高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题(含答案)
2015高考数学二轮复习热点题型：专题12 函数模型及其应用(解析版)
专题十二函数模型及其应用 【高频考点解读】 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 【热点题型】 题型一几类常见函数模型 例1．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是( ) A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 解析：y＝0.2x＋(4 000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200. 答案：D 【提分秘籍】应用函数模型解应用题要注意 (1)正确理解题意，选择适当的函数模型． (2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． (3)在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 【举一反三】 在某种新型材料和研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cos x 解析：通过检验可知，y＝log2x较为接近． 答案：B 【热点题型】 题型二三种增长型函数模型的图象与性质 例2、f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 【提分秘籍】三种模型的增长差异 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，有logax<xn0)左侧图形的面积为f(t)，则f(t)的大致图象是( ) 【热点题型】 题型五指数函数模型 例5、将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aen t．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有升，则m＝________. 【提分秘籍】 指数函数型多涉及增长率、减少率、银行利率．细胞分裂等一系列问题，通常可以表示为y ＝a·(1＋p)x的形式，利用指数运算与对数函数图象性质去求解． 【举一反三】 某电脑公司2012年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率相同，则2013年预计经营总收入为________万元． 【热点题型】 题型六函数的实际应用问题 例6、小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【提分秘籍】 函数模型的应用有两个方面：一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题． 建立函数模型解应用问题的步骤如下： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中． 【高考风向标】 1．（2014·湖南卷）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. C. D.－1 【答案】D 【解析】设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1. 2．（2014·陕西卷）如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( ) 图1-2 A．y＝x3－x B．y＝x3－x C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x 3．（2013·陕西卷）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有 ( ) A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y] 4．（2013·重庆卷）若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 【随堂巩固】 1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( ) 2．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及其以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A．560万元 B．420万元 C．350万元 D．320万元 3．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元的水费收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 4．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( ) A．[4,8] B．[6,10] C．[4%,8%] D．[6%,100%] 5．某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝(a＞0)．若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元，则a的最小值应为( ) A. B．5 C．± D．－ 6．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________． 7.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t (小时)之间的函数关系为________________________________________________________________________； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 8．某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值．改造需要投入，假设附加值y(单位：万元)与技术改造投入x(单位：万元)之间的关系满足：①y与a－x和x2的乘积成正比例；②当x＝时，y＝；③0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0,2]． (1)设y＝f(x)，求f(x)的表达式，并求y＝f(x)的定义域； (2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入x的值．。
高考数学(理)一轮复习精品资料 专题12 函数模型及其应用(押题专练) Word版含解析
专题12函数模型及其应用（押题专练） 高考数学（理）一轮复习精品资料1.函数f (x )＝2x－1x的零点所在的大致区间是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 解析由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212－2＜0，f (1)＝21－1＞0，所以函数的零点在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内. 答案B2.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是() A.0，2B.0，12C.0，－12D.2，－12解析由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x ).令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12.答案C3.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值()A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0解析注意到函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－log 3x 在(0，＋∞)上是减函数，因此当0＜x 1＜x 0时，有f (x 1)＞f (x 0).又x 0是函数f (x )的零点，因此f (x 0)＝0，所以f (x 1)＞0，即此时f (x 1)的值恒为正值，选A.答案A4.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A.10B.11C.13D.21解析设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x （x ＋1）x ＝x ＋100x＋1.5(x ∈N *)，由基本不等式得y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，所以选A.答案A5.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为() A.0B.－14C.0或－14D.26.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况解析设该股民购这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损.答案B7.函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是()A.(2，＋∞)B.[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103解析当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (3)＜0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有且仅有一个零点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－a 2(10－3a )＜0，解得52＜a ＜103；当⎩⎪⎨⎪⎧12＜a2＜3，Δ＝a 2－4≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，f （3）＞0时，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有一个或两个零点，解得2≤a ＜52；当a ＝52时，函数的零点为12和2，符合题意；当a ＝103时，函数的零点为13或3，不符合题意.综上a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，故选D.