2023年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟试题(二)(全国卷专用)(学生版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试全真模拟试题（二）(全国卷专用）理科数学（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集{}3U x x =∈≤Z ，集合{}3,1,2,3A =--，{}3,0,1,2B =-，则()U B A ⋂=（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}0,1,2 2．若虚数z 使得z 2+z 是实数，则z 满足（ ）A ．实部是12-B ．实部是12 C ．虚部是0 D ．虚部是123．已知向量,a b 的夹角为120，且,a b 是函数()256f x x x -=+的两个零点.若()(2)a b a λλ+⊥>，则λ=（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64．已知函数1,()2,x x x a f x x a +≤⎧=⎨>⎩，若()f x 的值域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞ B ．[]0,1 C ．[)0,∞+ D ．(],1-∞5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D （第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）A ．14πB ．18πC ．24πD ．30π6．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm ，高10cm ，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（ ）A ． 10B ．15C ．4D ．57．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中π0,0,02A ωϕ->><<.在已知21x x 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ）A ．ωB ．ϕC ．φωD ．sin A ϕ 8．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线:240l x y --=上一动点，下列结论不正确的是（ ）A ．直线l 与圆C 相离B ．圆C 上有且仅有一个点到直线l 的距离等于1C ．过点P 向圆C 引一条切线P A ，A 为切点，则PA 的最小值为555D ．过点P 向圆C 引两条切线P A 和PB ，A 、B 为切点，则直线AB 过定点9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段1B C 上，有下列四个结论：①11AB CD ⊥；②点P 到平面1A BD 的距离为33； ③二面角11A B C D --的余弦值为23；④若四面体11B ACD 的所有顶点均在球O 的球面上，则球O 的体积为23π.其中所有正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()1,0,2,0.x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-+≥⎩若()f x 的图象上至少有两对点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]0,1 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为()1212,2F F F F c =，左顶点为,A O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限交于点M .若AOM 的内切圆半径为3ab c ，则C 的离心率为（ ） A ．2103+ B ．1103+ C ．253+ D ．333+ 12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.若()f x 的图象关于点()3,0中心对称，322g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()()12,33g g ==-，则20231()k g k ==∑（ ） A ．670 B ．672 C ．674 D ．676第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值是______.14．()42x +的展开式中，含x 的项的系数为______．15．计算器计算e x ，ln x ，sin x ，cos x 等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内可以多次进行求导数运算，则当(),x a b ∈，且0x x ≠时，有()()()()()()()()()023********''''''0!1!2!3!f x f x f x f x f x x x x x x x x x =-+-+-+-+．其中()'f x 是()f x 的导数，()''f x 是()'f x 的导数，()'''f x 是()''f x 的导数……．取00x =，则sin x 的“泰勒展开式”中第三个非零项为____，sin1精确到0.01的近似值为______．16．记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()22221231111111141n n a a a a n ++++=----+.若不等式1n n S a λ+恒成立，则实数λ的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17(本小题满分12分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()()()a c a c b b c +-=+．(1)求角A 的大小；(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．若3,4b c ==，点D 是BC 边上的一点，且______，求线段AD 的长．①AD 是ABC 的中线；②AD 是ABC 的角平分线；③2BD CD =．18(本小题满分12分）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.(1)记总的抽取次数为X ，求E （X ）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y ，求E （Y ）19(本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB DC ，AB =2AD =2CD =2，点E 是PB 的中点.(1)证明：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若直线PB 与平面P AC 所成角的正弦值为33，求二面角P -AC -E 的余弦值. 20 (本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，点P 在C 上，1PF 的最大值为21+，且当1PF 垂直于长轴时，122PF =. (1)求C 的方程；(2)已知点21,,2D O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为坐标原点，与OD 平行的直线l 交C 于,A B 两点，且直线DA ，DB 分别与x 轴的正半轴交于,E F 两点，试探究OE OF +是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.21(本小题满分12分）已知函数()2ln 1x f x x x x =++. (1)证明：()f x 恰有一个零点；(2)设函数()()()()()22ln 1,1g x a x x F x f x g x x =+--=++.若()F x 至少存在两个极值点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22x a t y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若曲线C 上有且只有一个点到直线l1，求实数a 的值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()12f x x x a =--+.(1)当12a =时，求不等式()0f x 的解集；(2)当1a -时，若函数()12g x x b =+的图象恒在()f x 图象的上方，证明：232b a ->.。