ABCD 的面积为10，则k 的值是（ ）A ．5B ．5-C ．10D ．10-2．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x 匹，小马有y 匹，那么可列方程组为（ ）A ．10033100x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩ 3．2018年5月21日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为200公里，远地点高度为40万公里的预定轨道，将数据40万用科学记数法表示为( ) A.4×105B.4×104C.4×106D.0.4×1054．如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒ ，已知△ABC 的周长为15，则菱形ABCD 的对角线BD 的长为( ).A．BC．D5．如图，矩形ABCD 的顶点A 和对称中心在反比例函数(0,0)ky k x x=≠>上，若矩形ABCD 的面积为8，则k 的值为（ ）A ．4B．C．D ．8重合，折痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么sin ∠BED 的值为（ ）．A ．35B ．53C ．512D ．127．若一个正九边形的边长为α，则这个正九边形的半径是( ) A ．cos 20α︒B ．sin 20α︒C ．2cos 20α︒D ．2sin 20α︒8．已知一多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形是（ ） A ．十二边形 B ．十边形C ．八边形D ．六边形9．如图，AB 为O 的直径，P 为BA 延长线上的一点，D 在O 上（不与点A ，点B 重合），连结PD 交O于点C ，且PC=OB ．设,P B αβ∠=∠=，下列说法正确的是（ ）A ．若30β︒=，则120D ︒∠= B ．若60β︒= ，则90D ︒∠= C ．若10α︒= ，则150AD ︒= D ．若15α︒= ，则90AD ︒=10．2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34200000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34200000用科学记数法表示为( ) A ．80.34210⨯B ．73.4210⨯C ．83.4210⨯D ．634.210⨯11．如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A.点MB.点NC.点PD.点Q12．如图所示，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的图象的一部分与x 轴的交点A 在(2,0)与(3,0)之间，对称轴为直线1x =.下列结论：①0ab <；②20a b +=；③30a c +>；④A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．一次函数y ＝kx+6的图象与两坐标围成的三角形面积为9，那么这个一次函数的表达式为_____． 14．将抛物线y ＝x 2+2x+3向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为_____．15．一个多边形的内角和与外角和之差为720︒，则这个多边形的边数为______. 16．计算：2(2)a b -=________．17．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 ． 18．因式分解m 3﹣4m ＝_____． 三、解答题19．如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，CA ＝6，CD ∥AB ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 交AC 于点E ，求AE 的长．20．已知二次函数y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1与x 轴有交点． （1）求k 的取值范围；（2）方程x 2﹣（k+1）x+14k 2+1＝0有两个实数根，分别为x 1，x 2，且方程x 12+x 22+15＝6x 1x 2，求k 的值，并写出y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1的代数解析式．21．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划把68吨有机化肥运送到果园，为节省时间需要在一天之内运完．货运站有甲、乙两种货车，果农决定租用甲、乙两种货车共18辆，两种型号的货车的运输量和租金如下表（所租用货车都按一整天收费）：（1）求所付的货车租金总费用y （元）与租用甲型货车数量x （辆）的函数关系式； （2）请你帮该果农设计一种使租金总费用最少的方案，并求出所付的最少租金．扇形COD,AP,BQ 分别切优弧CD 于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接OP.（1）求证：AP=BQ ；（2）当BQ= ,求QD 的长(结果保留 π)；（3）若△APO 的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围.23．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象经过A （0，﹣2），B （1，0）两点，与反比例函数2k y x=的图象在第一象限内的交点为M ，若△OBM 的面积为2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）在x 轴上是否存在点P ，使AM ⊥MP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．24．如图，在ABC △中，90ACB ︒∠=，:4:3AC BC =，点D 在ABC △外部，且90D ︒∠=.（1）尺规作图：作ABC △的外接圆O （保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）若:12:25CD AB =，求证：CD 是O 的切线.25．某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.若不够卡购物和使用优惠卡购物分别视为方式一购物和方式二购物，且设顾客购买商品的金额为x 元. （Ⅰ）根据题意，填写下表：（Ⅱ）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？（Ⅲ）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？（Ⅳ）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果该商场还能盈利25%，那么这台冰箱的进价是多少元？【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．y ＝±2x+6 14．y=（x+3）2﹣1 15．816．2244a ab b -+ 17．1718．m （m+2）（m ﹣2） 三、解答题 19．4 【解析】 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4;利用两个角对应相等证得△AEB ∽△CED,得出比例AB AECD CE= , 代值,求出AE=2CE,即可得出答案 【详解】∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ， ∵AB ∥CD ， ∴∠D ＝∠ABD ， ∴∠D ＝∠CBD ， ∴BC ＝CD ， ∵BC ＝4， ∴CD ＝4， ∵AB ∥CD ， ∴△ABE ∽△CDE ，∴AB AECD CE =， ∴84＝AE CE， ∴AE ＝2CE ， ∵AC ＝6＝AE+CE ，【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点,能求出AE=2CE 和△ABE △CDE 是解此题的关键; 20．（1）32k ≥；（2）k 的值是4，y ＝x 2﹣5x+5． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到关于k 的不等式，从而可以得到k 的取值范围；（2）根据题意和根据系数的关系，可以求得k 的值，进而可以写出y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1的代数解析式． 【详解】解：（1）∵二次函数y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1与x 轴有交点， ∴△＝221[(k 1)]41k 14⎛⎫-+-⨯⨯+ ⎪⎝⎭≥0， 解得32k ≥， 所以，k 的取值范围是32k ≥； （2）∵方程x 2﹣（k+1）x+14k 2+1＝0有两个实数根，分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝k+1，x 1x 2＝14k 2+1，∵x 12+x 22+15＝6x 1x 2，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2+15＝6x 1x 2， ∴（k+1）2﹣2（14k 2+1）+15＝6×（14k 2+1）， 解得，k ＝4或k ＝﹣2（舍去）， ∴y ＝x 2﹣5x+5，所以，k 的值是4，y ＝x 2﹣（k+1）x+14k 2+1的代数解析式是y ＝x 2﹣5x+5． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、根的判别式、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21．（1）y ＝100x+5400；（2）租用7辆甲型货车，11辆乙型货车所付的租金最少，最少租金为6100元． 【解析】 【分析】（1）租用甲型货车数量x （辆），则租用乙型货车数量（18﹣x ）（辆），根据题意即可求出所付的货车租金总费用y （元）与租用甲型货车数量x （辆）的函数关系式；（2）根据题意可得不等式5x+3（18﹣x ）≥68，解得x≥7，再根据一次函数的性质解答即可求解．解：（1）租用甲型货车数量x （辆），则租用乙型货车数量（18﹣x ）（辆）， 根据题意得， y ＝400x+300（18﹣x ）＝100x+5400； （2）根据题意可得，5x+3（18﹣x ）≥68， 解得x≥7， ∵k ＝100＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x ＝7时，y 最小＝100×7+5400＝6100，即租用7辆甲型货车，11辆乙型货车所付的租金最少，最少租金为6100元． 【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值． 