答案D8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.解析画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0＜m ＜1，即m ∈(0，1).答案(0，1)10.已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围.解由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.11.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50000－58000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫.12.已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f （x ）x－4ln x 的零点个数. 解(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x－4ln x －2(x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝（x －1）（x －3）x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：当又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点. 故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点.高考一轮复习微课视频手机观看地址：http://xkw.so/wksp。
高考数学复习课时作业12函数模型及其应用理新人教A版 389
课时作业(十二)第12讲函数模型及其应用时间/ 45分钟分值/ 90分基础热身1.某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中x代表拟录用人数,y代表面试对象人数.若面试对象人数为60,则该公司拟录用人数为 ()A.15B.40C.25D.702.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售16辆这种品牌的车,则能获得的最大总利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了一组实验数据(如下表),现准备用下列四个函数中的一个来近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是()A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log2xD.y=lo x4.某工厂产生的废气经过过滤后排放,在过滤过程中,污染物的含量p(单位:毫克/升)不断减少,已知p与时间t(单位:小时)满足p=p0,其中p0为t=0时的污染物含量.又测得当t从0到30时,污染物含量的平均变化率是-10ln 2,则当t=60时,p=()A.150B.300C.150ln 2D.300ln 25.[2018·成都七中模拟]某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系式y=e kx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192小时,在22 ℃时的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃时的保鲜时间是小时.能力提升6.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系式为R=则总利润最大时,生产的产品为()A.100单位B.150单位C.200单位D.300单位7.气象学院用32万元购置了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用,第n天的维修保养费为4n+46(n∈N*)元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止,则一共要使用()A.300天B.400天C.600天D.800天8.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=a e-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的细沙,则当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,又经过的时间为()A.8 minB.16 minC.24 minD.32 min9.[2018·北京东城区期中]光线通过一块玻璃,强度要损失10%.设光线原来的强度为k,通过x块这样的玻璃以后强度为y,则经过x块这样的玻璃后光线强度y=k·0.9x,若光线强度能减弱到原来的以下,则至少通过这样的玻璃(lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)()A.12块B.13块C.14块D.15块图K12-110.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图K12-1),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,则截取的矩形铁片面积的最大值为.11.某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是y=k·a x(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的价格为96元,上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.12.(10分)在十九大报告中提出的新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从2018年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0<x<1),设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍.(1)请用a,n表示x.(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477.13.(12分)[2018·南通模拟]秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施,在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田,花137 600元购买了一台新型联合收割机,每年用于收割可以收入60 000元(已减去所用柴油费).该收割机每年都要定期进行维修保养,第一年由厂方免费维修保养,第二年及以后由该农机户付费维修保养,每年用于维修保养的费用y(元)与使用年数n的关系式为y=kn+b(n≥2,且n∈N*),已知第二年付费1800元,第五年付费6000元.(1)试求出该农机户每年用于维修保养的费用y(元)与使用年数n(n∈N*)的函数关系式.(2)这台收割机使用多少年可使年平均收益最大?(收益=收入-维修保养费用-购买机械费用)难点突破14.(13分)某市郊区有一加油站,2018年初汽油的存储量为50吨,计划从年初起每周初均购进汽油m吨,以满足城区内和城区外汽车用油需求.已知城区外汽车每周用油5吨;城区内汽车前x(1≤x≤16,x∈N*)周的汽油需求量y(单位:吨)与x的函数关系式为y=a(a为常数),且前4周城区内汽车的汽油需求量为100吨.(1)试写出第x(1≤x≤16,x∈N*)周结束时,汽油存储量M(单位:吨)与x的函数关系式;(2)要使16周内每周按计划购进汽油之后,加油站总能满足城区内和城区外汽车的用油需求,且每周结束时加油站的汽油存储量不超过150吨,试确定m的取值范围.课时作业(十二)1.C[解析] 当1≤x≤10时,y≤40;当x>100时,y>150.因此所求人数x∈(10,100],由2x+10=60,得x=25,故选C.2.C[解析] 依题意,设在A地销售x辆车,则在B地销售(16-x)辆车,所以总利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-10.5)2+0.1×10.52+32,因为x∈[0,16]且x ∈N,所以当x=10或11时,y max=43.故选C.3.B[解析] 由y随x的变化趋势知,函数在(0,+∞)上是增函数,且y的增长速度随x的增大越来越快.A中函数增长速度不变,C中函数是增长速度逐渐变慢的函数,D中函数是减函数,故排除A,C,D,易知B中函数最符合题意.4.C[解析] 因为当t∈[0,30]时,污染物含量的平均变化率是-10ln 2,所以-10ln 2=,所以p0=600ln 2,所以当t=60时,p=600ln 2×2-2=150ln 2.5.24[解析] 由题意知192=e b,48=e22k+b,∴e22k=,∴当x=33时,y=e33k+b=192×=24.6.D[解析] 设总成本为C元,总利润为P元,则C=20 000+100x,则P=R-C=当0≤x≤400时,P=-x2+300x-20 000=-(x-300)2+25 000,x=300时,P取得最大值25 000;当x>400时,P<20 000.所以当x=300时,P取得最大值,故选D.7.B[解析] 使用n天的平均耗资为=+2n+48(元),当且仅当=2n时取得最小值,此时n=400.8.B[解析] 依题意有a e-8b=a,即e-8b=,两边取对数,得-8b=ln=-ln 2,∴b=,∴y=a.当容器内的细沙只有开始时的八分之一时,则有a=a,∴=,两边取对数,得-t=ln=-3ln 2,∴t=24,∴又经过的时间为24-8=16(min).故选B.9.C[解析] 由题意知0.9x k<,即0.9x<,两边同时取对数,可得x lg 0.9<lg,∵lg 0.9<lg 1=0,∴x>=≈13.04,又x∈N*,∴至少通过14块这样的玻璃,光线强度能减弱到原来的以下.故选C.10.180[解析] 依题意知=,即x=(24-y)(8≤y<24),所以阴影部分的面积S=xy=(24-y)·y=(-y2+24y)=-(y-12)2+180,当y=12时,S取得最大值180,故答案为180.11.40.5[解析] 由题意可得方程组结合a>0且a≠1,可得则y=128×,则该商品上架第4天的价格为128×==40.5(元).12.解:(1)依题意得(1-x)n=a,即1-x=,即x=1-(n∈N*).(2)由题得(1-10%)n≤25%,即≤,则n lg≤lg,即n(2lg 3-1)≤-2lg 2,则n≥,又≈13.09,n∈N*,∴n的最小值为14.故至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.13.解:(1)依题意知,当n=2时,y=1800;当n=5时,y=6000,则解得所以y=(2)记使用n年,年平均收益为W元,则当n≥2时,W=60 000-[137 600+1400(2+3+…+n)-1000(n-1)]=60 000-137600+1400×-1000(n-1)=60 000-(137 200+700n2-300n)=60 300-≤60 300-2=40 700,当且仅当700n=,即n=14时取等号,所以这台收割机使用14年可使年平均收益最大.14.解:(1)由已知条件得100=a,解得a=50,所以y=50(1≤x≤16,x∈N*),所以M=mx-5x-50+50(1≤x≤16,x∈N*).(2)由题意知,0≤M≤150,所以(1≤x≤16,x∈N*)恒成立, 即(1≤x≤16,x∈N*)恒成立.设t=,则≤t≤1,所以恒成立.由m≥-50t2+50t+5=-50+恒成立,得m≥当t=,即x=4时取等号;由m≤100t2+50t+5=100-≤t≤1恒成立,得m≤当t=,即x=16时取等号.所以m的取值范围是.。
