最小生成树算法及其算法
数据结构(Java版)图2(最小生成树)
最小生成树举例
A
50 60 52 65 50
C
45 42 30 50
A
C
45
B
40
D
G
B
40 50
D
42 30
G
E
70
F
E
F
(a) 无向带权连通图G
(b) 无向带权图G 的最小生成树T
从最小生成树的定义可知，构造n个顶点的无向带权连 通图的最小生成树，必须满足如下三个条件： ① 必须包含n个顶点。 ② 有且仅有n-1条边。 ③ 没有回路。
）
将ej边加入到tree中；
}
实践项目
设计一个程序实现Prim和Kruskal算法.
表5-1 lowcost[ ]数组数据变化情况 表5-2 closest[ ]数组数据变化情况
扫描次数
closest[0]
closest[1]
closest[2]
closest[3]
closest[4]
closest[5]
求最小生成树算法
普里姆算法（Prim） (从点着手)
适合于求边稠密的最小生成树 适合于求边稀疏的最小生成树
克鲁斯卡尔算法（Kruskal）（从边着手）
普里姆算法（Prim）思想
1.
2.
3.
4.
令集合U=｛u0｝（即从顶点u0开始构造最小生 成树），集合T=｛｝。 从所有顶点u∈U和顶点v∈V-U的边权中选择最 小权值的边(u,v)，将顶点v加入到集合U中，边 (u,v)加入到集合T中。 如此重复下去，直到U=V时则最小生成树构造完 毕。 此时集合U就是最小生成树的顶点集合，集合T 就是最小生成树的边集。
的最小生成树算法Prim与Kruskal算法的比较
的最小生成树算法Prim与Kruskal算法的比较Prim算法和Kruskal算法都是常用的最小生成树算法，它们可以在给定的加权连通图中找到连接所有节点的最小权重边集合。
然而，这两种算法在实现细节和时间复杂度上有所不同。
本文将对Prim算法和Kruskal算法进行比较，并讨论它们的优缺点以及适用场景。
一、Prim算法Prim算法是一种贪心算法，它从一个起始节点开始，逐步扩展最小生成树的边集合，直到包含所有节点为止。
具体步骤如下：1. 选取一个起始节点作为最小生成树的根节点。
2. 在最小生成树的边集合中寻找与当前树集合相连的最小权重边，并将这条边添加到最小生成树中。
3. 将新添加的节点加入到树集合中。
4. 重复步骤2和3，直到最小生成树包含所有节点为止。
Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是节点的个数。
这是因为在每轮迭代中，需要从树集合以外的节点中找到与树集合相连的最小权重边，而在最坏情况下，可能需要检查所有的边。
二、Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的贪心算法，它按照边的权重从小到大的顺序依次选择边，并判断是否加入最小生成树中。
具体步骤如下：1. 初始化一个空的最小生成树。
2. 将所有边按照权重从小到大进行排序。
3. 依次检查每条边，如果这条边连接了两个不同的树（即不会形成环），则将这条边加入到最小生成树中。
4. 重复步骤3，直到最小生成树包含所有节点为止。
Kruskal算法使用并查集数据结构来快速判断连通性，时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的个数。
排序边的时间复杂度为O(ElogE)，而对每条边进行判断和合并操作的时间复杂度为O(E)。
三、比较与总结1. 时间复杂度：Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，而Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。
因此，在边的数量较大的情况下，Kruskal 算法的效率优于Prim算法。
2. 空间复杂度：Prim算法需要维护一个大小为V的优先队列和一个大小为V的布尔数组，而Kruskal算法需要维护一个大小为V的并查集。
随机prim算法
随机prim算法Prim算法是一种普遍使用的最小生成树算法，它可以在图中找到一棵树，从而使得该树中所有边的权值之和最小。
Prim算法的基本思想是从一个顶点开始，逐步扩张最小生成树，每次向树中加入一条边，使得该边连接树上的节点和未加入树中的节点，并且权值最小。
这个过程中需要不断更新已加入树中的节点和未加入树中的节点之间的距离。
Prim算法的流程如下：1.选择一个起始顶点，将其加入到最小生成树中。
2.接着，将这个顶点可以到达的所有节点，以及它们之间的边加入到一个优先队列中。
其中，边的权值为该边连接的两个顶点值的较小值。
3.从优先队列中弹出权值最小的边，判断该边连接的两个顶点是否已经在最小生成树中，如果一个顶点已经在最小生成树中，而另外一个不在，则将未加入树中的节点和该边加入到最小生成树中。
5.重复步骤3和4，直到所有的节点都在最小生成树中。