22．（1）详见解析；（2）143π；（3）4<OC<8. 【解析】 【分析】（1） 连接OQ ，由切线性质得∠APO=∠BQO=90°，由直角三角形判定HL 得Rt △APO ≌Rt △BQO ，再由全等三角形性质即可得证.（2）由（1）中全等三角形性质得∠AOP=∠BOQ ，从而可得P 、O 、Q 三点共线，在Rt △BOQ 中，根据余弦定义可得cosB=QBOB， 由特殊角的三角函数值可得∠B=30°，∠BOQ=60° ，根据直角三角形的性质得 OQ=4， 结合题意可得 ∠QOD 度数，由弧长公式即可求得答案.（3）由直角三角形性质可得△APO 的外心是OA 的中点 ，结合题意可得OC 取值范围. 【详解】（1）证明：连接OQ.∵AP 、BQ 是⊙O 的切线， ∴OP ⊥AP ，OQ ⊥BQ ， ∴∠APO=∠BQO=90∘， 在Rt △APO 和Rt △BQO 中，OP OQOA OB=⎧⎨=⎩， ∴Rt △APO ≌Rt △BQO ， ∴AP=BQ.（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，∴P 、O 、Q 三点共线， ∵在Rt △BOQ 中,cosB=QB OB ==∴∠B=30∘,∠BOQ= 60° ， ∴OQ=12OB=4， ∵∠COD=90°，∴∠QOD= 90°+ 60° = 150°， ∴优弧QD 的长=2104141803ππ⋅⋅=，（3）解：设点M 为Rt △APO 的外心，则M 为OA 的中点， ∵OA=8， ∴OM=4，∴当△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OM ＜OC ， ∴OC 的取值范围为4＜OC ＜8． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理HL 证出Rt △APO ≌Rt △BQO ；（2）通过解直角三角形求出圆的半径；（3）牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键． 23．（1）12y x=；（2）是，P 的坐标为（11，0）. 【解析】 【分析】（1）根据一次函数y= k 1x+b 的图象经过A （0，-2），B （1，0）可得到关于b 、k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M （m ，n ）作MD ⊥x 轴于点D ，由△OBM 的面积为2可求出n 的值，将M （m ，4）代入y=2x-2求出m 的值，由M （3，4）在双曲线y=2k x上即可求出k 2的值，进而求出其反比例函数的解析式；（2）过点M （3，4）作MP ⊥AM 交x 轴于点P ，由MD ⊥BP 可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO ，再由锐角三角函数的定义可得出OP 的值，进而可得出结论． 【详解】解：（1）∵直线y ＝k 1x+b 过A （0，﹣2），B （1，0）两点 ∴12+0b k b =-⎧⎨=⎩，∴122b k =-⎧⎨=⎩ ∴一次函数的表达式为y ＝2x ﹣2． ∴设M （m ，n ），作MD ⊥x 轴于点D ∵S △OBM ＝2，∴122OB MD ⋅= ， ∴122n = ∴n ＝4∴将M （m ，4）代入y ＝2x ﹣2得4＝2m ﹣2， ∴m ＝3∵M （3，4）在双曲线2k y x= 上， ∴24=3k ， ∴k 2＝12∴反比例函数的表达式为12y x=（2）过点M （3，4）作MP ⊥AM 交x 轴于点P ， ∵MD ⊥BP ，∴∠PMD ＝∠MBD ＝∠ABO∴tan ∠PMD ＝tan ∠MBD ＝tan ∠ABO ＝221OA OB == ＝2 ∴在Rt △PDM 中，2PDMD= ， ∴PD ＝2MD ＝8， ∴OP ＝OD+PD ＝11∴在x 轴上存在点P ，使PM ⊥AM ，此时点P 的坐标为（11，0）【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于将已知点代入解析式 24．（1）如图所示，O 为所求作的圆，见解析；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）根据圆的定义，确定圆心和半径即可；（2）根据相似三角形判定证Rt ABC Rt CBD △△∽，证90BCD OCB ︒∠+∠=可得结论.【详解】 （1）如图所示，O 为所求作的圆：（2）由作图可知，OB OC =， ∴OBC OCB ∠=∠.∵在ABC △中，90ACB ︒∠=，:4:3AC BC =， ∴可设4AC a =，3BC a =，则5AB a = 又∵:12:25CD AB =， ∴122.425CD AB a ==. ∵90D ︒∠=，∴ 1.8BD a ===，∴2.441.83CD a BD a ==. ∵:4:3AC BC =， ∴CD ACBD BC=. ∵90ACB D ︒∠=∠=， ∴Rt ABC Rt CBD △△∽， ∴OBC CBD ∠=∠. ∴OCB CBD ∠=∠. ∵90BCD CBD ︒∠+∠=，∴90BCD OCB ︒∠+∠=，即CD OC ⊥， ∵OC 为O 的半径， ∴CD 是O 的切线.【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质，切线判定.25．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；（Ⅲ）小张买卡（方式二购物）合算，能节省400元钱；（Ⅳ）这台冰箱的进价是2480元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，进行计算即可 （Ⅱ）根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，得出方程求出即可；（Ⅲ）根据方案一：总费用=标价．方案二：费用=300 +标价0.8⨯．据此可得出方案一和方案二总费用和购物金额之间的函数关系式，再得出当x 3500=时，y 的值即可得出答案． （Ⅳ）首先假设进价为a 元，则可得出（300+3500×0.8）-a=25%a 进而求出即可． 【详解】 解：（Ⅰ）（Ⅱ）顾客购买x 元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等 根据题意，得3000.8x x +=， 解得：x 1500=，所以，当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等； （Ⅲ）依题意可知：方式一购物的总费用为1y x =； 方式二购物的总费用为2y 3000.8x =+，当x 3500=时，1y x 3500==（元）；2y 3000.8x 3000.835003100=+=+⨯=（元）； ∴12y y 35003100400-=-=（元），所以，小张买卡（方式二购物）合算，能节省400元钱；（Ⅳ）设这台冰箱的进价为a 元，根据题意，（300+3500×0.8）-a=25%a 得：a 2480=.答：这台冰箱的进价是2480元. 【点睛】本题考查一次函数的应用—方案选择问题，以及一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴，图案②需15根火柴，…，按此规律，图案⑩需几根火柴棒()A．71 B．72 C．74 D．782．2018年是打赢脱贫攻坚战三年行动起步之年.国家统计局2月15日发布的数据显示，2018年年末，全国农村贫困人口比上年末减少1386万人，其中1386万用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.3．O为等边△ABC所在平面内一点，若△OAB、△OBC、△OAC都为等腰三角形，则这样的点O一共有（）A．4 B．5 C．6 D．104．若数k使关于x的不等式组301132x kx x+≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩只有4个整数解，且使关于y的分式方程1ky-+1＝1y ky++的解为正数，则符合条件的所有整数k的积为（）A．2 B．0 C．﹣3 D．﹣65．若5-m（0，则（）A．m＜5 B．3≤m＜5 C．3≤m≤5D．3＜m＜56．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（）A．26×105B．2.6×102C．2.6×106D．260×1047．下列四个函数中，自变量的取值范围为x≥1的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=8．在平面直角坐标系中，将直线y1：y＝2x﹣2平移后，得到直线y2：y＝2x+4，则下列平移作法正确的是（）A．将y1向上平移2个单位长度B．将y1向上平移4个单位长度C．将y1向左平移3个单位长度D．将y2向右平移6个单位长度9．如图，点A（0，2），在x轴上取一点B，连接AB，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、AB于点M、N，再以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD并延长交x轴于点P．若△OPA与△OAB相似，则点P的坐标为（）A ．（1，0）B ．0）C ．（230） D ．（0）10．给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y'＝n×x n ﹣1．若函数y ＝x 4，则有y'＝4×x 3，已知函数y ＝x 3，则方程y'＝6x 的解是（ ） A ．x ＝2B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x ＝﹣211．下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a ＞b ，则a+c ＞b+c B ．若a+c ＞b+c ，则a ＞b C ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若a ＞b ，则1+a ＞b ﹣112．如图，正方形ABCD 的对称中心在坐标原点，AB ∥x 轴，AD ，BC 分别与x 轴交于E ，F ，连接BE ，DF ，若正方形ABCD 的顶点B ，D 在双曲线y ＝a x上，实数a 满足a 1﹣a＝1，则四边形DEBF 的面积是( )A ．12B ．32C ．1D ．2二、填空题13．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于_____度． 14．从、、、、中，任取一个数，取到无理数的概率是_____．15．在一次数学探究活动课中，某同学有一块矩形纸片ABCD ，已知AD=13，AB=5，M 为射线AD 上的一个动点，将△ABM 沿BM 折叠得到△NBM ，若△NBC 是直角三角形，则所有符合条件的M 点所对应的AM 的和为__________．16．某种商品的票价为x 元，如果按标价的六折出售还可以盈利20元，则这种商品的进价为__________元(用含x 的代数式表示)．1721|2|sin 60()2-----＝_____．18．