高考数学总复习 课时作业(12)函数模型及其应用 理-人教版高三全册数学试题
课时作业(十二)第12讲函数模型及其应用基础热身1.若一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为()图K12-12.某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中x代表拟录用人数,y代表面试对象人数.若面试对象人数为60,则该公司的拟录用人数为()A.15B.40C.25D.703.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似地满足关系y=a log3(x+2),观察发现2012年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只,估计到2018年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为 ()A.4000只B.5000只C.6000只D.7000只4.某品牌平板电脑投放市场后第1个月销售100台,第2个月销售200台,第3个月销售400台,第4个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+1005.[2017·某某武邑中学调研]“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=a-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为.(用常数a 表示)能力提升6.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,包装费用、销售价格如下表所示:型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.0元8.4元则下列说法中正确的是()①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多.A.①③B.①④C.②③D.②④7.[2017·丰台区测试]血药浓度(PlasmaConcentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图K12-2所示.图K12-2根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是 ()A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒8.[2017·某某二模]某商场2017年1月份到12月份销售额呈现先下降后上升的趋势,下列四个函数中,能较准确地反映商场月销售额f(x)与月份x的关系且满足f(1)=8,f(3)=2的函数为()A.f(x)=20×B.f(x)=-6log3x+8C.f(x)=x2-12x+19D.f(x)=x2-7x+149.某足球俱乐部为救助失学儿童准备在体育中心举行一场足球义赛,预计卖出门票2.4万X,票价有3元、5元和8元三种,分别有a,b,c万X,且有a=0.3b2-1.2b+1.5.设x是门票的总收入,经预算,扣除其他各项开支后,该俱乐部募捐的纯收入为y=lg2x,为了使募捐的纯收入最大,则这三种门票的数量(万X)分别为()A.1,0.8,0.6B.0.6,1,0.8C.0.6,0.8,1D.0.8,0.6,110.某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价,该地区电网销售电价表如下:高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位:千瓦时) 高峰电价(单位:元/千瓦时)低谷月用电量(单位:千瓦时)低谷电价(单位:元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时,低谷时间段用电量为100千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元.(用数字作答)11.已知直角梯形ABCD如图K12-3所示,CD=2,AB=4,AD=2,线段AB上有一点P,过点P作AB 的垂线l,当点P从点A运动到点B时,记AP=x,l截直角梯形的左边部分面积为y,则y关于x的函数关系式为.图K12-312.(12分)某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=c(c,m为常数).(1)求c,m的值.(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?13.(13分)已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式.(2)当年产量为多少万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.难点突破14.(5分)为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地.第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元,每年销售蔬菜的收入为26万元.设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总费用支出-投资额),则从第年开始盈利.15.(5分)[2017·德阳一诊]将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=a e nt.假设过5min后甲桶和乙桶中的水量相等,若再过m min后甲桶中的水只有L,则m的值为.课时作业(十二)1.B[解析] 由题意得h=20-5t(0≤t≤4),故选B.2.C[解析] 当1≤x≤10时,y≤40;当x>100时,y>150.因此所求人数x∈(10,100],由2x+10=60,得x=25,故选C.3.C[解析] 当x=1时,由3000=a log3(1+2),得a=3000,到2018年即第7年,可得y=3000log3(7+2)=6000,故选C.4.C[解析] 对于C,当x=1时,y=100;当x=2时,y=200;当x=3时,y=400;当x=4时,y=800,与第4个月销售台数790比较接近.故选C.5.a2[解析] 由题意得D=a-A=--2+,且A≥0,∴当=,即A=时,D最大,故答案为.6.D[解析] 买小包装时每克费用为元,买大包装时每克费用为=元,而>,所以买大包装实惠.卖3小包的利润为3×(3-1.8-0.5)=2.1(元),卖1大包的利润是8.4-1.8×3-0.7=2.3(元),而2.3>2.1,所以卖1大包盈利多.故选D.7.D[解析] 从图像可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后,该药物的血药浓度大于最低有效浓度,药物发挥治疗作用,A正确;第一次服药4小时后与第2次服药1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会产生药物中毒,B正确,D错误;服药5.5小时后,血药浓度小于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,正好能发挥作用,C正确.故选D.8.D[解析] 销售额先下降后上升,很明显只有选项C和D符合,又因为f(1)=8,f(3)=2,所以只有选项D符合.9.B[解析] 由题意可得整理得x=-1.5(b-1)2+13.2,当b=1时,a=0.6,c=0.8,此时门票的总收入x最大,即为13.2,由于y=lg2x为增函数,即此时y也取得最大值.10.148.4[解析] 据题意有0.568×50+0.598×150+0.288×50+0.318×50=148.4(元).11.y=[解析] 易知0≤x≤4,当0≤x≤2时,y=2x,当2<x≤4时,y=6-(4-x)2,∴y=12.解:(1)由题意可列方程组两式相除,解得(2)由题意可列不等式128≤0.5,所以≤,即t≥8,解得t≥32.故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.13.解:(1)当0<x≤40时,W=xR(x)-(16x+40)=-6x2+384x-40;当x>40时,W=xR(x)-(16x+40)=--16x+7360.所以W=(2)①当0<x≤40时,W=-6(x-32)2+6104,所以当x=32时,W max=6104.②当x>40时,W=--16x+7360,由于+16x≥2=1600,当且仅当=16x,即x=50时,W取得最大值5760.综合①②知,当x=32时,W取得最大值6104,即当年产量为32万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大,最大利润为6104万美元.14.5[解析] 由题知f(n)=26n-8n+×2-60=-n2+19n-60.令f(n)>0,即-n2+19n-60>0,解得4<n<15,所以从第5年开始盈利.15.5[解析]∵5min后甲桶和乙桶中的水量相等,∴函数y=f(t)=a e nt满足f(5)=a e5n=a,可得n=ln.令f(k)=a,则ln·k=ln,即为ln·k=2ln,解得k=10,故m=10-5=5.。
高考数学(理)一轮复习 专题12 函数模型及其应用(教学案) Word版含解析
专题函数模型及其应用（教学案）
年高考数学（理）一轮复习精品资料
.综合考查函数的性质；
.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；
.考查函数的最值．
．几类函数模型及其增长差异
()几类函数模型
()
.
