电路第10章---含有耦合电感的电路讲解
电路第十章含有耦合电感的电路
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
CH10含有耦合电感的电路
CH10含有耦合电感的电路第⼗章含有耦合电感电路§10-1 互感⼀、互感: 当两个线圈都有电流时，每⼀线圈的磁链为⾃磁链与互磁链的代数和： 1111211122L i M i ψψψ=±=± 2222122211L i M i ψψψ=±=±注意：1）互感系数M 12和M 21的值与线圈形状、⼏何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流⽆关，因此，满⾜ M 12 =M 21 =M ，单位为（H ）2）⾃感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。
正值表⽰⾃感磁链与互感磁链def ⼀般有：1k ≤；当 k =1 称全耦合。
耦合因数 k 与线圈的结构、相互⼏何位置、空间磁介质有关。
三、耦合电感上的电压、电流关系I 注意：互感电压的正负：（1）与电流的参考⽅向有关（2）与线圈的相对位置和绕向有关。
四、互感线圈的同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端⼦同时流⼊或流出时，若产⽣的磁通相互增强，则这两个对应端⼦称为两互感线圈的同名端。
注意：当有多个线圈之间存在互感作⽤时，同名端必须两两线圈分别标定。
确定同名端的⽅法：(1) 当两个线圈中电流同时流⼊或流出同名端时，两个电流产⽣的磁场将相互增强。
(2) 当随时间增⼤的时变电流从⼀线圈的⼀端流⼊时，将会引起另⼀线圈相应同名端的电位升⾼。
同名端的实验测定：实验线路如图所⽰，当开关 S 闭合时，线圈 1 中流⼊*号⼀端的电流 i 增加，在线圈 2 的*号⼀端产⽣互感电压的正极，则电压表正偏。
如图所⽰（a ）、（b ）、（c ）、（d ），已知同名端和各线圈上电压电流参考⽅向，试写出每⼀互感线圈上的电压电流关系。
例 10-1 图（a ）例 10-1 图（b ）例 10-1 图（c ）例 10-1 图（d ）⼀、耦合电感的串联（1）顺向串联:122L L L M =++，互感起“增助”作⽤，耦合电感等效阻抗⼤于⽆互感时。
（2）反向串联: 122L L L M =+-，互感起“削弱”作⽤，耦合电感等效阻抗⼩于⽆互感时。
10-23含有耦合电感的电路-PPT课件
同名端的实验测定：
R
+
US -
S
1 i1 *
1'
i
2 *
2'
i2=0
+ V –
图中 US表示直流电源，例如1.5V干电池。V表示高内阻直 流电压表，当开关闭合时，电流由零急剧增加到某一量值，电 流对时间的变化率大于零，即 d i1 0 。 dt d i 如果发现电压表指针正向偏转，说明 u u M 1 0
d i 1 u M 21 21 d t
d i 1 u M 31 31 d t
注意
线圈的同名端必须两两确定。
确定同名端的方法：
(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电 流产生的磁场相互增强。 例 1* 1'
i
*2 2'
* 1 1'
2
3 3'
2'*
(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会 引起另一线圈相应同名端的电位升高。
4.互感线圈的同名端
对自感电压，当u, i 取关联参考方向，u、i与 符合 右螺旋定则，其表达式为：
d Ψ d Φ d i 11 11 1 u N L 11 1 1 d t d t d t
i1 + u11 –
上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的， 只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不 用考虑线圈绕向。
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
def
M 1 L1L2
11= 21 ，22 =12
2 M M ( Mi )( Mi ) 1 2 12 21 k 1 L L L i L i L L 1 2 1 1 2 2 11 22 1 2
第10章 含有耦合电感的电路总结
第十章 含有耦合电感的电路重点：1． 互感的概念及意义2． 具有耦合电感的正弦交流电路计算 3． 理想变压器的变量关系10.1 互感10.1.1 有关物理知识的复习1．电感与楞次定理对于单个无限长（磁通均匀）密绕（各匝均与相同磁通交链）线圈来说，线圈的磁通仅与其本身交链，与电流的方向关系满足右手螺旋定则。
如果线圈周围的媒质为非铁磁物质，磁链（= 线圈匝数⨯磁通）与电流的大小关系为线性关系，在理想情况下（线圈无损耗R 、无电场C 作用时），可以将这种线圈用电感元件模型来描述：Li =ψ。