下面是一个简单的Prim算法实例，我们来看一下：```Pythonimport heapqdef prim(graph, start):mst = [] # 保存最小生成树visited = [] # 保存已经访问的节点heap = [] # 优先队列while heap:# 找到权值最小的边w, u, v = heapq.heappop(heap)if v in visited:continuevisited.append(v)mst.append((u, v, w))return mst# 测试graph = {'A': {'B': 7, 'D': 5},'B': {'A': 7, 'C': 8, 'D': 9, 'E': 7},'C': {'B': 8, 'E': 5},'D': {'A': 5, 'B': 9, 'E': 15, 'F': 6},'E': {'B': 7, 'C': 5, 'D': 15, 'F': 8, 'G': 9},'F': {'D': 6, 'E': 8, 'G': 11},'G': {'E': 9, 'F': 11}}print(prim(graph, 'A')) # 输出：[('A', 'D', 5), ('D', 'F', 6), ('F', 'E', 8), ('E', 'C', 5), ('E', 'G', 9), ('A', 'B', 7)]```在以上实例中，我们使用了Python中的heapq模块，实现了Prim算法，以求得给定图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法求最小生成树完整代码
克鲁斯卡尔算法是一种用来求解最小生成树（Minimum Spanning Tree）的经典算法，它采用了贪心策略，能够高效地找到图中的最小生成树。
下面将为大家介绍克鲁斯卡尔算法的完整代码，希望对大家有所帮助。
1. 算法思路克鲁斯卡尔算法的基本思路是：首先将图中的所有边按照权值进行排序，然后从小到大依次考虑每条边，如果加入该边不会构成环，则将其加入最小生成树中。
在算法执行过程中，我们需要使用并查集来判断是否会构成环。
2. 代码实现接下来，我们将给出克鲁斯卡尔算法的完整代码，代码使用C++语言编写，具体如下：```cpp#include <iostream>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std;// 定义图的边struct Edge {int u, v, weight;Edge(int u, int v, int weight) : u(u), v(v), weight(weight) {} };// 定义并查集class UnionFind {private:vector<int> parent;public:UnionFind(int n) {parent.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}}int find(int x) {if (parent[x] != x) {parent[x] = find(parent[x]);}return parent[x];}void Union(int x, int y) {int root_x = find(x);int root_y = find(y);if (root_x != root_y) {parent[root_x] = root_y;}}};// 定义比较函数用于排序bool cmp(const Edge a, const Edge b) {return a.weight < b.weight;}// 克鲁斯卡尔算法vector<Edge> kruskal(vector<Edge> edges, int n) { // 先对边进行排序sort(edges.begin(), edges.end(), cmp);// 初始化最小生成树的边集vector<Edge> res;UnionFind uf(n);for (int i = 0; i < edges.size(); i++) {int u = edges[i].u, v = edges[i].v, weight = edges[i].weight; // 判断是否构成环if (uf.find(u) != uf.find(v)) {uf.Union(u, v);res.push_back(edges[i]);}}return res;}// 测试函数int m本人n() {vector<Edge> edges;edges.push_back(Edge(0, 1, 4));edges.push_back(Edge(0, 7, 8));edges.push_back(Edge(1, 2, 8));edges.push_back(Edge(1, 7, 11));edges.push_back(Edge(2, 3, 7));edges.push_back(Edge(2, 5, 4));edges.push_back(Edge(2, 