()审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
()建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
()解模：求解数学模型，得出数学结论；
()还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
【疑点清源】
．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
．解决实际应用问题的一般步骤
()审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．()建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．()解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．
()还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
高频考点一、用函数图象刻画变化过程
例、()设甲、乙两地的距离为(>)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了分钟，在乙地休息分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程和其所用的时间的函数图象为( )
()物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间内完成预测的运输任务，各种方案的运输总量与时间的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )。
高考数学总复习 课时作业12 函数模型及其应用试题 文 新人教A版
课时作业(十二) 函数模型及其应用A 级1．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )图象大致为( )3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝145．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x ＜A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,166．有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________．(围墙厚度不计)7．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为________万元．8．(2012·杭州模拟)生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，(A)对应________；(B)对应________；(C)对应________；(D)对应________．9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？11．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？B 级1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况 2．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为__________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)3．(2012·济宁模拟)经过调查发现，某种新产品在投放市场的30天中，前20天其价格直线上升，后10天价格呈直线下降趋势．现抽取其中4天的价格如表所示：时间 第4天 第12天 第21天 第28天 价格(元)34424834(1)(2)若销售量g (x )与时间x 的函数关系式为：g (x )＝－x ＋50(1≤x ≤30，x ∈N )，问该产品投放市场第几天，日销售额最高？答案：课时作业(十二)A 级1．D 利润z ＝10x －y ＝10x －(5x ＋4 000)≥0. 解得x ≥800.2．D 依题意知，ax ＝a (1＋9.5%)y， 所以y ＝log 1.095x ，故选D.3．A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元，选A.4．A 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．D 由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15得A ＝16. 6．解析： 设矩形的宽为x m. 则矩形的长为200－4x m (0<x <50)， 面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500. 故当x ＝25时，S 取得最大值2 500(m 2)． 答案： 2 500 m 27．解析： 设年增长率为x ，则有40040%×(1＋x )2＝1 690,1＋x ＝1310，因此2013年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．答案： 1 3008．解析： A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C 、D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应．答案： (4) (1) (3) (2)9．解析： 七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2， 则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.故x 的最小值为20.答案： 2010．解析： (1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆． (2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元， 则y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150 ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 11．解析： (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，该森林已砍伐了5年．B 级1．B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．2．解析： 当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100， 0<x ≤20，160－x ， x >20(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．答案： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100， 0<x ≤20，160－x ， x >20(x ∈N *) 163．解析： (1)由题意知：当1≤x ≤20(x ∈N )时，f (x )＝k 1x ＋b 1且f (4)＝34，f (12)＝42，解得f (x )＝x ＋30.当21≤x ≤30(x ∈N )时，f (x )＝k 2x ＋b 2且f (21)＝48，f (28)＝34，解得f (x )＝90－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋30，1≤x ≤20，x ∈N90－2x ，21≤x ≤30，x ∈N.(2)设销售额为y 元，则y ＝f (x )g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3050－x ，1≤x ≤20，x ∈N 90－2x50－x ，21≤x ≤30，x ∈N.当1≤x ≤20，x ∈N 时，对称轴为x ＝10， 则当x ＝10时，y max ＝1 600.当21≤x ≤30，x ∈N 时，对称轴为x ＝952，当x ＝21时，y max ＝1 392. 所以当x ＝10时，y max ＝1 600.答：产品投放市场第10天，日销售额最高，销售额为1 600元．。
高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 课时作业12 函数模型及其应用 文(含解析)新人教A版-
课时作业12 函数模型及其应用1．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( D )解析：依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4＜x ≤8时，f (x )＝8；当8＜x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知D 项符合要求．2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.041 87.51218.01A.y ＝2x －2 B ．y ＝2(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.3．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( C )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.4．(2019·某某质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( C )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.5．(2019·某某某某模拟)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元．该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于( B )A ．6B ．7C ．8D ．7或8解析：盈利总额为21n －9－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×n n －1×3＝－32n 2＋412n －9.因为其对应的函数的图象的对称轴方程为n ＝416.所以当n ＝7时取最大值，即盈利总额达到最大值，故选B. 6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格3.0元8.4元①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而3100＞2.8100，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，而2.3＞2.1，所以卖1大包盈利多，故选D.7．如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( D )解析：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ， 则AD ＝8－2x2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.8．