如图，正方形AEFG 的顶点E ，G 在正方形ABCD 的边AB ，AD 上，连接BF ，DF ．则BE ：CF 的值为_____．三、解答题19．计算：324cos 45-︒-20．某市卫生局为了了解该市社区医院对患者随访情况，随机抽查了部分社区医院一年来对患者随访的次数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图：请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）该市卫生局共抽查了社区医院的患者多少人？并补全条形统计图； （2）请直接写出在这次抽样调查中的众数是 ，中位数是 ；（3）如果该市社区医院患者有60000人，请你估计“随访的次数不少于7次”社区医院的患者有多少人． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x+b 的图象经过点A （0，1），与反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象交于B （m ，2）． （1）求k 和b 的值； （2）在双曲线y ＝kx（x ＞0）上是否存在点C ，使得△ABC 为等腰直角三角形？若存在，求出点C 坐标；若不存在，请说明理由．22．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求每天的销售利润W （元）与销售价x （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）请你直接写出售价在什么范围时，每天的利润不低于104元？23．温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x 人生产乙产品． （1）根据信息填表（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润． （3）如何安排工人，可获得的总利润W （元）的最大值及相应的x 值．24．在平面直角坐标系xOy 中. 已知抛物线22y ax bx a =++-的对称轴是直线x=1. （1）用含a 的式子表示b ，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点()0,4A -，()2,3B -，若抛物线与线段AB 没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围； （3）若抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，结合函数图象，直接写出满足条件的m ，n 的值.25．有一块含30°角的直角三角板OMN ，其中∠MON ＝90°，∠NMO ＝30°，ON ＝，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC 的顶点B 与点O 重合，BC 边落在OM 上，点A 恰好落在斜边MN 上，将等边△ABC 从图1的位置沿OM 方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB ，AC 分别与斜边MN 交于点E ，F （如图2所示），设△ABC 平移的时间为t （s ）（0＜t ＜6）．（1）等边△ABC 的边长为 ；（2）在运动过程中，当 时，MN 垂直平分AB ；（3）当0＜t ＜6时，求直角三角板OMN 与等边△ABC 重叠部分的面积S 与时间t 之间的函数关系式．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．1440 14．． 15．26 16．6x －2017．2-18．2三、解答题 19．178-【解析】 【分析】分别根据负整数指数幂的计算法则、二次根式的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【详解】原式18=--2+42⨯-18=--178=-．【点睛】本题考查了实数的运算，熟知负整数指数幂的计算法则、二次根式的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．20．(1)600,图见解析（2）4次，5次；（3）9000.【解析】【分析】（1）根据随访4次的有240人，所占百分比为40%，可得共抽查了社区医院的患者人数；再用被抽查的患者人数减去其余4个组的人数求出随访7次的人数，补全条形统计图即可；（2）根据众数和中位数的定义即可求出答案；（3）用总人数乘以“随访的次数不少于7次”的百分比，计算即可得解．【详解】解：（1）被抽查的社区医院的患者人数：240÷40%＝600（人）．所以该市卫生局共抽查了社区医院的患者600人．随访7次的人数：600﹣（240+120+150+30）＝60（人），补全统计图如图所示：（2）社区医院一年来对患者随访的次数中4次的人数最多，所以众数是4次，600个数据中，按照随访的次数从少到多排列，第300和301个数据都是5次，所以中位数是5次；故答案为：4次，5次；（3）60000×6030600+=9000（人）．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了中位数、众数的定义以及用样本估计总体的思想．21．（1）k＝2，b＝1；（2）C（2，1）．【解析】【分析】（1）将点A坐标代入直线y=x+b中求出b，进而求出点B坐标，最后代入反比例函数解析式中，求出k；（2）先求出AB的长，再分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出点C的坐标，判断即可得出结论．【详解】（1）将A （0，1）代入y ＝x+b 中得，0+b ＝1∴b ＝1将B （m ，2）代入y ＝x+1中得，m+1＝2∴m ＝1∴B （1，2）将B （1，2）代入y ＝k x 中得，k ＝1×2＝2 ∴k ＝2，b ＝1；（2）∵A （0，1），B （1，2），∴AB ，由（1）知，b ＝1，∴直线AB 的解析式为y ＝x+1，分情况讨论：△ABC 是等腰直角三角形①当∠CAB ＝90°时，AC ＝AB ，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+1，设C （c ，﹣c+1），∴AC =∴c ＝±1，∴C 为（﹣1，2）或（1，0），将点C 代入2y x=中判断出都不在双曲线上，． ②当∠ABC ＝90°时，同①的方法得，C 为（2，1）或（0，3）， 将点C 坐标代入2y x =中得，判断出点C （2，1）在双曲线上， ③当∠ACB ＝90°时，∵A （0，1），B （1，2），易知，C 为（1，1）或（0，2），将点C 坐标代入2y x=中判断出都不在双曲线上， ∴C （2，1）．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（1）.40(1016)y x x =-+≤≤（2）2(25)225w x =--+，当x=16时.最大利润是144元；（3）1416x ≤≤【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解可得y 关于x 的函数解析式;(2)根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式,将其配方成顶点式,利用二次函数的性质进一步求解可得.（3）根据（2）可列出不等式2(25)225104x --+≥，即可解答【详解】解:(1)设y 与x 的函数解析式为y=kx+b,将(10,30)、(16,24)代入,得:10301624k b k b +=+=⎧⎨⎩解得:140k b =-⎧⎨=⎩所以y 与x 的函数解析式为y=-x+40(10≤x≤16):(2)根据题意知,W=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x 2+50x-400=-(x-25)2+225∵a=-1<0,∴当x<25时,W 随x 的增大而增大,∵10≤x≤16,∴当x=16时,W 取得最大值,最大值为144,答:每件销售价为16元时,每天的销售利润最大,最大利润是144元（3）根据题（2）可列出不等式2(25)225104x --+≥（x=16时,W 取得最大值）解得14x ≤,综合题（2）可知当1416x ≤≤时利润不低于104元【点睛】此题考查了利用待定系数法求二元一次方程的解析式，二次函数的性质和一元一次不等式的解，解题关键在于把已知的数代入方程求解23．（1）65﹣x ；130﹣2x ；130﹣2x ；（2）110元；（3）安排25名工人生产甲产品获得利润最大，为3200元．【解析】【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可；（3）根据题意用x 表示总利润利用二次函数性质讨论最值．【详解】解：（1）由已知，每天安排x 人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x ）人，共生产甲产品2（65﹣x ）130﹣2x 件．在乙每件120元获利的基础上，增加x 人，利润减少2x 元每件，则乙产品的每件利润为120﹣2（x ﹣5）＝130﹣2x ．故答案为：65﹣x ；130﹣2x ；130﹣2x ；（2）由题意15×2（65﹣x ）＝x （130﹣2x ）+550∴x 2﹣80x+700＝0解得x 1＝10，x 2＝70（不合题意，舍去）∴130﹣2x ＝110（元）答：每件乙产品可获得的利润是110元．（3）根据题意得：w ＝15（130﹣2x ）+x （130﹣2x ）＝﹣2（x ﹣25）2+3200，所以安排25名工人生产甲产品获得利润最大，为3200元．【点睛】本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量．24．（1）2b a =-，抛物线的顶点为()1,2-；（2）10a -<<或0a >；（3）25m n =-⎧⎨=⎩或25.m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ 【解析】【分析】（1）由12b a-=，则2b a =-.得到抛物线方程.则当1x =时，抛物线的顶点为()1,2-. （2）分条件讨论0a > ，0a <，将点B 代入方程得3442a a a -=-+-，解得1a =-.由于抛物线与线段AB 没有公共点，则10a -<<或0a >.（3）根据题意抛物线与x 轴的一个交点为C （3，0），且当m x n ≤≤时，y 的取值范围是6m y ≤≤，作出图象，即可得出答.【详解】解：（1）∵12b a -=， ∴2b a =-.∴抛物线为222y ax ax a =-+-.当1x =时，222y a a a =-+-=-，∴抛物线的顶点为()1,2-.（2）若0a >，抛物线与线段AB 没有公共点；若0a <，当抛物线经过点()2,3B -时，它与线段AB 恰有一个公共点，此时3442a a a -=-+-，解得1a =-.∵抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图像可知，10a -<<或0a >.