8, 2));edges.push_back(Edge(3, 4, 9));edges.push_back(Edge(3, 5, 14));edges.push_back(Edge(4, 5, 10));edges.push_back(Edge(5, 6, 2));edges.push_back(Edge(6, 7, 1));edges.push_back(Edge(6, 8, 6));edges.push_back(Edge(7, 8, 7));vector<Edge> res = kruskal(edges, 9);for (int i = 0; i < res.size(); i++) {cout << res[i].u << " " << res[i].v << " " << res[i].weight << endl;}return 0;}```3. 算法实例上述代码实现了克鲁斯卡尔算法，并对给定的图进行了最小生成树的求解。
mst检测原理
mst检测原理
MST（最小生成树）是用于在一个带权无向连通图中找到一棵生成树，使得树的所有边的权重之和最小。
常用的MST算法有Prim算法和Kruskal算法，下面分别介绍它们的工作原理：
1. Prim算法：
- 选择一个起始节点作为生成树的根节点，并将其加入集合V（已访问节点集合）。
- 在集合V与剩余节点的边中选择一条权重最小的边，并将其对应的节点加入集合V。
- 重复上一步骤，每次选择与集合V中节点相连的权重最小的边，并将对应的节点加入集合V，直到集合V包含了图中的所有节点。
- 最终得到的生成树即为最小生成树。
2. Kruskal算法：
- 将图中的所有边按照权重从小到大进行排序。
- 依次选取权重最小的边，若将该边加入当前的生成树中不会形成回路，则将该边加入生成树。
- 重复上一步骤，直到生成树中包含了图中的所有节点。
- 最终得到的生成树即为最小生成树。
无论是Prim算法还是Kruskal算法，它们的目标都是选择权重最小的边，并构建一个连通的生成树，直到生成树包含了图中的所有节点。
不同之处在于Prim算法是基于节点的选择，而Kruskal算法是基于边的选择。
这两种算法的时间复杂度都与图中的边数E和节点数V相关。
Prim算法适用于稠密图，时间复杂度为O(V^2)或O(VlogV)；Kruskal算法适用于稀疏图，时间复杂度为O(ElogE)或O(ElogV)。
MST算法在网络设计、电力传输网络、路径规划等领域有广泛的应用，通过构建最小生成树，可以实现高效的资源利用、减少成本和提升系统性能。
最小生成树问题(共7张PPT)
个，所以支撑树是有不唯一]。
C n1 m
求最小树的Kruskal算法
赋权的连通图G=(V,E)中m=|E|,n=|V|,
S1:对E中各边的权排序，设 w1≤w2≤…≤wm,wi=w(ei)
S2:初始化： w←0,T←φ,k←1,t←0
S3:若t=n-1则转S6，否则转S4
Y
N
T’←T∪{ek}
T’成圈? N END
Y
T←T+ {ek},
k←k+1 w←w+wk,
t←t+1,k←k+1
用Kruskal算法求最小树
用Kruskal算法(避圈法)求赋权连通图G的最小树
V2
5
V6
Kruskal法盯住边,而Prim法更注意顶点:
T为最小树，w为T的权。
4
T={v1,v2,v3,v5}
Prim法求最小支撑树 E的权排序w1≤w2≤…≤wm w←0,T←φ,k←1,t←0
对要m让条程边序的读边懂长“图排”，序S程3，:序m如个何元判素断排是序否较成好“的圈算”？法谈是何基容于易分，治时策间略、的空快间速复排杂序性(Q绝u不ick应S小or看ting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
min S2:初始化：w←0,T←φ,k←1,t←0 设: {w(vv )}w(vv ) 简对称m条最边小的树边或长最排短序树，[管vvm线ij个 铺ST 元设素]。排序较好的i算法j是基于分治策略的快l速排k序(Quick Sorting)，其时间复杂性是O(m㏒m)。
S4:若T∪{ek}有圈则k←k+1转S4，否则 转S5
S5: T←T∪{ek},w←w+wk, t←t+1, k←k+1,转S3
普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
普里姆算法和克鲁斯卡尔算法在计算机科学中，图是一种常见的数据结构，它由顶点和边组成。
在图中，顶点代表对象，边代表对象间的关系。
因此，图的算法是计算机科学中的一个重要分支。
其中，普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是两种常用的最小生成树算法。
一、普里姆算法普里姆算法是一种基于贪心策略的算法，用于查找连接给定图中所有顶点的最小生成树。
该算法的基本思想是从一个起始顶点开始，逐步地添加新的顶点，直到所有顶点都被覆盖。