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设f (n )表示前n 年的纯利润(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额)，则从第 5 年开始盈利．解析：由题知f (n )＝26n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n ＋n n －12×2－60＝－n 2＋19n －60.令f (n )＞0，即－n 2＋19n －60＞0， 解得4＜n ＜15，所以从第5年开始盈利．9．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大．解析：由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ≤512－2x 2·8x＝21.5， 当且仅当x 2＝8x，即x ＝4时等号成立．此时L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．10．大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x ＞400，则总利润最大时，该门面经营的天数是300.解析：由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x ＞400，当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，y max ＝25 000；当x ＞400时，y ＝60 000－100x ＜20 000，综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．11．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115. 令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0， 结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156＜x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3·⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． 12．(2019·某某某某模拟)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋2，0＜x ≤5，x ＋192x －2，x ＞5.当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂的质量为m ＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解：(1)当m ＝5时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋10，0＜x ≤5，5x ＋952x －2，x ＞5.当0＜x ≤5时，x 25＋10＞10，显然符合题意；当x ＞5时，由5x ＋952x －2≥5，解得5＜x ≤21.综上，0＜x ≤21，所以自来水达到有效净化总共可持续21天．(2)y ＝mf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 225＋2m ，0＜x ≤5，m x ＋192x －2，x ＞5.当0＜x ≤5时，y ＝mx 225＋2m 在区间(0,5]上单调递增，所以2m ＜y ≤3m ； 当x ＞5时，y ′＝－40m2x －22＜0，所以函数y ＝m x ＋192x －2在(5,9]上单调递减，所以7m 4≤y ＜3m .综上可知7m4≤y ≤3m .为使5≤y ≤10恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧7m 4≥5，3m ≤10，解得207≤m ≤103，所以应该投放的药剂质量m 的最小值为207.13．(2019·嘉定模拟)某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情况进行调查研究后发现，一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.如果以每天f (x )的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为M (a )，若规定当M (a )≤2时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值X 围为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，49D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 解析：设t ＝xx 2＋1，当x ≠0时，可得t ＝1x ＋1x∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12，当x ＝0时，t ＝0，因而f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a ＜t ≤12，从而有g (0)＝3a ＋23，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，因而M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0≤a ≤14，g 0，14＜a ≤12，即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14＜a ≤12，当0≤a ≤14时，M (a )＜2，当14＜a ≤49时，M (a )≤2，当49＜a ≤12时，M (a )＞2，所以该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49. 14．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) ，该工厂的年产量为 16 件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100； 当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156， 当x ＝16时，y max ＝156. 当x ＞20时，160－x ＜140， 故x ＝16时取得最大年利润．15．(2019·潍坊模拟)某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 120 ； (2)最低种植成本是 80 (元/100 kg)． 解析：根据表中数据可知函数不单调， 所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上， 对称轴t ＝－b2a＝60＋1802＝120， 代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．16．(2019·某某质检)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的X 围内，求税率t 的最小值．解：(1)由图象知函数图象过(5,1)，(7,2)．解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6，b ＝5.(2)当P ＝Q 时，2(1－6t )(x －5)2＝211－x2，则(1－6t )(x －5)2＝11－x2，所以1－6t ＝11－x2x －52＝12·22－xx －52＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17x －52－1x －5. 令m ＝1x －5(x ≥9)，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.设f (m )＝17m 2－m ，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，对称轴为m ＝134，所以f (m )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1316，所以，当m ＝14，即x ＝9时，1－6t 取得最大值为12×1316，则1－6t ≤12×1316，解得t ≥19192，所以税率的最小值为19192.。
高二数学函数模型及其应用试题答案及解析
高二数学函数模型及其应用试题答案及解析1.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（1）写出年利润（万元）关于年产品（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）【答案】（1）（2）9【解析】利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：（1）当时，当时，（2）①当时，由，得，当时，；当时，；当时，取最大值，且②当时，当且仅当，即时，综合①、②知时，取最大值.所以当年产量为9千件时，该企业生产此产品获利最大.【考点】函数及其性质的应用.2.某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为米，钢筋网的总长度为米．（1）列出与的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？【答案】（1）（2）长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小.（3）长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小【解析】（1）根据矩形的面积求出解析式，注意函数的定义域（2）利用基本不等式求解，注意等号成立的条件（3）利用函数的单调性求解（导数或单调性定义）试题解析：（1）矩形的宽为：米定义域为注：定义域为不扣分（2）当且仅当即时取等号，此时宽为：米所以，长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小．（3）法一：，当时，在上是单调递减函数当时，，此时，长为25米，宽为米所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．法二：设，，则，，在上是单调递减函数当时，此时，长为25米，宽为米所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．【考点】基本不等式的应用，函数的单调性,最值3.某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1＝18－，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2＝(注：利润与投资金额单位：万元).(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；(2)在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【答案】(1) ；(2) 分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．【解析】(1)根据题意，万元资金投入产品，利润万元；万元资金投入产品，利润，由可得所求函数关系；(2)由(1)所得函数的解析式可考虑用基本不等式法求其最大值，并注意等号成立的条件。