（3）根据题意作抛物线与x 轴交点图，通过图象即可得出25m n =-⎧⎨=⎩或25.m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩本题考查二元一次函数和一元一次函数的综合，解题的关键是熟练掌握二元一次函数和一元一次函数的性质和求解.25．（1）3；（2）3；（3）22(03)(36)822tSt<=-+<<⎩….【解析】【分析】（1）根据，∠OMN＝30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，由此即可解决问题；（3）分两种情形分别求解：当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．根据S＝S△MEB﹣2S△MDC，计算即可．②当3＜t ＜6时，S＝S△MEB．【详解】解：（1）在Rt△MON中，∵∠MON＝90°，ON＝M＝30°∴OM＝6，∵△ABC为等边三角形∴∠AOC＝60°，∴∠OAM＝90°∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，∴OA＝12OM＝12×6＝3．故答案为3．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，所以t＝3．故答案为3．（3）易知：OM＝6，MN＝，S△OMN＝12×6＝∵∠M＝30°，∠MBA＝60°，∴∠BEM＝90°．①当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．∵∠ACB＝60°，∠M＝30°，∠FCB＝∠M+∠CFM，∴∠CFM＝∠M＝30°，∴CF＝CM，∴DF ＝DM ，∴S △CMF ＝2S △CDM ，∵△MEB ∽△MON ， ∴2MEB MON S BM S MB ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S△MEB＝2822t -+， ∵△MDC ∽△MON ，∴2MDC MON S MC S MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴S △MDC＝2848t -+， ∴S ＝S △MEB ﹣2S △MDC ＝﹣284+． ②当3＜t＜6时，S ＝S △MEB2综上所述，S＝22(03)(36)822t t t t +<-+<<⎩… ． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2019中考一元二次方程专题复习
一 元 二 次 方 程 专 题 复 习【知识回顾】考点 1 一元二次方程的概念及解法(1)b 2-4ac ＞0 一元二次方程 的实数根； (2)b 2-4ac=0 一元二次方程 的实数根； (3)b 2-4ac ＜0 一元二次方程实数根.1.如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x 、x ，则 x +x =- b,x ·x = c.1 2 1 21 2aa（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0 这个条件，否则解题就会出错。
）注意：① x 2 x 2x x22x x② (x x )2(x x )2 4x x12121212121 2② x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1x 2④x 1ax 2a x 1 x 2a x 1 x 2 a 2 2 21 1 x x1 1 x2 x 2 x x22x x⑤ 1 2⑥1 2 1 21 2x x x xx 2 x 2 x 2 x 2 x x 21 2 1 21 2 1 2 1 2⑦ x 1 x 2x 1 x 2x 1 x 24x 1x 2222．以 x 1，x 2 为根的一元二次方程可写成 x 2－（x 1+x 2）x+x 1x 2=0．3．使用一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2－4ac 解题的前提是二次项系数 a ≠0．4．若 x 1，x 2 是关于 x 的方程 ax 2+bx+c=0 的两根，则 ax 2+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0．反之，若1ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0，且 x 1≠x 2，则 x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的两根．制条件.(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式 b 2-4ac ≥0.考点 3 一元二次方程的应用（传播类，树枝类、握手、单双循环、面积、增长率）列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去． 【典型例题】例 1：（2014 年）已知关于 x 的方程 x 2+ax +a ﹣2=0（1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．2 2例 2: 关于 x 的方程 kx 2 (k2)xk0 有两个不相等的实数根.4(1)求 k 的取值围。
考点05一元二次方程-备战2019年中考数学考点一遍过(浙江专版)
根；（ 2）当 b2 4ac 0 时， 原方程有两个相等的实数根； （3）当 b 2 4ac 0 时，原方程没有实数根 .
典例 5 （浙江省温州市绣山中学
2018 届九年级一模考试数学试题）
a (x h )2 k ，再直接开方求解
公式法
利用求根公式： x
b b2 4ac (
2a
b2 4ac 0)
典例 2 （浙江省杭州市上城区 2018 年中考数学一模试题） 已知 x x 1 x 1 , 则 x=_________.
【答案】 1 或 - 1
【解析】方程 x x 1 x 1 可化为： x 1 x 1 0，
【答案】 C 【解析】原方程变形为： x2- 6x=- 5， 方程两边都加上 9，得 x2- 6x+9=4，即（ x- 3） 2=4．
故选 C.
【名师点睛】 本题考查了利用配方法解一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠ 0），先把方程的常数项移到右边，
然后方程两边都加上 32，这样方程左边就为完全平方式，从而可得答案
为平均下降率时，则有 a (1 m) n b ．
2．利润等量关系
（ 1）利润＝售价－成本．
利润
（ 2）利润率＝ 成本 × 100％． 3．面积问题
（ 1）类型 1：如图 1 所示的矩形 ABCD 长为 a ，宽为 b ，空白“回形”道路的宽为 x ，则阴影部 分的面积为 (a 2x)( b 2x) ． （ 2）类型 2：如图 2 所示的矩形 ABCD 长为 a ，宽为 b ，阴影道路的宽为 x ，则空白部分的面积 为 (a x)( b x) ． （ 3）类型 3：如图 3 所示的矩形 ABCD 长为 a ，宽为 b ，阴影道路的宽为 x ，则 4 块空白部分的 面积之和可转化为 (a x)( b x) ．
2019版中考数学《2.2一元二次方程》导向(含答案)
§2.2 一元二次方程一、选择题1．(原创题)若a是方程x2－x－1＝0的一个根，则－a3＋2a＋2 015的值为( ) A．2 015 B．2 014 C．2 013 D．－2 015解析∵a是方程x2－x－1＝0的一个根，∴a2－a－1＝0.∴a2＝a＋1，a2－a＝1.∴－a3＋2a＋2 015＝－a·a2＋2a＋2 015＝－a·(a＋1)＋2a＋2 015＝－a2－a＋2a＋2 015＝－a2＋a＋2 015＝－(a2－a)＋2 015＝2 014.故选B.答案 B2．(原创题)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( )A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定解析原方程可变形为x2－10x＋25－4＝0，即(x－5)2－4＝0.因式分解，得(x－5＋2)(x－5－2)＝0.∴x－3＝0或x－7＝0，即x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足6－2＜x＜6＋2，即4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.答案 A3．(改编题)方程x2－bx＋2＝0有一个根是1，则方程的另一个根是( )A．1 B．2 C．3 D.1 2解析把x＝1代入原方程得1－b＋2＝0，∴b＝3，∴原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.答案 B4．(改编题)方程x(x－5)＝0的根是( ) A．x＝0 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝－5解析本题考查一元二次方程的解法，应采用因式分解法．∵x(x－5)＝0，∴x＝0或x－5＝0，即x1＝0，x2＝5.故选C.答案 C5．(改编题)如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )A ．32B ．126C ．135D ．144解析 根据日历表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16.设最小数为x ，则最大数为x ＋16，根据题意，得x(x ＋16)＝192，解得x 1＝8，x 2＝－24(不合题意舍去)，故这九个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24，这9个数的和为：8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.故选D. 答案 D6．(原创题)若反比例函数y ＝kx与一次函数y ＝x ＋2的图象没有交点，则k 的值可以是( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 从“形”上看两个函数图象没有交点，反映到“数”上就是组成的方程或方程组无解．∵反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝x ＋2的图象没有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ①y ＝x ＋2②无解，即k x＝x ＋2无解，整理得x 2＋2x －k ＝0，∴Δ＝4＋4k ＜0，解得k ＜－1，四个选项中只有－2＜－1，所以只有A 符合条件． 答案 A二、填空题7．(原创题)已知方程x 2＋4x ＋n ＝0可以配方成(x ＋m)2＝3，则(m －n)2 014＝________．解析 ∵(x＋m)2＝3，∴x 2＋2mx ＋m 2－3＝0. ∴2m ＝4，n ＝m 2－3.∴m＝2，n ＝1. ∴(m －n)2 014＝(2－1)2 014＝1.答案 18．(改编题)若关于x 的方程ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，那么实数a 的取值范围是________． 