此时的L 也称为“自感”。
2．楞次定理当电感中的电流随着时间变化时，在电感两端会产生感应电压。
自感电压的参考方向选定为与电流方向关联，因此，其方向也就与磁通方向满足右手螺旋定则，其大小为：dt diL dt d u =ψ=10.1.2 互感的引入互感的物理意义1111i L =ψ111i 变化时dtdiL dt d u 111111=ψ=1111i L =ψ （111Φ=N ） 222222222i L N =Φ=ψ i 变化时dtdi L dt d u 222222=ψ= （212Φ=N ） 1221212112i M N =Φ=ψ 21ψ12121i M =ψ 变化时dt di M dt d u 2121212=ψ=1i 变化时dt di dt d u 12121=圈ΦΦΦ图10-1 密绕线圈的磁通与电流dt di M dt d u dt diM dt d u 21212121212121=ψ==ψ=10.1.3 互感1．定义由线圈一中的电流1i 在线圈二中引起的磁链21ψ之间的关系呈线性时，它们之间的比值为常数，定义它为互感12121i M ψ=；同理由线圈二中的电流2i 在线圈一中引起的磁链12ψ之间的关系呈线性时，它们之间的比值为常数，定义它为互感21212i M ψ=。
2．符号及单位符号—M ，单位—亨利H 。
第10章 含有耦合电感的电路
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压 均包含自感电压和互感电压：
di1 di2 u1 u11 u12 L1 M dt dt di1 di2 u2 u21 u22 M L2 dt dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
U 1 jL1 I 1 jM I 2
解
耦合因数k为
i
u
8 0.826 7.5 12.5
R1
L1
k
M L1 L2 wM
u1
R2
L 2
M
u2
wL1 wL2
a
图10－3
Z1 R1 jw L1 M 3 j 0.5 3.04 9.46 （容性） Z 2 R2 jw L2 M 5 j 4.5 6.7342 （感性）
1 11的情况。
例10-2 解
求例10－ 中耦合电感的端电压u1、u2。 1
按图10－2和式（10－2），得
di1 di2 u1 L1 M 50sin 10t V dt dt di1 di2 u2 M L2 150sin 10t V dt dt
电压u1中只含有互感电压u12，电压u2中只含有自感电压u22，说明 不变动的电流（直流）虽产生自感和互感磁通链，但不产生自 i1 感电压和互感电压。
3. 耦合电感上的电压、电流关系
当 i1 为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线 圈两端产生感应电压。 当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感 应定律和楞次定律：
d11 di1 u11 L1 dt dt
自感电压
d21 di1 u21 M dt dt
第10章含有耦合电感的电路 (丘关源)
(2)异侧并联
i + u – M i1 * L1 i2 L2 去耦等效 + u –
2
i Leq
* 等效电感：Leq
证明：
di1 di2 u L1 M dt dt di2 di1 u L2 M dt dt
( L1 L2 M ) 0 L1 L2 2 M
解得u ~ i 的关系：
解:(1)用定义求
* L1
* L2
R1 I1 jL1 ( I1 I 3 ) jM ( I 2 I 3 ) U S
R2 I 2 jL2 ( I 2 I 3 ) jM ( I1 I 3 ) kI1 jL1 ( I 3 I1 ) jM ( I 3 I 2 ) I ) jM ( I I ) 1 I 0 jL2 ( I 3 2 3 1 3 jC
. I1 M * . I2 + + . U2 去藕 等效 . U1 – I1 * + . U1 L1 jL1
I2
+ . U2 –
jL2
L2
+ –
jMI2
+ –
jMI 1
证明：
U1 jL1 I1 jM I 2 ——证毕！ U 2 jM I1 jL2 I 2
(2)去耦法
R1 + i1 uS － M C + ki1 －
三、去耦等效 (方法3)
——将耦合电感电路等效为无耦合的电路 M L2 L1 i 1.耦合电感串联的去耦等效 + * u1 - +* u2 (1)顺接(同名端同向联接) + u – 证明：
Chapter10含有耦合电感的电路
Chapter 10 含有耦合电感的电路主要内容1.互感；2.含有耦合电感电路的分析计算；3.空心变压器；4.理想变压器。