高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(十二)函数模型及其应用 Word版含解析
课时跟踪练(十二)A组基础巩固1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()解析：由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)．答案：B2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是() A．118元B．105元C．106元D．108元解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.答案：D3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．答案：D4．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg I I 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( )A.76倍 B ．1076倍 C ．10倍 D ．ln 76倍 解析：由η＝10lg I I 0得I ＝I 010η10，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍．答案：C5．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：设该死亡物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11 000，得n ≥10. 所以，若某死亡生物内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．答案：C6．某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，令2log 4x －2＝8，得x ＝45＝1 024.答案：1 0247．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________(用常数a 表示)．解析：令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值． 答案：14a 2 8．大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________．解析：由题意，总利润y ＝⎩⎨⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000， 所以当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000.综上，当x ＝300天时，总利润最大．答案：3009．(2019·邯郸调研)已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q (x )(单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0<x ≤20，90－35x ，20<x ≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f (x )元，则f (x )＝100xq (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0<x ≤20，100x （90－35x ），20<x ≤180.当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f (x )在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000.当20<x ≤180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，则f ′(x )＝9 000－4505·x ，令f ′(x )＝0，得x ＝80.当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当80≤x ≤180时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以当x ＝80时，f (x )有极大值，也是最大值240 000.由于120 000<240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元．10．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解：(1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12. 解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的2 2，则a(1－x)m＝22a，即⎝⎛⎭⎪⎫12m10＝⎝⎛⎭⎪⎫1212，即m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．B组素养提升11．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)()A．1033B．1053C．1073D．1093解析：M≈3361，N≈1080，MN≈33611080，则lg MN≈lg33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈93.所以MN≈1093.答案：D12．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为() A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．答案：B13．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 小时，在22 ℃的保鲜时间是48 小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________．解析：由已知条件，得192＝e b ，又48＝e 22k ＋b ＝e b ·(e 11k )2，所以e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12， 设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋b ＝192 e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24. 答案：2414．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人(a ∈N *)．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝2 000＋60x 800＋ax(a ∈N *，1≤x ≤10)． 假设该企业的人均年终奖会超过3万元，又a ＝10，则2 000＋60x 800＋10x>3，解得x >403>10. 所以10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．(2)设1≤x 1<x 2≤10，则f (x 2)－f (x 1)＝ 2 000＋60x 2800＋ax 2－ 2 000＋60x 1800＋ax 1＝（60×800－2 000a ）（x 2－x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1）>0， 所以60×800－2 000a >0，得a <24.所以为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．。
高考数学测试卷人教A版文科数学课时试题及解析(12)函数模型及其应用
课时作业(十二) [第12讲函数模型及其应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．某物体一天中嘚温度T是时间t嘚函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，t＝0表示中午12时，其后t值取为正，则上午8时嘚温度是( )A．8℃ B．112℃ C．58℃ D．18℃2．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02则x，y嘚函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )A．y＝a＋bx B．y＝a＋b xC．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x3．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数嘚增长速度进行比较，下列选项中正确嘚是( )A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)4．某工厂生产一种仪器嘚固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元．已知该仪器嘚每台售价P(元)与每月生产量x台嘚关系为P＝500－x.为使该厂每月所获利润最大，则该厂每月生产这种仪器嘚台数为________．(注：利润＝销售收入－总成本)能力提升5．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好嘚顺序为( )图K12－1(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A．(1)(2)(4) B．(4)(2)(3)C．(1)(2)(3) D．(4)(1)(2)6．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元嘚不纳税；超过800元不超过4000元嘚按超过800元嘚14%纳税，超过4000元嘚按全稿费嘚11%纳税．某人出了一本书，共纳税420元，这个人稿费为( )A．3600元B．3800元C．4000元D．4200元图K12－27．有一批材料可以围成200米长嘚围墙，现用此材料在一边靠墙嘚地方围成一块矩形场地，且内部用材料隔成三个面积相等嘚矩形(如图K12－2)，则围成嘚矩形场地嘚最大面积为( )A ．1000米2B ．2000米2C ．2500米2D ．3000米28．已知每生产100克饼干嘚原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格3.00元8.4元则下列说法中正确嘚是( )①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．