解析 当ax 2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0是一元二次方程即a≠0时，Δ＝4(a ＋2)2－4a 2≥0，解得a≥－1且a≠0；当a ＝0时，原方程可化为4x ＝0，是一元一次方程，有实数解；所以本题答案为a≥－1. 答案 a≥－19．(原创题)如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－2m ＝1，n 2－2n ＝1，那么m ＋n －mn ＝________．解析 ∵m 2－2m ＝1，即m 2－2m －1＝0，∴可以把m 看作是方程x 2－2x －1＝0的根．∵n 2－2n ＝1，即n 2－2n －1＝0，∴可以把n 看作是方程x 2－2x －1＝0的根．∴m，n 是方程x 2－2x －1＝0的两个不相等的实数根．∴m＋n ＝2，mn ＝－1.∴m ＋n －mn ＝2－(－1)＝3. 答案 310．(原创题)若a ，b 是一元二次方程x(x －2)＝x －2的两根，且点A(－a ，－b)是反比例函数y ＝kx图象上的一个点．若自点A 向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴构成的矩形的面积是________．解析 解方程x(x －2)＝x －2，得x 1＝1，x 2＝2，即a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1.把(－1，－2)或(－2，－1)代入y ＝kx 都可以得出k ＝2，∴所求矩形的面积为2.答案 2三、解答题11．(原创题)已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解 (1)△ABC 是等腰三角形； 理由：∵x＝－1是方程的根， ∴(a ＋c)×(－1)2－2b ＋(a －c)＝0， ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0， ∴a －b ＝0，∴a ＝b ， ∴△ABC 是等腰三角形； (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0， ∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 是直角三角形； (3)当△ABC 是等边三角形时，∴(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，可整理为： 2ax 2＋2ax ＝0，∴x 2＋x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝－1.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，点A 所表示的数的绝对值是（ ）A.3B.﹣3C.13D.13-2．已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AE 平分∠CAB ，EF ∥AC ，若AF=4，则CE=（ ）A.3B. C. D.24．如图，A ，B 是半径为1的O 上两点，且60AOB ∠=︒.点P 从A 出发，在O 上以每秒3π个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束.设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，则下面图象中可能．．表示y 与x 的函数关系的是（ ）A.①或②B.②或③C.③或④D.①或④5．如果关于x 的分式方程有整数解，且关于x 的不等式组的解集为x ＞4，那么符合条件的所有整数a 的值之和是（ ） A.7B.8C.4D.56．已知A 、B 两地相距1000米，甲从A 地步行到B 地，乙从B 地步行到A 地，若甲行走的速度为100米/分钟，乙行走的速度为150米/分钟，且两人同时出发，相向而行，则两人之间的距离y（米）与时间t （分钟）之间的函数图象是（）A. B.C. D.7．下列四个命题中：①若，则；②反比例函数，当时，y随x的增大而增大；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平行四边形的对角线互相平分，真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个8．某校七年级2班近期准备组织一次朗诵活动，语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（）A．2，1 B．1，1.5 C．1，2 D．1，19．下列各式：①a0=1；②a2•a3=a5；③2﹣2=﹣14；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x2+x2=2x2，其中正确的是（）A．①②③B．①③⑤C．②③④D．②④⑤10．若x>y，a<1，则（）A．x>y+1 B．x+1>y+a C．ax>ay D．x－2>y－111．如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是( )A．B．C．D．12．已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在正比例函数＝（m﹣4）x的图象上，并且x1＜x2，y1＞y2，则m 的取值范围是（）A．m＜4 B．m＞4 C．m≤4D．m≥4二、填空题13．如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝15，E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处，点P是线段CB延长线上的动点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，则PB的长为____．14．如图，AE、BD交于点C，AB∥DE，若AC=4，BC=2，DC=1，则EC=_____．15．下列说法中，正确的是（）A.为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式B.若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定C.抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是1 2D.“打开电视，正在播放广告”是必然事件16．若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是______．17．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB=40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC= 度．18．张明想给单位打电话，可八位数的电话号码中的一个数字记不起来了，只记得2884□432，他想随意选一个数字补上，请问恰好是单位电话的概率是_____．三、解答题19．如图，正方形ABCD中，AB＝O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，若A，E，O三点共线，求点F到直线BC的距离．20．在校庆活动中，学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．21．观察猜想：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC 上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明：（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸：（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝a，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，a的式子直接写出结论．22．我市某中学为了解本校学生对“扫黑除恶专项斗争”的了解程度，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在本次抽样调查中，共抽取了 名学生．（2）在扇形统计图中，“不了解”部分所对应的圆心角的度数为 ． （3）补全条形统计图．（4）若该校有2000名学生，根据调查结果，对“扫黑除恶专项斗争”“了解一点”的学生人数约为多少人？23．如图1，直线1：y ＝﹣x+1与x 轴、y 轴分别交于点B 、点E ，抛物线L ：y ＝ax 2+bx+c 经过点B 、点A （﹣3，0）和点C （0，﹣3），并与直线l 交于另一点D ．（1）求抛物线L 的解析式； （2）点P 为x 轴上一动点①如图2，过点P 作x 轴的垂线，与直线1交于点M ，与抛物线L 交于点N ．当点P 在点A 、点B 之间运动时，求四边形AMBN 面积的最大值；②连接AD ，AC ，CP ，当∠PCA ＝∠ADB 时，求点P 的坐标．24．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分∠BAD ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE ，请你先补全图形，再求出当AB ＝，BD ＝2时，OE 的长．25．阅读下列两则材料，回答问题：材料一：因为22a b =-=-所以我们将与-称为一対“有理化因式”，有时我们可以通过构造“有理化因式”求值2=解：(25)(15)10x x ⨯=---=，∵2,5==材料二：如图，点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2），所以AB 为斜边作Rt △ABC ，则C （x 2，y 1），于是AC ＝|x 1﹣x 2|，BC ＝|y 1﹣y 2|，所以AB看作点（x 1，y 1）到点（x 2，y 2==，所以可将代数式x，y）到点（1，﹣1）的距离；（1）利用材料一，解关于x2=，其中x≤2；（2的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．6或9或12.5．14．215．C16．917．18．1 10．三、解答题19．（1）详见解析；（2）点F到直线BC．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDF＝90°，DE＝DF，由正方形的性质可得∠ADC＝90°，DE＝DF，可得∠ADE ＝∠CDF，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得AE＝CF；（2）由勾股定理可求AO的长，可得AE＝CF＝3，通过证明△ABO∽△CPF，可得CF PFAO BO=，即可求PF的长，即可求点F到直线BC的距离．【详解】证明：（1）∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，∴∠EDF＝90°，DE＝DF.