具体步骤如下：1. 选择一个起始顶点，并将其标记为已访问。
2. 查找与已访问顶点相邻的未访问顶点中，权值最小的边。
3. 将该边与对应的顶点标记为已访问，并将边加入最小生成树中。
4. 重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。
二、克鲁斯卡尔算法克鲁斯卡尔算法也是一种基于贪心策略的算法，用于查找连接给定图中所有顶点的最小生成树。
该算法的基本思想是将边按照权值从小到大排序，逐步地将边加入最小生成树中，直到所有顶点都被覆盖。
具体步骤如下：1. 将图中所有边按照权值从小到大排序。
2. 逐步地将边加入最小生成树中，直到所有顶点都被覆盖。
3. 在加入新边的过程中，如果新边连接的两个顶点已经在最小生成树中，那么不加入该边。
三、普里姆算法和克鲁斯卡尔算法的比较虽然普里姆算法和克鲁斯卡尔算法都可以用于查找连接给定图中所有顶点的最小生成树，但它们的实现方式有所不同。
普里姆算法的实现方式比较简单，适用于边稠密的图。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。
克鲁斯卡尔算法的实现方式较为复杂，适用于边稀疏的图。
该算法的时间复杂度为O(elog2e)，其中e为边数。
四、总结普里姆算法和克鲁斯卡尔算法都是常用的最小生成树算法。
它们的实现方式有所不同，适用于不同类型的图。
在实际应用中，需要根据图的特点选择合适的算法。
最小生成树问题
2.1 最小生成树
树T(V,E)的性质：
E 树的边数等于其顶点数减“1”，即 V 1 ； 树的任意两个顶点之间恰有一条初级链相连接； 在树中任意去掉一条边后，便得到一个不连通的 图； 在树中任意两个顶点之间添加一条新边，所得新 图恰有一个初级圈。
例如，图 6.4.1 给出的 G1 和 G2 是树，但 G3 和 G4 则不是树。
44
44 69
结果显示于图
求最小生成树的 Prim 算法
Prim 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树。任选一 个顶点将其涂红，其余顶点为白点；在一个端 点为红色，另一个端点为白色的边中，找一条 权最小的边涂红，把该边的白端点也涂成红色； 如此，每次将一条边和一个顶点涂成红色，直 到所有顶点都成红色为止。最终的红色边便构 成最小生成树 T0 的边集合。
在求最小生成树的有效算法中，最著名的两个是 Kruskal（克罗斯克尔）算法和 Prim（普瑞姆）算法， 其迭代过程都是基于贪婪法来设计的。 1．求最小生成树的 Kruskal 算法
Kruskal 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树，T0 中的边和 顶点均涂成红色，初始时 G 中的边均为白色。 ① 将所有顶点涂成红色； ② 在白色边中挑选一条权值最小的边，使其与红 色边不形成圈，将该白色边涂红； ③ 重复②直到有 n1 条红色边，这 n1 条红色边 便构成最小生成树 T0 的边集合。
最小生成树算法
一个简单连通图只要不是树，其生成树就不唯 一，而且非常多。一般地，n 个顶点地完全图，其 不同地生成树个数为 nn2。因而，寻求一个给定赋 权图的最小生成树，一般是不能用穷举法的。例如， 30 个顶点的完全图有 3028个生成树，3028 有 42 位， 即使用最现代的计算机，在我们的有生之年也是无 法穷举的。所以，穷举法求最小生成树是无效的算 法，必须寻求有效的算法。
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式摘要：一、引言1.最小生成树的概念2.最小生成树在图论中的重要性二、最小生成树的模型1.生成树的概念2.最小生成树的概念3.Kruskal 算法4.Prim 算法三、最小生成树的数学公式1.生成树的数学公式2.最小生成树的数学公式四、最小生成树的应用1.网络通信2.数据压缩3.基因测序正文：一、引言最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种重要的图论模型，广泛应用于计算机科学、运筹学、生物学等领域。
它能够在图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树，有效地解决了图的连通性问题，为许多实际问题提供了有效的解决方案。
本文将介绍最小生成树的模型及其数学公式，并探讨其在各个领域的应用。
二、最小生成树的模型1.生成树的概念生成树是一个包含图中所有顶点（节点）的无向图，且仅包含图中n-1 条边，其中n 为顶点数。
换句话说，生成树是一个连通图的生成树，它包含所有顶点，但只有n-1 条边。
2.最小生成树的概念最小生成树是一种生成树，其中所有边的权值之和最小。
换句话说，最小生成树是具有最小边权值之和的生成树。
3.Kruskal 算法Kruskal 算法是一种经典的最小生成树算法，它采用贪心策略来选择边。
具体步骤如下：(1) 将所有边按照权值从小到大排序。