将甲桶中嘚a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余嘚水符合指数衰减曲线y ＝ae nt .若5分钟后甲桶和乙桶嘚水量相等，又过了m 分钟后甲桶中嘚水只有a8，则m 嘚值为( )A ．7B ．8C ．9D ．1010．司机酒后驾驶危害他人嘚安全，一个人喝了少量酒后，血液中嘚酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml ，在停止喝酒后，血液中嘚酒精含量以每小时25%嘚速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中嘚酒精含量不得超过0.09 mg/ml ，那么，该人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)11． 鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元嘚张数嘚积为0.6.设x 是门票嘚总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部嘚纯收入为函数y ＝lg2x ，则这三种门票嘚张数分别为________万张时可以为失学儿童募捐嘚纯收入最大．12．如图K12－3所示是一份统计图表，根据此图表得到嘚以下说法：图K12－3(1)这几年人民生活水平逐年得到提高； (2)人民生活收入增长最快嘚一年是2008年；(3)生活价格指数上涨速度最快嘚一年是2009年；(4)虽然2010年生活收入指数增长缓慢，但由于生活价格指数略有降低，因而人民生活有较大嘚改善．其中说法正确嘚是________(填写序号即可)．13． 某同学高三阶段12次数学考试嘚成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降嘚趋势，现有三种函数模型：①f(x)＝pq x ，②f(x)＝log a x ＋q ，③f(x)＝(x －1)(x －q)2＋p(其中p ，q 为正常数，且q>2)．能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；若f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数f(x)嘚解析式为________________．14．(10分)某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品嘚利润与投资量成正比例，其关系如图K12－4(1)，B 产品嘚利润与投资量嘚算术平方根成正比例，其关系如图(2)(注：利润与投资量嘚单位：万元)．(1)分别将A 、B 两种产品嘚利润表示为投资量嘚函数关系式；(2)该公司有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？图K12－415．(13分)运货卡车以每小时x 千米嘚速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)．假设汽油嘚价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机嘚工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 嘚表达式；(2)当x 为何值时，这次行车嘚总费用最低？并求出最低费用嘚值．难点突破16．(12分) 请你设计一个包装盒，如图K12－5所示，ABCD是边长为60 cm嘚正方形硬纸片，切去阴影部分所示嘚四个全等嘚等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中嘚点P，正好形成一个正四棱柱形状嘚包装盒，E、F在AB上，是被切去嘚一个等腰直角三角形斜边嘚两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒嘚侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒嘚容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒嘚高与底面边长嘚比值．图K12－5课时作业(十二) 【基础热身】1．A [解析] 因为t ＝0表示中午12时，则上午8时为t ＝－4，代入函数即可得到A. 2．B [解析] 由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x .3．B [解析] 画出函数嘚大致图象，如图所示，当x ∈(4，＋∞)时，指数函数图象位于二次函数图象嘚上方，二次函数图象位于对数函数图象嘚上方，故g(x)>f(x)>h(x)．4．200 [解析] 利润y ＝(500－x)x －100x －20000＝－(x －200)2＋20000，所以当x ＝200时，y 有最大值．【能力提升】5．D [解析] 离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家嘚距离为0，故应选图象(4)；途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家嘚距离必为一定值，故应选图象(1)；最后加速，故应选图象(2)．6．B [解析] 设这个人嘚稿费为x 元，显然800＜x≤4000，否则若x≤800，则不纳税， 若x>4000，则纳税额应大于4000×11%＝440元，不合题意．因此有(x －800)×14%＝420， 解得x ＝3800.7．C [解析] 设三个面积相等嘚矩形嘚长、宽分别为x 米、y 米，如题图，则4x ＋3y ＝200.又S ＝3xy ＝3x·200－4x 3＝x(200－4x)＝－4(x －25)2＋2500，∴当x ＝25时，S max ＝2500.8．D [解析] 买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而3100>2.8100，所以买大包装实惠．卖3小包嘚利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包嘚利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3＞2.1，故卖1大包盈利多．9．D [解析] 令18a ＝ae nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.10．5 [解析] 设x 小时后，血液中嘚酒精含量不超过0.09mg/ml ，则有0.3·⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ≤0.09，即⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车．11．0.6,1,0.8 [解析] 函数模型y ＝lg2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票嘚张数分别为a 、b 、c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4，①ab ＝0.6，②x ＝3a ＋5b ＋8c ，③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b)≤19.2－215ab ＝13.2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3b ，ab ＝0.6时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.由于y ＝lg2x 为增函数，即此时y 也恰有最大值．12．(1)(2)(4) [解析] 本题是一个图表信息题，题中只给出一份统计图，利用统计图中所含嘚信息去分析．由题意，“生活收入指数”减去“生活价格指数”嘚差是逐年增大嘚，故(1)正确；“生活收入指数”在2008～2009年最陡，故(2)正确；“生活价格指数”在2008年～2009年最陡，故在2008年上涨速度最快，故(3)不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确．13．③ f(x)＝x 3－9x 2＋24x －12(1≤x≤12，x ∈Z)[解析] 因为f(x)＝pq x ，f(x)＝log a x ＋q 是单调函数，f(x)＝(x －1)(x －q)2＋p 中，f′(x)＝3x 2－(4q ＋2)x ＋q 2＋2q ，令f′(x)＝0，得x ＝q 或x ＝q ＋23，f′(x)有两个零点，f(x)可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f(x)＝(x －1)(x －q)2＋p 为其成绩模拟函数．由f(1)＝4，f(3)＝6得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，23－q2＋p ＝6，q>2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，q ＝4.故f(x)＝x 3－9x 2＋24x －12(1≤x≤12，且x ∈Z)．14．[解答] (1)设投资x 万元，A 产品嘚利润为f(x)万元，B 产品嘚利润为g(x)万元． 依题意可设f(x)＝k 1x ，g(x)＝k 2x ，由图(1)，得f(1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15.由图(2)，得g(4)＝1.6，即k 2×4＝1.6.∴k 2＝45，故f(x)＝15x(x≥0)，g(x)＝45x (x≥0)．(2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设公司利润为y 万元， 由(1)得y ＝f(10－x)＋g(x)＝－15x ＋45x ＋2(0≤x≤10)．∵y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10，∴当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8，因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该公司获得最大利润，为2.8万元．15．[解答] (1)行车所用时间为t ＝130x ，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]， 所以，这次行车总费用y 关于x 嘚表达式是y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2340x ＋1318x≥2610，当且仅当2340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立． 故当x ＝1810时，这次行车嘚总费用最低，最低费用为2610元．【难点突破】16．[解答] 设包装盒嘚高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V′＝62x(20－x)，由V′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V′＞0；当x ∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12，即包装盒嘚高与底面边长嘚比值为12.。