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，DE＝DF，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，且DE＝DF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，（2）解：如图2，过点F作FP⊥BC交BC延长线于点P，则线段FP的长度就是点F到直线BC的距离．∵点O是BC中点，且AB＝BC＝∴BO∴AO5，∵OE＝2，∴AE＝AO﹣OE＝3.∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF＝3，∠DAO＝∠DCF，∴∠BAO＝∠FCP，且∠ABO＝∠FPC＝90°，∴△ABO∽△CPF，∴CF PF AO BO=，∴35 =∴PF，∴点F到直线BC.【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△ABO ∽△CPF是本题的关键．20．此游戏不公平．说明见解析. 【解析】 【分析】首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案． 【详解】 解：如图所示：，由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：82205=； 则选择乙的概率为：35， 故此游戏不公平． 【点睛】此题主要考查了游戏公平性，正确列出树状图是解题关键．21．观察猜想：（1）BF ⊥BE ，BC ；探究证明：（2）BF ⊥BE ，BF+BE ＝，见解析；拓展延伸：（3）BF+BE ＝2sin 2n α∙.【解析】 【分析】（1）只要证明△BAF ≌△CAE ，即可解决问题；（2）如图②中，作DH ∥AC 交BC 于H ．利用（1）中结论即可解决问题；（3）如图③中，作DH ∥AC 交BC 的延长线于H ，作DM ⊥BC 于M ．只要证明△BDF ≌△HDE ，可证BF+BE ＝BH ，即可解决问题. 【详解】 （1）如图①中，∵∠EAF ＝∠BAC ＝90°， ∴∠BAF ＝∠CAE ， ∵AF ＝AE ，AB ＝AC ， ∴△BAF ≌△CAE ， ∴∠ABF ＝∠C ，BF ＝CE ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠C ＝45°，∴∠FBE ＝∠ABF+∠ABC ＝90°，BC ＝BE+EC ＝BE+BF ，故答案为：BF ⊥BE ，BC ；（2）如图②中，作DH ∥AC 交BC 于H ，∵DH ∥AC ，∴∠BDH ＝∠A ＝90°，△DBH 是等腰直角三角形， 由（1）可知，BF ⊥BE ，BF+BE ＝BH ， ∵AB ＝AC ＝3，AD ＝1， ∴BD ＝DH ＝2，∴BH ＝，∴BF+BE ＝BH ＝；（3）如图③中，作DH ∥AC 交BC 的延长线于H ，作DM ⊥BC 于M ，∵AC ∥DH ，∴∠ACH ＝∠H ，∠BDH ＝∠BAC ＝α， ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ∴∠DBH ＝∠H ， ∴DB ＝DH ，∵∠EDF ＝∠BDH ＝α， ∴∠BDF ＝∠HDE ， ∵DF ＝DE ，DB ＝DH ， ∴△BDF ≌△HDE ， ∴BF ＝EH ，∴BF+BE ＝EH+BE ＝BH ， ∵DB ＝DH ，DM ⊥BH ， ∴BM ＝MH ，∠BDM ＝∠HDM ， ∴BM ＝MH ＝BD•sin2α．∴BF+BE ＝BH ＝2n•sin2α．【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．22．（1）80；（2） 36o；（3）详见解析；（4）1400【解析】【分析】（1）根据比较了解的人数和所占百分比即可求出总人数；（2）求出不了解部分所占百分比，然后乘以360°；（3）求出了解一点的人数即可补全条形统计图；（4）用2000乘以了解一点所占的百分比即可.【详解】解：（1）16÷20%=80（人），∴共抽取了80名学生；（2）“不了解”部分所对应的圆心角的度数=360°×880=36°；（3）了解一点的人数=80-16-8=56（人），补全条形统计图如下：（4）对“扫黑除恶专项斗争”“了解一点”的学生人数约为：2000×5680=1400（人）.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①S四边形AMBN最大值为252；②P的坐标：P13,05⎛⎫-⎪⎝⎭，P2（﹣15，0）．【解析】【分析】（1）先求出B的坐标，再将A、B、C坐标代入y＝ax2+bx+c列方程组，然后求解，即可求出抛物线的解析式；（2）①根据S四边形AMBN＝12AB•MN＝214[(1)(23)]2x x x⨯-+-+-＝﹣2（x+32）2+252，所以当x＝﹣32时，S四边形AMBN最大值为25 2；②先联立方程组．求出D 点的坐标，两种情况讨论：Ⅰ．当点P 在点A 的右边，∠PCA ＝∠ADB 时，△PAC ∽△ABD ；Ⅱ．当点P 在点A 的左边，∠PCA ＝∠ADB 时，记此时的点P 为P 2，则有∠P 2CA ＝∠P 1CA ． 【详解】（1）∵y ＝﹣x+1， ∴B （1，0），将A （﹣3，0）、C （0，﹣3），B （1，0）代入y ＝ax 2+bx+c ，93030a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩， ∴123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线L 的解析式：y ＝x 2+2x ﹣3； （2）设P （x ，0）． ①S 四边形AMBN ＝12AB•MN ＝214[(1)(23)]2x x x ⨯-+-+- ＝﹣2（x+32）2+252， ∴当x ＝﹣32时，S 四边形AMBN 最大值为252； ②由2231y x x y x ⎧=+-⎨=-+⎩，得1110x y =⎧⎨=⎩，2245x y =-⎧⎨=⎩，∴D （﹣4，5）， ∵y ＝﹣x+1，∴E （0，1），B （1，0）， ∴OB ＝OE ， ∴∠OBD ＝45°． ∴BD＝∵A （﹣3，0），C （0，﹣3）， ∴OA ＝OC ，AC＝AB ＝4． ∴∠OAC ＝45°，∴∠OBD ＝∠OAC ．Ⅰ．当点P 在点A 的右边，∠PCA ＝∠ADB 时，△PAC ∽△ABD ．∴AP ACAB BD=，∴4AP =， ∴125AP =， ∴P 13(,0)5-Ⅱ．当点P 在点A 的左边，∠PCA ＝∠ADB 时，记此时的点P 为P 2，则有∠P 2CA ＝∠P 1CA ． 过点A 作x 轴的垂线，交P 2C 于点K ，则∠CAK ＝∠CAP 1，又AC 公共边， ∴△CAK ≌△CAP 1（ASA ）∴AK ＝AP 1＝125， ∴K （﹣3，﹣125），∴直线CK ：135y =--， ∴P 2（﹣15，0）．P 的坐标：P 13(,0)5-，P 2（﹣15，0）． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的基本性质和相似三角形的性质是解题的关键． 24．(1)见解析;(2)2. 【解析】 【分析】（1）先判断出∠OAB=∠DCA ，进而判断出∠DAC=∠DAC ，得出CD=AD=AB ，即可得出结论； （2）先判断出OE=OA=OC ，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA ，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC平分∠BAD．∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：补全图形如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD ＝AD＝AB是解本题的关键．25．（1）x＝﹣2；（2）y＝x+5（﹣3≤x≤1）．【解析】【分析】=的值，利用换元法解方程，可得结论；（12（2）把根式下的式子转化成平方+平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式．【详解】-=---=，解：（1）(14x14x(2x)12--=，14x21226=÷=；b==，则26a ba b-=⎧⎨+=⎩，解得：42ab=⎧⎨=⎩，∴4 2==，∵x≤2，解得：x＝﹣2；（2，===，x，y）到点（1，6）的距离；x，y）到点（﹣3，2）的距离；即点（x，y）与点（1，6），（﹣3，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位于点（1，6）、（﹣3，2）的中间，= 3≤x≤1，设过（x，y），（1，6），（﹣3，2）的直线解析式为：y＝kx+b，∴632k bk b+=⎧⎨-+=⎩，解得：k1b5=⎧⎨=⎩，∴y＝x+5（﹣3≤x≤1）．【点睛】本题属于新定义题，理解新定义的内容完成题目要求，并运用类比的方法熟练掌握两点的距离公式．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①a ﹣3b+2c ＞0；②3a ﹣2b ﹣c ＝0；③若方程a （x+5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；④若方程|ax 2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图1，点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，沿以的速度匀速运动到点C ，图2是点P 运动时，APD 的面积2()y cm 随运动时间()x s 变化而变化的函数关系图象，则矩形ABCD 的面积为（ ）A ．36B ．C ．32D ．3．如图，是根据九年级某班50名同学一周的锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班50名同学一周锻炼时间的说法错误的是（ ）A ．平均数是6B ．中位数是6.5C ．众数是7D ．平均每周锻炼超过6小时的人数占该班人数的一半4．已知|a|＝3，b 2＝16，且|a+b|≠a +b ，则代数式a ﹣b 的值为（ ） A ．1或7B ．1或﹣7C ．﹣1或﹣7D ．±1或±75．下列事件中，属于必然事件的是（ ） A ．“世界杯新秀”姆巴佩发点球 100%进球B．任意购买一张车票，座位刚好挨着窗口C．三角形内角和为180°D．叙利亚不会发生战争6．下表是某校合唱团成员的年龄分布表：对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差7．如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点Q是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设AP＝x，图1中线段PQ的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的面积为( )A．B．C．D．128．在圆环形路上有均匀分布的四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存．