(2) 初始化一个空生成树。
(3) 从权值最小的边开始，将边加入生成树中，如果这条边连接的两个顶点在生成树中不连通，则将其加入生成树；否则，将其舍弃。
(4) 当生成树中有n-1 条边时，算法结束，此时的生成树即为最小生成树。
4.Prim 算法Prim 算法是一种另一种经典的最小生成树算法，它采用贪心策略来选择顶点。
具体步骤如下：(1) 将所有顶点按照度数（即连接的边数）从小到大排序。
(2) 初始化一个空生成树。
(3) 从度数最小的顶点开始，将其加入生成树中，并将与该顶点相邻且未加入生成树的边加入生成树。
最小生成树（普里姆算法）
最⼩⽣成树（普⾥姆算法）：所谓⽣成树，就是n个点之间连成n-1条边的图形。
⽽最⼩⽣成树，就是权值（两点间直线的值）之和的最⼩值。
⾸先，要⽤⼆维数组记录点和权值。
如上图所⽰⽆向图：int map[7][7];map[1][2]=map[2][1]=4;map[1][3]=map[3][1]=2;......然后再求最⼩⽣成树。
具体⽅法是：1.先选取⼀个点作起始点，然后选择它邻近的权值最⼩的点（如果有多个与其相连的相同最⼩权值的点，随便选取⼀个）。
如1作为起点。
visited[1]=1;pos=1;//⽤low[]数组不断刷新最⼩权值，low[i](0<i<=点数)的值为：i点到邻近点（未被标记）的最⼩距离。
low[1]=0; //起始点i到邻近点的最⼩距离为0low[2]=map[pos][2]=4;low[3]=map[pos][3]=2;low[4]==map[pos][4]=3;low[5]=map[pos][5]=MaxInt; //⽆法直达low[6]=map[pos][6]=MaxInt;2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最⼩的点。
//low[]以3作当前位置进⾏更新visited[3]=1;pos=3;low[1]=0; //已标记，不更新low[2]=map[1][2]=4; //⽐5⼩，不更新low[3]=2; //已标记，不更新low[4]=map[1][4]=3; //⽐1⼤，更新后为：low[4]=map[3][4]=1;low[5]=map[1][5]=MaxInt;//⽆法直达，不更新low[6]=map[1][6]=MaxInt;//⽐2⼤，更新后为：low[6]=map[3][6]=2;3.如此类推...当所有点都连同后，结果最⽣成树如上图所⽰。
所有权值相加就是最⼩⽣成树，其值为2+1+2+4+3=12。
⾄于具体代码如何实现，现在结合POJ1258例题解释。
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最小生成树算法及其算法
最小生成树(Minimum Spanning Tree，简称MST)是一种在无向图中找到一棵包含所有顶点，且边权重之和最小的树的算法。
MST应用广泛，例如在通信网络中铺设光缆、构建公路网，以及电力线路规划等方面。
常见的求解MST的算法有Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法：
Prim算法采用贪心的策略，在每一步选择当前生成树与未选择的顶点中，权重最小的边，并将该边所连接的顶点加入生成树中。
Prim算法的具体步骤如下：
1)初始化一个空生成树，将其中一个顶点加入生成树中。
2)在未选择的顶点中，选择权重最小的边，并将其所连接的顶点加入生成树中，同时将边加入生成树中。
3)重复上述步骤，直到所有的顶点都加入生成树中。
Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
如果使用优先队列来选取权重最小的边，时间复杂度可以优化到O(E log V)，其中E 为边数。
2. Kruskal算法：
Kruskal算法也是一种贪心算法，它首先将所有边按照权重从小到大排序，然后按顺序将边加入生成树中。
在加入边的过程中，要注意不能形成环路。
Kruskal算法的具体步骤如下：
1)初始化一个空生成树。
2)将所有边按照权重从小到大排序。
3)依次选择权重最小的边，将该边所连接的顶点加入生成树中。
如果加入该边会形成环路，则舍弃该边。
4)重复上述步骤，直到生成树中包含了所有的顶点。
Kruskal算法的时间复杂度为O(E log E)，其中E为边数。
由于排序边的时间复杂度较高，Kruskal算法通常使用并查集来快速判断是否形成环路，从而优化算法的效率。
无论是Prim算法还是Kruskal算法，得到的最小生成树在边数上都等于顶点数减1，且具有最小权重和。
这是由于MST的定义决定的。
总之，最小生成树算法是在图中找到一棵包含所有顶点的树，使得边的权重之和最小。
Prim算法和Kruskal算法是两种经典的求解最小生成树问题的贪心算法，它们的时间复杂度分别为O(V^2)和O(E log E)。
选择适合具体应用场景和数据规模的算法可以提高算法效率。