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高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题（含答案）1.某种动物繁殖的数量y (只)与时间x (年)的关系为log2(1)y a x =+.设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到( ) A.300只B.400只C.500只D.600只2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(1)x x >的函数关系是21()f x x =，2()2f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( ) A.21()f x x =B.2()2f x x =C.32()log f x x =D.4()2x f x =3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为0.6lg r I =.若6.5级地震释放的相对能量为1I ，7.4级地震释放的相对能量为2I ，记21I n I =，则n 约等于( ) A.16B.20C.32D.904.溶液的酸碱度是通过pH 来刻画的，已知某溶液的pH 等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，且该溶液中氢离子的浓度为610mol /L -，则该溶液的pH 为( ) A.4B.5C.6D.75.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表： 销售单价/元 6789101112日均销售量/桶480440400360320280240A.每桶8.5元B.每桶9.5元C.每桶10.5元D.每桶11.5元6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ℃，经过一段时间t min 后的温度是T ℃，则()012t ha a T T T T ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，其中a T （单位：℃）表示环境温度，h （单位：min ）称为半衰期.现有一份88℃的热饮，放在24℃的房间中，如果热饮降温到40℃需要20 min ，那么降温到32℃时，需要的时间为( ) A.24 minB.25 minC.30 minD.40 min7.某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，下表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况.加油时间 加油量（升）加油时的累计里程（千米）2020年10月1日 12 32000 2020年10月6日4832600在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升B.8升C.10升D.12升8.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若开始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）( ) A.8B.9C.10D.119.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：t ）的影响，对近6年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,,6)i y i =进行整理，所得数据如下表所示：x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 y1.652.202.602.762.903.10A.0.5(1)y x =+B.3log 1.5y x =+C.21x y =-D.y x =10.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(t 53)()1eI K t --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )（ln19 2.9≈） A.60B.63C.66D.6911.某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：x 1.99 3 4 5.1 8 y0.991.582.012.353.00①0.580.16y x =-； ②2 3.02x y =-； ③2 5.58y x x =-+；④2log y x =.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_________. 12.某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为___________.(注：利润率=(销售价格-成本）)÷成本)13.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是_______年.(参考数据：lg1.080.033≈，lg5.30.724≈，lg70.845≈)14.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，t min 后物体的温度()θ℃可由公式()0.24010e t θθθθ-=+-求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却t min 后，物体的温度是40℃，那么t 的值约等于_______________.(保留三位有效数字，参考数据：ln3 1.099≈，ln20.693≈)15.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的关系为0()e kt p t p -=（式中的e 为自然对数的底数，0p 为污染物的初始含量）.过滤1小时后检测，发现污染物的含量减少了15.（1）求函数关系式()p t ；（2）要使污染物的含量不超过初始值的11000，至少需过滤几个小时？（参考数据：lg20.3≈）参考答案1.答案：A解析：由已知第1年有100只，得100a =.将100a =，7x =代入log2(1)y a x =+，得300y =.2.答案：D解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D. 3.答案：C解析：0.6lg r I =，5310r I ∴=.当 6.5r =时，656110I =，当7.4r =时，373210I =，3765323621101010101032I n I ∴==÷==.4.答案：C解析：由题意可得，该溶液的pH 为6lg106--=.故选C. 5.答案：D解析：通过题中表格可知销售单价每增加1元，日均销售量减少40桶，设每桶水的价格为(6)x +元(0)x ≥，日利润为y 元，则2(65)(48040)20040440480(0)y x x x x x =+---=-++≥， 400-<，∴当4405.5240x ==⨯时y 有最大值， ∴每桶水的价格为11.5元时，日利润最大，故选D.6.答案：C解析：由题意，得2014024(8824)2h⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即201142h⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得10h =，所以10124(8824)2tT ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即10124642t T ⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，将32T =代入上式，得1013224642t ⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，即101182t⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得30t =，所以需要30 min ，可降温到32℃，故选C.7.答案：B解析：由题表中的信息可知，2020年10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32000千米，到2020年10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32600千米，说明这段时间内汽车行驶了600千米， 则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为4886=升.故选B. 8.答案：D解析：设至少应过滤n 次，则23110041000n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，因此，31420n⎛⎫ ⎪⎝⎭≤， 则1lglg 201lg 22010.4163lg3lg 42lg 2lg3lg 4n -+≥==≈--，又*n ∈N ，所以11n ≥，即至少要过滤11次才能达到市场要求.故选D. 9.答案：B解析：由题表知，当自变量每增加1个单位时，函数值依次增加055，0.40，0.16，0.14，0.20，因此A ，C 不符合题意；当x 取1，4时，2y x =的值分别为2，4，与题表中的数据相差较大，故选B. 10.答案：C 解析：()()**0.23530.951et K I t K --==+，整理可得()*0.2353e19t -=，两边取自然对数得*0.23()ln192593.t =≈-，解得*66t ≈，故选C. 11.答案：④解析：根据表格画出图象，由图分析增长速度的变化，可知试验数据符合对数函数模型，故选④.12.答案：5%解析：设商品的原价为x 元，成本为y 元，则0.7(10.47)x y =+， 2.1x y ∴=.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为0.50.5 2.1 1.05x y y =⨯=，利润率为1.0510.055%yy-==. 13.答案：2022解析：设n 年开始超过7000万元，则20185300(18%)7000n -⨯+>，化为(2018)lg1.08lg7lg5.3n ->-，即lg7lg5.30.8450.7242018 3.7lg1.080.033n --->≈≈.则2022n =，因此开始超过7000万元的年份是2022年. 14.答案： 4.58解析：由题意可得0.244010(10010)e t -=+-⋅，化简可得0.241e 3t -=，10.24ln ln33t ∴-==-，0.24ln3 1.099t ∴=≈， 4.58t ∴≈.15.解析：（1）根据题意，得004e 5k p p -=， 4e5k-∴=，04()5tp t p ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭. （2）由0041()51000tp t p p ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，得34105t-⎛⎫⎪≤⎝⎭，两边取对数并整理得(13lg2)3t -≥，30t ∴≥.因此，至少需过滤30个小时.。