现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1：2：3：5．若运费与路程、运的数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝6，则⊙O的半径长为（）A. C.3D.310．化简221 1x ax÷--的结果是21x+，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣211．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．我们知道方程组：237324x y x y +=⎧⎨-=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩，则方程组2(3)3(2)73(3)2(2)4x y x y -++=⎧⎨--+=⎩的解是（ ）A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．51x y =⎧⎨=-⎩D ．15x y =-⎧⎨=⎩二、填空题13．观察下面三行数： ﹣1，2，﹣3，4，﹣5，… 3，﹣6，9，﹣12，15，… ﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…（1）第一行的第7个数是_____，第二行的第8个数是_____，第三行的第6个数是_____； （2）取每行数的第10个数，这三个数的和为_____．14．如图，两块三角尺的直角顶点靠在一起，BC=3，EF=2，G 为 DE 上一动点，把三角尺DEF 绕直角顶点 F 旋转一周，在这个旋转过程中，B ，G 两点的最小距离为_____.15．如图，有以下3个条件：①AC=AB ，②AB ∥CD,③∠1=∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是______16．如果分式有意义，那么x 的取值范围是_____．17．已知 x ＝﹣1 是一元二次方程 ax 2﹣bx+6＝0 的一个根，则 a+b 的值为_____ 18．（﹣2）2的平方根是_____． 三、解答题19．如图，∠BCD ＝90°，且BC ＝DC ，直线PQ 经过点D ．设∠PDC ＝α（45°＜α＜135°），BA ⊥PQ 于点A ，将射线CA 绕点C 按逆时针方向旋转90°，与直线PQ 交于点E ．（1）当α＝125°时，∠ABC ＝ °；（2）求证：AC ＝CE ；（3）若△ABC 的外心在其内部，直接写出α的取值范围．20．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝4，以点O 为圆心、2为半径画圆，点C 是⊙O 上任意一点，连接BC ，OC ．将OC 绕点O 按顺时针方向旋转90°，交⊙O 于点D ，连接AD ．（1）当AD 与⊙O 相切时，①求证：BC 是⊙O 的切线；②求点C 到OB 的距离．（2）连接BD ，CD ，当△BCD 的面积最大时，点B 到CD 的距离为 ．21．先化简，再求值：211211a a a a ⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中1a =． 22．大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范（如图①）．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆CD ，此时，小花测得标杆CD 的影长CE ＝2米，CD ＝2米；然后，小风从C 点沿BC 方向走了5.4米，到达G 处，在G 处竖立标杆FG ，接着沿BG 后退到点M 处时，恰好看见紫云楼顶端A ，标杆顶端F 在一条直线上，此时，小花测得GM ＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM ＝1.5米，FG ＝2米．如图②，已知AB ⊥BM ，CD ⊥BM ，FG ⊥BM ，HM ⊥BM ，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB ．23．我市最近开通了“1号水路”观光游览专线，某中学数学活动小组带上高度为1.6m的测角仪，对其标志性建筑AO进行测量高度的综合实践活动，如图，在BC处测得直立于地面的AO顶点A的仰角为30°，然后前进20m至DE处，测得顶点A的仰角为75°．（1）求AE的长（结果保留根号）；≈≈）（2）求高度AO 1.724．为如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度p（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由；（3）若李明同学发球要想过网，又使排球不会出界（排球压线属于没出界）求二次函数中二次项系数的最大值．25．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．﹣7、﹣24、 216； 98014．15．116．x≠317．﹣6．18．±2．三、解答题19．（1）125；（2）详见解析；（3）45°＜α＜90°．【解析】【分析】（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可求解；（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．【详解】解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠ABC＝∠PDC＝α＝125°，故答案为125；（2）∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，又BC＝DC，由（1）知：∠ABC＝∠PDC，∴△ABC≌△EDC（AAS），∴AC＝CE；（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，而45°＜α＜135°，故：45°＜α＜90°．【点睛】本题考查了圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．20．（1）①证明见解析；②点C到OB（2）.【解析】【分析】（1）①先证明△BOC≌△AOD，则∠BCO=∠ADO=90°，BC是⊙O的切线；②过点C作CE⊥OB，根据勾股定理得BCO的面积公式可得OB•CE=BC•OC，求得；（2）当点C在⊙O上运动到△BCD是等腰三角形，且BO的延长线与CD垂直位置时，△BCD的面积最大（如图2），由等腰直角三角形的性质可求得B到CD的距离为．【详解】（1）①证明：∵AD与⊙O相切，∴∠ADO＝90°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB﹣∠AOC＝∠COD﹣∠AOC，即∠COB＝∠AOD，∵OB＝OA，OC＝OD，∴△BOC≌△AOD（SAS）．∴∠BCO＝∠ADO＝90°．∴BC是⊙O的切线；②如图：过点C作CE⊥OB，垂足为E，则CE即为点C到OB的距离，在Rt△BOC中，∵OB＝4，OC＝2，∴==∴OB▪CE＝BC▪OC，即4CE CE∴点C到OB（2）当点C在⊙O上运动到△BCD是等腰三角形，且BO的延长线与CD垂直位置时，△BCD的面积最大（如图2），此时OB ＝4，OC ＝OD ＝2，∵△COD 是等腰直角三角形，∴0sin 4522OF OC =⋅=⨯=∴4BF =．故答案为：．【点睛】此题主要考查了圆的综合以及等腰直角三角形的性质、旋转的性质、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．11a +，2. 【解析】【分析】原始第一项先化简括号里面的，再利用除法法则变形，约分后利用同分母分式得到最简结果，将a 的值代入即可【详解】 解：21(1)211a a a a ÷-+++ ＝211(1)1a a a a +-÷++ ＝21(1)a a a a ++ ＝1+1a ，当a＝2．【点睛】 此题考察分式的化简求值，关键在于约分22．紫云楼的高AB 为39米．【解析】【分析】根据已知条件得到AB ＝BC ，过H 作HN ⊥AB 于N ，交FG 于P ，设AB ＝BC ＝x ，则HN ＝BM ＝x+5.4+0.6＝x+6，AN ＝x ﹣1.5，FP ＝0.5，PH ＝GM ＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵CD ⊥BM ，FG ⊥BM ，CE ＝2，CD ＝2，∴AB ＝BC ，过H 作HN ⊥AB 于N ，交FG 于P ，设AB ＝BC ＝x ，则HN ＝BM ＝x+5.4+0.6＝x+6，AN ＝x ﹣1.5，FP ＝0.5，PH ＝GM ＝0.6，∵∠ANH ＝∠FPH ＝90°，∠AHN ＝∠FHP ，∴△ANH ∽△FPH ， ∴AN NH PF PH =，即 1.560.50.6x x -+=， ∴x ＝39，∴紫云楼的高AB 为39米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．23．(1) 高度AO 约为15m ．【解析】【分析】（1）延长CE 交AO 于点G ，过点E 作EF ⊥AC 垂足为F ．解直角三角形即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）如图，延长CE 交AO 于点G ，过点E 作EF ⊥AC 垂足为F ．由题意可知：∠ACG ＝30°，∠AEG ＝75°，CE ＝20，∴∠EAC ＝∠AEG ﹣∠ACG ＝45°，∵EF ＝CE×Sin∠FCE ＝10，∴AE ＝EF sin AEC ∠＝ ，∴AE 的长度为m ；（2）∵CF ＝CE×cos∠FCE ＝，AF ＝EF ＝10，∴AC ＝CF+AF ＝，∴AG＝AC×Sin∠ACG＝，∴AO＝AG+GO＝＝∴高度AO约为15m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．24．（1）p＝145（x﹣6）2+2.8;（2）见解析;（3）154.【解析】【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标为（6，2.8），将点（0，2）代入解析式求出即可（2）利用当x＝9时，x＝18时，分别求出p值即可判断（3）设抛物线的解析式为：p＝a（x﹣6）2+h，将点C代入，此时抛物线的解析式为p＝a（x﹣6）2+2﹣36a，再根据x＝9时，p＞2.24，当x＝18时，p≤0，即可得a的范围，从而取得最大值．【详解】解：（1）由排球运行的最大高度为28米，则顶点的坐标点G为（6，2.8），则设抛物线的解析式为p＝a（x ﹣6）2+2.8∵点C坐标为（0，2），点C在抛物线上∴2＝a（0﹣6）2+2.8解得a＝﹣1 45∴p＝-145（x﹣6）2+2.8则排球飞行的高度p（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式：p＝-145（x﹣6）2+2.8（2）当x＝9时，p＝-145（9﹣6）2+2.8＝2.6＞2.24当x＝18时，p＝-145（18﹣6）2+2.8＝﹣0.4＜0故这次发球可以过网且不出边界（3）设抛物线的解析式为：p＝a（x﹣6）2+h，将点C代入得：36a+h＝2，即h＝2﹣36a ∴此时抛物线的解析式为p＝a（x﹣6）2+2﹣36a根据题意，不过边界时有：a（18﹣6）2+2﹣36a≤0，解得a≤-1 54要使网球过网：a（9﹣6）2+2﹣36a≥2.24，解得a≤2 225故李明同学发球要想过网，又使排球不会出界（排球压线属于没出界）二次函数中二次项系数的最大值为154【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．