V 1 2f2§ 10-1互感1 .磁耦合：载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象施感电流i2自感磁通22自感磁通链22N2 22L2i2互感磁通12互感磁通链12N1 12M 12i2施感电流i1自感磁通11自感磁通链11N1 11互感磁通21互感磁通链21N2 21M 21i1 K A A 4 A A A Zvr i a f2可以证明,2. 两个线圈耦合时的磁通链：① 磁通链与施感电流成线性关系，是各施感电流独立产生的磁通链叠加的结 果。
② M 前“+”号表示互感磁通与自感磁通方向一致，称为互感的“增助”作 用；“-”号则相反，表示互感的“削弱”作用。
③ 同名端：在两个耦合的线圈中各取一端子，并用“• ”或“ * ”表示，且当一对 施感电流l1和l2从同名端流进（出）各自的线圈时，互感起增 助作用。
a, 根据它们的绕向和相对位置判断； b, 实验方法判断；④ 多个线圈耦合时：风与监同向取“ + ”，反之取“-例10-1 :互感耦合电路中l110A,l25cOs10t A, L1求两耦合线圈中的磁通链。
解：h 、i 2都是从标记的同名端流进，互感“增助”，则鳴 L 1l 120Wb;卑2 L 2l 2 15cos10tWb;出2 MI 2 5cos10tWb;里1 MI 1 10Wb;出出1 出2 20 5cos10t Wb 出坚闿210 15cos10t WbL i l i M 1212 L 2l 2 M 21l 11 i 1, i2l l 」22H, L 2 3H, M 1HM 12 M 21 M（两个线圈耦合时的互感系数）耦合电感的电压是自感电压和互感电压的叠加；如果Uj 、ij ,j 112为关联参考方向，则自感电压 如果互感电压“ + ”极性端与产生它的电流的流入端为一对同名端, “ +”，反之取“-”。
第10章耦合电感电路201936856
u 2 L cd d 2 it L bd (id 1 i2 ) t L bd d 1 i( tL b L c )d d 2it
L1 La Lb L2 Lb Lc M Lb
La L1 M Lb M Lc L2 M
这种等效变换得出的T型电路已消除了两个线 圈的互感作用，称为互感消除法。这种等效电 路称为互感线圈的T型去耦等效电路。
(b)磁通相消
i1 11
a
u1
b
21
12
i2
c
u2
d
22
3、同名端的应用：
互感电压符号的确定：当两线圈电流均从同名
端流入（或流出）时，互感电压与该线圈中的
自感电压同号。当两线圈电流均从异名端流入
（或流出）时，互感电压与自感电压异号。
或：互感电压的参考极性与产生它的变化电流
的参考方向对同名端一致。
u1 L1 L2 u2
b
d
Fig-a
a i1 La
Lc i2 c
+
+
u1 Lb b
u2 d
Fig-b
Fig-a: u1 L1dd1itMddi2t
u2
L2
d2i Md1i dt dt
L1 La Lb L2 Lb Lc M Lb
Fig-bu :1 L ad d 1 it L bd (id 1 i2 ) t (L a L b )d d 1 it L bd d 2it
(b)
空心变压器电路
R 1j L 1I1j M I2U S
jM I1R 2jL 2 Z LI2 0I1 R1
I 2 R2
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§10.1 互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
1. 互感两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i 1 时，不仅在线圈1中产生磁通f 11，同时，有部分磁通 f 21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流i 2 时，不仅在线圈2中产生磁通f 22，同时，有部分磁通 f 12 穿过线圈1，f 12和f 21称为互感磁通。
定义互磁链：图 10.1ψ12 = N 1φ12 ψ21 = N 2φ21当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链：互感磁通链：上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，单位为（H ）。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：需要指出的是：１）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12 =M21 =M２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。
2. 耦合因数工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义一般有：当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。
耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。
3. 耦合电感上的电压、电流关系当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。
根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为：即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。
以上说明互感电压的正、负：（1）与电流的参考方向有关。
（2）与线圈的相对位置和绕向有关。
4. 互感线圈的同名端由于产生互感电压的电流在另一线圈上，因此，要确定互感电压的符号，就必须知道两个线圈的绕向，这在电路分析中很不方便。
为了解决这一问题引入同名端的概念。
同名端—当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出时，若产生的磁通相互增强，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端，用小圆点或星号等符号标记。
例如图10.2中线圈1和线圈2用小圆点标示的端子为同名端，当电流从这两端子同时流入或流出时，则互感起相助作用。
同理，线圈1和线圈3用星号标示的端子为同名端。
线圈2和线圈3用三角标示的端子为同名端。
注意：上述图示说明当有多个线圈之间存在互感作用时，同名端必须两两线圈分别标定。
图 10.2根据同名端的定义可以得出确定同名端的方法为：(1) 当两个线圈中电流同时流入或流出同名端时，两个电流产生的磁场将相互增强。
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
两线圈同名端的实验测定：实验线路如图10.3所示，当开关S闭合时，线圈1中流入星号一端的电流i 增加，在线圈2的星号一端产生互感电压的正极，则电压表正偏。
图 10.3有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及电流和电压的参考方向即可，如图 10.4 所示。
根据标定的同名端和电流、电压参考方向可知：图 10.4 （a）图 10.4（b）（a）图（b）图例 10-1，例 10-2例10-1 如图所示（a）、（b）、（c）、（d）四个互感线圈，已知同名端和各线圈上电压电流参考方向，试写出每一互感线圈上的电压电流关系。
例10-1图（a）例10-1图（b）例10-1图（c）例10-1图（d）解：（a）（b）（c）（d）例10-2 电路如图（a）所示，图（b）为电流源波形。
已知：，例10-2 图（a）例10-2 图（b）解：根据电流源波形，写出其函数表示式为：该电流在线圈 2 中引起互感电压：对线圈 1 应用 KVL ，得电流源电压为：§10.2 含有耦合电感电路的计算含有耦合电感（简称互感）电路的计算要注意：(1) 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍可应用前面介绍的相量分析方法。
(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。
(3) 一般采用支路法和回路法计算。
因为耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还与其他某些支路电流有关，若列结点电压方程会遇到困难，要另行处理。
1. 耦合电感的串联（1）顺向串联图 10.5图10.5 所示电路为耦合电感的串联电路，由于互感起“增助”作用，称为顺向串联。
按图示电压、电流的参考方向，KVL 方程为：根据上述方程可以给出图10.6所示的无互感等效电路。
等效电路的参数为：图 10.6（2） 反向串联图 10.7 所示的耦合电感的串联电路，由于互感起“削弱”作用，称为反向串联。
按图示电压、电流的参考方向，KVL 方程为：图 10.7根据上述方程也可以给出图10.6所示的无互感（去耦）等效电路。
但等效电路的参数为：在正弦稳态激励下，应用相量分析，图10.5和图10.7的相量模型如图10.8所示。
图 10.8 （a）图 10.8（b）图（a）的 KVL 方程为：输入阻抗为：可以看出耦合电感顺向串联时，等效阻抗大于无互感时的阻抗。
顺向串联时的相量图如图 10.9 所示。
图（b）的 KVL 方程为：输入阻抗为：可以看出耦合电感反向串联时，等效阻抗小于无互感时的阻抗。
反向串联时的相量图如图 10.10 所示。
图 10.9注意：（1）互感不大于两个自感的算术平均值，整个电路仍呈感性，即满足关系：（2）根据上述讨论可以给出测量互感系数的方法：把两线圈顺接一次，反接一次，则互感系数为：图 10.102. 耦合电感的并联（1）同侧并联图 10.11 为耦合电感的并联电路，由于同名端连接在同一个结点上，称为同侧串联。