可根据二次函数的解析式的最值作为临界值来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．25．（1）抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）△ADB是等腰直角三角形；理由见解析；（3）P（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理易求b、c的值；（2）先求出顶点D的坐标，再由勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，再由对称得AD＝BD，进而得△ABD是等腰直角三角形；（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，此时P点就是PC﹣PB的值最大的点，求出直线AC的解析式，再求直线AC与直线x＝2的交点坐标便可．【详解】（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理，1+3＝﹣b，1×3＝c，∴b＝﹣4，c＝3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴D（2，﹣1），∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，∵AB2＝22＝4，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，由对称性有AD＝BD，∴△ADB是等腰直角三角形；（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，如图2，∵A、B两点关于直线x＝2对称，∴PB＝PA，∴PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC其值最大（∵另取一点P′，有P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，∴C（0，3），∵A（1，0），∴易求直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3，当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3，∴P（2，﹣3）．【点睛】考查了二次函数综合题，待定系数法求抛物线的解析式，等腰直角三角形，勾股定理的应用，待定系数法求直线的解析式，解题关键在于作辅助线。
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一、选择题 1. （2018北京昌平区初二年级期末）用配方法解关于x的一元二次方程0522xx，配方正确的是
A. 4)1(2x B. 4)1(2x
C. 6)1(2x D. 6)1(2x 答案：D 2.（2018北京昌平区初二年级期末） 如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为192，那么根据题意可列方程为
A．x (x+3) = 192 B．x (x+16) = 192 C. (x-8) (x+8) = 192 D．x (x-16) = 192 答案：B
3．（2018北京顺义区初三练习）把方程232xx用配方法化为2()xmn的形式，则m= ，n= ． 答案：1m ，4n； （2018年北京海淀区第一学期期末）9．方程220xx的根为 ．
答案：0或2
4. （2018北京市门头沟区八年级期末）关于x的一元二次方程2104axbx有两个相等
的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值， a= ，b= ． 答案：略 5.（2018北京市朝阳区综合练习（一）） 已知关于x的一元二次方程0)1(2kxkx． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围. （1）证明：依题意，得kk4)1(2 ………………………1分 .)1(2k ……………………………………………………………2分
∵0)1(2k， ∴方程总有两个实数根. …………………………………………3分 （2）解：由求根公式，得11x，kx2. ……………………………4分 ∵方程有一个根是正数， ∴0k. ∴0k.……………………………………………………5分
6. （2018北京市大兴区检测）已知关于x的一元二次方程01632kxx有实数根，k为负整数． （1）求k的值； （2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根． 解：（1）根据题意，得Δ=(－6)2－4×3（1－k）≥0． 解得2k．……………………………………………………………1分 ∵k为负整数，∴k=－1，－2．……………………………………… 2分 （2）当1k时，不符合题意，舍去； ………………………………… 3分 当2k时，符合题意，此时方程的根为121xx．………… 5分
7．（2018北京丰台区一模）已知：关于x的一元二次方程x2 - 4x + 2m = 0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m为非负整数．．．．，且该方程的根都是整数．．，求m的值．
．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ>0. ∴Δ=24421680mm（）． ∴2m. ………………………2分 （2）∵2m，且m为非负整数， ∴=0m或1. ………………………3分 当m=0时，方程为240xx，解得方程的根为01x，24x，符合题意；
当m=1时，方程为2420xx，它的根不是整数，不合题意，舍去. 综上所述，m=0. ………………………5分
8．（2018北京海淀区第二学期练习）关于x的一元二次方程22(23)10xmxm. （1）若m是方程的一个实数根，求m的值； （2）若m为负数．．，判断方程根的情况. 解：（1）∵m是方程的一个实数根，
∴222310mmmm. ………1分
∴13m. ………3分 (2)24125bacm. ∵0m， ∴120m. ∴1250m. …………4分 ∴此方程有两个不相等的实数根. ……5分
9.（2018年北京海淀区第一学期期末）已知1x是关于x的方程2220xmxm的一个根，求(2)1mm的值．
答案：18．解：∵ 1x是关于x的方程2220xmxm的一个根， ∴ 2120mm. ∴221mm. ……3分 ∴2(2)211mmmm. ………5分
10.（2018北京昌平区二模）已知关于x的一元二次方程03)3(2nxnx． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的n值，写出这个方程并求出此时方程的根．
（1）解：2(3)12nm 2(3)n．……………………………………… 1分
2(3)0n
∴方程有两个实数根 ………………………………… 2分 （2）答案不唯一 例如：方程有两个不相等的实根 ∴3n
0n时，方程化为230xx ………………………………………… 3分
因式分解为：(3)0xx
∴10x，23x …………………………………………………………………… 5分 11.（2018北京朝阳区二模）已知关于x的一元二次方程03)1(222mxmx有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值.
解：（1）)3(4)1(222mm168m. ∵方程有两个不相等的实数根， ∴0. 即 0168m. 解得 2m. …………………………………………………………2分 （2）∵2m，且m为非负整数， ∴0m或1m. ……………………………………………………………3分
① 当0m时，原方程为0322xx，
解得 31x，12x，不符合题意. ② 当1m时，原方程为022x， 解得 21x，22x，符合题意. 综上所述，1m. ………………………………………………………5分
12.（2018北京东城区二模）已知关于x的一元二次方程2610kxx有两个不相等的实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)写出满足条件的k的最大整数值，并求此时方程的根.
解：（1） 依题意，得20,640kk＞， 解得kk＜9且0. ----------------------------------------------------------------------2分 (2) ∵k是小于9的最大整数， ∴=8k .
此时的方程为28610xx. 解得11=2x，21=4x. ---------------------------------------------------------------------5分
13.（2018北京房山区二模）已知:关于x的一元二次方程2(41)330kxkxk（k是整数）. (1)求证:方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求k的值. 答案.解：（1）22=4143321kkkk……………………………………1′ ∵k为整数 ∴2210k＞ 即0＞ ∴方程有两个不相等的实数根…………………………………………………2′
（2）由求根公式得， 41212kkxk ∴13x， 2111kxkk………………………………………………3′ 由题意得，1k或1…………………………………………………………5′
14、（2018北京海淀区二模）关于x的一元二次方程2(3)30xmxm. （1）求证：方程总有实数根； （2）请给出一个m的值，使方程的两个根中只有．．一个根小于4.
答案．（1）证明：依题意，得22[(3)]413(3)mmm. ∵2(3)0m， ∴方程总有实数根.
(2) 解：∵原方程有两个实数根3，m， ∴取4m，可使原方程的两个根中只有．．一个根小于4.
注：只要4m均满足题意.
15. （2018北京昌平区初二年级期末）解方程：142xx．
解： 24414xx. ………………………………………………………… 1分 2(2)5x. …………………………………………………………… 3分 25x. ……………………………………………… 4分 125x，225x. ………………………………………………… 5分 16．（2018北京市门头沟区八年级期末）解方程：2410xx． 解：24414xx…………………………………………1分 225x…………………………………………………………………………2分
25x…………………………………………………………………………3分 ∴125x，225.x………………………………………………………5分