根据 KVL 得同侧并联电路的方程为：由于i = i1 + i2解得u , i 的关系：图 10.11根据上述方程可以给出图 10.12 所示的无互感等效电路，其等效电感为：（2）异侧并联图 10.12图 10.13 中由于耦合电感的异名端连接在同一个结点上，故称为异侧并联。
此时电路的方程为：考虑到：i = i1 + i2解得u , i 的关系：图 10.13根据上述方程也可以给出图 10.12 所示的无互感等效电路，其等效电感为：3. 耦合电感的 T 型去耦等效如果耦合电感的2 条支路各有一端与第三条支路形成一个仅含三条支路的共同结点如图 10.14 所示，称为耦合电感的 T 型联接。
显然耦合电感的图 10.14 图 10.15并联也属于 T 型联接。
（1）同名端为共端的T 型去耦等效图10.14的电路为同名端为共端的 T 型联接。
根据所标电压、电流的参考方向得：由上述方程可得图 10.15 所示的无互感等效电路。
（2）异名端为共端的 T 型去耦等效图 10.16 图 10.17图 10.16 的电路为异名端为共端的 T 型联接。
根据所标电压、电流的参考方向得：由上述方程可得图 10.17 所示的无互感等效电路。
注意：T 型去耦等效电路中 3 条支路的等效电感分别为：支路 3 ：（同侧取“ + ”，异侧取“—”）支路 1 ：支路 2 ：例10-3 求图（a）、（b）所示电路的等效电感。
例10-3图（a）例10-3图（b）解：（a）图中 4H 和 6H 电感为 T 型结构，应用 T 型去耦等效得图（c）电路。
则等效电感为：例10-3 图（c）例10-3图（d）（b）图中5H和6H电感为同侧相接的T型结构，2H和3H电感为异侧相接的T型结构，应用T型去耦等效得图（d）电路。
则等效电感为：例10-4 图（a）为有耦合电感的电路，试列写电路的回路电流方程。
例10-4（a）例10-4（b）解：设网孔电流如图（b）所示，为顺时针方向，则回路方程为：注意：列写有互感电路的回路电流方程是，注意互感电压的极性和不要遗漏互感电压。
例10-5 求图（a）所示电路的开路电压。
例10-5 图（a）例10-5 图（b）解法1：列方程求解。
由于线圈2中无电流，线圈1和线圈3为反向串联，所以电流则开路电压解法2：作出去耦等效电路，消去耦合的过程如图（b）、（c）、（d）所示(一对一对消)。
例10-5 图（c）例10-5 图（d）由图（d）的无互感电路得开路电压：例10-6图（a）为有互感的电路，若要使负载阻抗Z中的电流i=0 ，问电源的角频率为多少？例 10-6 （a）解：根据两线圈的绕向标定同名端如图（b）所示，应用T 型去耦等效，得无互感的电路如图（c）所示，显然当电容和 M 电感发生串联谐振时，负载阻抗 Z 中的电流为零。
因此有：，例 10-6 （b）例 10-6 （c）§10.3 空心变压器变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载。
变压器是通过互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。
当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。
1.空心变压器电路图 10.18 为空心变压器的电路模型，与电源相接的回路称为原边回路（或初级回路），与负载相接的回路称为副边回路（或次级回路）。
图 10.182. 分析方法（1）方程法分析在正弦稳态情况下，图 10.18 电路的回路方程为：令称为原边回路阻抗，称为副边回路阻抗从上列方程可求得原边和副边电流：（2）等效电路法分析等效电路法实质上是在方程分析法的基础上找出求解的某些规律，归纳总结成公式，得出等效电路，再加以求解的方法。
首先讨论图10.18 的原边等效电路。
令上述原边电流的分母为：则原边电流为：根据上式可以画出原边等效电路如图10.19 所示。
上式中的Z f 称为引入阻抗（或反映阻抗），是副边回路阻抗通过互感反映到原边的等效阻抗，它体现了副边回路的存在对原边回路电流的影响。
从物理意义讲，虽然原、副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。
把引入阻抗Z f 展开得：图 10.19上式表明：（1）引入电阻不仅与次级回路的电阻有关，而且与次级回路的电抗及互感有关。
（2）引入电抗的负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。
可以证明引入电阻消耗的功率等于副边回路吸收的功率。
根据副边回路方程得：方程两边取模值的平方：从中得：应用同样的方法分析方程法得出的副边电流表达式。
令则根据上式可以画出副边等效电路如图10.20所示。
上式中的 Z 2f 称为原边回路对副边回路的引入阻抗，它与Z 1f 有相同的性质。